%这是一张普通的特克斯纸。\放大倍数=\magstep1\vbadness=10000\hbadness=10000\公差=10000\定义\R{\bf R}}\定义\Z{{\bf Z}}\定义\Q{{\bf Q}}\定义\C{{\bf C}}\宣布Enriques曲面的模空间和伪怪物Lie超代数。\hfill 1994年10月27日，1995年1月27日更正。《拓扑学》第35卷第3期，699-7101996年。Richard E.Borcherds，脚注{$^*$}{由国家科学基金资助DMS-9401186。}数学系，埃文斯·霍尔\#3840，加州大学伯克利分校，加利福尼亚州94720-3840美国。电子邮件：reb@math.berkeley.edu\大跳跃MSC号：14J28、11F55。\大跳跃我们证明了复Enriques曲面的模空间是一个删除仿射线副本的仿射变体。我们通过使用广义Kac-Moody超代数的分母函数（与10维环面上的超弦相关）来构造模空间上一个充分线丛的非零截面。\宣布内容。1.引言。符号。2.~Enriques曲面的格$M$和模空间。3.~自同构形式$\Phi$的构造。\宣告1.~引言。Enriques曲面的模空间$D^0$是已知的10维厄米对称空间$\Omega$的商$D$去掉除数$H_d$的离散群$O_M（\Z）$。这个对称空间$\Omega$上有一个$O_M（\Z）$-line bundle$P$$P^n$的部分本质上是重量的自形形式$n$元。线路束$P$在$D$上足够，一些功率定义了将$D=\Omega/O_M（\Z）$嵌入射影空间，这使得$D$，因此$D^0$成为一个拟投射簇。我们会证明的\宣布定理1.1。模空间$D^0$是一个拟仿射空间多样性。为了证明这一点，我们将证明当限制为除数$H_d$的补码，因此模空间上的丛是足够的，因此模空间是拟仿射的（而不仅仅是拟投影的）。$P^4$的部分是本质上与重量$4$的自形形式相同，因此显示我们构造了一个自守形式$\Phi$（定理重量为4的厄米对称空间$\Omega$上的除数$H_d$的1阶零，没有其他零。这个自形形式$\Phi$然后定义$P^4的平凡化$限制为模空间$D^0$。函数$\Phi$在[B92]中构造为扭曲分母伪怪物李代数的函数，与固定8-维Leech格的二阶自同构子空间。$\Phi$是一个自同构形式的事实应该随之而来根据1级案例[B95]结果的概括将其覆盖到更高的级别。由于这种概括还没有完成后，我们证明了$\Phi$是自守形式（在第3节中）通过使用$\Phi$可以写为要么是无穷乘积，要么是无穷和。然后我们展示$\Phi$除了超平面$H_d$之外没有其他零。不难精确描述$D^0$与仿射的区别变体：它是一个仿射变体，具有仿射线$\C^1的副本$远离的。这源于Baily-Borel的描述Sterk在[S，4.5，4.6，4.7]中给出的$D$的紧化。对于读者方便我们简要回顾一下斯特克的研究结果。Baily-Borel酒店紧化由$D$和对应的2个点组成到$M$中原始各向同性向量的两个轨道，以及两个与对应的$\C$和$\C^*$同构的一维块$M$的本原各向同性秩2子晶格的两个轨道。这个$d$的除数$H_d$的闭包包含一个点和一维组件$\C$。$H_d闭包的补码$是一个仿射变种，而这个仿射变型只是$D^0$、$\C^*$的副本和一个点。$\C^*$的副本是由组构造为上半平面的商$\Gamma_0（2）=\{ab\choose-cd}\在SL_2（\Z）|c\equiv 2\bmod0\}$中点只是一个尖点，所以$\C^*$和这个的并集点只是仿射线$\C$的副本。因此模空间$D^0$是具有仿射线$\C副本的仿射变体$远离的。I.多尔加切夫向我指出，定理中构造的形式3.2可能是无限形式族的一种情况，如下所示。让$R$表示以下四个除法代数${\bf R}，{\bv之一C} 实数、复数、哈密顿数或凯利数的{\bf H}、{\bf-O}$。让$S_n（R）$表示Hermitian$n次n$矩阵，其中$R中包含条目$设$S_n（R）^+$为正定矩阵的锥。考虑管域$S_n（R）+iS_n（R）^+$。$R={\bf O}$和$n时除外>3$它是一个对称有界域。当$n=2，R={\bf O}$时，我们得到删除除数$H_D$的商$D$的域$\Omega$参数化Enriques曲面。设$\Gamma（R）$为算术组$Sp（2n，\Z）$（$R=\R$），$GL\校准O}{\bf H}）$（$R={\bf-H}$），$O_M（\Z）$（$R={bf-O}，n=2）$。每一个都可能有类似的$\Gamma$模块化形式空格。其零的补码应该是Calabi-Yau流形族（可能非单连通）维度$n$。这种形式的存在已知为$n=2$，$R\ne{\bf H}$。如果$R=\R$，则$S_2（\R）+iS_2（\ R）^+$是三维Siegel空间$Z_2$，该族是库姆表面。在$\C$的情况下，域$S_2（\C）+iS_2（[C）^+$是类型$I_{2,2}\cong IV_4$的四维，族是族K3-曲面的分支覆盖的非奇异模型平面在六条线的并集上分支（参见[M]相应形式的构造）。情况$R={\bf O}$是定理3.2。