%这是一张普通的特克斯纸。\放大倍数=\magstep1\vbadness=10000\hbadness=10000\公差=10000\def\F{{\bf F}}%有限字段。\def\m{{\bfm}}%伪怪物李代数。\定义\Q{{\bfQ}}%有理数\定义\Z{{\bf Z}}%整数\宣布假怪物正式组别。\hfill 1998年5月27日至12月31日《杜克数学杂志》第100卷第1期（1999年），139-165页。Richard E.Borcherds，%作者\脚注{$^*$}{由皇家学会支持教授职位和国家科学基金资助。}D.P.M.M.S.、。，16 Mill巷，剑桥，CB2 1SB，英格兰。电子邮件：电子邮箱：dpmms.cam.ac.uk主页：www.dpmms.cam.ac.uk/\~{}reb\大跳跃\宣布内容。1.引言。符号和术语。2.~关于光滑Hopf代数的几个定理。3.李代数元素的提升。4.~光滑的假怪物霍普夫代数。5.~ Virasoro代数的光滑Hopf代数。6.~$\Z$上的no-ghost定理。7.~模块化私酒应用程序。8.~未决问题。\宣布1.~引言。本文的主要结果是构建了``的良好“”积分形式的泛包络代数假怪物李代数和维拉索罗代数。作为应用，我们在这些李代数的整数。我们还证明了整数上的no-ghost定理，并使用该定理验证用于证明模块月光猜想的假设。在整数上，李代数的泛包络代数是表现不太好，有必要使用更好的积分有理函数上泛包络代数的形式数字。“好”积分形式的正确概念是由科斯坦特[K]。他发现好的积分形式是具有结构基础（如2.3中所定义），并表明有限的泛包络代数维半单李代数有一个结构基。这个结构基的存在意味着下面的余代数是一个形式幂级数环。作为这个戒指可以被认为是某种“坐标环”正式组，这个条件可以被认为是指正式组是平滑且连接的，并且正式组群来自于一个“正式群法则”。本文的重点是为无限维的泛包络代数李代数。我们回忆起李代数的泛包络代数具有共交换Hopf代数的自然结构。所以我们需要一些定理来告诉我们Hopf代数何时具有结构底座。在第2节中，我们证明了Hopf代数$H$具有结构基本条件是有“足够多”的类组元素H[[x]]$中的$1+a_1x+a_2x^2+\cdots\，并提供了其他一些小调条件得到满足。应该考虑这样一个类似群体的因素粗略地说，作为形式群中的无穷小曲线这个条件意味着形式群可以提升到形式中的形式曲线组。作为第2节中定理的示例，我们发现两个基本可提升元素的李括号$[a_1，b_1]$也是可提升。乍一看，这似乎很容易证明，我们需要做的就是写下一个显式的提升中的一些通用（非交换）多项式的系数升力系数$a_1$和$b_1$。然而，这似乎是很难明确地做到（部分原因是这样的提升距离很远来自unique，这让我们很难找到一个）。相反，我们使用了一个更为迂回的论点，首先需要证明一个定理（定理2.12），该定理表示某些Hopf代数是可提升的。我们还将这些定理附带应用于某个HopfDieudonn考虑的代数$F_n$。他证明了这些Hopf当任何素数的mod$p$被约化时，代数都有结构基础$p$；我们证明了Hopf代数$F_n$已经有了一个结构基于整数。在第2节中，我们减少了寻找结构基础的问题Hopf代数$H的$在$H[[x]]$中找到足够的类群元素的问题。关于的泛包络代数有限维简单李代数，或更一般的李代数对于Kac-Moody代数，这很容易做到，因为我们只采用形式化的单参数子群$$\sum_{n\ge 0}x^n广告（e）^n/n！$$for（局部幂零）元素$e$对应于实根的李代数，并定义Hopf代数的积分形式是由这些提升系数生成的。这是通常的泛包络代数的Kostant积分形式有限维半单李代数。对于本文中的李代数，这不起作用，因为不是足够的局部幂零元素。（我们可以尝试使用元素$e^n/n！$对于非幂零元素，但似乎没有这显然是一种很好的积分形式。）幸运的是，我们不需要将李代数的生成元提升为形式生成元参数组，将它们提升到形式化就足够了曲线，这更容易做到。在第3节中，我们构造了顶点的一些元素的提升格到形式曲线的代数。更确切地说，我们表明可以提升某个李代数的任何元素，只要它位于范数2或0的根的根空间。我们通过显式地编写进行集体吊装，并用蛮力检查其系数是积分。（不幸的是，似乎没有明显的方法将这种蛮力方法推广到负范数的根空间根。）在第4节中，我们使用第3节的提升来构建平滑伪怪物泛包络代数的积分形式李代数，由格$II_{25,1}$构造。这个这个李代数的要点是它是由根生成的范数2和范数0根的空间，因此在第3节中我们构造了足以应用第2节中的定理。（这是一个非常$II_{25,1}$的特殊性质；这是唯一已知的不定词李代数由范数2的根空间生成的格和范数0根。换句话说，第2节和第3节中的理论有主要针对这一示例开发！）我们可以总结一下本文证明了伪怪物李代数的主要结果如下所示。\宣布定理4.1。有一个$II_{25,1}$-分级Hopf代数$U^+（\m）$over$\Z$，包含以下内容属性。\项目{1}$U^+（\m）$在$\Z$上有一个结构基础。\项{2}$U^+（\m）$的基本元素是假怪物李代数$\m$。\项{3}对于$II{25,1}$的每个范数2向量，$U^+（\m）$包含泛包络代数的常见（Kostant）积分形式对应的$sl_2（\Z）$。在第5节中，我们构造了泛函数的光滑积分形式应用定理研究Virasoro代数的包络代数在第2节中，对Virasoro代数。换句话说，我们构造了一个正式的群法则对于整数上的Virasoro代数。弦理论中的无鬼定理指出状态向量空间是正定的（因此它不包含负范数向量，有时称为重影将阻止该空间成为希尔伯特空间）。这个实向量空间有一个自然的积分形式，它可以变成一个正数使用内积确定格，我们可以要求no-ghost定理的积分形式，应该说关于这个格子的结构。在第6节中，我们使用平滑Virasoro代数的形式群，用于证明no-ghost定理，至少在构造顶点代数的情况下来自26维格子。更准确地说，我们证明了这个格子的行列式，这通常意味着格子是自对偶的。大型Ryba模moonshine猜想的证明[B98]素数使用了一个关于怪物谎言的未经证实的技术假设代数。在第7节中，我们使用积分无主定理来证明这个假设，从而完成了模块私酒的证明奇数素数的猜想。（[B-R]中素数2的证明依赖于另一个未经证实的技术假设。）\宣布符号和术语。\项{$\alpha$}晶格的元素。\项目{$\beta$}格子的元素。\元素{$\gamma$}格的范数0元素。\项目{$\Gamma$}不确定。\项目{$c$}生成Virasoro代数中心的元素。\项｛$Der$｝交换环的导数。\项{$e^\alpha$}格$L$群环的元素，通常视为$L$顶点代数的元素。\项目{$\epsilon_i$}从$i$到$\Z$的函数在i中的$i\上取值1$其他地方为0。\项目{$\F_p$}顺序为$p$的有限字段。\项目{$F（\lambda）$}如果$\lambda=1^｛i_1｝2^{i_2}\cdots$是一个分区，那么$F（\lambda）=i_1！i_2！\cdots美元。\项{$\gamma$}格子$L$的范数0向量。\共交换Hopf代数。\项{$I$}索引集或有限整数序列。\项{$II_{m，n}$}维数为$m+n的偶自对偶格$签名$m-n$。\{$J$}整数的有限序列。\项目{$l（I）$}序列$I$的长度。\项目{$l（\lambda）$}如果$\lambda=1^{i_1}2^{i_2}\cdots$是一个分区，则$l（\lambda）=i_1+i_2+\cdots$。\项目{$\lambda$}分区。\{$K$}字段，有时是$R$的商字段。\一个格，通常是偶数和自对偶的。\项目{$L_i$}Virasoro或Witt代数的基本元素。\伪怪物李代数的积分形式（或第7节中的怪物李代数）。\项目{$N$}整数。\项目{$P（\lambda）$}如果$\lambda=1^{i_1}2^{i_2}\cdots$是一个分区，则$P（\lambda）$是整数$1^{i_1}2^{i_2}\cdots$。\项目{$p$}质数。