\放大倍数=\magstep1\vbadness=10000\hbadness=10000\公差=10000\新计数\分区编号\分区编号=0\新计数\子节编号\def\section#1{\advance\sectionnumber by 1\bigbreak{\bf\number\sectionnumber\#1}\medskip\par\nobreak\subsectionnumber=0}\定义\s{\number\sectionnumber{$\cdot$}}\定义\leftdenom{\prod_{r\in\pos}（1-e^r）^{p{24}（1-r^2/2）}}\定义\iii{\hbox{$ii_{25,1}$}}\定义\pos{\hbox{$\Pi^+$}}\定义\简单{\Pi^S}\def\gkm{广义Kac-Moody代数}\def\gkms{广义Kac-Moody代数}\定义\多重{{\rm多重}}\定义\高度{{\rm-ht}}\定义\广告{{\rm广告}}\定义\Aut{{\rm Aut}}\def\half｛｛1\over 2｝｝定义\定义\引用#1{[1]}\定义\bibitem#1#2#3{\item{[2]}#3}\定义\波拉{1}\定义\borb{2}\定义\borc{3}\定义\边界{4}\定义\孔{5}\定义\borf{6}\机器人｛7｝\定义\conb{8}\定义\conc{9}\定义{10}\定义\戈达{11}\定义\guna{12}\定义\卡｛13｝\定义\格式{14}\定义\弗雷布{15}\定义\雷达{16}\定义\血清{17}\宣布怪物李代数。高级数学。第83卷，第1期，1990年9月，第30-47页。理查德·博彻兹，纯数学和数理统计系，16 Mill巷，剑桥CB2 1SB，英格兰。我们计算所有根的重数``怪物李代数“。这给出了一个示例李代数的单根和根重数都是已知且不是有限维或仿射Kac-Moody代数。似乎有几个类似的无限维李代数似乎与一些零星的简单群体相对应。\第1项引言和注释。\广义Kac-Moody代数。\怪物李代数。\项目4没有其他简单根。\第5项推论。\第6项其他简单群的李代数。\章节{引言}我们会证明的\宣布定理1。设为26维偶单模洛伦兹格，并让$\rho$成为它的反射组$W$（所以$\rho$的范数为0）。我们定义了怪物李代数$M$成为具有根格的gkm，其简单根是$W$的根以及$\rho$的正倍数，每个重数为24。那么$M$的任何非零根$r\in\ii$都具有多重性$p_{24}（1-r^2/24）$，它是$1-r^2/2$的分区数24种颜色的零件。这相当于下面的“分母公式”。$$e^\rho\leftdenom=\sum_{w\in w\top n\in Z}\det（w）\tau（n）e^{w（n\rho）}$$其中$\tau（n）$是Ramanujan tau函数，$\pos$是是$\rho的正倍数的\ii向量集$或具有带$\rho$的负内积。我们简要概述了定理1的证明。在第3节中我们使用顶点代数从洛伦兹格构造了李代数$M$。“无鬼”定理（\cite{\goda}）允许我们计算$M$根的重数，如定理1所示，并允许我们证明$M$是一个gkm。我们可以找到真正的通过使用Conway定理（\cite\conb），$M$的简单根描述了晶格的反射群表明$\rho$的正倍数是多重性24。为了完成定理1的证明，我们必须证明$M$具有没有其他简单的根。为此，我们研究了$M$的“分母公式”的两面。我们可以使用见鬼算符，它是一种模块形式。分母公式的另一边是形式$q^n$乘以模形式，其中$n$与一些简单根$r$的范数$r+\rho$。通过观察渐近行为在顶点0处，我们证明了所有$n$必须为0，它可以用来证明没有其他简单根，并证明定理1第5节包含定理1的一些推论；例如任何25维单模正定格都必须有根。在第6节中，我们给出了一些不太令人信服的证据类似于怪物李代数$M的更多李代数的存在性$与其他一些零星的简单群体有关。我们在这里使用的结果可以在以下地方找到。结果关于顶点代数，我们使用的是取自Borcherds\cite{\bora}的证明其中，勒波斯基、弗兰克尔和梅尔曼在他们的书中写道。无鬼定理在Goddard和Thorn\cite｛\goda｝以及Frenkel \cite｛\frea｝。我们使用一些标准结果关于Kac-Moody代数，都可以在Kac的书中找到\引用{\kaca}，我们需要的有关\gkms的结果在Borcherds\cite{\borb}和\ cite{\ borc}在第2节中进行了总结。有关几何图形的结果水蛭晶格$\Lambda$和洛伦兹晶格我们需要在Conway，Parker的原始文件中找到，和斯隆，其中大部分被康威和斯隆重印在《引用{conc}》一书中，或在\cite{\bore}中。最后是关于模形式、Hecke算子和θ函数的结果例如，我们在任何一本关于模块形式的书中都可以找到Serre\cite{\sera}或Gunning\cite}。