如果$n$是任意的并且$R=\C$Dolgachev猜想这个家族是Calabi-Yau$n$-的家族通过${\bf P}^n$分支的双覆盖的分解获得在一般位置沿$2n+2$超平面。Kondo[K]最近证明了Enriques的模空间曲面是有理的。也可以构造与使用类似方法（如A。托多罗夫向我建议）。例如，示例中构造的表单与Dynkin图$E_7$相关的[B95]第16节第4段是群$O_{II_{2,18}\oplus的一个自同构形式\langle-2\rangle}（\R）$在超平面上消失范数$-2$向量，与极化度为2的K3表面。我感谢I.Dolgachev、A.Torodov、N.I.Shepherd-Barron和裁判向我解释K3和Enriques曲面的模空间建议几项改进和更正。\宣布符号和术语。所有的变种都是在复数上定义的。双线性形式格上的符号与[B95]中的符号相反；这是因为代数几何中的符号约定与之相反在洛伦兹格理论中。\项目{${}'$}如果$M$是一个格，那么$M'$表示$M$的对偶。\项目{${}^+$}如果$G$是$O_M（\Z）$的子组，则$G^+$是元素$G$的子组，不交换这两个元素$\Omega$的组件。\项目{$c（n）$}$\sum_nc（n。\项目{$C$}$L\otimes\R$中的开放实心圆锥体。\项目{$\C$}复数。\项目{$\Delta（\tau）$}$=\eta（\tao）^{24}$。\项{$d$}$M$的标准$-2$向量。\项目{$D$}复杂空间$\Omega/O_M（\Z）$。\项{$D^0$}Enriques曲面的模空间，其中是$D$，除数$H_D$已删除。\项目{$E_4（\tau）$}$=1+240\sum_{m>0，n>0}m^3q^{mn}$。\项目{$E_8$}$E_8$晶格。如果$n$是整数则$E_8（n）$表示具有双线性形式的值的$E_8$乘以$n$。\项目{$\eta（\tau）$}$=q^{1/24}\prod_{n>0}（1-q^n）$。\物品{$\Phi$}重量为4的自形形式。\项目{$f（\tau）$}$=\eta（\tao）^{-8}\eta。\项目{$\Gamma_1$}反射生成的$O_M（\Z）$的子组$R_2$和$1$。\项目{$\Gamma_2$}反射生成的$O_M（\Z）$的子组$R_0\杯R_2$和$-1$。\项{$\Gamma_3$}在引理2.5中定义的$O_M（\Z）$的一个有限索引子群。\项目{$H_d$}$\Omega$的点与标准$-2$向量$d\单位为M$。\项目{$\Im（y）$}$y$的虚部。\项{$II_{m，n}$}的偶幺模洛伦兹格维度$m+n$和签名$m-n$。\项目{$I_5$}修改的贝塞尔函数。\项｛$L$｝格$E_8（-2）\oplus II_｛1,1｝$。L中的元素$（v，m，n）\$对于E_8（-2）$，$m中的$v，Z$中的n具有范数$v^2+2mn$。\项{$\lambda$}$L'$中的向量。\第{$M$}项格子$L\oplus II{1,1}（2）$。m中的元素$（v，m，n）$对于L$、$m中的$v，Z$中的n具有范数$v^2+4mn$。\项目{$\mu$}$L$中的向量。\项目{$m，n$}整数。\项{$O_M（\Z）$}格$M$的所有自同构的组。\项目{$\Pi^+$}$L$的正向量集，即。，与$\rho$或具有正内积的向量是$\rho$的正倍数。\项目{$q$}$e^{2\pi-i\tau}$\项目{$\Q$}有理数。\项{$\rho，\rho'$}范数0向量$\rho=（0,0,1）$并且$\rho'=晶格$E_8（-2）\oplus II_{1,1}$的（0,1,0）$。\项{$r$}$M$的标准$-2$向量。\项{$R_0，R_2$}$M的范数$-2$向量集$具有$u$的内积0或2。\项{$S$}iC$中的点$y\的曲面，其中$（y，y）=-1$。\项目{$\tau$}具有正虚部的复数。\第{$u$}项L\oplus II{1,1}（2）中的范数0向量$（0,0,1）=M$。\项目{$v$}$L$的向量。\项{$W$}晶格的反射群$L=E_8（-2）\oplus II{1,1}$由范数$-2$向量的反射生成。\$O_M（\Z）^+$到$\{pm1\}的同态$取范数$-2$向量到$-1$的反射和反射将范数$-4$向量转换为1。\项{$y$}$L\otimes\R+iC$中的向量。\项目{$\Psi（y）$}$=\Phi（y+（\rho-\rho'）/2）$。\项｛$\Omega$｝厄米对称空间（有2个分量）与晶格$M$关联，由所有点$\omega\in组成P（M\otimes\C）$，使$（\omega，\omega）=0$和$（\omega，\bar\omega）>0$。\宣告2.~格$M$和Enriques曲面的模空间。在本节中，我们回顾有关Enriques模空间的一些事实曲面，以及相关的晶格和对称空间。许多这些结果可以在[B-P-V第八章]中找到。我们将格$M$定义为$L\oplus II_{1,1}（2）$，其中$L=E_8（-2）\oplus II_{1,1}$，$E_8$是$E_8$lattice，$II_{1.1}$是二维偶不定幺模格。如果$L$是任何格且$n$是整数，则$L（n）$表示$L$双线性形式乘以$n$。