\项目{$p（n）$}$n$的分区数。\项｛$\Q$｝有理数。\项目{$\rho$}Weyl向量。\项目{$R$}交换环。\项{$S$}Hopf代数的对极。\项目{$\Sigma（I）$}$I$的元素之和。\通用包络代数。\项{$U^+$}泛包络代数的积分形式具有结构基础。\项｛$V$｝一个顶点代数。\项目{$V_p$}组合bra在$\F_p$上的移位（或Verschiebung）。\项目{$Vir$}Virasoro代数。\项目{$Witt$}Witt代数。\项目{$x$}形式变量。\项目{$\Z$}整数$\Z_{\ge0}$是非负整数的集合。\项目{$\Z_p$}$p$-adic整数。\项目{$Z_\alpha$}结构基础的元素。\项目{$z$}形式变量。\大跳跃\项{}{\bf双代数}具有相容代数和余代数的模结构。\item{}{\bf-Group-like}$\Delta（a）=a\表示$。\项{}{\bf-Hopf代数}带对极的双代数。\项目{}{\bf可升降}参见定义2.2。\项目{}{\bf基元}$\Delta（a）=a\otimes1+1\ otimesa$。\具有结构基础的Hopf代数或余代数。\项目{}{\bf结构基础}$\Delta Z_\alpha=\sum_{0\le\beta\le\alpha}Z_\beta\otimes Z_{\alpha-\beta}$\宣布2.~关于Hopf代数的一些定理。在本节中，我们将证明关于Hopf代数的几个结果。这个主要结果是定理2.15，它表明在温和的条件下a由类群提升系数生成的双代数有结构性基础。在以后部分，我们将使用它来构造伪怪物李代数的泛包络代数。我们记得交换环$R$上的余代数是一个$R$-模块$H$，带有一个关联副产品和一个counit，双代数是具有兼容代数和余代数结构的模块，Hopf代数是一个具有对极$S$的双代数。\宣布定义2.1。余代数的元素$a$称为如果$\Delta（a）=a\表示$，则为group-like，如果$\Delta（a）=a\otimes 1+1\otimesa$。\宣布定义2.2。我们说元素$a_1$coalebra$H$可提升为类组元素或可提升元素简而言之，如果我们能在H$$（n\ge 0）$中找到元素$a_n\，使得$a_0=1$并且H[[z]]$中的元素$\sum_｛n\ge 0｝a_nz^n\是像团体一样。换句话说$$\Delta（a_n）=\sum_{0\le-m\le-n}a_m\otimesa_{n-m}$$所有$n\ge 0$。我们说，如果我们能找到元素，$a_1$可以提升到$N$订单$a_n$表示$0\len\leN$（其中$a_0=1$）满足上述关系$0\len\leN$。我们说，如果$H，则提升是分级的$由一些阿贝尔群$L$和$\deg（a_n）=n\alpha进行分级$以L$表示的$\alpha\。我们为非负整数写$\Z_{\ge0}$，为$\Z_{\ge从集合$I$到$\Z_{\ge0}$的函数的0}^{（I）}$除有限数量的$I$元素外，所有元素均为零。元素$\Z_{\ge0}^{（i）}$的$\epsilon_i$被定义为在i$中为$i\上的1，在其他地方为0。我们在上定义了部分订单$\ge$$\Z_{\ge0}^{（I）}$以明显的方式，通过说$\alpha\ge\beta$if对于i$中的所有$i\，$\alpha（i）\ge\beta（i）$。\宣布定义2.3。联合体的结构基础或霍普夫代数环$R$上的$H$是一组元素$Z_\alpha$，$\alpha\in\Z_{\ge0}^{（I）}$用于某些集合$I$，这样，元素$Z_\alpha$就构成了自由$R$-模块$H的基础$也就是说，$\sum_\alpha Z_\alfa x^\alpha$类似于组$$\增量（Z_\alpha）=\sum_{0\le\beta\le\alpha}Z_\beta\ otimes Z_{\alpha-\beta}$$\宣布引理2.4。如果余代数$H$具有结构基础$Z_\alpha$那么$H$的基本元素的$R$-模块有一个包含以下内容的基i$中$i\的元素$Z_｛\epsilon_i｝$。证明。我们必须证明$H$的每个基本元素都是线性的元素$Z{\epsilon_i}$的组合。给$H$双代数结构使$Z_\alpha Z_\beta=Z_{\alpha+\beta}\prod_{i\在i}{\alpha（i）+\beta（i）\choose\beta（i）}中$（如在[A，第2.5.1]节，当$R$是一个字段时）。对偶代数$H^*$是一个环形式幂级数和$H$作为微分作用于$H^*$操作员。假设$D$是$H$的任何基本元素。由从$D$中减去$Z_{\epsilon_i}$的倍数，我们可以假设$D$在$Z_{\epsilon_i}$的对偶元素$x_i$上的作用微不足道。但是，$D$是派生词的事实意味着$D$起作用在$x_i$中的任何多项式上都很普通。因为没有元素$H$与$x_i$中的所有多项式正交，这证明了$D$必须为0。这证明了引理2.4。\宣布引理2.5。$R$形式上双代数的可提升元$R$-子模块。证明。如果$a（x）$和$b（x）@是$a_1$和$b_1的提升$则$a（x）b（x）$是$a_1+b_1$的升力，如果r$中的$r$a（rx）$是电梯$ra_1$的。这证明了引理2.5。\宣布引理2.6。如果$H$是具有结构的双代数然后根据所有基本元素$H$的可提升。证明。通过引理2.4，基本元素的$R$-模块有一个基元素$Z{\epsilon_i}$。这些基本元素中的每一个都可以被提升通过$\sum{n\ge0}Z{n\epsilon_i}x^n$。引理2.6现在由引理2.5。\宣布引理2.7。假设$H$是一个有结构基础的余代数在积分域上$雷亚尔。那么$H$的任何非零coideal$J$都包含$H$的非零基本元素。证明。我们首先假设$R$是字段。具有结构基的场上的余代数是不可约且有点的（根据[A，第2.5节]），因此引理2.7如下直接来自[A，推论2.4.14]，该推论指出任何非零域上点不可约余代数的coideal包含非零基元元素。对于一般情况，假设$K$是$R$的商字段。如果coideal$J$为非零，则$J\otimes_R K$为的非零coideal$H\otimes_R K$。由于引理2.7在字段$K$上为真，这表明$J\otimes_R K$包含一个基本元素，并将其乘以通过一个合适的非零常数来抵消分母，得到一个$J$的非零基元元素。这证明了引理2.7。\宣布引理2.8。假设$H$是$\Z$上的无扭转余代数，这样对于每个素数$p$每个原语元素$H/pH$是一个原语的图像$H$元素。设$N$为任意正整数。然后每隔$H/NH$的基本元素是美元H$。证明。我们通过归纳素因子的个数来证明这一点$N$，情况$N=1$是微不足道的。假设$p$是$N$，假设H$中$x\的图像是$H/NH$中的原语，因此我们必须证明$x$与一个基本元素是同余的修改$N$。这个元素$x$映射到$H/pH$中的一个基本元素，所以假设我们对于一些基本元素$y$和一些$z$，使用$x=y+pz$。但后来$\Delta（pz）\equiv pz\otimes 1+1\otime pz\bmod N$作为$x$和$y$都是原始mod$N$。利用事实$H$没有扭转，我们可以分开通过$p$查找$\Delta（z）\equiv z\otimes 1+1z\bmod N/p$。通过归纳$N的素因子数$这表明$z=t+（N/p）u$对于某些基本元素$t$。将其替换回$x=y+pz$表明$x=y+pt+Nu$，因此$x$与基本元素$y+pt$mod$N$。这证明了引理2.8。\宣布引理2.9。如果双代数的每个本原元对所有人都是可提升的有限阶，然后是每个基本元素可提升（到无限级）。请注意，我们没有声明如果然后，可以将共交换Hopf代数提升到所有有限阶它可以提升到无限级。我不知道是否这是真的概述。证明。假设$1+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$是一个订单$n$取消$a1$。