备注：怪物根的重数$p_{24}（1+n）$李代数由Rademacher公式给出（引用{rada，第15章}）$$p_{24}（1+n）=2\pin^{-13/2}\sum_{k>0}{I_{13}（4\pi\sqrt{n}/k）\over k}\sum_{0\leqh，h'0}（1-q^n）^{-24}=\增量（q）^{-1}=q^{-1{+24+324q+3200q^2+25650q^3+176256q^4+1073720q^5+\ldots.$这些是根的多重性怪物李代数$M$。\项｛$\tau（n）$｝是Ramanujan-tau函数，其生成函数是\项目{$\增量（q）$}$=\sum_n\tau（n）q^n=q\prod_{n>0}（1-q^n）^{24}=q-24q^2+252q^3+\ldot$\项目{$\Theta_\Lambda（q）$}=$\sum_{\Lambda\in\Lambda}q^{\lampda^2/2}=1+196560q^2+\ldots$是水蛭晶格的θ函数。\项目{$c（n）$}是椭圆模函数$j（q）-720$的系数。\项{$j（q）$}是椭圆模函数，其中$j（q）-720=\sumnc（n）q^n=q^{-1}+24+196884q+\ldots=\Theta_\Lambda（q）/\Delta（q）$\项｛$q，\tau$｝是复数变量，$q=e^｛2\pi i\tau｝$，$|q|<1$，和${\rm Im}（\tau）>0$。}\{广义Kac-Moody代数}我们回忆起我们需要的有关\gkms的结果。我们将稍微修改[\borb]中\gkms的原始定义，以便这些代数在采用通用中心扩展的情况下关闭，如[\borc]。假设i$中的$a_｛ij｝，i，j\是对称（可能是无限的）实矩阵这样$a{ij}\leq0$如果$i\neqj$并且这样如果$a{ii}>0$那么$2a{ij}/a{ii}$是任何$j$的整数。然后是通用\该矩阵的gkm定义为李代数由元素$e_i，f_i，h_{ij}$为i中的$i，j\生成$满足以下关系：\项目{1.}$[ei，fj]=h{ij}$\项目{2.}$[h{ij}，e_k]=\delta_i^ja_{ik}_k，[h{ij}，f_k]=-\delta_i^ja_{ik}fk$\项目{3.}如果$a_{ii}>0$，则$\Ad（e_i）^ne_j=\Ad（f_i）^nf_j=0$，其中$n=1-2a{ij}/a{ii}$。\项目{4.}如果$a{ii}\leq 0，a{jj}\leq0$和$a{aj}=0$然后$[e_i，e_j]=[f_i，f_j]=0$。如果i$中所有$i\的$a_{i}>0$，则这与具有对称Cartan的Kac-Moody代数相同矩阵$a{ij}$。一般来说，这些代数几乎具有Kac-Moody代数所具有的所有优良性质，唯一的主要区别是\gkms允许想象中的简单根。我们列出它们的一些属性来自[\borb]和[\borc]。（1） 元素$h_{ij}$为0，除非$a的$i$'t和$j$'t列$都是平等的。元素$h_{ij}$，其中$i$'t和$j$'t列$a$的基与$G$的交换子代数$H$的基相等，称为其Cartan子代数。（在Kac-Moody代数的情况下，$i$'t和除非$i=j$，否则$a$的$j$'th列不能相等，因此只有非零元素$h｛ij｝$是形式为$h｛ii｝$的元素，通常表示为$h.i$）$G$的每个非零理想与$H$都有非零交集。$G$的中心包含在$H$中，包含所有$i\neqj$的元素$h{ij}$。如果$a$不是直接金额两个较小的矩阵，不是$1\times 1$zero矩阵，也不是矩阵仿射Kac-Moody代数的$G$模的中心是简单的。（2） 如果$a$没有零列，那么$G$是完美的，等于它自己的列通用中央扩展。（这就是为什么我们需要元素$h_{ij}$用于$i\neq j$。）（3） 假设我们为i$中的每个$i\选择一个正整数$n_i$。然后我们可以通过将$\deg（e_i）=-\deg。0度$G$的一部分是Cartan子代数$H$。（4） $G$具有对合$\omega$，其中$\omega（e_i）=-f_i，\omega，称之为卡坦内卷。$G$上有一个不变的内积（，）对于所有$i$，$（e_i，f_i）=1$，并且它还具有$-（g，\omega（g））>0的属性$只要$g$是非零次齐次元素。（5） 对于简单的最大重量模块$M_\lambda，有一个字符公式$$G$的最大重量为$\lambda$，这表明$$Ch（M_\lambda）e^\rho\prod_{\alpha\in\Pi^+}（1-e^{\alfa}）^{\mult（\alpha）}=\w}中的sum_{w\det（w）w（e^\rho\sum_\alpha\epsilon（\alpha）e^{\alpha+\lambda}）$$我们需要的唯一情况是一维模，当它成为分母公式$$e^\rho\prod_{alpha\in\Pi^+}（1-e^{alpha}）^{\mult（\alpha）}=\sum_｛w\in w｝\det（w）w（e ^\rho\sum_\alpha\epsilon（\alpha）e^\ alpha$$这里$\rho$是Weyl向量（即$（\rho，r）=-r^2/2的向量$对于所有简单根$r$），$\Pi$是正根的集合$\阿尔法$，$W$是Weyl群，如果$\alpha$是$n$distinct pairwise vertical simple roots的和都垂直于$\lambda$，否则为0。