我们写$M=L\oplus的向量II_{1,1}（2）$作为$（v，m，n）$，其中$v\以L$，$m，n\以Z$表示，因此向量具有范数$v^2+4mn$。类似地，我们写向量$L=E_8（-2）\oplus II_{1,1}$作为$（v，m，n）$，其中$v\位于E_8（-2-）$，$m，n\n\Z$，所以这个向量有范数$v^2+2mn$。$M$的范数0向量$u$定义为向量$（0,0,1）\inM$，类似地，我们在L$中定义$\rho=（0,0,1）和$\rho’=（0,1,0）\in雷亚尔。我们为格$M$的自同构群写$O_M（\Z）$。如果格的向量具有偶数类型，则称其为偶数类型所有向量的内积，我们会说它有奇数类型否则。$M的本原范数0向量有两个轨道$在$O_M（\Z）$下，可以通过它们是否具有偶数或奇数类型。在$L$可以用同样的方式区分。我们将$M$的厄米对称空间$\Omega$定义为集合向量$\omega\in P（M\otimes\C）$，使得$（\omega，\omega）=0$和$（\omega，\bar\omega）>0$（其中$P$表示向量空间）。空格$\Omega$有两个组件，我们写$O_M（\Z）^+$的元素的$O_M（\Z）$的索引2的子群不要更换这两个组件。还有第二种模型$\Omega$，我们将在第3节中使用。的正范数向量$L\otimes\R$形成两个开放锥，我们选择其中一个并调用它是$C$。然后可以识别$\Omega$的两个组成部分之一通过识别L\otimes\R中的点$v\$L\otimes\R+iC$+iC$，点$\Omega$由$（v，1/2，-v^2/2）\in表示备忘录\C$。$M\otimes\R$的任何自同构都会导致$\Omega$的自同构，如果它不交换$\Omega$的两个组件诱导$L\otimes\R+iC$的自同构。我们描述这些在一些情况下，我们稍后将需要自同构。如果$\sigma$为$M=L\oplus II_{1,1}（2）$的自同构$II_{1,1}$则它诱导$L$的自同构，因此$L\otimes\R+iC$以明显的方式。如果L'$中为$\lambda\，则存在取$（v，M，n）$到的$M$的自同构$（v+2m\lambda，m，n-（v，lambda）-m\lambda^2）$，以及$L\otimes\R+iC$的自同构需要$y$到$y+\lambda$。最后$M\otimes\Q$的向量$（0,1，-1/2）$的超平面中的反射$（v，1/2，-v^2/2）$到$（v、-v^2,1/4）$，因此诱导从$y$到$-y/2（y，y）$的$L\otimes\R+iC$的自同构。备注：组$O_M（\Z）$的定义似乎略有不同来自[B-P-V]中的$\Gamma$组，但它来自[N备注1.15]这两组是相同的。类似命题VIII.20.6[B-P-V]状态的有限多个等价类$O_M（\Z）$下$M$的范数$-2$向量，但它从[N]（或从下面的引理2.3），实际上只有一个范数轨道$-2$向量。特别是上的除数$\bigcup_dH_d/O_M（\Z）$$\Omega/O_M（\Z）$是不可约的，而不仅仅是不可约除数。如果$d$是$M$的范数$-2$向量，我们为的除数写$H_d$$\Omega$的点由与$d$正交的点表示。然后呢根据[B-P-V VIII]的20.5、21.2、21.4，或根据[N，1.14]Enriques曲面的模空间为$$D^0=大（\Omega\backslash（\bigcup_dH_D）\big）/O_M（\Z）$$在本节的其余部分中，我们将证明关于由不同子集生成的$O_ M（\Z）$的子群。\宣布引理2.1。假设$v$是$L\otimes\Q$中的向量，但不是对偶$L'中的向量$假设$x$是任意实数。然后我们可以找到一个L$中的向量$\mu\与$\mu^2\equiv 2\bmod 4$，这样$|（\mu-v）^2-x|<2$。证明。由于$v$不在$L'$中，我们可以找到一个原始范数0向量奇数类型的$L$的$\rho$，使得$（\rho，v）$不是整数。这个是因为奇数类型的原始范数0向量跨越$L$。作为$O_L（\Z）$在这种范数0向量上传递作用，我们可以假设$\rho=（0,0,1）\在E_8（-2）\oplus II_{1,1}$中。则$v=（\lambda，a，b）$$a$不是整数。我们会找到表格中的一些$\mu$在II_{1,1}$中$\mu=（0，m，n），其中$m$和$n$都是奇数，因此$\mu^2\equiv 2\bmod 4$。所以我们必须找到奇数$m$和$n$满足$|（\mu-v）^2-x|=|\lambda^2+2（a-m）（b-n）-x|<2$。作为$a$不是整数，我们可以找到一些奇数$m$，其中$0<a-m<1$。然后每当我们把2加到$n$上时，我们就用一个非零数改变$2（a-m）（b-n）$小于4，所以我们可以选择一些奇整数$n$，以便$2（a-m）（b-n）$与任何给定实数的距离小于2$x-\lambda ^2$。这证明了引理2.1。\宣布引理2.2。假设$R_2$是$M$的范数$-2$向量具有$u=（0,0,1）$的内积2，以及$\Gamma_1$是反射生成的$O_M（\Z）$的子组$R_2$的向量和自同构$-1$。