这足以表明我们可以将此扩展到订单$n+1$取消，因为重复此操作无数次，我们得到无限阶的$a1$提升。我们将通过$k$上的归纳证明，如果$k\len$，那么我们可以找到一个订单$n+1$，其中$a1$符合$a（x）$订购$k$。假设$k=1$$a_1$具有任意有限阶提升。设$b（x）=1+b_1x+\cdots+H[x]/（x^{n+2}）$中的b_{n+1}x^{n+1}是一个顺序$n+1$$i\le k$的$b_i=a_i$的$a_1$的提升。然后$a（x）b（x）^{-1}=1+（a{k+1}-b{k+1{）x^{k+1}+\cdots$是类群的，所以$a_{k+1}-b_{k+1}$是原语。（注意$b（x）^{-1}$是一个井定义订单$n+1$提升，因为我们可以将其构造为$\sum_m（1-b（x））^m$.）设$c（x）$为订单$n+1$起重$a{k+1}-b{k+1}$的元素具有任何有限阶升力）。那么$b（x）c（x^{k+1}）$是订单$n+1$取消$a1$，这与订单$a（x）$一致$k+1$。这表明，任何订单$n$取消$a_1$都会扩展到订单$n+1$起重。这证明了引理2.9。\宣布引理2.10。假设$H$是$\Z上的无扭双代数$假设每个质数$p$的映射$H$的基本元素到$H/pH$的原始元素。然后$H$的每个基本元素都是可提升的。证明。我们将通过$n$上的归纳显示任何基本元素$a$可以提升为$H[x]/（x^{n+1}）$中的类群元素；这对于$n=0$来说是微不足道的。我们将通过归纳法展示在$k$上，如果$1\le k\le n$，则我们可以找到提升$\sum{0\lei\len}c_ix^i$共$n！一个$这样$n^i|c_i$代表$i\le k$。对于$k=1$，这是正确的，因为我们可以使用订单$n$lifting$\sum_{0\lei\len}（n！^i/i！）a^ix^i$。假设$k\ge 2$和$n^$i的i|c_i$0$. 这表明$C^*$是局部环，因此$C$是不可约的。接下来，我们检查$H\otimes\F_p$和$H\times\Q$是否具有结构基础。根据[A，定理2.4.24]，域上的任何不可约双代数，特别是$H\otimes\F_p$，自动成为Hopf代数。通过[A，推论2.5.15]任何可交换不可约$\F_p上的Hopf代数$使得$V_p$在特别是$H\otimes\F_p$上，具有结构性基础。类似地[A]的定理2.5.3指出，任何不可约的余交换Hopf特征为0的域上的代数是泛包络其原始元素的代数。所以$H\otimes\Q$是通用的它的本原元素的包络代数，因此也有一个结构基础。下一步是显示$H\otimes\F_p的任何基元$可以提升为$H$的基本元素。如果$m_\alpha$是基本元素空间的维数度$\alpha$具有结构基的$\Z_{\ge0}^n$分次Hopf代数$n\alpha$是维度度为$\alpha$的所有元素的空间，然后$$\prod_{\alpha>0}（1-x^\alpha）^{-m\alpha}=\sum_{\alfa\ge0}n\alphax^\阿尔法$$通过引理2.4。尤其是$H\otimes\F_p$中的度$\alpha$的基本元素和$H\otimes\Q$具有相同的维度，因为很明显度的$H\otimes\F_p$和$H\times\Q$中所有元素的空格$\alpha$具有相同的维度，$H\otimes\F_p$和$H\otimes\Q$都有上述段落所述的结构基础。原语的空格$P_\alpha$degree$\alpha$的$H$元素也与$H\otimes\Q$的基本元素的空间，因此相同排序为$H\otimes的基本元素的空间$P_{alpha，P}$\F_p$的度数为$\alpha$。从$P_\alpha/pP_\alpha$到$P_{\alpha，P}$显然是内射的，两个空间都是有限的维度向量在相同维度的$\F_p$上空格，因此它们之间的映射也是surpjective的，换句话说，每一个原语$H\otimes\F_p$元素（任何程度的$\alpha$）可以提升为$H$的基本元素。通过引理2.10，这意味着$H的每个基本元素$可提升。这证明了定理2.12。\宣布推论2.13。设$k$和$n$为正整数。如果$$a（x）=\sum_{i_1，\ldots，i_k\ge0}a_{i_1，\ldot，i_k}x_1^{i_1}\cdotsxk^{ik}$$是类群的，对于某些双代数中的$a{i_1，\ldots，ik}$交换环$R$和$a_{0，\ldots，0}=1$上，$a_{i_1，\ldots，i_k}=0美元0$,通过$a（x）$和$b（y）$是类似于组的。我们$\Z$-通过给出$a_i$和$b_i来给$H$打分$度$i\in\Z$。通过引理2.11，移位$V_p$包含所有元素$ai$和$bi$在它们的图像中，因此移位到as它们是$\F_p$-代数的同态。然后根据定理2.12我们可以看到$H$的所有基本元素，特别是$[a_1，b_1]$，可提升。这证明了定理2.14。开放问题：通过写下一个$[a1，b1]$作为非交换多项式的显式提升在$a_i$和$b_i$中。这看起来令人惊讶困难，可能是因为这样的举重远非独一无二很难想出一种规范的方式来定义它。\宣布定理2.15。假设$U$是无挠双代数在主理想域$R$上，假设$U$的基本元素是一个免费的$R$-模块。如果$U$为作为代数生成由某些类群元素集合的所有系数$a_i$$1+a_1x+a_2x^2+\cdots\在U[[x]]$中，则$U$是带有结构基础。证明。由于$R$是主理想域模是自由的，特别是可提升的李代数$L$$U$的基本元素是一个免费的$R$模块。假设$I$是一个完全有序的集合索引基础$a^i_1，i\在$L$的i$中。（$a^i_1$上的上标是只是用作索引，与$a_1$的幂无关。）对于每个$a^i_1$选择了提升$a^i（x）=\sum_na^i_n（x）$。定义$H$是元素跨越的$R$模块表格$a^{i_1}_{n_1}\c点击a^{i_k}（_k）_{n_k}$与$i_1j$，以及$a^i_ra^i_s\equiv{r+s\choose r}a^i{r+s}\bmod H_{r+s-1}$。我们将通过$k$上的归纳法证明，如果$1\le k\le N$，那么有一个类群元素$c（x，y）=\sum c_{ij}x^iy^j$这样如果$i+j\le N$和$c_{ij}=b_ja_i$$i+j\le k$。这对于$k=1$来说是显而易见的，因为我们可以取$c_{ij}=a_ib_j$。假设我们已经证明了这个值为$k0$. 推论3.3现在继承了推论3.2。推论3.3将允许我们提升根空间中的元素范数2向量。在本节的其余部分中，我们将展示如何范数0向量根空间中的lift元素。\宣布引理3.4。假设$i\in\Z$的元素$\Gamma_i$是独立的形式变量。如果$I=（I_1，\ldots，I_m）$是然后整数将$\Gamma_I$定义为$\Gamma{I_1}\cdot\Gamma_{i_m}$并将$\Sigma（i）$定义为$i_1+\cdots+i_m$将$l（I）$定义为$m$。然后幂级数的所有系数$$E=\exp\Big（\sum_{m，n>0}\sum_{I\in\Z^m}\sum_{J\in\Z^n\top\Sigma（J）=-\Sigma-（I）>0}{\Sigma（I）\over mn}\Gamma_{I}\Gamma_J\Big）$$是整数。证明。如果$I$是任何有限整数序列，则$I^k$表示序列$I$的$k$副本的明显串联。我们会打电话一对有限序列原语，如果它不是这种形式$（I^k，J^k）$大约$k\ge 2$。任何一对有限序列都可以是对于某些基本对$（I，J）$，唯一地写为$（I^k，J^k）$，我们称之为$（I^k，J^k）$对的本原核。考虑组$\Z\times\Z$通过第一个$\Z作用于对$（I，J）$$充当$I$的元素和第二个元素的循环置换$\Z$作为$J$的元素的循环排列。