%这是一张普通的特克斯纸。\放大倍数=\magstep1\vbadness=10000\hbadness=10000\公差=10000\定义\C{{\bf C}}%复数\def\Q｛｛\bf Q｝｝%有理数\def\R{{\bf R}}%实数\定义\Z{{\bf Z}}%整数\定义\Aut{{\rm Aut}}\定义\高度{{\rm高度}}\宣告正定格的分类。\hfill 2000年2月22日Richard E.Borcherds，%作者\脚注{$^*$}{支持NSF拨款DMS-9970611。}数学系，埃文斯·霍尔\#3840，加州大学伯克利分校，加利福尼亚州94720-3840美国。电子邮件：reb@math.berkeley.eduwww主页www.math.berkeley.edu/\hbox{\~{}}-reb\大跳跃\宣布内容。1.一种用于对某些洛伦兹格中的向量进行分类的算法。2.格子$II_{1,25}$中的向量。3.无根格。表0:$II_{1,25}$中的基本范数$0$向量。表1:$II_{1,25}$中的标准$2$向量。表2:$II_{1,25}$中的标准$4$向量。\宣告1.~正范数向量的分类。本文描述了一种分类轨道的算法洛伦兹格中的向量。主要的一点是某些亏格中正定格的同构类对应于洛伦兹晶格中向量的轨道，所以我们可以对一些正定格进行分类。第1节概述了该算法，第2节描述了对于$II_{1,25}$的情况，此算法更精确，并且作为应用我们给出了665的25维分类单模正定格与121偶25维行列式2的正定格（见表1和表2）。在第3节中我们使用这个算法来证明有一个唯一的26无根的一维单模正定格。本文的大部分结果来自未发表的手稿[B]，其中包含更多细节和示例。有关本文中使用的格的一般事实，请参见[C-S]，特别是第15-18和23-28章。先前的一些幺模格的计数包括Kneser的维数最多为16[K]的幺模格的列表，Conway斯隆将其扩展到最多23个维度[C-s章16] 以及尼迈耶对偶数24维的计数个。所有这些都使用了Kneser邻里的一些变体方法[K]，但对于尺寸24，对于尺寸至少为25（在手工计算最少；计算机可能会推动这个进一步）。本文中使用的方法在25尺寸，可以推动26个尺寸工作，但不能除了这一点，似乎还能起作用。我们对洛伦兹语使用“$（+，-，-，\cdots，-）$”符号约定格$L$，所以我们感兴趣的反射是（通常）$L$的{\it-negated}范数向量。我们修复了其中一个正范数向量的两个锥并称之为正圆锥体。正锥体中的范数1向量是双曲线空间。我们假设我们得到了一个洛伦兹格$L$的自同构群$G$，这样$G$是由生成的正规子群$R$的半直积一些负范数向量的反射，以及的一组$\Aut（D）$在中保留$R$的基本域$D$的自同构双曲线空间。我们假设L$中$u的所有元素都具有$R$的所有单根的非负内积都有范数$（u，u）$至少为0（这只是为了消除一些退化情况）。如果$L$是一个格，则$L（-1）$是具有所有范数的格$L$乘以$-1$。我们使用Conway使用小写字母$a_n$、$d_n$、，$e_n$表示球形Dynkin图，大写字母$A_n$，$D_n$、$E_n$对应的仿射Dynkin图。根系统的Weyl向量是向量$\rho$，如下所示对于任何简单根$r$，$（\rho，r）=-r^2/2$。我们想找到正范数向量的轨道$G$组下的$L$锥。的每个正范数向量$L$的正锥在$R$下与$D$中的唯一向量共轭，所以对$D$中$u$向量的轨道进行分类就足够了$\辅助（D）$。该算法通过尝试将$D$的向量$u$减少为通过将$u^\perp$的根加到$u$，得到较小范数的向量。有我们需要考虑的三种可能情况：\项目{（1）}$u^\perp$中没有根。\项目{（2）}$u^\perp$中有一个根$r$，即D$中的$u+r。\项目{（3）}$u^\perp$中至少有一个根，但如果$r$是中的根$u^\perp$则$u+r$从不在$D$中。我们试图如下处理这三个案件。如果$u^\perp$中没有根，那么我们假设$D$包含非零向量$w$，这样$（r，w）\le（r，u）$对于任何简单根$r$以及$D$内部L$中的任何向量$u\。那么$u-w$具有内部乘积至少为0，且具有所有简单根，因此它也位于$D$和标准值小于$u$，除非$u$是$w$的倍数并且$w^2=0$。所以我们可以将$u$减少为$D$中较小范数的向量。这个具有这些性质的向量$w$的存在性是非常强的格$L$上的条件。\无音（noindent）{\bf示例1.1.}格子$II_{1,9}$和$II_},17}$具有属性1和2；这很容易从文伯格对它们的自同构群。康韦证明了晶格$II_{1,25}$也具有这些特性；请参阅下一节。格子$n\ge 4$的$II_{1,8n+1}$没有这些属性；但是Minkowski-Siegel质量公式表明，这些晶格具有如此巨大的似乎很少的正范数向量的轨道数指出要对它们进行分类。\无音（noindent）{\bf示例1.2.}根据[B90]作用于$II_{1,25}$的有限群的不动点也有一个合适的向量$w$。例如，晶格$II_{1,1}\oplus BW（-1）$，其中$BW$是Barnes-Wall晶格，具有此属性。一些规范为0向量对应于$BW$分类属中的24个格在[S-V]中；范数0向量的剩余轨道应该不难找到。\无音（noindent）{\bf示例1.3.}取$L$为格子$I_{1,9}$，$R$为由范数$1$向量的反射生成的组。（这已经全反射组中的无限索引。）那么晶格有一个反射组的Weyl向量如[B90]所示，因此我们可以应用此反射组的算法。（但还不完全清楚这样做的目的是什么，因为它更容易使用完整的晶格的反射组！）接下来我们来看第二种情况，$u^\perp$有这样的根$r$$v=u-r$以$D$表示。则$-r$位于$u^\perp$的有限反射群，所以$r$是简单的$u^\perp$的根具有通常的重数。对于$D$中的$u$，我们让$R_i（u）$是$D$的简单根$u$具有带有$u$的内积$i（r，r）/2$，因此$i<0时$r_i（u）$为空$$R_0（u）$是$u^\perp$的Dynkin图。我们为写$S（u）$$R_0（u）\罩杯R_1（u。然后给定$S（v）$，我们可以找到所有来自$v$的$D$的向量$u$，如上文（3）所示，并且$S（u）$是包含在$S（v）$中。通过跟踪$\Aut（D，v）$的操作$S（v）$对于$D$的向量$v$，我们可以找到所有可能的向量$v$以这种方式从$v$和集合$S（u）$构造。最后，第三种情况是，当$u^\perp$中至少有一个根时，但如果$r$是$u^\perp$中的根，则$v-r$永远不会在$D$中，必须对每个格子$L$分别进行处理。实际上它并没有对于向量为$w$的格来说，这太困难了1.有关$L=II_{1,25}$的示例，请参阅下一节。后面将使用以下两个引理来证明一些属性25维格的根系统。\宣布引理1.4。假设$u^\perp$中的反射是$L$的自同构。然后有一个$L$的自同构$\sigma$（顺序为1或2）以下属性：\项目{（1）}$\sigma$修复$D$。\项目{（2）}如果$\sigma$修复了$w$，那么$w$是以下项的线性组合$u$和$L$在$u^\perp$中的根。证明。有一个$L$的自同构作为$u$上的1和$-1$在$u^\perp$上，由$-1$的乘积和$u^\perp$。由于此自同构修复了D$中的$u，我们可以将其乘以$u^\perp$反射组的某些（唯一）元素，以便产品$\sigma$修复了$D$。元素$\sigma$在与$u$、$z$正交的空间，以及$u^\perp$中$R$的所有根，其中暗示引理1.4的断言（2）。\宣布引理1.5。假设存在范数0向量$z$，使得$（z，u）=2$，其中$u$是$D$中的向量。