则M中的任何向量$r\$在$\Gamma_1$下与m中形式为$（v，m，n）的向量共轭$$m=0$或$v/m\（单位：L'$）且$m>0$。证明。我们可以假设$r=（v，m，n）$具有以下属性$|（r，u）|=|2m|$在$r$的所有共轭中是最小的$\Gamma_1$。如果$m=0$，我们就完成了，因此我们可以假设$m\ne 0$，并且我们希望在L'$中显示$v/m\。假设L'$中的$v/m\not。通过引理2.1，我们可以找到一个向量L$中的$\mu，具有$|（\mu-v/m）^2+（-4n/m-v^2/m^2）|<2$和$\mu^2\equiv2\bmod 4美元。但如果我们计算内积$（r'，u）$，其中$r'$是$r$在$（\mu，1，在R_2$中，我们发现$（R'，u）$具有绝对值$|（r'，u）|=|（r，u+2（\mu，1，（-\mu^2-2）/4））|=|m（（\mu-v/m）^2+（-4n/m-v^2/m^2））|<|2m |=|（r，u）|$，这是不可能的，因为我们假设$|（r，u）|=2m|$最小值。因此，L'$中的$v/m。显然，我们可以假设$m>0$通过使用自同构$-1$。这证明了引理2.2。我们为范数$-2$向量集编写$R_0$或$R_2$$M$的内部产品为$0$或$2$与$u$。我们让$\Gamma_1$是由$1$和以下元素的反射生成的组$R_2$，我们让$\Gamma_2$成为$-1$生成的组以及$R_0\cup R_2$元素的反射。\宣布引理2.3。任何标准$-2$$M$的向量与群下$R_0\cup R_2$的元素共轭$\Gamma_1$。特别是组$\Gamma_2$是由$-1$和$M$的所有规范$-2$向量的反射。证明。设$r=（v，m，n）$，这样通过引理2.2我们可以假设$m=0$或$v/m\，单位为L'$，$m>0$。如果$m=0$，则$r$为正交于$u$，所以这种情况是微不足道的。现在假设L'$中的$v/m（因此$（v/m，v/m）\in\Z$）和$m>0$。那么$-2=（r，r）=m^2（v/m，v/m）+4mn$可以被$（m^2,4m）$整除，所以$m=1美元。因此，$r=（v，1，n）$是$r_2$的元素。这证明了引理2.3。备注：引理2.3可用于给出Namikawa定理的初等证明结果[N，2.13]$O_M（\Z）$对范数$-2起传递作用$$M$的向量，这意味着$D$中$D^0$的补码是不可约除数。这可以通过以下方式完成$R_0$和$R_1$由引理2.4（1）和（2）中的群，然后显示$M$有一些自同构（例如，范数$-4$向量中的反射）将$R_0$的一些向量映射到$R_1$。\宣布引理2.4。$M的两个基本范数0向量$z$和$z'$$偶数类型的在$\Gamma_2$的相同轨道上当且仅当它们是一致的模块$2M$。特别是只有有限的数字这种范数0向量在$\Gamma_2$下的轨道。证明。根据引理2.3，群$\Gamma_2$是由$-1$和all生成的群范数$-2$向量的反射，因此在$O_M（\Z）$中是正常的。我们可以在2M'$中找到范数0向量$u\，使得$（u，z）不等于0\bmod4$，因为$z$是原语，而$\Gamma_2$在$O_M（\z）中是正常的$我们可以假设$u=（0,0,1）$。$\Gamma_2下$z$的任何共轭$与$z\bmod 2M$一致，因此具有与$u的内积$不可被4整除，特别是不与$u$正交。由引理2.2这意味着我们可以假设$z=（mv，m，n）$$v\以L'$表示，$m>0$。由于$z$的范数为0，我们看到$m^2v^2=-4mn$，所以$mv^2=-4n$作为$m\ne 0$。向量$2v$以$L$表示，因此如果$m$是可被一些奇数$p$整除，然后再除以M$中的$z/p。作为$m=（z，u）/2$是奇数和$z$是原语，这表明$m=1$。因此，我们可以假设$z=（v，1，n）$和$z'=（v'，1，n'）$与$v\equivv'\bmod 2L$。如果$r$是$L$的范数$-2$向量，则$（r，0,0）$和$（r、0,1）$的反射是自同构$（v，1，n）$到$（v+2r，1，n-（v，r）+2）$。晶格$L$由它的范数$-2$向量$r$，因此这些自同构可以用于映射$z$到$z'$。这证明了引理2.4。\宣布引理2.5。由生成的组$\Gamma_3$以下几组自同构在$O_M（\Z）^+$中具有有限索引。\项{（1）}$O_L（\Z）^+$中的自同构（扩展到自同构通过让他们在$II_{1,1}（2）$上无足轻重地行动，获得$M$。\项{（2）}取$（v，m，n）$到对于L'$中的$\lambda\，$（v+2m\lambda，m，n-（v，\lambda）-m\lambda^2）$。这个是$M$固定$u$的所有自同构和$M/语言等级$。\项{（3）}由范数$-2的反射给出的自同构$$M$的向量$r$具有与$u$的内积2。（中的组（2） 上述可传递作用于这样的范数$-2$向量$r$的集合，所以我们选择哪一个并不重要。）\项目{（4）}自同构$-1$。证明。由上述（1）和（2）中的自同构生成的群是$O_M（\Z）^+$中修复偶数型的本原范数0向量$u$，因此证明$\Gamma_3$在$O_M（\Z）^+$中有有限的索引，这足以表明在本原范数$\Gamma_3$下只有有限个轨道0个偶数类型的向量。