We组对$（I，J）$索引$E指数中总和的项$到等价类中，我们说两对序列是如果它们的本原核在$\Z\times\Z$下是共轭的，则等价。对于$\Sigma（I）+\Sigma-（J）=0$的任何基本元素$（I，J）$，我们将表明所有项之和的指数的所有系数在$（I，J）$的等价类中是积分的。这将表明$E$的系数是整数，因为$E$是无限的表达式本原元素轨道集上的乘积这样地。设$m'$和$n'$是$I$和$J的轨道数$在$\Z$的循环作用下。然后是等价于$（I，J）$的条款是$$\eqalign美元{&\exp\大（\sum_{k>0}{\Sigma（I^k）\over l（I^k）l（J^k）}（\hbox{$\Z\times\Z$}下$（I，J）$的轨道数）\伽马{I^k}\Gamma{J^k}\大）\cr=&\exp\大（\sum_{k>0}{k\Sigma（I）m'n'\over kmkn}\伽马{I^k}\Gamma{J^k}\大）\cr=&\exp\大（{\Sigma（I）m'n'\over mn}\sum_{k>0}\Gamma_I^k\Gamma_J^k/k\Big）\cr=&\exp\Big（-{\Sigma（I）m'n'\over mn}\log（1-\Gamma_I\Gamma_J）\Big）\cr=&（1-\Gamma_I\Gamma_J）^{-\Sigma（I）m'n'/mn}\cr}$$数字$\Sigma（I）$可以被$m/m'$整除，因为$I$是串联$m/m'$相同序列和$\Sigma（I）$是$I$元素的总和，类似地，$\Sigma（I）=-\Sigma-（J）$是可除的按$n/n'$计算。此外，$m/m'$和$n/n'$是互质的，因为$（I，J）$是本原的。因此$\Sigma（I）m'n'/mn$是一个整数，因为它等于$\Sigma（I）$被分割的通过$\Sigma（I）$的两个互质因子$m/m'$和$n/n'$。这意味着$（1-\Gamma_I\Gamma_J）^{-\Sigma（I）m'n'/mn}$具有积分系数，所以$E$做得很好，因为它是这样表达式的无限乘积。这证明了引理3.4。\宣布定理3.5。设$V$为顶点代数（在整数上）偶数格$L$的双覆盖。将$D^*V$定义为$i\ge 1$的空格$D^{（i）}V$的总和。我们从[B86]中回忆起，$V/D^*V$具有自然李代数结构，括号由$[u，v]=u0v$定义。此外，这个李代数作用于$V$，保留$V$的顶点代数结构。假设L$中的$\alpha、\gamma$\alpha$与范数0向量$\gamma$正交。然后$$\exp\Big（\sum_{i>0}{x^i\over i}（\alpha（1）e^{i\gamma}）_0\Big）$$是泛包络代数中$（\alpha（1）e^\gamma）0$的提升共$（V/D^*V）\otimes\Q$个系数映射$V$到$V$。证明。很明显，该元素与实际情况类似基本元素的指数，所以唯一的问题是是为了证明它保持积分形式$V$。这个元素也是顶点代数$（V\otimes）的自同构\Q） [[x]]$，因为它是该顶点派生的指数代数。因此，要显示其系数保留$V$的积分形式它足以显示它映射了每个生成器顶点代数$V$到$V[[x]]$的$e^\beta$，$\beta\在L$中。通过定义运算符$\Gamma_i$$$e^\gamma（z）=\sum_i\gamma_iz^i$$回忆[B86]中的以下公式。$$\alpha（1）（z）=\sum_j\alpha1（1）_{-j}z^{j-1}=\sum_j\alpha（j）z^{j-1}$$$e^\gamma$的所有系数都可以通勤因为$\gamma$与$\gama$和$\alpha$正交。因此$（\alpha（1）e^{i\gamma}）_0$等于$z^{-1}$的系数$$\alpha（1）（z）（e^\gamma（z））^i=\sum_j\alpha（j）z^{j-1}\sum_{I\in\z^I}\Gamma_Iz^{\Sigma（I）}$$因此$\sum_{i>0}{x^i\over i}（\alpha（1）e^{i\gamma}）_0$等于$A^++A^0+A^-$其中$$\eqalign美元{A^+&=\sum_{m>0}\sum_{j>0}\阿尔法（j）\sum{I\in\Z^m\top\Sigma（I）=-j}{x^m\超过m}\Gamma_I\crA^0&=\sum_｛m>0｝\sum_｛j=0｝\alpha（j）\sum_｛I\in\Z^m\top\Sigma（I）=-j｝｛x^m\超过m｝\Gamma_I\crA^-&=\sum_{m>0}\sum_{j<0}\alpha（j）\sum_{I\in\Z^m\top\Sigma（I）=-j}{x^m\超过m}\Gamma_I\cr}$$我们想提取一个系数$\exp（a^-）$因为$\exp（A^-）（e^\beta）=e^\beta$，但在执行此操作时必须小心，因为$\alpha（i）$如果$i\ne 0$，则不与$\alpha（-i）$通勤。我们可以很容易地使用以下事实来评估$[A^+，A^-]/2$如果$i+j=0$，则$[\alpha我们发现了$$[A^+，A^-]/2={1\over 2}（\alpha，\alpha）\和{m，n>0}\和{k<0}\sum_{I\in\Z^m\top\Sigma（I）=k}\sum_{J\in\Z^n\top\Sigma（J）=-k}{k\超过mn}\Gamma_I\Gamma_J$$特别是，这验证了下面使用的事实，即$[A^+，A^-]$与$A^+$和$A^-$。这个的指数是引理3.4中的表达式的幂$（alpha，alpha）/2$，因此积分系数为引理3.4，因为$（alpha，alpha）$甚至有范数。因此$\exp（[A^+，A^-]/2）$将$V$映射到$V[[x]]$。调用公式$$\exp（A^++A^-）=\exp$$这是有效的，因为$[A^+，A^-]$与$A^+$和$A^-$通勤。（这基本上只是贝克·坎贝尔-豪斯道夫公式。）现在我们来看$$\exp（A^++A^0+A^-）e^\beta=\exp（[A^-，A^+]/2）\exp（A^+$$很明显，$\exp（A^-）（e^\beta）=e^\beta$，我们在上面检查了$\exp（[A^-，A^+]/2）$将$V$映射到$V$。因此，要完成定理3.5的证明足以证明$\exp（A^0）$和$\exps（A^+）$的所有系数都将$V$映射到$V$。我们检查$\exp（A^0）$是否将$V$映射到$V[[x]]$。以下是因为$A^0$是表达式的无限和喜欢$$\sum_｛n>0｝\alpha（0）\Gamma_｛J^n｝x^n/n=-\alpha（0）\log（1-x\Gamma_J）$$其中$J$是基元序列（换句话说，是一个序列对于某些$m>1$，不能以$I^m$的形式书写）。因此$\exp（A^0）$是$（1-x\Gamma{J}）^{-\alpha（0）}$形式的术语，其中将$V[[x]]$映射到自身，因为$\alpha（0）$具有积分特征值在L$中度为$\beta\的$V$的子空间上的$（\alpha，\beta）$。这表明$\exp（A^0）$的所有系数都将$V$映射到$V$。最后，我们必须证明$\exp（A^+）$map$V的所有系数$到$V$。像往常一样，我们将$A^+$中元素$I$的总和分为由基本元素$I$的共轭幂组成的类。我们看到$A^+$是原始元素$I的所有轨道的和$$\Sigma（I）>0$表达式，如$$l（I）\sum_{k>0}\alpha（\Sigma（I^k））{x^{l（I^k）}\over l（I_k）}\Gamma_{I^k}=\sum_{k>0}\alpha（k\Sigma（I））{x^{kl（I）}\over k}\Gamma_I^k。$$（前面的系数是数字在$\Z$的循环作用下，$I$的共轭等于$l（I）$，因为$I$是原语。）因此，这足以表明表达式具有积分系数。设$y_1，y_2，\ldots，$是独立的可数变量，并用对称函数$\sumy_i^k标识$\alpha（{k}）$$$y$的$k>0$。