然后是$L的自同构$\sigma$$具有以下属性：\项目{（1）}$\sigma$修复$D$。\项目{（2）}如果$\sigma$修复了$w$，则$w$是$u$、$z$、，以及$L$在$u^\perp$中的根。证明。如果$M$是跨越$z$和$u$的晶格，则$M$具有$M'/M$的所有元素都具有顺序1或2的属性。所以有一个$L$作为$M$上的1和$-M^\perp$上的$-1$的自同构。这个结果如下，如引理1.4的证明所示。这证明了引理1.5.{\bf备注}通常很容易对所有负轨道进行分类洛伦兹格中的范数向量$u$，因为这与关于{不定}格的分类$u^\perp$和Eichler定理[E]维不定格至少有3个是按旋量属分类的（实际上是通常由属决定）。例如，很容易给出证明如果$n>0$和$m>0$，则$II_{1,8n+1}$具有范数$-2m$的基本向量的唯一轨道。\宣告2.~格$II_{1,25}$中的向量。在本节中，我们将上一节的算法专门化为格子$II_{1,25}$。注意$II_{1,25}$的轨道范数4向量$u$对应自然到25维正定幺模格，因为$u^\perp$与25中偶数向量的格同构一维单模负定格。特别是我们可以对665个正定25维单模格进行分类，如表2所示；这是算法的主要应用上一节。类似地，$II_{1,25}$的范数2向量对应行列式2的25维偶正定格。（对$II_{25,1}$范数向量的另一种解释至少2美元是他们是假怪物谎言的根源代数。）首先，我们必须证明满足第1节的属性。这源于康威定理[C85]说明$II_{1,25}$的反射组具有Weyl向量$w$范数为0，对于所有简单根$r，性质为$（w，r）=1$$反射组的。康威的证明取决于相当困难的[C-P-S]中水蛭晶格中“深孔”的分类；[B85]中有一个避免这些长计算的证明。看起来26可能是具有合适的向量$w$。接下来，我们必须对$D$的向量$u$进行分类，以便$u^\perp$具有根，但对于u^\perp$中的任何根$r，$u+r$都不在$D$中。一个很明显，如果$u$的范数为0，那么我们必须这样做对$II{1,25}$中的范数0向量进行分类。在任何晶格中$L=II_{8n+1,1}$本原范数0向量的轨道$z$对应到$8n$-维偶负定幺模格$z^\perp/z$。所以$II_{1,25}的本原范数0向量的轨道$对应于24个尼迈尔晶格（[C-S]）。非原始规范0向量当然是0或a的正整数倍原始范数0向量，因此这给出了所有$II_{1,25}$中范数0向量的轨道；见表0。接下来假设$u$是$D$的正范数向量，$（u，u）=2n$$r$是$u^\perp$中的最高根，因此$u-r$不在$D$中。然后$u-r$在反射群下与某个向量$v共轭$使得$（v，u）<（u-r，u）$。但是$（v，u）^2 \ge（u，u）（v，v）=2n（2n-2）$和$（v，u）<（u-r，u）=2n$，因此$（v、u）=2n-1$。因此，如果$z=u-v$，那么$（z，u）=1$和$z^2=0$。如果我们把$z'=u-nz$，那么$z$和$z'$是范数0向量其中$（z，z'）=1$和$u=nz+z'$。所以$II_{1,25}=B\oplus\langlez、 对于一些Niemeier格$B$，z'\rangle$。如果这个尼迈尔格子有根，然后将其中一些根添加到$r$中，得到一个向量$D$，所以$B$必须是Leech格，所以我们可以假设$z$在$w$的轨道上。如果$n>1$，则没有根在$u^\perp$中，如果$n<1$，则$（u，u）\le 0$，因此我们必须$n=1$。所以$u$的唯一可能性是它是范数2向量在$w+w'=2w+r$的轨道上，其中$r$是一个简单根。将所有内容放在一起，得到以下向量列表$u\D$中的$u^\perp$具有根，但$u-r$中没有任何根根$r（单位：u^\perp$）：\项目{1.}零矢量。\项目{2.}$n\ge 1$的范数0向量$nz$和$z$是$D的基本范数0矢量$对应于除Leech晶格以外的一些Niemeier晶格。给定Niemeier格和给定值$n$的向量如下$\Aut（D）$下的所有共轭。\项目{3.}简单根$r$的形式$2w+r$的范数2向量$D$美元。它们在$\Aut（D）$下形成一个轨道。\宣布引理2.1。假设D$中的$u，v\，$u^2=2n$，$v^2=2（n-1）$和$（v，u）=2n$。然后$$\eqalign美元{R_0（u）&\子集R_0（v）\杯R_1（v）\杯R_2（v）=S（v）\crR_i（u）和\subseteq R_0（v）\cup R_1（v}$$证明。向量$v$以$D$为单位，因此对于某些最高根$r，$v=u+r$$$u^\perp$的。向量$r$的内积为0、$1$或$2$$u^\perp$和$-r$的简单根是$r_0（u）$根的总和正系数，因此$r$具有内积$\ge 0$$D$的简单根不在$R_0（u）$中。引理由此而来对于$D$的任何简单根$s$，$（v，s）=（u，s）+（r，s）$。这个证明了引理2.1。现在我们从范数$2（n-1）$的向量$v$开始，尝试重建$u$来自它。向量$u-v$是$R_0（u）$和$R_0-（u）美元包含在$S（v）$中，因此我们应该能够从$S（v）$中找到$u$。通过引理2.1$S（u）$包含在$S（v）$中，所以我们可以使用$u$而不是$v$重复此过程。以下内容定理显示了如何构造引理中所有可能的向量$u$2.1从$v$和$S（v）$开始。\宣布定理2.2。假设$v$具有范数$2（n-1）$，并且位于$D$（因此$n\ge 1$）中。然后两者之间存在分歧\项目{（1）}$（u，v）=2n$的$D$的规范$2n$向量$u$。\项目｛（2）｝Dynkin图中包含的简单球形Dynkins图$C$$D$的$\Lambda$，如果$r$是$C$和$C的最高根$在$C$中满足$（C，r）=i$，则$C$在$r_i（v）$中。\项目{（3）}Dynkin图$C$满足以下三个条件之一：\itemitem{任一}$C$是$a_1$，包含在$R_2（v）$中，\itemitem{或}$C$是一个$a_n$（$n\ge 2$），$C$的两个端点位于$R_1（v）$，而$C$的其他点位于$R_0（v）$中，\itemitem{或}$C$是$d_n$（$n\ge 4$）、$e_6$、$e_ 7$或$e_ 8$，并且具有最高根$C$的内积$1$的$C$位于$R_1（v）$，而$C$的其他点在$R_0（v）$中。证明。设$u$如（1）所示，并将$r=u-v$。向量$r$是与$u$正交，且具有所有根的内积$\le 0$$R_0$（因为$-v$是），所以它是某些组件$C的最高根$$R_0（u）$的。因此，向量$r$决定了一些简单的球面包含在$\Lambda$中的Dynkin图$C$。$c$的任何根$c$都有$（c，v+r）=（c，u）=0$，因此$c$位于$r_i（v）$中，其中$i=（c、r）$。这提供了一个从（1）映射到（2）。相反，如果我们从Dynkin图$C$开始满足（2）和put$u=v+r$（其中$r$是$C$的最高根），然后$（C，u）=0$for$c$中的所有$c$，所以$（r，u）=0$，因为$r$是$c$的总和意味着$u^2=2n$和$（u，v）=2n$。我们现在必须显示$u$单位为$D$。让$s$是$D$的任何简单根。如果$s$在$C$中，则$（s，r）=-（s，v）$，如果$s$不在$C$中，则$（s、r）\ge 0$，因此在任何case$（s，u）=（s，v+r）\ge 0$，因此$u$以$D$表示。这是一张地图从（2）到（1），并证明（1）和（2）是等价的。条件（3）只是为明确写出的条件（2）每个可能的$C$，所以（2）和（3）也是等价的。这证明了定理2.2。我们定义向量$u$in的{\bf高度}$II_{1,25}$为$（u，w）$。我们演示如何计算用上述算法。\宣布引理2.3。