但是$\Gamma_3$包含$\Gamma_2$，因为（2）中的自同构群在范数集上传递作用$-2$向量具有$2$与$u$的内积和自同构组中包含$R_0$向量的所有反射，并通过引理2.4$\Gamma_2$在基元集上只有有限个轨道范数为0的偶数型向量。这证明了引理2.5。不幸的是，转换生成的组$\Gamma_3$以上不是整个组$O_M（\Z）^+$，这意味着证明$\Phi$是第3节中$O_M（\Z）^+$的自守形式必须是间接的。例如，首先是转换在$M$中保留偶数类型的向量集，其内积为用$u$不能被4整除，很容易看出$u$不是但在反射下与该集中的向量共轭在范数$-4$向量中，该向量具有与$u$的内积$-2$。\宣告3.~自同构形式$\Phi$的构造。在本节中，我们构造了重量为4的自守形式$\Phi$$\Omega$的两个零组件之一上的$O_M（\Z）^+$正是与$M$的范数$-2$向量正交的除数。我们将$\Phi$构造为$L\otimes\R+iC$上的函数。我们首先回顾[B92第14节，示例3]中扭曲的怪物李代数自同构的分母公式来自Leech晶格与8维的对合固定子空间并使用它定义$\Phi$。不幸的是，有2个错误打印了那里给出的公式：第一个中的最后一项第442页上的公式应该是$（-1）^{m+n}|p_g（（1-r^2）/2）|$，并且下一行中的因子$q^{1/2}$应该不存在。它应该还要注意[B92]中洛伦兹格的符号约定与这里使用的相反。有了这些将扭曲分母公式更改为$$\eqalign{\Phi（年）&=\sum_{w\在w}\det（w）e^{2\pi i（\rho，w（y））}中\prod_{n>0}（1-e^{2\pi in（\rho，w（y））}）^{（-1）^n8}\cr&=e^{2\pi i（\rho，y）}\prod_{r\in\Pi^+}（1-e^{2\pii（r，y）}）^{（-1）^{（r，\rho-\rho'）}c（（r，r）/2）}\cr}$$其中第一个等式是$\Phi$的定义，第二个等式等式只适用于无穷大的收敛区域乘积（参见引理3.1后面的注释）。向量$y$是一个$L\otimes\C$的元素，其中$C$为正$L\otimes\R$中的开口圆锥体。组$W$是$O_L（\Z）的子组$由$L$的范数$-2$向量的反射生成（并且具有$L$的全反射组中的无限索引）。它也是假怪物李超代数的Weyl群。向量$\rho$和$\rho'$是的范数零向量$（0,0,1）$和$（0,1,0）$$L=E_8（-2）\oplus II_{1,1}$，并且$\rho$也是假怪物李超代数。集合$\Pi^+$是正数的集合伪怪物李超代数的根，它由所有范数至少$-2$的非零向量$（v，m，n）$，使得$m>0$或$m=0$和$n>0$。数字$c（n）$是$$\eqalign{f（\tau）&=\sum_nc（n）q^n\cr&=（τ）^{-8}&=q^{-1}（1+q）^8（1-q^2）^{-8}（1+q^3）^8\cdots\cr&=q^{-1}+8+36q+128q^2+402q^3+1152q^4+3064q^5+O（q^6）\cr}$$\宣布引理3.1。序列$\log（c（n））$渐近于$2\pi\sqrt n$。证明。圆方法（参见[R]）给出了任何亚纯负模形式的系数$c（n）$上半平面中无极点时的重量尖角。$f（τ）渐近展开式中的主导项$来自顶点0处$f（\tau）$的订单$1/4$的极点，给定通过美元\套^{4} （f）（-1\\tau）=16\eta（\tau）^{-8}=16q^{-1/4}+\cdots$。这表明$c（n）$对$\pi是渐近的n^{-5/2}I_5（2\pi\sqrt n）$其中$I_5$是修改的贝塞尔函数（参见[B95引理5.3]）。由于$I_5（x）$渐近于$e^x/\sqrt{2\pix} $我们通过取对数得到引理中所述的结果。这证明了引理3.1。特别是，这意味着$\Phi的无穷乘积$只要$y$在开放区域中有虚部，就会收敛以iC$中点$y\的超曲面$S$为界，$（y，y）=-1/2$（参见下面引理3.3的证明）。注：通过计算几个例子很容易检查引理3.1数值；例如，$\pi n^｛-5/2｝I_5（2\pi\sqrt n）的值$对于$n=-1，0，1，2，3，4，5$分别为1.17$、8.01$、35.59$、128.02$，402.80美元、1151.95美元和3062.48美元，可与上述$c（n）$的值。\宣布定理3.2。功能$\Phi（y）$是$L\otimes\R+iC$上关于离散子群$O_{M}（\Z）^+$和的字符$\chi$$O_M（\Z）^+$（定义如下）。这个定理的证明需要本节的其余部分。我们首先注意到$\Phi$的以下两个明显转换定律立即遵循$\Phi$的定义。如果$\sigma\in O_L（\Z）^+$，则$$\Phi（\sigma（y））=\chi（\simma）\Phi$$其中$\chi$是$O_L（\Z）^+$的字符取范数$-2$向量到$-1$的反射，并取normal$-4$向量到$1$。如果L'$中为$\lambda\，则$$\Phi（y+\lambda）=\Phi$$下一个引理本质上是[B95]定理5.1的特例。