%这是一张普通的特克斯纸。\放大倍数=\magstep1\vbadness=10000\hbadness=10000\公差=10000\def\C｛\bf C｝｝%复数\def\Q｛｛\bf Q｝｝%有理数\def\R{{\bf R}}%实数\定义\Z{{\bf Z}}%整数\def\Ad{{\rm Ad}}%整数\宣布广义Kac-Moody代数的中心扩张。《代数杂志》第140卷第2期，1991年7月，330-335。Richard E.Borcherds，%作者每日下午时间。，剑桥大学，16 Mill巷，剑桥，CB2 1SB，英格兰。\大跳跃Borcherds[1]的主要结果表明，用“几乎正定”的反变双线性形式是本质上与广义Kac-Moody的中心扩展相同代数。在本文中，我们计算了这些中心扩展名。普通Kac-Moody代数具有非平凡中心，当Cartan矩阵是奇异的；广义Kac-Moody代数在他们的通用中心扩展中有一些“额外”的中心当它们的单根重数大于1时尤其是Cartan子代数的维数可以大于Cartan矩阵的行数。\宣布1.~结果声明。本文的主要结果表明，大致来说，分级具有“几乎正定”逆变子的李代数双线性形式与Kac-Moody的一种推广形式相同代数。更准确地说，\宣布定理1。假设$G$是一个实李代数。那么条件（2）意味着（1） ，和（1）意味着（2）如果所有$i$的$\dim G_i<\infty$。\项目{（1）}$G$具有分级$G=\oplus_i G_i$和$G_0\subset[G，G]$，将$G_i$映射到$G_{-i}$并且在上为$-1$的对合$\omega$$G_0$，以及不变的双线性形式$（，）$，使得如果$a，则$（a，b）＝0$$和$b$具有不同的学位，因此$（a，-\omega（a））>0$if$a$是$i\ne 0$的$G_i$的非零元素。此外，$G$是一个总和$G_0$的一维特征空间；这是另一个条件，如果空格$G_i$、$i\ne 0$是有限维的。我们可以通过说$G$是一个分级来大致概括这些条件具有几乎正定反变双线性的李代数形式。\项{（2）}在i$中有一个对称矩阵$a{ij}$，$i，j\，这样如果$i\nej$，则$a{ij}\le 0$，如果$a{ii}>0$，则$2a{ij}/a{ii}$是任何$j$的整数。的一些中心扩展$G$由以下生成器和关系给出。\itemitem{}生成器：\元素$e_i$，$f_i$，$h_{ij}$代表i$中的$i，j\。\itemitem{}关系：\项目{}$[ei，fj]=h{ij}$。\项目{}$[h{ij}，e_k]=\delta_i^ja_{ik}_k$,$[h_{ij}，f_k]=-\delta_i^ja_{ik}fk$.\itemitem{}如果$a_{i}>0$，则$\Ad（e_i）^ne_j=0=\Ad$n=1-2a{ij}/a{ii}$。\itemitem{}如果$a{i}\le0$，$a{jj}\le0$和$a{i}=0$则$[e_i，e_j]=0=[fi，fj]$。子代数$G_0$必须是阿贝尔代数，因为自同构$\omega$在其上充当$-1$。如果所有$i$的$a_{i}>0$，则（2） 等价于Kac-Moody代数的定义关系对称Cartan矩阵$a$（其中$h_{i}=h_i$）。如果我们允许$a{ii}$为非正，但添加条件$h{ij}=0$if然后我们得到了广义Kac-Moody的关系代数“”，如Borcherds[1]。在任何情况下，$h｛ij｝$都是0，除非$a$的$i$th和$j$th列相等，并且位于除非$i=j$，否则上面的李代数是广义Kac-Moody代数。Borcherds[1]的定理3.1暗示任何满足上述（1）的条件是广义Kac-Moody代数。因此，定理1几乎遵循从下面的定理，我们在这篇论文。\宣布定理2。假设$G$是定理第（2）部分中定义的李代数1.元素$h_{ij}$生成的$G$的子代数是交换的它有一个由元素$h_{ij}$组成的基，用于i中的$i、j\$这样，$A$的$i$th和$j$th列是相同的。如果$a$没有零列，那么$G$是完美的，等于它自己的通用中央分机。特别是，我们恢复了众所周知的结果，普通的Kac-Moody代数是它们自己的通用中心扩张，因为在这里这种情况下，对称的《宪章》不可能有两列矩阵相等。很容易推广Borcherds[1]关于广义Kac-Moody代数，如广义Kac-Weyl最大重量模块字符的公式广义Kac-Moody代数的扩张。例子。