如果$\rho$被一个向量替换，这个公式仍然是正确的它的内积$-r^2/2$包含所有{\sl实}简单根$r$，因为$e^{w（\alpha+\rho）-\rho}$只依赖内积$\rho$的真正简单根。如果$G$是Kac-Moody代数，那么没有假想的简单根，因此$\alpha$的和是1我们恢复了常用的特征和分母公式。我们还需要以下来自\cite{\borb}的\gkms特征。\宣布定理。Z分次李代数$G=\bigoplus_{i\in Z}G_i$是商广义Kac-Moody代数的（3）中心的子空间当且仅当它具有以下四个性质。\项目{1}$G_0\子集[G，G]$\项目{2}$G$有一个对合$\omega$，它在$G_0$上充当-1并映射$G_i$到$G_{-i}$\项目{3}$G$具有不变双线性形式（，），例如$G_i$和$G_j$如果$i\neq-j$是正交的，并且如果$g，$-（g，\omega（g））>0$$是非零度$G$的非零齐次元素。\作为$G_0$上的一个模，$G$是有限维子模的和。（如果省略条件（1），则仍然很容易描述$G$，通过在a\gkm中添加一些外部派生。）\第{怪物李代数}节我们构造了一个代数$M$，称为怪物李代数，根格\ii的根重数由整数的分区数给出24种颜色。我们通过使用Conway对\ii反射群的描述，我们表明$\rho$的所有正倍数都是多重性24。在本节中，我们将证明\宣布定理3。有一个带根格的\gkm$M$\ii非零向量$r的重数为$p_{24}（1-r^2/2）$。$M$的真正简单根是标准2向量$r$，其中$（r，\rho）$=-1$\rho$的正倍数是乘数24的简单根。我们稍后将展示$M$没有其他简单的根源。\宣布引理1。有一个李代数$M$具有以下性质。\项目{1.}$M$由\ii评分。学位$r\in\ii，\r\neq 0$具有维度$p{24}（1-r^2/2）$。\项目｛2.｝$M$有一个对合$\omega$，它在$\ii$和上充当-1学位$0\in\ii$的$M$部分。\项{3.}$M$具有反变双线性形式（，），因此$M的各个部分$度$i，j\in\iii$是正交的，如果$i\neq-j$是这样的（，）如果$i\neq 0$，则在度$i\in\ii$$M$的块上为正定。证明：这个李代数是在Borcherds[\bora]中构造的；我们简要回顾一下它的结构。给定任意非奇异偶数格$L$，我们都可以构造它的顶点代数$V$，它是一个具有大数的$L$分次向量空间操作。特别是Virasoro代数有一个作用在其上，Virasoro代数由运算符1和$L_i跨越，其中Z中的i$与关系$$[L_i，L_j]=（i-j）L_{i+j}+{i^3-i\over 12}\dim（L）\delta^i_{-j}$$我们让$P^i$是满足$L_0（v）=iv$的向量$v\在v$中的空间，如果$n<0$，则$L_n（v）=0$。那么[\bora]的结果之一是$P^1/L_1（P^0）$可以生成李代数。空格$V$具有对合$\omega$具有上述属性（2）和内积（，），当限制为$P^1$是$L_1（P^0）$上的单数，并定义了一个逆变李代数$P^1/L_1（P_0）$上的内积。这个谎言的碎片L$中的次代数$i，j\是正交的，除非$i=j$。到目前为止，这种构造可以用于任何偶数晶格。在特殊情况下26维洛伦兹格的“无鬼”定理戈达德和索恩[\goda]暗示如果$r\in L，\r\neq 0$，则内积（，）的限制到$P^1/L_1（P^0）$的$r$块是正半定的程度核商的维数为$p{24}（1-r^2/2）$。事实上（，）是逆变的意味着它的核是$P^1/L_1（P^0）$的理想，因此，如果我们将$M$定义为$P^1/L_1（P^0）$与内核的商对于（，），对于$L=\ii$，则$M$具有引理中所述的所有属性。Q.E.D.公司。\宣布引理2。李代数$M$是一个\gkm。证明。如果我们固定任何不垂直于范数2向量，然后我们可以将$M$变成$Z$分次李代数通过使用以$r$为度的内积。所有的$M$满足定理2的条件，所以$M$是一个\gkm。现在，我们修复了一个不垂直的基本范数0向量$\rho$of\ii到任意范数2向量。（所有这样的向量$\rho$在$\Aut（\ii）$.）我们为反射组$W选择一个基本域$包含$\rho$的\ii。\宣布引理3。正范数$M$的单根是范数2个向量$r\in\ii$，其中$（r，\rho）=-1$。证明：\ii的所有范数2向量都有重数1，所以$M$只是\ii反射组的简单根。这个反思组由Conway\cite{\conb}描述，他表明其简单根是范数2向量美元$第个，共个，$（r，\rho）=-1$。Q.E.D.公司。\宣布引理4。这个$\rho$的正倍数是乘数24的简单根。证明。对于所有其他简单根$r$，由于$（\rho，\rho）=0$和$（\rro，r）<0$，$\rho$的倍数不能写成简单根的和，除非总和中的所有根彼此垂直。