假设$u$、$v$是范数$2n$、$2（n-1）$的$D$中的向量$（u，v）=2n$并且假设$v=u-r$对于$u^\perp的某些根$r$$对应于$R_0（u）$的组件$C$。然后$$\高度（u）=\高度（v）+h-1$$其中$h$是组件$C$的Coxeter编号。证明。我们有$v=u-r$，其中$r$是$C$的最高根，所以$\高度（u）=\高度（v）+（r，w）$。我们有$r=\sum_im_ic_i$，其中$c_i$是权重为$m_i$的$c$的简单根$\sum_im_i=h-1$。所有$c_i$都有带$w$的内积$1$，所以$（r，w）=h-1$。这证明了引理2.3。\宣布引理2.4。设$u$是$D$的原向量，这样是范数0向量$z$，$（z，u）=0$或$1$，假设$z$对应于Coxeter编号为$h$的Niemeier晶格$B$。\项目{（1）}如果$u$的标准值为0，则其高度为$h$。Dynkin图$u^\perp$是$B$的扩展Dynkin图。\项目｛（2）｝如果$u$具有正范数，则$\height（u）=1+（1+u^2）h$。$u^\perp$的Dynkin图是如果$u^2>2$，$B$的Dynkin图和$B$加上如果$u^2=2$，则为$a_1$。证明。\项目{（1）}$u^\perp$的Dynkin图是扩展的Dynkin的并集图表。如果此联合为空，则$u$必须为$w$，因此高度$0=h$。如果没有，则让$C$成为其中一个组件。我们have$u=\sum_im_ic_i$，其中$c_i$是$c的简单根$重量为$mi$。另外$\sum_im_i=h$，因为$C$是一个扩展Dynkin图和所有$c_i$的高度都是1，所以$u$的高度是1$小时$。\项目｛（2）｝由于$u$的内积1的范数为0，向量$z$为$D$，我们可以$u=nz+z'$，其中$u^2=2n$和$z'^2=0$，$（z，z'）=1$。根据第（1）部分，$z$已高度$h$。我们有$z'=z+r$，其中$r$是$D$的简单根，所以$\高度（z'）=\高度（z）+\高度（r）=h+1$。因此$\高度（u）=nh+h+1=1+（1+u^2/2）h$。格子$u^\perp$是$B\oplus N$其中$N$是行列式$2n$的一维格，因此Dynkin图是$B$加上$N$的图，以及Dynkin图$N$的（标准2根）为空，除非$2n=2$在这种情况下为空$a_1$。这证明了$u^\perp$的Dynkin图就是这样的这证明了引理2.4。II_{1,25}$中范数$2$向量$u\的轨道对应于偶数25行列式2的维数正定格$B$，其中$B（-1）\cong u^\perp$。向量查找算法的一部分范数$2n$包括找到向量$u$，以便$u^\perp$中没有根。对于范数$2$向量$u$，以下引理显示没有这样的载体。\宣布引理2.5。如果II_{1,25}$中的$u\有范数2，则$u^\perp$包含根。在其他每25维偶数正定格的词行列式2有根。证明。如果$u^\perp$不包含根，则通过以下算法第1节，对于$D$中的某些$u_1$，$u=w+u_1$。我们有$u_1^2=u^2-2\高度（u）$，因此$u_1 ^2=0$并且$u$具有高度1，因为$u_1^2\ge 0$，$u^2=2$，并且$u$的高度为正。然后$\高度（u_1）=\高度（u）=1$，因此$u$是$D$中的范数0向量范数为0的向量$w$为$D$的内积$1$，但这是不可能，因为$u-w$是一个标准的$-2$向量，将两者分开$D$的向量$u$和$w$。这证明了引理2.5。\宣布定理2.6。假设D$中的$u\具有范数2。然后$$w=\rho+\height（u）u/2$$，其中$\rho$是$u^\perp$根系统的Weyl向量。阿尔索$-2\rho^2=\高度（u）^2$。证明。向量$w$由任何自同构固定$D$固定，因此引理1.4向量$w$必须位于$u$所跨越的空间中，并且$u^\perp$的根。然而$w$也有内部乘积$1$，所有$u^\perp$的简单根和具有$u$的内积$\height（u）$，所以$w$必须是$\rho+\height（u）u/2$。采取双方规范$w=\rho+\height（u）u/2$，并使用$w^2=0$的事实，$（u，\rho）=0$，$（u、u）=2$，表示$-2\rho^2=高度（u）^2$。这个证明定理2.6。特别是，我们发现了一个奇怪的后果，即任意25维偶数正定格的Weyl向量行列式2必须是半个正方形。$II_{1,25}的基本域$D$中的范数$4$向量$对应于25维单模格$A=A_1\oplus I^n$，其中$u^\perp$是$A（-1）$的偶数元素的格$A_1$没有范数1向量。奇怪的$A（-1）$的向量可以作为向量$y的投影$$（y，u）=2$到$u^\perp$。范数4向量$u$可以在4中表现不同的方式，取决于单模格$A_1$是否具有没有对应于$u$的范数1向量至多为23维，或者24维和奇数，或24维和偶数，或25维。\宣布定理2.7。$A$的范数1向量对应于$II_{1,25}的范数0向量$z$$$（z，u）=2$。写入$A=A_1\oplus I^n$，其中$A_1$没有向量规范1。那么$u$正好属于以下四个类之一：\项目{（1）}$u$具有范数为0的向量的内积1。格子$A_1$是一个尼迈尔晶格。\项目｛（2）｝$A$至少有4个范数为1的向量，因此$A_1$最多为23维度（但可能是偶数）。有一个唯一的范数0向量$z$$D$，其中$（z，u）=2$，并且此向量$z$与以下任一向量的类型相同$A_1\oplus I^{n-1}$的两个偶数邻居。\项目{（3）}$A_1$是24维奇数。正好有两个范数0向量有$2$和$u$的内积，它们都在$D$中。他们具有$A_1$的两个偶数邻居的类型。\项目{（4）}$A=A_1$没有范数为1的向量。证明。向量$z$是范数0向量，$（z，u）=2$当且仅当$u/2-z$是$a$的范数1向量。2.7中的大部分都是由此得出的。这个唯一需要检查的非平凡的事情是关于范数0的声明$D$中的向量。如果$u$没有带任何范数0向量的内积1，则范数0向量$z$与$（z，u）=2$在$D$中当且仅当它具有内部product$\ge0$具有$u^\perp$的所有简单根，因此有一个对于该范数0向量在$u^\perp$的反射组。如果$A$至少有4个范数为1的向量然后在Weyl群（范数2）下形成一个单轨道向量）$u^\perp$，这证明了（2），而如果$A$只有两个范数为1的向量，则它们都与所有范数为2的向量正交因此在$u^\perp$的Weyl群下形成了两个轨道。这个证明定理2.7。\宣布定理2.8。假设$u$是对应于幺模25的范数4向量维度格$A=A_1\oplus I^{25-n}$，具有$2n\ge 4$向量规范1。设$\rho$是范数$-2的根系的Weyl向量$$u^\perp$的根（它是范数$-2$向量的Weyl向量$A（-1）$），设$h$为偶数的Coxeter数24维单模格$A_1\oplus的邻域我^{24-n}$。则$\高度（u）=（w，u）=2（h+n-1）$，$w=\rho+\高度（u）u/4$，$-\rho^2=（h+n-1）^2$。证明。$D$有一个唯一的范数2向量$z$，其中$（z，u）=2$；我们让$i$作为它在$u^\perp$中的投影。$A$的格子位于范数1的至少4个向量，因此范数1中的任何向量，尤其是$i$位于由范数$-2$的向量生成的向量空间中$u^\perp$。因此，通过引理1.5和与定理2.6相同的论点我们有$w=\rho+\height（u）u/4$。$u^\perp$的范数$-4$vector$2i$为Dynkin的$d_n$组件的$-2（n-1）$简单根之和$u^\perp$的图表，所以$（2i，w）=（2i、\rho）=-2（n-1）$。