\宣布引理3.3。如果定义$\Psi（y）=\Phi（y+（\rho-\rho'）/2）$，则$\Psi（y）$消失每当$y$位于iC中点$y_0\的曲面$S\子集iC$上时$$（y_0，y_0）=-1/2$。证明。我们可以假设$y_0\in i（L\otimes\Q）$是因为有理点以$S$表示。如果$y_0$是$S\cap i（L\otimes\Q）$中的一个点，则我们看看函数$g（\tau）=-\log（\Psi（\tauy_0/i））\exp（-2\pi\tau（\rho，y_0））$，为$\Im（\tau）$large定义。这可以展开为有理幂的幂级数$g（\tau）=\sum_｛n\in\Q｝a（n）Q^｛n｝$$q=e^{2\pii\tau}$的。首先，我们证明$g$的系数是非负的。如果我们看看无限的产品扩张$$\磅/平方英寸（y）=-e^{2\pi i（\rho，y）}\prod_{r\in\pi^+}（1-（-1）^{（r，\rho-\rho'）}e^{2\pii（r，y）}$$我们可以看到$-\log（-\Psi（y）/e^的所有傅立叶系数$a（r）$（\rho，y）｝）=\sum_ra（r）e^｛2\pi i（r，y）｝$是非负的。这是因为如果$r$是一个基本向量，则傅里叶系数$a（nr）$$（n>0）$由傅里叶系数给出$$-\log\prod_{m>0}（1-e^{2\pi-im（r，y）}）^{c（（mr，mr）/2）}$$如果$（r，\rho-\rho'）$是偶数，则按$$\eqalign美元{&-\log\prod_{m>0}（1-（-1）^me^{2\pi-im（r，y）}）^{（-1）_mc（（mr，mr）/2）}\cr=&-\log\prod_{m>0，m{\；\rm奇数}}（1-e^{2\pi-im（r，y）}）^{c（（mr，mr）/2）}\cr&-\log\prod_{m>0，m{\；\rm偶数}}（1-e^{2\piim（r，y）}）^{c（（mr，mr）/2）-c（（mr/2，mr/2）}\cr}$$如果$（r，\rho-\rho'）$是奇数，在这两种情况下，我们可以看到所有的傅里叶系数都是非负，因为对于任何$n$，$0\le c（n）\ le c（4n）$。这意味着$g$的序列是非负的，因为$g$是限制$-\log（-\Psi（y）/e^{2\pi i（\rho，y）}）的$到一条直线，使其系数$a（n）$由下式给出$a（n）=\sum_{（r，y_0）=n}a（r）$。通过使用引理3.1，我们可以检查$\limsup_{n\rightarrow+\infty}\log（a（n））/n=2\pi$。我们得到$2\pi$作为$\limsup$的上界，因为在和$a（n）=\sum{（r，y0）=n}a（r）中$项数由$n$中的多项式（9次）限定，在每个术语中，$（r，r）$最多为$n^2/|y_0^2|=2n^2$，$a（r）$不比$c（（r，r）/2）$大多少，后者的日志通过引理3.1大约是$2\pi\sqrt{（r，r）/2}\le2\pin$。我们可以用类似的方法证明$2\pi$是$\limsup$的下限，通过观察所有系数$a（r）$都是正的，所以$a（n）$在其下方以最大值为界，并且存在无限多的$n$，使得最大的$a（r）$在总和中大致是$e^{2\pi\sqrt{（n^2/y_0^2）/2}}=e^{2\pin}$。因此，$g$的级数具有收敛半径$|q|=\limsup|a（n）^{-1/n}=e^{-2\pi}$。因此$g$在$e^{2\pii\tau}=q=e^{-2\pi}$处有一个奇点，因为具有收敛半径的非负系数幂级数$e^{-2\pi}$在$e^}-2\pi{$处有一个奇点。（这就是为什么我们必须将$\Pii$替换为$\Psi$：$-\log（\Phi（y）/e^｛2\pi i的系数（\rho，y）}）$并不都有相同的符号。）这意味着$g（\tau）=-\log（\Psi（\tau-y_0/i）\exp（-2\pi\tau（\rho，y_0））$有一个$\tau=i$处的奇点，因此$\log（\Psi（y））$在$y=y_0$。然而，$\Psi（y）$在$y=y_0$处是全纯的，所以唯一的方法是如果$\Psi$在$y_0$。这表明$\Psi$在曲面$S$上消失，并证明引理3.3。定理3.2证明的主要步骤是$\Phi$（或者更确切地说，$\Psi$）遵循额外的转换定律。\宣布引理3.4$$\Psi（-y/2（y，y））=-16（y，y）^{4}\Psi（y）.$$证明。对于纯假想值$y$，因为通过分析，所有$y$的结果都为真继续。圆锥体$iC$具有由$L\otimes\R$上的双线性形式，并具有关联的波运算符由拉普拉斯的伪黎曼度量给出。在空间上$iC$、$\Psi$是波动方程的解，因为定义$\Phi$的总和中的术语$\exp（（w（n\rho），y））$是波动方程（因为每个向量$w（n\rho）$的范数为0）。这个暗示$（y，y）^{10/2-1}\Psi（-y/16（y，y））$也是基于波算子变换的波动方程$iC$的保角变换$y\rightarrow-y/2（y，y）$。