因此，简单根$n\omega，n>0$的重数等于根的重数$n\omega$，即24。Q.E.D.公司。\节{没有其他简单根。}通过证明李代数，我们完成了定理1的证明上一节的$M$没有其他简单根。\宣布引理1。$$e^\rho\leftdenom=\sum_｛w\in w｝\det（w）w（\sum_｛n\in Z｝\tau（n）e ^｛n\rho｝-\sum_｛r\in\简单，r^2<0}e^{r+\rho}）$$其中$\pos$是怪物李代数的正根集，$\simple$是怪物李代数的简单根的集合，以多重数计算。证明。我们证明这只是第2节的分母公式以百万美元计。向量$\rho$有内积$-1=r^2/2$和所有实简单根$r$通过Conway定理（上面的引理3），所以要证明这是分母公式我们必须检查一下$$\sum_{n\在Z}\tau（n）e^{n\rho}-\sum_{r\在简单情况下，r^2<0}e^{r+\rho}=e^\rho\sum_\alpha\epsilon（\alpha）e^\alpha$$其中$\epsilon（\alpha）$是每种方式的项$（-1）^n$的总和将$\alpha$写入$n$个不同的两两垂直的总和假想的简单根。两个假想根只能垂直如果它们都是范数0且成比例，那么如果$\alpha$不是$\rho$的倍数，则$\epsilon（\alpha）$是只是$\alpha$的重数作为简单根。全部为阳性$\rho$的倍数是24，并且相互垂直，因此$\epsilon（n\rho）$是$\prod_n（1-q^n）^{24}=q^{-1}\sum_n\tau（n）q^n$中$q^n$$的系数，这证明了引理1。我们记得$\ii=\Lambda\oplus U$，其中$U$是二维的格跨越$\rho，\rho'$，其中$\rho^2=\rho'^2=0，（\rho、\rho`）=-1$. 我们从格\ii的群环位于格$U$的群环上，这使得它们更容易计算。更确切地说，我们定义投影$P$从\ii的群环到$P$和$q中Laurent级数的空间$通过$$P（e^r）=P^{-（\rho，r）}q^{-$$因此，应用于分母公式两边的$P$是一个Laurent$p$和$q$中的系列。\宣布引理2。如果$m>0$，则$$-\log（P（\leftdenom））=sum_{m>0}T_m（j（q）-720）p^m+24\sum_{n>0}{sigma（n）\over n}q^n$$其中$\sigma（n）$是$n$的除数之和，$j（q）$是椭圆模函数，$T_m$是Hecke运算符（参见Serre\引用{\sera}，尤其是第七章第5节的命题12）。特别是当$m>0时，系数为$p^m$$是级别1的$q$的模块化函数。证明。投影到的范数$2a$\ii的向量数$U$的向量$n\rho+m\rho'$是$\Lambda的向量数$正常值$2a+2mn$，所以根的重数之和$M$中，以U$表示的$n\rho+M\rho'\上的项目等于系数$c（mn）$of$\Theta_\Lambda（q）\sum_np_{24}（1+n）q^n=j（q）-720=\sum_nc（n）q*n$。因此，上述公式的左侧等于$$\eqalign美元{&-\log\prod_{m\geq0}\prod_{n在Z中，n>0\hbox{if}m=0}（1-p^mq^n）^{c（mn）}\cr=&\sum_{m\geq0}\sum_{n\在Z中，n>0\hbox{if}m=0}\sam_{k\geq1}c（mn）p^{mk}q^{nk}/k\cr=&\sum_{m>0}\sum_{n\在Z}\sum_{00}\sum_{00}T_m（Z}c（n）q^n中的sum{n\）p^m+c（0）sum{n>0}{sigma（n）over n}q^n\cr}$$它等于右手边。Q.E.D.公司。\宣布引理3。$$P（e^\rho\leftdenom）=\Delta（q）\Theta_\Lambda（P）-\Theta_ \Lambda（q）\增量（p）$$哪里$$\增量（q）=q\prod_{n>0}（1-q^n）^{24}=\sum_n\tau（n）q^n=q-24q^2+252q^3\ldot$$是Ramanujanτ函数的生成函数，以及$$\Theta_\Lambda（q）=\sum_{\Lambda\in\Lambda}q^{\lampda^2/2}=1+196560q^2+\ldot$$是水蛭晶格$\Lambda$的θ函数。特别是，系数$p^m$是重量$q$的模块形式12，其在所有尖端处都是全纯的。证明。左侧等于$$q\exp（\log（P（\leftdenom））=q\prod_{i}（1-q^i）^{24}\exp（-\sum_{m>0}p^mT_m（j（q）-720））$$通过引理2，所以$p^m$的系数是权重12和级别1的模形式对于任何$m$，因为$q\prodi（1-q^i）^{24}$是权重的模块形式12和1级，每个函数$T_m（j（q）-720）$都是模块化的1级功能。因此，如果我们让$F（p，q）$代表左手边对于上面的表达式，它具有以下属性$p^m$系数是权重12和级别1的模块形式对于每$m$为零，对于$m<0$为零。