向量$i$是$z$到$u^\perp$的投影，因此$i=z-u/2$，因此$$\eqalign美元{\高度（u）&=（w，u）\cr&=2（w，z-i）\cr&=2（高度（z）+n-1）\cr&=2（h+n-1）。\铬}$$如果我们计算$w=\rho+\height（u）u/4$两侧的范数，我们找到$-\rho^2=（h+n-1）^2$。这证明了定理2.8。\无音（noindent）{\bf示例2.9.}假设$u$对应于格子$I^{25}$。数字$n$是25，范数2向量的根系是$D_{25}$，因此Weyl向量$\rho$可以取为$（0,1,2，\ldot，24）$。$I^{24}$的偶数邻居都是$D_{24}$对于Coxeter数$h=46$，所以我们发现$0^2+1^2+2^2+\cdots+24^2=\rho^2=（h+n-1）^2=70^2$。Watson[W]表明$0^2+1^2+\cdots+k^2=m^2$与$k\ge2$的唯一解是$k=24$。参见[C-S第26章]，了解使用此构造Leech晶格的方法平等。\宣布定理2.10。假设$u$是$D$的范数$4$向量，正好有两个范数0向量$z_1$、$z_2$具有$u$的内积$2$，并假设不存在具有内积1的范数0向量$美元。那么$z_1$和$z_2$都在$D$中，并且具有Coxeter数$h_1$，$h2$其中$h_i=（z_i，w）$。然后$$w=\rho+（h1z_2+h2z_1）/2$$其中$\rho$是$u^\perp$的范数$-2$向量的Weyl向量。另外$u=z_1+z_2$，$\高度（u）=h_1+h2$，$-\rho^2=h_1h_2$，$u^\perp$有$8（h1+h2-2）$root。证明。向量$u-z_1$是具有内积的范数0向量$2$与$u$，因此必须是$z_2$。因此$u=z_1+z_2$和$\高度（u）=高度（z_1）+高度（z_2）=h_1+h2$。有一个范数0向量，它与$u$有内积$2$$L$fixing$D$的自同构也修复了$w$，因此通过引理1.5$w$是$z_1$、$z_2$和$R$根的线性组合$u^\perp$。使用$（w，z_1）=h_1$，$（w、z_2）=h2$，以及$（w，r）=-r^2/2$对于任何简单根$r$在$u^\perp$中表示$w$然后必须是$\rho+（h1z2+h2z1）/2$。使用$w^2=0这一事实$这立即显示$-\rho^2=h1h2$。根的数量以下注释2.12。这证明了定理2.10。\宣布推论2.11。如果$A_1$是奇数24维正定幺模格没有范数为1的向量，且其偶数邻居具有Coxeter数字$h_1$和$h2$，然后$\rho^2=h_1h_2$，其中$\rho$是Weyl$A_1$的向量。证明。这紧跟着定理2.10，使用的事实是$A_1\oplus I$是对应于$u$如2.10所示。备注。让$B_1$、$B_2$成为$A_1$的两个偶数邻居。那就是了不难证明$h2\le 2h1+2$，并且有几个格$A_1$相等。\无音（noindent）{\bf备注2.12.}定理13.1和[B95]的推论13.2表明$II_{1,25}$基本域中向量的高度可以是写成θ函数的显式线性组合格$u^\perp$的陪集。特别是，我们发现如果$u$是那么范数2向量$$12\高度（u）=18-4z_1+r$$其中$r$是范数$-2$向量的数量$u^\perp$和$z_i$是具有内部带有$u$的产品$i$（因此$z_1$是0或2，并且是2当且仅当格$u^\perp$是一维格与偶数格的和格子）。类似地，如果$u$具有标准$4$并且对应于25维幺模格$A$则$$8t=20-2z_2-8z_1+r$$其中$r$是$A$，$z_2$是$A$的范数1向量的数目，$z_1$是1，如果$A$是Niemeier格和一维格的和否则为0。请注意，这些关系为根的数量直接意味着25维偶数行列式2和25维幺模格总是有根的。有相似的关系和同余$II_{1,25}$的较大范数向量。还有其他几类格可以分类使用$II_{1,25}$。其中大多数似乎都不够重要值得出版，但以下是对中可用内容的摘要万一有人发现这些东西有用。24维偶数行列式5的正定格很容易分类为它们对应于由范数$2$向量组成的对$II_{1,25}$的$u$与标准$-2$root$r$一起使用$（r，u）=1$，这些可以很容易地从范数2向量列表中读取。这个行列式6的25维正定偶格对应于$II_{1,25}$中的范数6向量，可以进行分类使用该算法从范数4向量；如果有2825个轨道我没有犯错误。我的家里有他们的名单第页。这些可以用来对26维甚至是正值进行分类行列式3的定格，因为这样的范数2根格对应于$II_{1,25}$的范数6向量。（有一个唯一的无根格；请参阅下一节。）有677到681个这样的格子，并且有一个临时列表从我的主页（有一些我没有的小歧义但仍在着手解决）。如果这样的格没有范数6根然后范数2向量的个数可以被6整除。还有很多应该可以对26维单模块进行分类通过求范数10向量的（约50000？）轨道得到格$II_{1,25}$；请参阅下一节。\宣告3.~无根格。在本节中，我们展示了一个独特的26维正无根的定幺模格。康威和斯隆用这个证明[C-S98]存在正定在所有维度上都没有大于25的根的幺模格。我们还表明了26维的范数2向量的数量单模格可以被4整除，并绘制了一个27维无根单模格。\宣布引理3.1。没有范数1向量的26维单模格$L$具有范数为10的特征向量。证明。如果$L$具有范数2的特征向量$x$，则$x^\perp$是行列式2的25维偶数格，因此具有根据定理2.6求根$r$$2r+x$是范数的特征向量10.如果引理不是真的，那么我们可以假设$L$没有范数1的向量和范数2或10的无特征向量。它θ函数是由这些条件决定的，结果是$1-156q^2+\cdots$，这是不可能的，因为$q^2$的系数是消极。这证明了引理3.1。\宣布引理3.2。同构类之间有一个双射\项目{（1）}26维正定中的范数10特征向量$c$单模格$L$，和\项目｛（2）｝$II_{1,25}中的规范$10$向量$u$$\项目{}由$c^\perp（-1）\cong u^\perp$给出。\项目{}我们有$\Aut（L，c）=\Aut，（II{1,25}，u）$。证明。常规。注意，$-1$是一个正方形mod 10。这证明了引理3.2。引理3.1和3.2给出了求26维的算法单模格$L$。在上实现这一点可能并不难如果给一台计算机一个计算机算法来决定何时2Leech格的向量在其自同构下是共轭的群体；Allcock在[A]中描述了这种算法。这个剩下的主要问题是如何使用这些格子！我们现在应用此算法来找到唯一的无根。\宣布引理3.3。采用引理3.2中的符号。格$L$没有根，如果和只有当$u^\perp$没有根并且$u$没有内积1时，具有任意范数0向量的2、3或4。证明。如果$u^\perp$有根，那么显然$L$也有根。如果有范数0向量$z$的内积1、2、3或4与$u$then$z$到$u^\perp$的投影$zu$具有标准$-1/10$、$-4/10$、，$-9/10$或$16/10$。晶格$L（-1）$包含$u^\perp+c$，并且向量$zu\pm 3c/10$、$zu\fm 4c/10$，$zu/pm c/10$或$zu_pm2c/10$以$L$表示，用于某些标志的选择，标准值为$1$、$-2$、，$1$或$-2$。因此，如果$u$有内积1、2、3或4范数0向量则$L$有根。相反，如果$L$有根$r$然后$r$的范数为2，内积为0，$\pm 2$，$\pm 4$$c$或它有标准1和内部产品$\pm 1$，$\pm3$和$c$，以及每种情况都意味着$u^\perp$有根或$u$有通过将上述参数。这证明了引理3.3。现在让$L$是一个26维无根单模格包含范数为10的特征向量$c$，并让$u$为如3.2所示，$D$的标准$10$向量对应于它。