（为此特殊保角变换这很容易直接检查如果$\Psi（y）$是中波动方程的任何解$n$维度，那么对于任何正数，$（y，y）^｛n/2-1｝\Psi（-y/c（y，y））$也是如此常数$c$。证明这一点的最快方法是选择正交坐标使$y=（x_1，\ldots，x_n）$并计算$（{\partial^2\部分x_1^2}+\cdots+{\partial^2\over\partialx_{n-1}^2}-{\部分^2\over\部分x_n^2}）（y，y）^{n/2-1}\Psi（-y/c（y，y））$显式表示它在$y$。因为在洛伦兹变换，只需要检查消失位于$（0，\ldots，0，r）$形式的$y$点。）现在我们检查$-16（y，y）^{4}\Psi（-y/2（y，y））$和$\Psi$这两个函数在表面$S$。它们都通过引理3.3在$S$上消失，因此具有相同的常数项，出于相同的原因，它们的第一个偏导数与$S$相切的任何方向上的导数都为零，因此它只是需要检查它们是否具有相同的一阶偏导数垂直于$S$的方向。但如果$\Psi$是上的任何平滑函数$iC$在S$中$S\点对$S$的偏导数为$x$，则$\Psi（-y/2（y，y））$具有$S$在$S$的正常偏导数$-x$。（接下来是限制$\Psi$到通过$0$和$s$的行，并使用元素如果为正实$y定义了可微函数$h$$然后是$h（y）的导数$和$-h（y/2y^2）=-h（1/2y）$在$y=1/\sqrt 2$时相等。）函数$-2（y，y）$是$S$上的1，因此对$S$的偏导数$（-2（y，y））^n\Psi（-y/2（y，y））$对于任何整数$n$都是$-x$，因为$\Psi（-y/2（y，y））$因$y\在S$中消失。因此$-16（y，y）^{4}\Psi（-y/2（y，y））$和$\Psi表面上最多1阶导数$S$。这两个函数均满足波动方程且具有相同的偏导数非特征曲面$S$上最多1阶导数，因此，根据Cauchy-Kovalevsky定理的唯一性部分，他们必须在$iC$上相等。这证明了引理3.4。\宣布引理3.5$\Phi$是重量4的自形形式对于$O_M（\Z）$的有限指数子群$\Gamma_3$（在引理2.5中定义）。证明。引理3.4表明$\Psi$像自守形式一样变换$M\otimes\Q的范数$-2$vector$（0,1，-1/2）$中反映不足$（不以百万美元为单位）。我们通过应用$M\otimes\Q$的自同构取$（v，M，n）$到$（v+2\lambda M，m、 n-（v，\lambda）-\lambda^2m）$其中$\lambada=（\rho-\rho'）/2\单位为L\Q$。此自同构将$（0,1，-1/2）$作为范数$-2$向量$（\rho-\rho'，1，0）\单位为L$。因此，$\Phi$像范数$-2$向量中反射下的自守形式$（\rho-\rho'，1,0）$具有带$u$的内积2。我们有因此验证了$\Phi$在所有引理2.5的变换，证明了引理3.5。\宣布引理3.6。形式$\Phi$消失（按顺序1）沿着$M$的范数$-2$向量的所有除数。证明。通过引理2.3，我们知道任何范数2向量都与$R_0$或$R_2$中的向量，以及的（1）和（2）中的组引理2.5对这两个集合起传递作用，因此它足以证明$\Phi$沿$R_0中一个向量的除数消失$和$R_2$中的一个向量。但是$\Phi$沿着R_2$中的向量$（\rho-\rho'，1,0）由引理3.3表示（参见引理的证明3.5），并且$\Phi$沿与任何向量$R_0$，因为函数方程$\Phi（\sigma（y））=\chi（\sigma）\Phi在这个超平面中被反射。这证明了引理3.6。\宣布引理3.7。存在重量为16632/2的自形形式对于格子$II_{2,10}=E_8（-1）\oplus II_{1,1}\oplus-II_{1.1}$其零点正好是的范数$-4$向量的超平面$II_{2,10}$。证明。亚纯模形式$$E_4（\tau）^5/\Delta（\tao）^2-1248E_4（\t au）|2/\Delta=q^{-2}+16632+O（q）$$重量$-4$，级别为1，上半平面上没有杆，因此应用[B95]的定理10.1证明了自守的存在具有所需属性的表单。这证明了引理3.7。\宣布引理3.8。$\Phi$的唯一零位于$M$的范数$-2$向量的超平面上。证明。组$II_{2,10}/2II_{2.10}$具有顺序$2^{12}$及其元素具有定义良好的范数mod 4。在组下$O_{II_{2,10}}（\Z）$其元素分裂为3个轨道：零元素，大小为$2的轨道^{11}-2^5=2016年$标准要素与$2\bmod4$同余，轨道大小为$2^{11}+2^5-1=2079$范数与$0\bmod 4$同余的非零元素。我们注意到$II_{2,10}$的每个范数$-4$vector$v$都给出一个唯一的范数$0\bmod$II_{2,10}/2II_{2.10}$的4$non-zero元素$v$，以及此分区将$II{2,10}$的范数$-4$向量转换为2079个不相交类。对于范数$0\bmod 4$in的2079个非零向量中的每一个$II_{2,10}/2II_{2.10}$，这个向量在$II_}2,10}中的反像$与$2II{2,10}$一起生成$M（2）$的副本。