此外，$F（p，q）=-F（q，p）$因为它在反射下是反对称的第$\rho-\rho'$条，共\ii条。我们将证明只有一个函数$F（p，q）$具有这些特性，其系数为$q^1p^0$是1，这将证明引理3，因为$\增量（q）\Theta_\Lambda（p）-\Theta_ \Lambda\增量（p）$也具有这些属性。系数必须在顶点处都是模形式全纯的$\infty$，因为如果$n<0$by，$q^np^m$的系数为0不对称。我们现在将重复使用以下事实：权重12和级别1的模块形式由其系数决定$q^0$和$q^1$。通过反对称法，$F$的$p^0q^0$系数为0假设$p^0q^1$的系数为1，因此$p^0q^n$的系数是为所有$n$确定的，因为系数$p^0$是重量12和级别1的模块化形式。类似地$p^1q^0$和$p^1 q^1$的系数是-1和0反对称性，因此确定了$p^1q^n$的系数。最后，对于任何$m$，确定$p^mq^0$和$p^sq^1$的系数通过反对称性，确定了$p^mq^n$的系数。这证明了引理3。这表示分母公式的左侧。我们现在通过将术语拆分为在水蛭晶格作用下的轨道。我们将向量$r\in\ii$的高度$\height（r）$定义为$-（r，\rho）$。我们证明了不是通过高度归纳得出的负范数的简单根，所以我们假设给定一个正整数$m$，因此高度小于$m$的负范数不是简单的根，我们将证明没有身高$m$的。\宣布引理4。$$p美元^{-m}P（\sum_｛w\ in w，n\ in Z\top\height（nw（\rho））=m｝\det（w）\tau（n）e ^｛nw（\rho）｝-\sum_{r\in\simple，\height（r）=m}e^{\rho+r}）$$是重量12和级别1的模块化形式。证明。如果$r$是负范数的任意简单根，则$\height（w（r））>\height$对于$w$的任何非平凡元素$w$。假设没有高度小于$m$的负范数的简单根，因此$w（e^{r+\rho}）$可以具有高度$m的唯一方法$对于一些假想的简单根$r$，$r$是$\rho$或$w=1$。因此引理4中的和是$$\sum_{w\在w}\det（w）w（\sum_{n\在Z}\tau（n）e^{n\rho}-\sum_{r\in\Pi^S，r^2<0}e^{r+\rho}）$$现在引理4从引理1和3开始。\宣布引理5。回忆一下$\ii=\Lambda\oplus U$。我们写向量格式为$（v，m，n）$，其中$v\ in \Lambda$，$m\ in Z$和$n\ in Z$，这个向量有范数$\lambda^2-2mn$。对于每个$\lambda\in\lambda$将$（v，m，n）\in\ii$转换为$（v+m\lambda，m，n+（v，\lambda^2/2）$是\ii的自同构，这定义了$\Lambda$对\ii的操作。证明：简单的检查。（这给出了$\rho^\perp/\rho=\Lambda的自然标识$用\ii的自同构组修复$\rho$和每个向量第$\rho^\perp/\rho$页）\宣布引理6。对于任何非零整数$m$只是一些固定范数和高度的向量的有限个轨道$\Lambda$行动下的$m$。证明：任意向量$（v，m，n）\in\ii$给定范数的非零高度由$v$决定，因此由引理5决定在$\Lambda$作用下，此类向量的轨道数为大多数订单为$m\Lambda/\Lambda$的$m^{24}$。Q.E.D.公司。\宣布引理7。假设$A$是\ii向量的任意轨道在$\Lambda$的作用下，标准$-2n$和高度$m$。然后$$p美元^｛-m｝P（a}e^a中的sum_{a）=q^{n/m}\Theta_a（q）$$其中$\Theta_A（q）$是具有非负系数的权重12的模块形式和“常数项”$m^{-12}$位于顶点0。（重量$k的模形式$\Theta（q）$的常数项$在顶点0是$\tau^k\Theta（e^{2\pii\tau}）$as的极限$\tau$沿着正虚轴趋向于0。）证明。设$（v，m，（v^2/2+n）/m）$是轨道$A$中的任意向量。然后$$\eqalign{p^{-m}P（a}e^a中的sum_{a\a）&=a}q^{-（a，\rho'）}\cr&=\sum_{\lambda\英寸\λ}q^{-（（v+m\λ，m，（v^2/2+n）/m+（v，\Lambda）+m\Lambda^2/2），\rho'）}\cr&=\sum_{lambda\in\lambda}q^{v^2/2m+n/m+（v，\lambda）+m\lambda^2/2}\cr&=q^{n/m}\sum_{lambda\in\lambda}q^{m（\lambda-v/m）^2/2}\cr&=q^{n/m}\Theta_A（q）\cr}$$其中$\Theta_A（q）$是格陪集的θ函数行列式$m^{24}$的$\sqrt-m\Lambda$，因此是模形式重量$\dim（\Lambda）/2=12$，非负系数。