（参见[M第1章]。）然后$$\eqalign美元{&\exp\Big（\sum_{k>0}\alpha（k\Sigma（I））{x^{kl（I）}\over k}\Gamma_I^k\Big）\cr=&\exp\Big（\sum_i\sum_{k>0}y_i^{k\Sigma（i）}{x^{kl（i）{\ over k}\Gamma_I^k\Big）\cr=&&exp\Big（\sum_i-\log（1-y_i^｛\Sigma（i）｝｛x^｛l（i）｝）\伽马_I）\大）\cr=&\prod_{i}{1\over-1-y_i^{\Sigma（i）}{x^{l（i）{}\伽马_I}。\铬}$$所以我们看到了$$\exp（A^+）=\prod_2\prod_{I}{1\over-1-y_I^{\Sigma（I）}{x^{l（I）{}\伽马_I}$$ 其中超过$I$的乘积是所有轨道上的乘积循环作用下$\Sigma（I）>0$的基元序列$I$的$\Z$的。最后一行是元素$\Gamma_I中的幂级数$和$x$，其系数是$y$中的对称函数，以及因此，多项式具有完整的积分系数$y$的对称函数。所以我们必须证明每个完全对称函数，在带有理（不一定是整数！）系数映射的$\alpha$$V$到$V$。完整的对称函数是多项式$e^{-\alpha}D^{（n）}（e^\alpha）$被认为是环$V的元素$顶点代数$V$的基础（参见[M，第1章，2.10]). 通过积分形式$V$的定义，这些多项式映射$V$到自身。这证明了定理3.5。\宣布4.~这个假怪物平滑了霍普夫代数。我们回忆起伪怪物李代数[B90]的构造。它是物理状态的李代数的顶点代数格子$II_{25,1}$的双层盖。这个李代数有由下列元素组成的积分形式$\m$顶点代数积分形式的元素。我们回忆起$\m$的一些属性：\项目{1}$\m$由格子$II_{25,1}$分级，II_{25,1}$中度为$\alpha的片段$\m\alpha$具有维度$p_{24}（1-\alpha^2/2）$如果$\alpha\ne 0$，26如果$\alpha=0$，其中$p{24}（n）$是$n$的分区数24种颜色的零件。\项目{2}$\m$具有内卷化$\omega$$II_{25,1}$的对合$-1$。\项{3}$\m$具有对称不变整数值双线性形式$（，）$，以及$\m_\alpha\otimes\Q之间的配对$$\m_{-\alpha}\otimes\Q$是非奇异的。\项目{4}$\m\otimes\Q$是一个广义的Kac-Moody代数。简单根由范数2向量$r给出$$（r，\rho）=-1$，以及$\rho的所有正倍数$重数为24，其中$\rho$是原始范数0向量使得$\rho^\perp/\rho$同构于Leech格。（这源自[B90。定理1]。）我们将$U^+（\m）$定义为的$\Z$-子代数生成的泛包络代数$U（\m\otimes\Q）$通过根空间中元素的升迁系数简单根及其否定在推论3.3和定理3.5中构造。（注意所有简单根共$\m$标准值为2或0，因此我们可以始终应用这两种类型的提升中的一种。）\宣布定理4.1。有一个$II_{25,1}$-分级Hopf代数$U^+（\m）$over$\Z$，包含以下内容属性。\项目{1}$U^+（\m）$在$\Z$上有一个结构基础。\项{2}$U^+（\m）$的基本元素是假怪物李代数$\m$。\项{3}对于$II{25,1}$的每个范数2向量，$U^+（\m）$包含泛包络代数的常用（Kostant）积分形式对应的$sl_2（\Z）$。证明。代数$U^+（\m）$是的$\Z$-Hopf子代数$U（\m\otimes\Q）$，因为它是由余代数生成的。另外，$U^+（\m）$是显然，它是无扭的，因为它包含在有理向量空间中。很容易直接检查零度基本元素$U^+（\m）$的只是$\m$的度0元素，因此形式免费的$\Z$模块（排名26）。如果$\alpha$是任何非零元素$II_{25,1}$的内积与某些元素非零II_{25,1}$中的$\beta\，然后$（\alpha，\beta）u\\m_\alpha$表示u^+（\m）$度中的任何基本元素$u\$\alpha$，因为$U^+（\m）$将$\m$以及$\beta$映射到根据推论3.3和定理3.5。这表明$U^+（\m）$是免费的$\Z$-模块。我们现在可以应用定理2.15来查看$U^+（\m）$是一个具有结构基础的Hopf代数。这个$U^+（\m）$的基本元素构成了伪函数的一种积分形式怪物李代数，因为在理性是由简单根的根空间及其负数，所有简单根都有范数2或0。这证明了定理4.1。\宣布5.~ Virasoro代数的光滑Hopf代数。在本节中，我们展示了$\Z$上有一个Hopf代数，其中原始元素构成自然的结构基础积分形式Virasoro代数（定理5.7）。换句话说，有一个正式的$\Z$上的群律对应于Virasoro代数。此外Hopf代数作用于任意顶点代数的积分形式偶自对偶格。设$R$是交换环。我们为环写$Hom（R，R）$阿贝尔群$R$与其自身的同态，以及环$R$和泛环$U（Der（R））$的导子的李代数$Der（R）$在$\Z$上的包络代数。考虑所有人元素$a=\sum_i a_i\epsilon^i\in Hom（R，R）[[\epsilen]]$，其中$a_0=1$诱导$\Z[[\epsilon]]$代数的自同构$R[[\epsilon]]$。我们可以考虑这个组的元素非正式地称为自同构群中的无穷小曲线$规格（R）$“”。如果$R$的推导是对于上面的一些$a$，请使用表格$a1$。\宣布引理5.1。设$R$是任意交换代数没有$\Z$-扭转。然后任意$a\in Hom（R，R）[[\epsilon]]$如果$a（0）=1$，则表示$R[[\epsilon]]的自同构$是的一个独特的类组元素$G_a$的图像$U（Der（R）\otimes\Q）[[\epsilon]]$，$G_a（0）=1$以下从$U（Der（R）\otimes\Q）$到$Hom（R，R）\ocimes\Q$的自然映射。证明。我们注意到$\log（a）$是$（Hom（R，R）\otimes\Q）[[\epsilon]]的定义良好的元素$因为$a=1+O（\epsilon）\in Hom（R，R）[[\epsilen]]$。由于$a$是一个环同态，因此如下所示$\log（a）$是$（R\otimes\Q）[[\epsilon]]的派生$因此是$（Der（R）\otimes\Q）[[\epsilon]]$的元素。现在我们考虑$\log（a）$成为泛包络代数的一个元素$U（Der（R）\otimes\Q）[[\epsilon]]$我们定义了U（Der（R）otimes\Q）[[\epsilon]]$中的$G_a$$G_a=\exp（\log（a））$$其中，对数以$（Hom（R，R）\otimes\Q）[[\epsilon]]为单位计算$和指数以$U（Der（R）\otimes\Q）[[\epsilon]]$计算。很明显，$G_a$对$R[[\epsilon]]$的作用是相同的如$a$。此外，$G_a$是类组的，因为它是基元的指数元素。很容易检查$G_a$是否是唯一的类组使用$G_a（0）=1$提升$a$，因为类组元素的日志必须是原语，因此必须与$\log（a）$相同。这证明了引理5.1。\宣布推论5.2。假设$R$是可交换的没有$\Z$扭转的环，使得$Der（R）$是自由的$\Z$-模块。将$U^+（Der（R））$定义为的子代数$U（Der（R\otimes\Q））$由所有$U（Der（R）\otimes\Q）[[\epsilon]]$的类群元素常量系数1，并将$R[[\epsilon]]$映射到$R[\\epsilon]]$。然后$U^+（Der（R））$是$\Z$上具有结构基的Hopf代数，并且它的基本元素是$德尔（R）$。证明。应用定理2.15表明$U^+（Der（R））$是$\Z$上的Hopf代数结构性基础。根据引理5.1原始元素的空间$U^+（Der（R））$与可提升基本元素的空间相同$德尔（R）$。