巨大的广义Kac-Moody代数$G$[2]具有根格-偶数26维单模洛伦兹格$L=II_{25,1}$，如果$r$是$L$的非零元素，则$r$具有重数$p{24}（1-r^2/2）$，它是$1-r^2/2$分成24种颜色。这个格子有一定的范数0``Weyl向量“”$\rho$和$G$的简单根由下式给出\项{（1）}具有内积$-1的$L$的所有范数2向量$使用$\rho$。这些是$G$的真正简单根。\项目{（2）}所有$\rho$的正整数倍，每个都有重数24.这些是$G$的范数0简单根。因此，$G$的通用中央扩展$\hat G$具有Cartan子代数，它是\项{（1）}$G$的每个实单根的一维空间。\项目{（2）}每个正整数的A$24^2=576$维空间。G$的中心在Cartan子代数中有索引26，商G$的中心很简单。{\it备注}可以定义广义Kac-Moody超代数以及关于广义Kac-Moody代数的许多定理可以推广到广义Kac-Moody超代数，只要我们进行一些更改，例如将对合$\omega$替换为的偶数元素上平方为1的4阶元素奇数元上的超代数和$-1$。定理1推广到如果我们对超代数进行所有“普通”更改代数到超代数，并且在定理1的第（2）部分中增加了条件是$G$没有奇数实简单根。有许多有限的满足此条件的一维简单超代数。\宣布2.~证据。在本节中，我们给出定理2的证明，它主要包括检查定理1（2）中的李代数是否是自己的如果它是完美的，则为通用中心扩展。我们首先说明一个更简单的李代数是它自己的通用代数中央分机。\宣布定理3。让$a_{ij}$是任何没有零列的实矩阵，让$G$是由以下生成器和关系给出的李代数。\项目{}生成器：\项{}$e_i$，$f_i$，$h_{ij}$，$i，j\以i$表示。\项目{}关系：\项{}$[ei，fj]=h{ij}$，\项目{}$[h_{ij}_k]=\delta_i^ja_{ik}_k$, $[小时_｛ij｝f_k]=-\delta_i^ja_{ik}fk$.\然后$G$是完美的，等于它自己的通用中心扩展。显然，$G$是完美的，而$h_{ij}$是如果$i\ne j$，则位于$G$的中心。也，$$\eqalign（美元\eqalign）{一个_{ij}小时_{jk}&=[a_{ij}ej，fk]=[[h{ii}，ej]，fk]=[h{ii}，[ej，fk]]-[ej&=[h{ii}，h{jk}]+[ej，a_{ik}fk]=[h{ii}，h{jk}]+a_{ik}小时_{jk}。\铬}$$如果$j=k$，这意味着$[h{ii}，h{jj}]=0$，那么所有的$h$相互通勤。如果$j\nek$，则表示$h_{jk}=0$除非$a$的$j$th和$k$th列相等。设$e_i'，f_j'，h_{ij}'$是宇宙中心的元素$G$的扩展名$\hat G$映射到$e_i、f_j、h_{ij}$。我们重复使用两个元素$x'$和$y'$通勤以$G$表示，然后$[x'，y']$位于$\hat G$的中心。然后$[h{ii}'，[h{jj}'e_k']]=[h{J}'，[h{i}'，e_k']$因为$[h_{i}'，h_{j}']$位于$\hat G$的中心。因此$$a{jk}[h{ii}'，e_k']=[h{ii}'，[h{jj}'，_k']]=[h{jj}'，[h{ii}'，e_k']]=a{ik}[h{j}'，d_k']。$$对于任何带有$a_{ik}$非零的$i$，我们可以构造元素$\hat G$的$[h_{i}'，e_k']/a_{ik}$；这不取决于$i$by上面的等式并映射到$G$中的$e_k$。因此，我们可以假设$ek'$等于此元素，以便美元_｛ik｝e_k对于所有$i$，'=[h{i}'，e_k']$，并且可能同样假设美元_{ik}fk'=-[h{ii}'，f_k']$。最后，我们可以重新定义$h_{ij}'=[e_i'，f_j’]美元。我们希望表明，这些新要素满足关系$G$，以及不属于其定义的唯一关系元素$h{jl}'$communit与$e_k'$和$fk'$if$j\ne1美元。如果我们选择$i$和$a_{ik}\ne0$，则如下所示$$a{ik}[h{jl}'，e_k']=[h{jl}'，[h{ii}'，_k']=[h{i}'、[h{j l}'、e_k']]=0$$最后一个等式成立，因为$[h{jl}'，ek']$位于$\hat G$。这表明$\hat G$包含满足关系的元素$G$的扩展名$\hat G$被拆分。因此，$G$是它自己的泛中心扩张，并证明了定理3。