\宣布引理3.4。$u=z+w$，其中$z$是$D$的范数0向量，对应于根系为$A_4^6$的Niemeier格，$w$是Weyl向量共$D$。特别是$u$是根据以下条件决定的$\辅助（D）$。证明。格$u^\perp$没有根，因此对于某些向量，$u=w+z$$D$中的$z$。根据引理3.3$u$不具有内积1、2、3或4任意范数0向量，则$（z，w）=（u，w）\ge 5$。因此$$10=u^2=z^2+2（z，w）\ge 2（z，w）\ge 10$$so$（z，v）=5$和$z^2=0$。这个只有$（z，w）=5$的$D$中的范数0向量$z$是基本向量对应于$A_4^6$Niemeier晶格，它在$\辅助（D）$。这证明了引理3.4。\宣布引理3.5。如果$u=z+w$如引理3.4所示，则26维单模格对应于$u$没有根。证明。格$u^\perp$显然没有根，所以根据引理3.3我们必须检查是否没有具有内积的范数0向量$1$、$2$、$3$或$4$与$u$。设$x$是正锥体。如果$x$的类型为$A_4^6$，则$（x，u）\ge（x，w）\ge 5$；如果$x$具有水蛭类型，然后是$（x，u）\ge（x，z）\ge 5$；如果$x$具有类型$A_1^{24}$则$（x，u）=（x，w）+（x，z）\ge 2+3=5$（$（x、z）$不能是$2$不存在类型为$A_1^{24}$和$A_4^6的范数0向量对$按24维分类，内积为$2$单模格）；如果$x$有其他类型，那么$（x，u）=（x，w）+（x，z）\ge 3+2=5$。这证明了引理3.5。\宣布定理3.6。存在唯一的26维正定幺模格$L$没有根。它的自同构群与群同构$O_5（5）=订单$2^8.3^2.5^4.13$的2.G.2$，并在624特征范数$L$的10个向量。证明。通过引理3.1$L$有一个范数为10的特征向量，因此通过引理3.3和3.4$L$是唯一的及其自同构群作用在范数10的特征向量上传递。由引理3.5$L$存在。θ函数由以下条件决定：$L$没有范数1或2的向量，也没有范数2，结果是范数10为624。这样一个向量的稳定器同构于$\Aut（II_{1,25}，u）$，它是$5^3.2.S_5$形式的一组，其中$S_5$是5个字母的对称群。这决定了顺序格的自同构群。从这个角度来看，它不是很难精确确定；我们省略了细节。这证明了定理3.6。我们现在证明了任意26维范数2向量的个数甚至正定幺模格也可以被4整除。那里是严格的26维单模格，没有根或4根，所以这是最好的同余。对于单模块维数小于26的格有模更高的同余根数的2次幂。\宣布引理3.7。如果$L$是行列式2的25维正定格那么$L$的范数2根的数目是$2\bmod4$。证明。$L$的偶数向量形成与具有偶数内积的向量与偶数中的某些向量$b$行列式2的25维格$B$。（注意$b$不在B'-B$）$B$的根数为$12t-10$或$12t-18$，其中$t$是标准$2$矢量的高度%美元$D$对应于$B$备注2.12，因此足以证明范数2$B$的向量与$B$有奇数内积，可以被4整除。向量$b$与$u$有零内积和整数内积$w$的乘积，因此根据定理2.6$b$具有积分内积使用$\rho$。因此，$b$的内积为$B$的正根，因此它具有奇数内积和偶数正根。这意味着$B$的根数与$b$的奇数内积可被4整除。这证明了引理3.7.\宣布推论3.8。如果$L$是26维幺模格，则范数$L$的2个向量可被4整除。证明。如果$L$没有范数2根，结果很明显，那么让$r$$L$的范数2向量。格$r^\perp$是一个25维的行列式2的格，因此通过注释2.12$r^\perp$是$2\bmod4$。$L$的根数不在$r^\perp中$是$4h-6$，其中$h$是$L组件的Coxeter编号$包含$r$，因此$L$的范数2向量的数量可以除以4.这证明了推论3.8。{\bf备注}可以使用类似但更复杂的参数证明了存在唯一的甚至26维正定行列式3的格没有根。在一维上粘合这个格给出了一个唯一的27维单模格，没有根和范数3的特征向量。作为不同的证据这篇文章已经在[E-Z]上发表了，我们只做简要介绍[B]中的证明草图。（预印本[B-V]显示精确的三个27维正定幺模格根。）设$L$是27维正定幺模无根格和范数为3的特征向量$c$。这个$L$的θ函数由这些条件决定意味着$L$具有范数为5的向量；让$v$成为这样一个向量。那么$\langle v，c\rangle^\perp$是一个25维偶数格$X$行列式14的值，使得$X'/X$由范数元素生成14美元\bmod 2美元。这样的格子$X$对应于标准$14$向量$X$在$II_{1,25}$的基本域$D$中，条件是$L$没有范数1或范数2的向量，这意味着正好有两个$x$的可能性：$x$是$w$和范数0的总和高度为7的向量，对应于$A_6^4$，或者$x$是$w的总和$以及与25维相对应的高度为6的标准$2$矢量根系为$a2^9$的行列式2的格。这两个$x$的结果给出了相同的晶格$L$，因此它有两个轨道范数为5的向量，是唯一的27维正定无根特征向量的幺模格标准3。\声明表0.~$II_{1,25}$的基本范数$0$向量。我们列出了原始范数0向量$z$的轨道集$II_{1,25}$，这当然或多或少与井相同Niemeier格的已知列表（见[C-S表16.1]）。高度为仅$（w，z）$，其中$w$是基本域的Weyl向量包含$z$。高度后面的字母只是区分相同高度的矢量，所指的字母是在表$1$的标题为“Norm$0$vectors”的列中。专栏标题为“Group”的$\Aut（D）$子群的顺序原始范数0向量。但是请注意，组顺序是{\itnot}（通常）的自同构群的商的阶反射群的尼迈尔晶格；参见[C-S第16章]对这些组之间关系的描述。对于向量$w$高度为0的群是仿射Leech格，是Leech晶格平移组给出的顺序$\兰姆达$。\大跳跃\哈林语{\hfill#&#&~~\h纸币$#$&~~\纸币#\cr高度&&\hbox{Roots}组\cr\铬0&x&\hbox{无}&$\Lambda\cdot$8315553613086720000\cr2&a&a_1^{24}&1002795171840\cr3&a&a_2^{12}&138568320\cr4&a&a_3^8&688128\cr5&a&a_4^6&30000\cr6&d&d_4^6&138240\cr6&a&a_5^4D_4&3456\cr7&a&a_6^4&1176\cr8&a&a_7^2D_5^2&256\cr9&a&a_8^3&324\cr10&d&d_6^4&384\cr10&a&a_9^2D_6&80\cr12&e&e_6^4&432\cr12&a_{11} D_7E_6&24 \cr13&a&a_{12}^2&52\cr14&d&d_8^3&48\cr16&a和a_{15} D_9&16 \cr18&d和d_{10} E_7（E_7）^2和8 \cr18&a_{17} E_7（E_7）&12 \cr22&d&d_{12}^2&8\cr25&a&a_{24}&10\cr30&e&e_8^3&6\cr30&d和d_{16} E_8（E_8）&2 \cr46&d&d_{24}&2\cr}\宣布表$1$~$II_{1,25}$的范数$2$向量。以下集合是自然的1:1对应关系：\项目{（1）}$\Aut（II_{1.25}）$下$II_{1,25}$中$2$范数向量的轨道。\项目{（2）}$\Aut（D）$下$D$的范数$2$向量$u$的轨道。\项目{（3）}25维偶数双模格$L$。格$L（-1）$与$u^\perp$同构。表1列出了这三组中的任何一组121个元素。{\it height}是$D$的标准$2$vector$u$的高度，换句话说$（u，w）$，其中$w$是$D$的Weyl向量。