这证明了推论5.2。{\bf示例5.3}假设我们取$R$作为代数洛朗多项式的$\Z[x][x^{-1}]$。那么$Der（R）=Witt$就是$\Z$上的Witt代数，由$L_m=-x^｛m+1｝｛d\上的元素跨越dx}$表示$m\in\Z$。所有元素$L_m$都是可提升的；例如，我们可以使用$R[[\epsilon]]$的自同构，从$x$到$x-\epsilenx^{m+1}$表示$L_m$是可提升的。因此，Hopf代数$U^+（Witt）$是$\Z$上具有结构基的Hopf代数，其原始元素正是Witt代数的元素。\宣布引理5.4。设$N$为整数。让$R_N$作为表示基于元素$e_n$、$n\in\Z$的$Witt$，具有操作由$L_m（e_n）=（Nm+n）e_{m+n}$给出。然后$R_N$上的$Witt$可以扩展为$U^+（Witt）$上的操作。证明。对于$N=-1$，模块$R_N$是一阶模块$R=\Z[x][x^{-1}]$上的微分算子，因此自同构$G_a$扩展到$R_N[[\epsilon]]$。对于$N$的其他负值，$R$模块$卢比$是模块$R_{-1}$的$-N$副本的张量积，并且对于$N$正数，$R_N$是$R_N$$N$负数的双重值。因此，$U^+（Witt）$也扩展到这些模块。这证明了引理5.4。我们将$n=-1,1$的$Witt_{\gen}$定义为$i\ge n$的$Witt$跨越了$L_i$。设$V$是某个偶数格的顶点代数。它包含元素$e^\alpha$表示L$中的$\alpha\，因此有运算符$i\in\Z$的$V$上的$e^\alpha_i$。代数$Witt_{\ge-1}$也对$V$自然起作用。\宣布引理5.5。将$j的$N=\alpha^2/2-1$和$e_j=e^\alpha_{\alpha ^2/2-1-j}$放入\Z$并让$R_N$是以元素$e_j$为基础的空间。定义的操作$R_N\otimes U^+（Witt_{\ge-1}）上的代数$U^+$使用引理5.4中对$R_N$的操作和对$U^+（Witt_{\ge-1}）$通过左乘法和余代数结构$U^+（Witt_{\ge-1}）$的。如果$u\在u^+（Witt_{\ge-1}）$中，则$ue^\alpha_m=\sum_i e^\alfa_i u_i$作为$V$上的运算符，其中$\sum_ie^\alpha_i\otimes u_i=u（e^\alpha_m\otimes1）$是的图像$e^\alpha_m\times 1$在$R_N\times上的$u$操作下U^+（Witt_{\ge-1}）$。特别是如果$U^+（Witt_{\ge-1}）$将v$中的某些元素$v\映射到$v$，然后它还将$e^\alpha_i（v）$映射到$v$对于L$中的任何$\alpha\和Z$中的$i\。证明。如果$u$的形式为$i\ge-1$的$L_i$，则可以如下证明。标准顶点代数计算表明$$[L_i，e^\alpha_j]=（（i+1）（\alpha^2/2-1）-j）e^\alpha_{i+j}.$$这个表明当Witt_{\ge-1}$中的$u\为真时，引理5.5为真。如果引理5.5对于$u^+（Witt_{\ge-1}）$的两个元素$u$、$u'$为true，则为他们的产品也是如此。如果对某些非零积分为真$u\在u^+（Witt_{\ge-1}）$中的倍数，那么它对$u$来说是真的，因为$V$无扭转。为了完成证明，我们观察到代数$U^+（Witt_{\ge-1}）$由元素$L_m生成到扭转$$m\ge-1$。这证明了引理5.5。\宣布引理5.6。假设$V$是顶点代数一些偶数格的双重覆盖，标准作用为$Witt_｛\ge-1｝$上的$V\otimes\Q$（[B86]）。此操作扩展到$V$上的$U^+（Witt_{\ge-1}）$。证明。顶点代数$V$由元素$1$生成运算符$e^\alpha_n$对$n\in\Z$和$\alpha\L$的操作。通过将$F^0（V）$定义为跨越1的空间来定义$F^n（V）美元，以及将$F^{n+1}（V）$定义为$F^n（V）$上形式为$e^\alpha_m$的运算符。那么$V$就是联盟空间$F^n（V）$，因此足以证明每个空间$F^n（V）$由$U^+（Witt_{\ge-1}）$的操作保存。我们将通过$n$上的归纳证明这一点。对于$n=0，$是微不足道的，因为对于$n\ge-1$，$L_n（1）=0$。如果$n$为true，则如下所示立即从引理5.5得知$n+1$为真。这证明了引理5.6。代数$U^+（Witt_{\ge-1}）$可以按如下方式进行$\Z$分级$L_m$具有$m$学位。这很容易从以下事实得出结论：我们可以找到元素$L_m$的分级提升。我们定义$U^+（Witt_{\ge1}）$是由系数生成的子代数元素$L_m$的分级提升为$m\ge 1$。很容易检查这是一个具有结构基的Hopf代数，其李代数为基本向量有一个由$m\ge1$的元素$L_m$组成的基。它是$\Z_{\ge0}$分级的，所有分级块都是有限维的；事实上，度$n\in\Z$的维度为$p（n）$，其中$p$是配分函数。我们让$U（Witt_{\ge1}）$成为李代数$Witt_{ge1}$的泛包络代数。它是以明显的方式分级的$\Z_{\ge0}$，是一个子代数$U^+（Witt_{\ge 1}）$的。在本节的其余部分中，我们用Virasoro泛包络代数的结构基础$\Z$上的代数。本文其他地方未使用此结果。我们记得Virasoro代数$Vir$是一个中心扩展$Witt$的，由$i\in\Z$的元素$L_i$跨越元素$c/2$位于中心$$[L_m，L_n]=（m-n）L_{m+n}+{m+1\选择3}{c\超过2}$$我们用$Vir的子代数来标识$Witt_{\ge-1}$$跨度为$L_m$，$m\ge-1$。Virasoro代数$Vir$具有自同构由$\omega（L_m）=-L-{-m}$、$\omega（c）=-c$、，$\omega$推广到泛包络代数的一个自同构$U（Vir\otimes\Q）$。我们将$U^+（Vir）$定义为$U（Vir\otimes\Q）$的子代数由生成$U^+（Witt_{\ge-1}）$和$\omega（U^+。对于任何偶数积分格$L$，都有一个双重覆盖$\hat L$，唯一到非唯一同构，这样$e^ae^b=（-1）^{（a，b）}e^be^a$。我们让$V{\hat L}$成为（的积分形式）$\hat L$的顶点代数。这是$L$分级，并且具有自对偶双线性形式（更准确地说，给定$L$-度$\alpha$和$L_0下给定特征值的每一部分$是有限维的，对偶到度$-\alpha$），如果$L$是自对偶的，那么$V_{\hat L}$具有生成Virasoro代数动作的共形向量。\宣布定理5.7。的子代数$U^+（Vir）$$U（Vir\otimes\Q）$具有以下属性：\项目1$U^+（Vir）$是一个具有结构基础的$\Z$-Hopf代数。\项目2的李代数$U^+（Vir）$的基本元素包含$n\in\Z$的元素$L_n$和元素$c/2$。\项目3$U^+（Vir）$映射任何偶数的顶点代数（在$\Z$上）自对偶格到自身。证明。我们首先构造顶点代数$V上的作用$偶数自对偶格。我们有一个$U^+（Witt_{\ge-1}）的动作$通过引理5.6在$V$上。偶自对偶格的顶点代数在其自然双线性形式下也是自对偶的，所以伴随$V$上的任何线性算子也是$V$的线性算子。$L_m$的伴随是$L_{-m}$，所以伴随是$U^+（Witt_{\le 1}）=\omega（U^+（Witt_{\ge-1}））$还将$V$映射到自身。作为这两个人代数生成$U^+（Vir）$，这证明了$U^+（Vil）$作用于$V$。接下来我们找到$U^+（Vir）$的原始元素的李代数$P$。$m\ge-1$的元素$L_｛m｝$显然在$U^+（Vir）$中，因为它们位于$U^+（Witt_{\ge-1}）$中，类似地，$m\le1$的$L_m$位于美元（P$）。元素$c/2$位于$P$中，因为$[L_2，L_{-2}]=4L_0+c/2$。