广义雅可比反演公式（Gunning\cite{\guna}，第20节）声明$$\Theta_A（e^{2\pii\tau}）={（-i\tau）^{-12}\det（\sqrt{m}\Lambda）}^{-1/2}\sum_{lambda\in\lambda}e^{2\pi i（（v，\lambda）-\lambda^2/2\tau）/m}$$所以$\Theta_A（q）$具有常量项$（\det（\sqrtm\Lambda））^{-1/2}=m^{-12}$位于顶点0。Q.E.D.公司。\宣布引理8。总和$$\sum_Aq^{n（A）/m}\Theta_A（q）$$其中总和在高度为$m$的简单根的所有轨道$A$上，是重量12的模块形式。每个$n（A）$都是一个正整数等于$-（a+\rho）^2/2=m-a^2/2$，对于a$中的$a\并且只有有限个轨道$a$，任何给定值为$n（a）$。每个函数$\Theta_A（q）$都是权重12的非负模形式在尖点0处具有常数项$m^{-12}$的系数。证明。这源于引理4、6和7，因为如果$a$是$（a，\rho）\leq 0$的范数最多为0，它不是$\rho$的倍数，然后是$（a+\ rho）^2<0$。我们现在完成了定理1的证明，证明了引理8必须为空。我们将通过研究行为来做到这一点通过正假想轴上的值，总和$\tau$趋于0。引理8中的和是具有正系数的幂级数的和，其形式和在$q<1$时收敛，因此幂级数的和也收敛收敛于$|q|<1$。如果$f（\tau）$是重量12的模块形式在顶点0处有常数项$c$，则$$f（\tau）=\tau^{-12}摄氏度+s（\tau）$$其中$s（\tau）$趋向于比$\tau$的任何幂快0$\tau$沿假想轴趋向于0。因此$$\套^{-12}摄氏度+s（\tau）=\sum_Am^{-12}（（A）\tau/m}\tau中的e^{2\pi）$$其中右边总和中的每个项都是非负的，$s$和$s_A$函数趋向于零的速度比$\tau$作为$\tau的任何幂都快吗$沿假想轴趋于零。特别是右侧有界，因为$\tau$趋于0，所以总和中只有有限个项，因为右边的每一项都趋向于$m^{-12}$。因此$$c-\sum_{n>0}m^{-12}转（n） e^{2\pi在\tau/m}中$$当$\tau$趋于0时，其速度比$\tau$的任何幂都快沿正假想轴为0，其中$r（n）$是轨道数$A$，其中$n（A）=n$。所有$r（n）$都是非负整数，因此这是不可能的除非它们都是0，所以至多没有范数的简单根身高$m$。这证明了定理1。\节{推论}我们推导了关于怪物李代数的几个结果关于格的主要结果。\宣布推论1。怪物的通用中心扩展$\hat M$李代数$M$是一个粒度的李代数，如果$0\neqr，那么度为$r$的$\hat M$的子空间同构映射到百万美元。度为$0\in\ii$的$\hat M$的子空间（即其“Cartan”子代数“”）可以自然地表示为对于Leech格的每个向量和维度为$24^2的空间=576$对于每个正整数。证明。这源于对卡坦子代数的描述广义Kac-Moody代数在\cite{\borc}中的泛中心扩张或第2节作为每个简单重数根的维数$n^2$的空间之和$n$元。怪物李代数$M$有一个真正的简单重数根1对于Leech晶格的每个向量，以及一个简单的重数根24对于$\rho$的每个正倍数。Q.E.D.公司。\宣布推论2。$$e^\rho\leftdenom=\sum_{w\在w}\sum_{n\在Z}\det（w）τ（n）e^{ω（n\rho）}$$这只是\gkm M的分母公式。\宣布推论3。如果$r\in\pos$，则$$（r+\rho）^2百万（r）=\sum{alpha，\beta\in\pos\top\alpha+\beta=r}（\alpha、\beta）m（\alfa）m（\ beta）$$其中$m（r）$定义为$\sum_{n>0，在Z中为n\n，在ii}\mult（r/n）/n$（如果$r$是原语，则等于$r$的重数）。这只是根的重数的Peterson递推公式$M$，这对\gkms有效。请注意，对于彼得森保存$\rho$的递归公式必须满足$（\rho，r）=-所有简单根$r$的r^2/2$（不仅仅是真正的根），如果$M$有任何根，这就不是真的负范数的简单根$r$。\宣布推论4。让$N$成为怪物的子代数度有范数的$M$的元素生成的李代数$M$2（因此$N$是$M$的Kac-Moody子代数，由$N$的真正简单根）。然后根的多重性$N$的$r\in\ii$最多为$p_{24}（1-r^2）$，并且相等只要$r$位于$W$的基本域中，则保持$\高度（r）>|r^2|$。证明。$r$的多重性的不等式很明显，因为$N$是$M$的子代数。如果$r$位于基本面$W$的域，则$r$的内积最多为0简单根，因此$r$不可能是$\rho的和$以及其他一些简单根，如果$（r，\rho）=\height（r）>r^2$。备注：代数$N$是最初定义的“怪物李代数”由Conway、Queen和Sloane在\cite{\borg}拍摄。（该定义遗漏了$M$的标准0简单根，可能是因为具有假想单根的代数尚未被研究当时。）注：推论4的不等式$N$根的多重性首先由Frenkel\cite{\frea}证明通过显示第3节的空间$P^1/L_1P^0$是一个模块$N$。