这个高度后面的字母只是用来区分向量的名称高度相同，是标题为“Norm”的栏中所指的字母表$2$的$2$''。字母后面的星号表示向量$u$是类型1，换句话说，晶格$L$是一个Niemeier格和$a_1$。列“根”给出了的范数2向量的Dynkin图$L$被安排在$\Aut（L）$下的轨道上``组“”是的顺序$\Aut（D）$fixing$u$的子组。组$\Aut（L）$是一个拆分扩展名$R.G$，其中$R$是Dynkin图的Weyl群$G$与$\Aut（D）$fixing$u$的子群同构。``$S$“”是$L$的最大两两正交根数。标题为“范数0矢量”的列描述范数0矢量$z$对应于$u^\perp$根的每个轨道，其中$u$位于$D$中。大写字母表示相应的范数0向量为两倍于原始向量，否则范数0向量为基本的$x$代表水蛭类型的范数0向量格子。否则，字母$a$、$d$或$e$是范数0向量的Dynkin图，其高度由下式给出${\rm height}（u）-h+1$其中$h$是组件的考克塞特编号$u$的Dynkin图。例如，$23a$类型的规范$2$向量在它的根系统，由考克塞特数字12、12和6组成，字母是$e$、$a$和$d$，因此相应的范数0向量具有Coxeter数字12、12和18，因此是Dynkin的范数0向量图表$E_6^4$，$A_{11} D_7E_6$和$D_{10} E_7（E_7）^2$.关于表1可靠性的一些备注，请参阅表2。\大跳跃\哈林语{\hfill#&#\hfill&~\hfill$#$&~\h fill#&~~\h Fill#&\h fill##\cr高度&&\hbox{Roots}&Group&$S$&~Norm 0&~vectors\cr\铬1&a*&a_1&8315553613086720000&1&X\cr\铬2&a&a2&991533312000&1&x\cr\铬3&a&a_1^9&92897280&9&a\cr\铬4&a&a_2a_1^｛12｝&190080&13&aa\cr\铬5&a*&a_1^｛24｝a_1&244823040和25&aA\cr5&b&a_2^4a_1^9&3456&13&aa\cr5&c&a_3a_1^{15}&40320&17&aa\cr\铬6&a&a_2^9&3024&9&a\cr6&b&a_3a_2^5a_1^6&240&13&aaa\cr\铬7&a*&a_2^{12} a_1&190080和13&aA\cr7&b&a_3^3a_2^4a_1^3&48&13&aaa\cr7&c&a_3^4a_1^8a_1&384&17&aad\cr7&d&a_4a_2^6a_1^5&240&13&aaa\cr7&e&d4a_1^{21}&120960&25&ad\cr\铬8&a&a3^6a2&240&13&ad\cr8&b&a_4a_3^3a_2^3a_1^2&12&13&aaaa\cr8&c&d4a_2^9&864&13&aa\cr\铬9&a*&a_3^8a_1&2688&17&aA\cr9&b&a4^2a3^4a1&16&13&aaa\cr9&c&a_4^3a_3a_2^2a_1^3&12&13&aaaa\cr9&d&d4a_3^4a_3a_1^3&48&17&aada\cr9&e&a_5a_3^3a_2^4&24&13&aaa\cr9&f&a5a_3^4a_1^6&48&17&aaa\cr\铬10&a&d4a4^3a_2^3&12&13&aaa\cr10&b&a5a4^2a3^2a2a1&4&13&aaaaa\cr\铬11&a*&a_4^6a_1&240&13&aA\cr11&b&d4^4a_1^9&432&25&dd\cr11&c&a5d_4^2a3^3&24&17&daa\cr11&d&a5a5a4^2a3a1&4&13&aaaaa\cr11&e&a5^2d_4a3^2a_1^2a1&8&17&aaaad\cr11&f&a_5^3a_2^4&48&13&aa\cr11&g&d5a_3^6a_1&48&17&aad\cr11&h&a6a4^2a3^2a2a1&4&13&aaaaa\cr\铬12&a&a5^4a2&24&13&ad\cr12&b&d5a4^4a2&8&13&aaa\cr12&c&a6d4a4^3&6&13&aaa\cr12&d&a_6a_5^2a_3a_2^2&4&13&aaaa\cr\铬13&a*&a_5^4d_4a_1&48&17&aaA\cr13&b&d5a_5^2d4a_3a_1&4&17&aaada\cr13&c&d5a_5^3a_1^3a_1&12&17&aaae\cr13&d*&d_4^6a_1&2160&25&dD\cr13&e&a_6^2a_5a_4a_1^2&4&13&aaaa\cr13&f&a7a5a4^2a3&4&13&aaaa\cr13&g&a_7a_5d_4a_3^2a_1^2&4&17&aaaa\cr\铬14&a&a6a6d5a4a2&2&13&aaaaa\cr14&b&a_6^3d_4&12&13&aa\cr14&c&a7a6a5a4a1&2&13&aaaaa\cr\铬15&a*&a_6^4a_1&24&13&aA\cr15&b&d_5^3a_3&12&17&de\cr15&c&d_6d_4^4a_1^3&24&25&ddd\cr15&d&d6a5^2a5a3&4&17&aada\cr15&e&a_7d_5^2a_3^2a_1&4&17&aaad\cr15&f&a_7^2d_4^2a_1&8&17&aad\cr15&g&a_8a_5^3&6&13&aa\cr15&h&a8a6a5a3a2&2&13&aaaaa\cr\铬16&a&a7^3a2&12&13&ad\cr16&b&a8a6d5a4&2&13&aaaa\cr\铬17&a*&a_7^2d_5^2a_1&8&17&aaA\cr17&b&e6a_5^3d_4&12&17&aae\cr17&c&a7d_6d_5a5&2&17&daaa\cr17&d&a7^2d6a3a1&4&17&aada\cr17&e&a8a7^2a1&4&13&aaa\cr17&f&a9d5a5d4a1&2&17&aaaaa\cr17&g&a9a7a4^2&4&13&aaa\cr\铬18&a&e_6a_6^3&6&13&aa\cr18&b&a9a8a5a2&2&13&aaaa\cr\铬19&a*&a_8^3a_1&12&13&aA\cr19&b&d6^3d4a_1^3&6&25&ddd\cr19&c&a_7e_6d_5^2a_1&4&17&eaad\cr19&d&d7a7d5a5&2&17&aaad\cr19&e&d7a_7^2a_3a_1&4&17&aaad\cr19&f&a9a7d6a1a1&2&17&aaaad\cr19&g和a_{10} a_7a_6a_1&2和13&aaaa\cr\铬20&a&a_8^2e_6a_2&4&13&aaa\\cr20英镑及以上_{10} a_8d_5&2&13&aaa\cr\铬21&a*&a_9^2d_6a_1&4&17&aaA\cr21岁及以上_{11} d6a5a3&2和17&aaaa\cr21和c&a_{11} a_8a_5&2&13&aaa\cr21&d*&d_6^4a\1&24&25&dD\cr21&e&a9e6d6a3&2&17&aaad\cr\铬23&a&d7e6^2a5&4&17&ead\cr23&b&d_8d_6^2d_4a_1&2&25&dddd\cr23&c&a_9d_7^2&4&17&da\cr23&d&a_9d_8a_7&2&17&daa\cr23&e和a_{11} d_7d_5a_1&2和17&aaad\cr\铬24&a&a{11}^2a2&4&13&ad\cr24小时住宿_{12} e_6a_6&2&13&aaa\cr\铬25&a年_{11} d_7e_6a_1&2&17&aaaA\cr25英镑及以上_{13} d_6d_5&2和17&aaa\cr25&e*&e_6^4a_1&48&17&eE\cr\铬26&a_{13} 