所以$P$包含定理5.7中描述的基础，我们有证明$P$不包含除这些元素的线性组合之外的元素。作为$U^+（Vir）$，因此$P$都是$\Z$，$L_m$具有degree$m$，这足以表明degree$m$块如果$m\ne 0$，则$P$的跨距为$L_m$；如果$m=0$，那么跨距为$L_0$和$c/2$。对于$m\ne0$，这很容易检查，因为我们只需映射Virasoro代数Witt代数，并使用示例5.3。$m=0$的情况更难我们将使用偶数自对偶顶点代数上的作用上面构造的格$L$。如果$L$是这样的格子，那么$c$作用于$V$，作为$\dim（L）$的乘法，$L_0$具有特征值为任意给定正整数（至少如果$L$具有正维度）。因此，如果$xL_0+yc/2$在某些情况下位于$P$中当$m$为正时，$x，y\in\Q$则$xm+yn/2$为整数整数和$n$是非零偶自对偶格的维数。正如我们可以为任何正偶数$n$找到这样的格，这个意味着$x$和$y$都是整数。因此$P$的0度块跨越$L_0$和$c/2$。这就完成了证明$P$由$L_m、m\in\Z$和$c/2$跨越。最后，我们必须证明$U^+（Vir）$具有结构基础。我们知道$m\ge-1$的所有元素$L_m$都是可提升的$U^+（Witt_{\ge-1}）$，因此它们也可以在$U^+（Vir）$中使用。类似地，$m\le 1$的元素$L_m$在$\omega（U^+（Witt_｛\ge-1｝））$，因此以$U^+（Vir）$表示。检查$c$在其运行时是否可提升是很容易的作为某个整数的乘法$U^+（Vir）$可由引理2.5和定理5.7的第2部分确定。同时生成$U^+（Vir）$因为这是真的$U^+（Witt_{\ge-1}）$及其在$\omega$下的共轭。事实上$U^+（Vir）$有一个结构基础，现在根据定理2.15得出。这就完成了定理5.7的证明。例子。如果$L$是奇数维的偶数格，则$L_{-2}（1）$不在$L$的顶点代数中，因为$[L_2，L_{-2}]=4L_0+\dim（L）/2$。因此，如果没有假设$L$是自对偶的。\宣告6.~$\Z$上的no-ghost定理。Goddard和Thorn的无主定理[G-T]暗示实相，反变形式仅限于degree$\beta\ne 0$块伪怪物李代数$\m$是正定的，特别是非奇异的。我们对这是度$\beta$块$\m\beta=的积分形式，显示任意素数除以二次型的判别式$\m\beta$上的表单还将向量$\beta$。特别是如果$\beta$是基本向量，那么$\m\beta$是一个自对偶正定积分格。我不知道判别式在什么时候可以被$p$整除$\beta$可被$p$整除。如果$\lambda=1^{i_1}2^{i_2}\cdots$是具有$i_1$1、$i_2的分区$2，依此类推，然后我们定义$P（\lambda）$为整数$1^{i_1}2^{i_2}\cdots$和$F（\lambda）$将成为$i_1！i_2！\cdots$和$|\lambda|$为$1i_1+2i_2+\cdots$，$l（\lambda）$为$i_1+i_2+\cdots$。我们还将$p（n）$定义为分区数为$n$。\宣布引理6.1。假设$n$是一个整数。然后$$\prod_{|\lambda|=n}P（\lambda）=\prod_{|\lambda|=n}F（\lampda）$$证明。我们将证明双方都是平等的$$\prod_{i>0}i^{\Sigma_{j>0}p（n-ij）}$$左侧$\prod_{|\lambda|=n}P（\lambda）$等于$\prod_{i>0}i^{n（i）}$其中$n（i在$n$的一些分区中，用乘法来计数。这个数字$n（i）$等于$\sum_j n（i，j）$，其中$n（ij）$是$i$在$n$的分区中发生至少$j$次的次数。但是$n（i，j）$等于$p（n-ij）$，因为$n$的任何分区$i$发生至少$j$次，可以从通过添加$i$的$j$副本对$n-ij$进行分区。所以左手侧面$\prod_{|\lambda|=n}P（\lambda）$等于$\pro1_{i>0}i^{\Sigma_{j>0}p（n-ij）}$。另一方面，右侧$\prod_{|\lambda|=n}F（\lambda）$等于$\prod_{i>0}i^{m（i）}$，其中$m（i有一个$n$分区，其中某些数字至少出现$i$次（如果分区的数量超过一个数字出现至少$i$次）。但$m（i）$等于美元\总额_{j} n个（j，i）=\总和_{j} 第页（n-ji）美元。这表明右侧$\prod_{|\lambda|=n}F（\lambda）$也等于$\prod_{i>0}i^{\Sigma_{j>0}p（n-ij）}$。这证明了引理6.1。\宣布引理6.2。子模块$U（Witt_{\ge1}）_n$具有索引$\prod_{|\lambda|=n}F（\lambda）$在$U^+（Witt_{\ge 1}）_n$内。证明。选择分级提升$1+a_{i，1}x+一个_｛i，2｝x^2个以上$每$i>0$$L_i$。然后元素$a_{1，i_1}_{2，i_2}\cdots$用于$1i_1+2i_2+\cdots=n$形成$U^+（Witt_{\ge1}）$的基数，以及元素$i_ 1！一个_｛1，i_1｝i_2!a{2，i_2}\cdots$用于$1i_1+2i_2+\cdots=n$是$U（Witt_{\ge1}）_n$的基础。因此，$U^+（Witt_{ge1}）_n中$U（Witt_{ge1{）_n$的索引$是$$\prod_{i_1+2i_2+\cdots=n}i_1！i_2！\cdots=\prod_{|\lambda|=n}F（\lambda）$$这证明了引理6.2。\宣布引理6.3。设$\gamma$是$II_{25,1}$的范数0向量。假设$W$是由元素$e^{-\gamma}D^{（i）}（e^\gamma）$位于$e^\beta$上，因此$W$是作用于光滑积分形式$U=U^+（Witt_{>0}）$。然后分级对偶$W[1/（\beta，\gamma）]^*$的$W[1/（\beta，\gamma）]$是免费的$U[1/（\beta，\gamma）]$-一个生成器上的模块。证明。我们将$U_n$和$W_n$定义为$U的度$n$个数$和$W$。让$w_\mu$作为元素的基础$\gamma（1）^{j_1}\gamma_2^{j_2}\cdots e^\beta$用于$W_n\otimes\Q$分区参数化$\mu=1^{j_1}2^{j_2}\cdots$，共$n$个。这个$W_\lambda$所跨越的$\Z$模块$W_n'$不是$W_n$，但具有索引$\prod_{|\mu|=n}F（\mu）$$L_\lambda=L_1^{i_1}L_2^{i_2}\cdots$是空间的基础分区$\lambda索引的$U_n\otimes\Q$=1^｛i_1｝2^{i_2}\cdots$。由$L_\lambda$不是$U_n$，但具有索引$\prod_{|\lambda |=n}F（\lambda）$由引理6.2引入。我们为定义$m_{\lambda，\mu}$$|\lambda|=|\mu|$乘以$L_\lambda（w_\mu）=m_{\lambda，\mu}e^\beta$。我们将显示$p（n）$乘$p（n）$矩阵的行列式$（m_｛\lambda，\mu｝）$是$$\prod_{|\lambda|=n}（\beta，\gamma）^{l（\lambda）}P（\lambeda）F（\lampda）$$其中$l（\lambda）$是分区$\lambda$的元素数。我们按$\lambda>\mu$if订购分区$\lambda$是带有$\lambda_1\ge\lambda _2\ge\cdots$，$\mu$是分区$\mu_1+\mu_2+\cdots$$\mu_1\ge\mu_2\ge\cdots$，和$\lambda_1=\mu_1，\ldots，\lambda{k-1}=\mu_{k-1{$，$\lampda_k>\mu_k$大约1000美元。