晶格有121个范数为-2的向量轨道但其中2个的重数为324，作为$N$的根，有665个范数向量轨道-4，除3个外，其余均以标准3200作为$N$的根。回想一下，在第3节的引理1中，我们定义了一些子空间$V空间的$P^i$$由Virasoro代数的最小权向量组成。怪物李代数的元素与Virasoro代数，被认为是$V空间的自同态$因此所有空格$P^i$都表示怪物李代数。\宣布推论5。如果$i<0$，则空格$P^i$是总和最高重量和最低重量表示为$M$。证明。任何重量$P^i，i<0$的高度都不能为0因为它的所有权重都是负的。由于$M$由生成高度元素-1,0或1表示$P^i_+$和$P^i_-$都是$M$的表示，其中$P^i_+$和$P^i _-$是学位为正或负高度。表示$P^i_+$具有属性其权重的范数有界于（$2i$）之上，并且它的权重都有负的内积$M$的假想简单根，因此由表示的结果\gkms in \cite{\borb}$P^i_+$是最低权重的总和百万美元的陈述。同样，$P^i_-$是最高权重的总和陈述。\宣布推论6。假设$n$是1或素数。然后基本域中范数$-2n$的向量$v$的高度是θ的线性函数格$v^\perp$的函数。证明。Peterson递归公式表明，对于任何固定的负范数高度是θ的线性函数格对偶中$a$的陪集$a+v^\perp$的函数$v^\perp$。如果$n$是1或素数，那么这些函数中的θ函数陪集是对偶的θ函数的线性函数$v^\perp$，它又是θ函数的线性函数$v^\perp$。\宣布推论7。设$v$是负范数\ii的向量，为了简单起见，假设没有范数0向量$z$这样$（z，v）<（v，v）/2$。设$n$为范数0向量$z$，其中$（v，z）=（v，v）/2$。\如果$v$的标准值为-2，则其高度为$（r+18-4n）/12$。\项目{2.}如果$v$有范数-4，则其高度为$（r+20-2n）/8$。\项目{3.}如果$v$具有标准-6那么它的高度是$（r+20-n）/6$。证明。这些只是推论6的特例。备注：如果$v$有内积-1，且高度$h的范数为0$那么$v^\perp$与Niemeier格和1的和同构维度晶格，$v$的高度为$2h+1$。注：范数为-2和-4的向量的推论7的结果最初在\cite{\bord}中通过不同的方法进行了证明。这里列出了121个范数-2向量轨道和665个范数-引用{\bord}中的\ii的4个向量。\宣布推论8。\项{1.}如果$L$是一个偶数25维正定晶格行列式2的根数为6模12，除非$L$是一个Niemeier格和一个一维格的和。\项目{2.}如果$L$是一个25维单模正定格Niemeier格和一维格的和，然后是范数2向量加上范数1向量数的两倍是4模8（并且在特别是任何这样的格子都有根）。\如果$L$是26维偶数正定格行列式3的根不为范数6，则$L$的根数为0 mod 6。证明。这是根据推论7使用以下事实得出的。模2向量的轨道之间存在1:1的对应关系甚至是行列式2的25维正定格，这样$v^\perp$与$L$同构。以下轨道之间存在1:1的对应关系Ⅱ和25维正定幺模格的范数-4向量$L$使得$v^\perp$与偶数向量的子格同构$L$，$L$的范数1向量的数量等于范数0的数量向量具有$v$的内积-2。最后是1:1范数-6向量$v$of \ii与根$r$之间的对应26维行列式3的偶数正定格$v^\perp$与$r^\perp$同构。在每种情况下，我们都可以计算出θ$L$的函数与$v^\perp$的函数不同，这给出了推论8。备注：在\cite{\bord}中有一个算法用于对偶数26进行分类行列式3的维正定格。特别是有一个唯一的没有根，它的自同构群是$2\乘以^3\！\！D_4（2）$。还有一些独特的这样的根系统为$a_1^3$、$a_2$和$g_2$的格，所以同余以上是最好的可能。最后，我们有了以下完全无用的好奇心。（有大概更奇怪、更无用的向量公式规范-4，-6，….）\宣布推论9。假设$v$是高度不是1的范数-2向量那是在\ii反射群的基本腔中。然后$$\eqalign美元{&d（d-51）/2-\hbox{\sl$v^\perp$}的Dynkin图的组件数\铬&+\hbox{\sl$R$在$\sigma$}=324下的轨道数。\cr}$$这里$d$是$v^\perp$的Dynkin图的秩，$R$是集合具有内积的\ii反射群的单根$-1$与$v$，$\sigma$减去$v^\perp$的对立面内卷，作用于集合$R$。证明。在\cite{\bord}中，它的左侧显示为$M$的根$v$的重数，因此推论9来自定理1。\{其他简单群的李代数。}似乎还有许多其他非仿射Kac-Moody代数类似于本文中的一个，其中许多似乎与怪兽中许多其他零星的简单群体的模糊方式。在\cite{\borf}中，证明了如果$G$是Conway的群$\Aut（\Lambda）$，然后是向量的晶格$\Lambda^G$$G$修复了$\Lambda$的许多属性。特别地如果它没有根，则洛伦兹晶格的反射群$\Lambda^G\oplus U$具有范数0 Weyl向量$\rho$。这就提出了以下问题。问题。