对于每个这2079份$M（2）$的复印件是$\Phi表格的复印件$对应于它（其参数被$\sqrt因子重新缩放2$），我们将这2079个自守形式相乘，得到一个函数$\Theta$。（尚不清楚$\Theta$是否唯一因为我们还没有证明$\Phi$是一个整个$O_M（\Z）^+$的自守形式，但这不是问题。）通过引理3.5$\Theta$是某些有限形式的自守形式重量$4\乘以2079$的$O_{II{2,10}}（\Z）$的索引子群。这个$II_{2,10}$的任何范数$-4$向量$v$的超平面是向量$v\in对应的$\Phi$因子II_{2,10}/2II_{2.10}$（对应于$M$）的副本，因此$\Theta$在所有范数的所有超平面上消失$II_{2,10}$的$-4$向量。因此，我们可以将$\Theta$除以引理3.7的自同构形式以获得权重的自同态形式$4\times 2079-16632/2=0$这是Koecher在尖端全纯的有界性原则。因此，这个商必须是常数，所以它没有零，因此$\Theta$形式除此之外没有零与$II_{2,10}$的标准$-4$向量相对应。但是这意味着$\Phi$除了对应的零之外没有其他零规范$M$的$-2$向量，否则会产生其他$\Theta$的零。这证明了引理3.8。现在我们可以完成定理3.2的证明。作者：Koecher有界性原理确定了$\Omega$上的自守形式将$\Omega$上的常数乘以其零，因为如果$f$和$g$是两种具有相同零的形式，然后是$f/g$及其逆$g/f$都是自守形式，因此它们必须都是常数。$\Phi$在$O_M（\Z）的任何元素下的转换^+$与$\Phi$具有相同的零，因为$\Phi$的零只是对应于$M$的标准$-2$向量。因此$O_M（\Z）$的任何元素下的$\Phi$等于$\Phi$乘以一些非零常数。这证明了定理3.2。备注：$\Phi$没有多余零的证明依赖于一个奇怪的数值上的巧合。如果我们假设$\Phi$是自守形式对于群$O_M（\Z）^+$，我们可以给出如下所示。（不幸的是，$\Phi$是$O_M（\Z）^+$的自形形式使用了$\Phi$没有多余的零，所以除非有人找到一个$\Phi$在$O_M（\Z）^+$下是自同构的不同证明！）由[B95]的定理5.1$\Phi$的任何零都必须是$M$的基本向量$v$（这是hermitian的子集对称空间在[B95]中称为有理二次除数。我们有证明$v$具有标准$-2$。根据下面的引理3.9，有一些原始范数0向量与$v$正交。作为$\Phi$的转换$O_M（\Z）^+$下的自同构形式，我们可以假设这是范数零向量$u$。但是$v$的除数与定义$\Phi$的无限乘积的收敛区域，其中只有当无穷大中的一个因子为零时才可能产品。但无穷乘积中仅有的零因子是形式为$1-\exp（2\pi i（x，y））$且$x$为范数向量的那些$-2$. 这表明$v$是范数$-2$的向量，因此显示$\Phi$的零正好是范数$-2的超平面$向量$M$。\宣布引理3.9。$M$的任何向量都与$O_M（\Z）$下$u$的共轭。证明。晶格$M$包含二维基本各向同性子格$U$，使$U$中的每个向量都具有偶数类型，以便$U$中的每个基元向量都与$O_M（\Z）^+$下的$U$共轭。由于$U$的维数大于1，因此在$U$与具有所需属性的$v$正交。这证明了引理3.9。注：任何向量在群下都是共轭的，这是不正确的$\Gamma_3$到与$u$；正交的向量；例如，这不是对于具有$u$内积的偶数型向量为true可以被4整除。$M$的任何向量$v$也不是真的与奇数类型的原始各向同性向量$u$正交。事实上，它不难检查，如果$v$具有此属性，那么$v$具有范数$（v，v）$可被4整除。引理3.9的证明就此失败了case，因为晶格$U$位于二维的另一个轨道原始各向同性子晶格仍然有一些原始向量偶数类型。\宣布参考文献。\项目{[B92]}{R.E.Borcherds，怪诞的月光和怪诞的谎言超代数，发明。数学。109, 405-444 (1992).}\项目{[B95]}R.E.Borcherds，$O_{s+2,2}（R）上的自守形式$和无限乘积。发明接受。数学。1994年8月。\项目{[B-P-V]}W.Barth，C.Peters，A.Van de Ven，``紧凑复杂曲面”，Springer Verlag，1984年。\项目{[K]}S.Kondo，模空间的合理性Enriques surfaces，复合数学。91（1994）第2期，159-173。\项目{[M]}K.Matsumoto，有界对称上的Theta函数$I_{2,2}$型域和四参数族的周期映射K3表面。数学。Ann.295，383-409，（1993）。\项目{[N]}Y.Namikawa，Enriques曲面时期，数学。Ann 270，第201-222页（1985）。\项目{[R]}{H.Rademacher，“解析数论主题”，Einzeldarstellungen的Die Grundlehren der mathematischen Wissen schaften1973年，纽约州海德堡市柏林施普林格-弗拉格169乐队。}\项目{[S]}H.Sterk，Enriques周期空间的压缩曲面，数学。Z.207第1-36页（1991）\再见