如果$\lambda>\mu$，则矩阵项$m_{\lambda，\mu}$为0，并且等于$$P（\lambda）F（\lambda）（\beta，\gamma）^{l（\lampda）}$$如果$\lambda=\mu$。我们可以通过重复使用关系来看到这一点$$\eqalign美元{&\cdots L_{i_{2}}L_{1}\γ（j1）\γ（j{2}）\cdots e ^\β\cr=&\案例{（\hbox{$j$的数量等于$j_1$}）（\beta，\gamma）j_1\cdots L_{i_{2}}\γ（i{2}）\cdots e^\beta&如果$i_1=j_1$\cr0如果$i_1>j_1$\cr}\铬}$$ 对于$j_1\ge j_2\ge\cdots$，它依次从恒等式$[L_i，\gamma（j）]=j\gamma（j-i）$，对于$i>0$，$L_i（e^\beta）=0=\gamma（-i）（e^\ beta）$，以及$\gamma_0e^\beta=（\beta，\gamma）$As矩阵$（m_{\lambda，\mu}）$是三角形，其行列式由对角线的乘积给出条目$m_{\lambda，\lambda}=P（\lambda）F（\lambda）（\beta，\gamma）^{l（\lampda）}$。现在我们计算出$U^+（Witt_{>0}）（e^{\beta^*}）_n$in的索引$W^*_n$其中$e^{\beta*}$是$W_0^*$对偶的基本元素W_0$中的$e^\beta\。该指数等于$${（\hbox{$W'_n$}中$U'_n$的索引）\超过（\hbox{$U_n$}中$U'_n$的索引）}$$这个表达式的分子等于行列式关于矩阵$（m{\lambda，\mu}）$，我们在前面进行了计算。代入已知值，我们得出指数$W^*_n$中的$U^+（Witt_｛＞0｝）（e^｛\beta*｝）_n$为$${\prod_{|\lambda|=n}P（\lambda）F（\lambeda）（\beta，\gamma）^{l（\lampda）}\超过（\prod_{|\lambda|=n}F（\lambda））（\pro1_{|\ mu|=n{F（\mu））}$$应用引理6.1，我们可以看到这等于$\prod_{|\lambda|=n}（\beta，\gamma）^{l（\lambda）}$。这是一个单位在$\Z[1/（\beta，\gamma）]$中，所以在环$\Z[1]上$从$U^+（Witt_{>0}）$到$W^*$的映射是同构的。这证明了引理6.3。固定L$中的范数0向量$\gamma\。我们记得横向空间是子空间v$中元素$v\的数量，使得$i>0$的$L_i（v）=0$，对于$i<0$，$L_0（v）=v$，$\gamma（i）（v）=0$。很容易检查横向空间$T_β$度$\beta$与$（\beta，\gamma）\ne0$是正定的，no-ghost定理[G-T]的工作原理是$T_\beta$到物理状态空间（模零向量）度$\beta$是一个同构。\宣布引理6.4。度的横向空间$T_\beta$II_{1,1}$中的$\beta\具有除幂行列式共$（\beta，\gamma）$个。证明。对于$v$的任何向量$v$，都有一个$U^+（Witt_{>0}）$equivariant通过$\Z[1/（\beta，\gamma）]$从$W^*$映射到$V$引理6.3。二元化我们看到这意味着在$W\otimes V$格式为$V\otimes1+$（涉及一些$\gamma（i）$），它由$U^+（Witt_{>0}）$固定，因此也固定作者：$Witt_{>0}$。这给出了从$V$到横向空间的映射它是$\Z[1/（\beta，\gamma）]$上的同构。这种同构保留双线性形式，因为$\gamma$的范数为0，所以所有涉及$\gamma（i）$的项与所有其他项的内积为零条款。因此横向空间是自对偶的$\Z[1/（\gamma，\beta）]$。这证明了引理6.4。下一个定理是有理数的无鬼定理的扩展向量空间到$\Z$上的模块。回想一下通常的no-ghost定理[G-T]表示，如果II_{25,1}$中的$\alpha不为零，则度为$\alpha$的物理状态空间（超过\Q）为正由具有尺寸的横向空间确定和跨越$p_{24}（1-\alpha^2/2）$。这将物理状态空间描述为有理向量空间，但其中也有一个自然格我们可以问一下这个格子的结构。\宣告定理6.5.~（\Z上的无主定理）。假设$\alpha$是$II_{25,1}$的非零向量，它是$n$乘以一个基本向量。那么空间的判别式度为$\alpha$的物理状态除以$n$的幂。特别是物理状态空间是一个自对偶格如果$\beta$是原始的。证明。对于$p$到$n$的每一个素数互素，我们都可以找到一个范数零向量$\gamma$与$（\gamma，\beta）$互素到$p$，因为范数水蛭型的0个向量跨度$II_{25,1}$。通过引理6.4，这意味着物理状态空间度的判别式$\beta$与$p$互素。因此，这个判别词划分了$n$元。这证明了定理6.5。这个定理的证明意味着所有物理状态空间相同范数的本原向量在所有$p$-adic上同构换句话说，属于同一个属。当然并非总是如此它们与整数同构。例如，对于范数0向量物理状态空间与相应的Niemeier格，并非所有的Niemier格都是同构的。\宣布7。~模块化私酒的应用程序。在本节中，$\m$将代表怪物李代数超过$\Z[1/2]$（参见[B-R]，[B98]），而不是伪怪物李代数。我们为$p$-adic数的环写$\Z_p$。论文[B98]表明Ryba的模moonshine猜想[R] 对于素数$p\ge13$是真的，前提是以下假设是真的：\宣布假设。如果$m0美元（V），牛。社会数学。法国84 1956 207--239重印于J.Dieudonn’e，“Choix d”oe uvres math’matiques。汤姆二世。”赫尔曼，巴黎，1981年，ISBN:\quad 2-7056-5923-4，p.600-632。\项目{[D72]}E.J.Ditters、Curves和正式（co）群，发票数学。17 (1972) 1-20.\项目{[F-G-Z]}I.Frenkel，H.Garland，G.J.Zuckerman，半无限上同调和弦理论。程序。美国国家科学院。科学。《美国法典》第83卷（1986年），第22期，第8442--8446页。\项目{[G-T]}P.Goddard和C.B.Thorn，对偶的相容性具有单位性的Pomeron和双重共振中的无鬼模型，物理。莱特。，B 40，第2期（1972年），235-238。\项目{[H]}M.Hazewinkel，“正式组和应用程序”。纯数学和应用数学，78。学术出版社[Harcourt Brace Jovanovich，出版商]，纽约-朗顿，1978年。国际标准图书编号：0-12-33510-2\项目{[K]}B.Kostant，$Z$以上的组。1966代数群和间断子群（Proc。研讨会。纯数学。，科罗拉多州博尔德。，1965年）第90-98页阿默尔。数学。罗德岛普罗维登斯Soc。\项目{[L-Z]}B.Lian，G.J.Zuckerman，Moonshine上同调。月亮和顶点操作符代数（京都，1994）。$\hbox{S\=urikaisekikeky\=usho}$$\hbox{K\=oky\=uroku}$No.904（1995），87--115。\项目{[M]}I.G.Macdonald，对称函数和霍尔多项式。第二版。牛津数学专著。牛津科学出版物。牛津克拉伦登出版社纽约大学出版社，1995年。x+475页，ISBN:0-19-853489-2\项目{[R]}{A.J.E.Ryba，模块化月球？，在“月亮、怪物和相关主题”中，由董崇英和杰弗里·梅森编辑。当代数学，193。美国数学学会，普罗维登斯，RI，1996年。307-336. }\项目{[Sh]}P.B.Shay，光滑形式群的障碍理论结构，纽约市立大学亨特学院预印本。\再见