设$G$是$\Aut（\ii）$fixing$\rho\in\ii$的有限子群，设$L$是由$G$固定的向量的洛伦兹格。是否有``具有根格$L$的漂亮的“”李代数？特别是，一些实验表明了以下推测。猜想。设$g$是$M_{24}\subset\Aut（\Lambda）$的元素订单$h$具有循环形状$1^{24}$、$1^82^8、$1^63^6、$1^45^4、$$1^22^23^26^2，$1^37^3，$1^211^2，$$1^12^17^114^1，$1^13^15^115^1，$或$1^123^1$. 设$\Lambda^g$是由$g固定的$\Lambeda$向量的格$设$L$为洛伦兹格$\Lambda^g\oplus U$。如果$g$有循环形状$1^{n1}2^{n_2}\ldots$让$\Delta_g（q）$成为模块形式$\eta（q）^{n_1}\ eta（2q）^[n_2}\ldots=\sum_n\tau_g（n）q^n$。然后我们推测\项目1$\Lambda^g$没有根。根据\cite{\borf}的结果，这意味着$L$的反射群具有范数0 Weyl向量$\rho$（即。，$\rho$具有内积$-（r^2/2）$，其中包含反射组）。\第2项模形式$\Delta_g（q）$具有乘法系数并且是归一化器$\Gamma0（h）的最小权重的尖点形式+$子组$\Gamma_0（h）$的$PGL^+_2（Q）$。\第3项设$M_g$是广义Kac-Moody代数，其实单根是$L$的反射群的根，它的假想简单根是$\rho$的倍数$n\rho$，其重数等于$g^n$的固定点，因此$\Delta_g（q）=q\prod_n（1-q^n）^{\mult（n\rho）}$。通过$\sum p_g（n）q^n=1/\Delta_g（q）$定义$p_g$。那么$L$的根$r$具有由某个表达式给定的重数可能涉及$p_g$$$\sum_{d|h，（r，L）}p_g（-r^2/d）$$其中总和是所有正整数$d$除以$h$和所有数字$（r，s），s\以L$表示。这似乎是给出正确多重性的最简单表达式对于正根，是$\rho$和\ii的倍数。它不起作用如果$g$是循环形状$1^42^24^4$的$M_{24}$的元素之一，或者$1^22^14^18^2$.康韦和诺顿的研究表明，两者之间存在着天然的对应关系在$\Lambda$的自同构和怪物简单群中的某些共轭类之间，怪物的这些元素通常具有中心化子它们几乎是零星的简单群体。例如，元素循环形状$1^{24}$、$1^82^8$、$163^6$、$145^4$和$1^37^3的$M_24}$的$以这种方式对应怪物、婴儿怪物、费舍尔群$Fi'_{24}$、Harada Norton组和Held组。这表明与$M_{24}$元素相关联的李代数可能以某种方式连接到这些简单的组。然而，有即使在怪物李代数和怪物简单组。似乎还有一个有趣的李超代数。设$U$是由两个向量跨越的非整数格$\rho，\rho'$与$\rho^2=\rho'^2=0，（\rho，\rho'）=-1/2$，并且让$L$是$U$和$E_8$格的直接和。我们定义了一个广义Kac-Moody超代数，其根格是$L$，它的真正简单根是范数1用$（\rho，r）=-1/2$向量$L$的$r$，并让其假想简单根是$\rho$的正倍数，每个值的重数为8，其中$\rho的偶数倍数$是偶数根，$\rho$的奇数倍数是奇数（或“super”）根。然后我们推测非零的重数L$中的根$r是$q^{（1-r^2）/2}$in的系数模块化形式$$q^{1/2}\prod_{i>0}（1-q^i）^{-8}（1+q^{i-1/2}）^8$$第2级。此模块形式与奇数幺模格的θ函数作为$\Delta（q）$具有偶数幺模格的θ函数。如果我们能证明有一些广义的卡克·穆迪具有这些根重数的超代数从一个类似于定理1证明的论点它的简单根就是上面的根。{\medbreak{\bf引用}\medskip}\bibitem{\bora}{1}{R.E.Borcherds，顶点代数，Kac-Moody代数，还有怪物。程序。美国国家科学院。美国83（1986）3068-3071.}\《广义Kac-Moody代数》，《代数》杂志115 (1988), 501--512.}\bibitem{\borc}{3}{R.E.Borcherds，广义Kac-Moody的中心扩张代数。显示。}\bibitem{\bord}{4}{R.E.Borcherds，水蛭晶格和其他晶格，博士论文，剑桥1985年。}\bibitem{\bore}{5}{R.E.Borcherds，《水蛭晶格》，罗伊博士，伦敦序列号。A 398（1985），365-376.}\bibitem{\borf}{6}{R.E.Borcherds，类似水蛭晶格的晶格，《代数》，第130卷，第1期，1990年4月，第219-234页\圣经项目{\borg}{7}{R.E.Borcherds，J.H.Conway，L.Queen，N.J.A.Sloane，怪兽李代数？，数学高级。53 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