一个_{10} a_1&2&13&aaa\cr\铬27&a*&a_{12}^2a_1&4&13&aA\cr27&b&e_7d_6^3&3&25&dd\cr27&c&a9a9e7&2&17&ada\cr27&d&d_9a_9e_6&2&17\ada\cr27&e和a_{11} d_9a_5&2和17&aad\cr27岁及以上_{14} a_9a_2&2&13&aaa\cr\铬29年&a月_{11} e_7e_6&2和17&daa\cr29&d*&d_8^3a_1&6&25&dD\cr\铬31&a&d_8^2e_7a_1a_1&2&25&ddde\cr31日&b日_{10} d_8d_6a_1&1&25&dddd\cr31和c&a_{15} d_8a_1&2和17&aad\cr\铬33年&a月&a日_{15} d_9a_1&2&17&aaA\cr33年&b月&a日_{15} 电子7a3&2和17&aad\cr33和c&a_{17} a_8号机组&2和13&aa\cr\铬35&a&e7^3d4&6&25&日期35&b和a_{13} d日_{11} &2&17&da\cr\铬36&a_{18} 电子_6&2和13&aa\cr\铬37年&a月&a日_{17} e_7a_1&2&17&aaA\cr37天*天_{10} e_7（电子7）^2a_1&2&25&ddD\cr\铬39&a和d_{12} e_7d_6&1&25&ddd\cr\铬45&d*&d_{12}^2a_1&2&25&dD\cr\铬47&a和d_{10} e_8e_7&1&25&edd\cr47和b&d_{14} d日_{10} a_1&1&25&ddd\cr47和c&a_{17} e_8（电子8）&2&17&da\cr\铬48&a年_{23}a2&2和13广告\cr\铬51年&a月&a日_｛24｝a_1&2&13&aA\cr\铬61天*天_{16} e_8a_1&1&25&ddD\cr61&e*&e_8^3a_1&6&25&eE\cr\铬63&a和d_{18} e_7（电子7）&1和25日\cr\铬93天*天_｛24｝a_1&1&25&dD\cr}\宣布表$2$~$II_{1,25}$的范数$4$向量。There is a natural 1:1 correspondence between the elements of the以下集合：\项目{（1）}$II_{1,25}$下$4$向量$u$的轨道$\Aut（II_{1,25}）$。\项目｛（2）｝基本域$D$中范数$4$向量的轨道$\Aut（D）$下的$II_{1,25}$。\项目{（3）}$\Aut（I_{1.25}）$下$I_{1,25}$的范数$1$向量$v$的轨道。\项目{（4）}25维单模正定格$L$。\项目{（5）}维数最多为25的单模格$L_1$，没有向量规范1。\项目{（6）}行列式4的25维偶格$L_2$。$L_1$是$L$，$L_2的范数1向量的正交补$是偶数范数$L$的元素格，$L_2（-1）$同构于$u^\perp$和$L（-1）$与$v^\perp$同构。表2列出了这些集合中的665个元素。高度是$D$的标准$4$vector$u$的高度，in换句话说$（u，w）$，其中$w$是$D$的Weyl向量。事情表2中按高度的递增顺序列出。Dim是晶格$L_1$的维度。大写$E$维度意味着$L_1$是偶数。“根”列给出了的范数2向量的Dynkin图$L_2$被安排在$\Aut（L_2）$下的轨道上。``组“”给出了$\Aut（D）$fixing$u$的子组的顺序。这个组$\Aut（L）\cong\Aut£¨L_2）$的形式为$2\乘以R.G$，其中$R$是由$L$的范数2向量的反射生成的组，$G$是“group”列中描述的组，2是组$-1$生成的订单2。如果$\dim（L_1）\le 24$，则$\Aut（L_1）$为形式为$R.G$，其中$R$是$L_1$和$G的反射组$同上。对于$u^\perp$的任何根$r$，向量$v=u-r$是范数$2$向量$II_{1,25}$的。该向量$v$如下所示。让$X$成为$u$所属的$u^\perp$的Dynkin图的组件，以及设$h$为$X$的Coxeter数。然后$u-r$与高度$t-h+1$的$D$中$II_{1,25}$的范数$2$向量（或$t-h$，如果“Dim”下的条目是$24E$），其字母是对应的字母在标题为“normal$2$”的列中添加到$X$。例如，让$u$高度6与根系$a2^2a1^{10}$的矢量。然后是规范$2$向量对应于组件$a_2$或$a_1的根$高度$6-3+1$和$6-2+1$，字母$a$和$b$，所以它们是表1的向量$4a$和$5b$。如果$\dim（L_1）\le 24$，则列“neighbors”将两个值相加$L_1+I^{24-\dim（L_1）}$的邻居。如果$\dim（L_1）\le 23$，则两者邻居是同构的，所以只列出一个，如果$L_1$是Niemeier格，则相邻格前面加2（表示相应的范数0向量是原始向量的两倍）。如果两个邻居同构，则存在$L的自同构$交换它们。表1和表2最初是手工计算的。大多数格子被发现了好几次，每根的轨道都有一次这对大多数条目进行了大量检查。我后来运行了一个本文算法的计算机版本，出现在20个小错误（主要是第5列中的错误，以及由于复制错误而导致的组顺序和根系统）。我也是检查了Minkowski-Siegel质量公式。剩余的任何错误是可能是复制错误（表格基于计算机输出，但进行了一些手动编辑，使其看起来很好看\TeX）或错误，其中一个晶格应分裂为两个晶格具有两倍的自同构群。第二种可能性不可能是由质量公式检测到，但我认为它不太可能发生在这些桌子。（当对26维数据进行分类时，这成为一个令人恼火的问题行列式3的偶数格。）\大跳跃\哈林语{\hfill$#$&&~\hfill$#$&&~\hfill$#$&&~\hfill#&&~\hfill$#$&&\hfill$#$\cr\hbox{Height}和\hbox{Dim}和&\hbox{邻居}&\cr1&24&E&\hbox{无}&8315553613086720000&&2\Lambda&\cr\铬2&23&&a_1^2&84610842624000&a&\Lambda&\cr2&24&&\hbox{None}&1002795171840&&\Lambda&A_1^{24}\cr\铬3&25&&a_1^2&88704000&a&&\cr\铬4&24&&a_1^8&20643840&a&a_1^{24}&a_1^{24}\cr4&25&&a_2^2&26127360&a&&\cr4&25&&a_1^6&138240&a&&\cr\铬5&24&&a_1^{12}&190080&a&a_1^{24}&a_2^{12{\cr5&25&&a_2a_1^7&5040&aa&&\cr5&25&&a_1^{10}&1920&a&&\cr\铬6&23&&a_1^{16} a_1^2&645120&ca&A_1^{24}&\cr6&24&&a_2^2a_1^{10}&5760&ab&a_2^{12}&a_2^}\cr6&24&&a_1^{16}&43008&c&a_1^{24}&a_3^8\cr6&25&&a_3a_1^8&21504&ac&&\cr6&25&&a_2^2a_1^8&128&ab&&\cr6&25&&a_2a_1^{10} a_1&120&abc&&\cr6&25&&a_1^8a_1^6&1152&bc&&\cr\铬7&24&&a_2^4a_1^8&384&bb&a_2^{12}&a_3^8\cr7&24&E&a_1^{24}&244823040&a&2A_1^{24}&\cr7&25&&a_2^5a_1^3&720&bb&&\cr7&25&&a_3a_2a_1^9&72&acb&&\cr7&25&&a_2^4a_1^4a_1^2&24&bba&&\cr7&25&&a_3a_1^{12}&1440&ab&&\cr7&25&&a_2^3a_1^6a_1^3&12&bbb&&\cr7&25&&a_2^2a_1^{12}&144&cb&&\cr\铬8&22&&a_3a_1^{22}&887040&ae&a_1^{24}&\cr8&23&&a_2^6a_1^6a_2^2&1440&bda&a_2^{12}&\cr8&24&&a_3^2a_1^{12}&768&cc&a_3^8&a_3 ^8\cr8&24&&a_3a_2^4a_1^6&96&bbb&a_3^8&a_3 ^8\cr8&24&&a_2^8&672&a&a_3^8&a_3 ^8\cr8&24&&a_2^6a_1^6&240&bd&a_2^{12}&a_4^6\cr8&24&&a_1^{24}和138240&e&a_1^{24}和D_4^6\cr8&25&&a4a_1^{12}&1440&ad&&\cr8&25&&a_3a_2^4a_1^4&16&bbb&&\cr8&25&&a_3^2a_1^8a_1^2&64&cbc&&\cr8&25&&a_3a_2^3a_1^6a_1&12&bbbc&&\cr8&25&&a_3a_2^3a_1^3a_3a_1&6&bbbbd&&\cr8&25&&a_2^4a_2^2a_1^4&8&bab&&\cr8&25&&a_3a_2^2a_1^4a_1^4a_1^2和16&bbcbd&&\cr8&25&&a_2^4a_2a_1^4a_1^2a_1&8&bbbdb&&\cr8&25&&a_2^4a_1^8a_1^2&48&bdc&&\cr8&25&&a_3a_1^{15} a_1&720抄送&&\cr\铬9&24&&a_3^2a_2^4a_1^4&16&bbb&a_3^8&a_4^6\cr9&24&&a_2^8a_1^4&384&dc&a_2^{12}&a_5^4D_4\cr9&25&&a_4a_2^3a_1^6a_1&12&bdbb&&\cr9&25&&a_3^2a_2^4a_1^2&16&bba&&\cr9&25&&a_3^2a_2^2a_2 a_1^4a_1&4&bbcba&&\cr9&25&&a_3a_2^2a_2a_1^2a_1^2a_1&&2&bbbbbb&&\cr9&25&&a_3a_2^6a_1^2&6&abb&&\cr9&25&&a_3^2a_2^2a_1^4a_1^4和8&bcbb&&\cr9&25&&a_3a_2^4a_2a_1^4a_1&8&bbbbc&&\cr9&25&&a_3a_2^2a_2a_2a_1^2a_1^2a_1&2&bbbdbb&&\cr\铬10&22&&a_3a_2^{10}&2880&ac&a_2^{12}&\cr10&23&&a_3^4a_1^8a_1^2&384&cfa&a_3^8&\cr10&23&&a_3^3a_2^4a_1^2a_1^2&48&bbea&a_3^8&\cr10&24&&a_3^4a_2^2a_1^2&32&bab&a_4^6&a_4 ^6\cr10&24&&a_4a_3a_2^4a_1^4&16&bdbc&a_4^6&a_4 ^6\cr10&24&&a_3^2a_3a_2^4a_1^2&16&bbbe&a_3^8&a_5^4D_4\cr10&24&&a_3^4a_1^4a_1^4&48&cdf&a_3^8&a_5^4D_4\cr10&24&&a_3^4a_1^8&384&cd&a_3^8&D_4^6\cr10&24&E&a_2^{12}&190080&a&2A_2^{12-}&\cr10&25&&a_3^5&1920&c&&\cr10&25&&d4a_2^4a_1^6&144&bcd&&\cr10&25&&d4a_3a_1^{12}&576&ced&\cr10&25&&a5a_1^{15}&720&cf&\cr10&25&&a_4a_3a_2^4a_1^2&8&bdbb&&\cr10&25&&a_3^3a_3a_2a_1^3&6&bcbb&&\cr10&25&&a_4a_3a_2^2a_2a_1^2a_1^2a_1&&2&bdbbce&&\cr10&25&&a_3^3a_3a_1^4a_1^2&24&bcce&&\cr10&25&&a_3^2a_3^2a_1^4a_1^2&16&cbbd&&\cr10&25&&a_4a_2^6a_1^2&6&abe&&\cr10&25&&a_4a_3a_2^2a_1^4a_1^2a_3^2&4&bdbccf&&\cr10&25&&a_3^2a_3a_2^2a_2a_1^2a_1&2&bbbbb c&&\cr10&25&&a_3^2a_3a_2^2a_2a_1a_1a_2&bbbadbc&&\cr10&25&&a_4a_2^5a_1^5&10&bbc&&\cr10&25&&a_3^2a_2^6&48&da&&\cr10&25&&a_3^2a_2^4a_2^2&8&bba&&\cr10&25&&a_3^3a_2^2a_1^3a_1^2a~1&12&bbdcf&&\cr10&25&&a_3a_3a3a_2^2a_1^2a_1a_1a_1a_2a_1&2&cbbbcebfd&&\cr10&25&&a_3a_3a_2^2a_2^2a_2a_1^2a_1&2&bbbbb ee&&\cr10&25&&a_3^2a_2^4a_1^4a_1^2&8&dbcf&&\cr10&25&&a_3^3a_1^{12}&48&cf&&\cr10&25&&a_3a_2^6a_2a_1^3&12&dbce&&\cr\铬11&24&&a_4a_3^2a_3a_2^2a_1^2&4&bbbbb&a_4^6&a_5^4D_4\cr11&24&&a_4^2a_2^4a_1^4&16&dca&a_4^6&a_5^4D_4\cr11&24&&a_3^6&240&&a_4^6&D_4^6\cr11&24&&a_3^4a_2^4&24&be&a_3^8&a_6^4\cr11&25&&a_5a_2^4a_2a_1^4&8&befb&&\cr11&25&&d4a_3a_2^4a_1^4&8&bcda&&\cr11&25&&a_4a_3^2a_3a_2a_1^2a_1&2&bbbcba&&\cr11&25&&a_4^2a_2^2a_2 a_1^4a_1&4&dcbbb&&\cr11&25&&a_4a_3^2a_2^4&4&bbb&&\cr11&25&&a_4a_3^3a_1^6&6&cbb&&\cr11&25&&a_4a_3^2a_2 ^2a_2a_1^2a_1&2&bbbfab&&\cr11&25&&a4a_3a_3a_2a_2a_1a_1a_1&bbbbccbba&&\cr11&25&&a4a_3a_3a_2a_2a_1a_1a_1&bbbbecbb&&\cr11&25&&a_3^4a_3a_1^4&8&bab&&\cr11&25&&a_3^2a_3^2a_2^2a_2a_1&2&bbbbb&&\cr11&25&&a_3^2a_3a_3a_2^2a_2a_1&2&bbabda&&\cr11&25&&a_4a_3a_2^2a_2a_2a_1^2a_1&2&bbeccba&&\cr11&25&&a_3^2a_3^2a_2^2a_1^4&bbdb&&\cr\铬12&22&&a_3^6a_3a_1^2&96&dag&a_3^8&\cr12&23&&a_4^2a_3^2a_2a_1^2a_1^2和8&bcbha和a_4^6&\cr12&23&&a_4a_3^5a_1^2&40&aba&a_4^6&\cr12&24&&d_4a_4a_2^6&24&dca&A_5^4D_4&A_5 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