定理3中的李代数是普适中心与Kac[3]中矩阵$a$相关联的李代数的扩展，当$a$的所有列都是不同，这对于普通的Kac-Moody代数来说总是如此。\宣布推论。设$G$为定理3的李代数，$H$为$G$美元。$G/H$的通用中央分机为$G/[G，H]$，以及特别是如果$H=[G，H]$，则$G/H$是其自身的通用中心扩展。{\it-Proof。}这对任何完美李代数$G$都是正确的，它是自己的通用中央扩展。$G\rightarrow G/H$和$G/H$的通用中央分机是一个完美的中央分机$G$的扩展，因此等于$G$，因此从$G$到$G/H的映射$通过$G/H$的通用中央扩展因子。这很容易以确保这意味着$G/H的通用中央扩展$是$G/[G，H]$。这证明了推论。我们现在可以给出定理2第二部分的证明。如果$G$是定理1和$H$的李代数是由一些形式为$\Ad（e_i）^ne_j$、$\Ad（f_i）^nf_j$和$[e_i，e_j]$的元素，和定理1中的$[f_i，f_j]$，那么根据推论，我们只需要检查$H=[G，H]$。元素$\Ad（e_i）^n（e_j）$位于$[G，H]中$因为$[h_{ii}，\Ad（e_i）^ne_j]=（na_｛ii｝-a_{ij}）\Ad（e_i）^ne_j$和$na美元_{ii}-a_{ij}$不为零，因为$a{i}>0$，$a{aj}\le0$。这个元素$[e_i，e_j]$在$a{i}\le0$，$a{jj}\le0$，$a{ij}=0$，因为如果我们选择任何带有$a{ki}\ne0$的$k$，那么$[h{kk}，[ei，ej]]=（a{ki}+a{kj}）[ei、ej]$和$a{ki{+a{kj}$是非零，因为$a{ki}<0$，$a{kj}\le0$。类似地$\Ad（f_i）^nf_j$和$[f_i，f_j]$的格式为$[G，H]$，并且证明了定理2的第二部分。最后，我们必须证明定理2的第一部分其中重要的部分是证明$h$是线性的独立。特别地，我们展示了元素$h_{ij}$是如果$a$的$i$th和$j$th列相同，则为非零，因此我们构造的中心扩展并不平凡。\宣布定理4。让$a$是任何矩阵（可能有一些零列），让$G$是带有生成元的李代数和定理3的关系。然后由$h$生成的$G$的子代数是阿贝尔代数，并且具有由元素$h_{ij}$组成的基，用于i$中的$i、j\，这样$a$的$i$th和$j$th列相等。如果这些列不是等于$h{ij}=0$。{\it-Proof。}这个证明是对Kac[3]中的一个稍作修改对于Kac-Moody代数的情况。唯一需要检查的重要事项$h$是线性独立的，我们通过构造足够多的“最低权重”表示$G$。我们让空间$V$成为泛结合代数由元素$e_i$生成，并让$e_i$向左作用于$V$乘法。我们选择任何实数$b_{ij}$，其中$b_}ij}=0$除非$a$的$i$th和$j$th列相等，并定义$V$上的运算符$h_{ij}$，使得$h_}ij}（1）=b_｛ij｝1$和$$[h_{ij}，e_k]=\delta_i^ja_{ik}_k\qquad\hbox{表示所有$i，j，k$.}\eqno{（1）}$$类似地，我们可以在$V$上定义运算符$f_j$，使$f_j（1）=0$并且$$[f_j，e_i]=-h_{ij}\qquad\hbox{对于所有$i，j，k$.}\eqno{（2）}$$这将给出$G$的表示，前提是$[小时_{ij}fk]=-\delta_i^ka_{ik}fk$表示满意，如果是这样将证明定理，因为我们已经构造了足够的$G$的表示，Cartan子代数的元素在其上起作用非私人的。运算符$[h_{ij}，h_{kl}]$与所有$e$的和在1上消失，因此它在$V$上为0，原因相同当$a$的$i$th和$j$th列不同时，$h_{ij}$为0因为$b{ij}=0$。从关系（1）和（2）我们发现$$\eqalign美元{[[h{ij}，f_k]+\delta_i^ja_{ik}fk，e_l]&=[h{ij}，[f_k，e_l]]-[f_k，[h{1j}、e_l]-\delta_i^ja_{ik}小时_{lk}\cr&=-[h{ij}，h{lk}]+\delta_i^ja_{il}小时_｛lk｝-\delta_i^ja_｛ik｝小时_{lk}，\cr}$$这是0，因为$h{lk}$是0，除非$a{ik}=a{il}$。因此$[h{ij}，f_k]+\delta_i^ja_{ik}fk$在$V$上为0，因为它在上消失1并与$e$进行交换。这证明了定理4。定理2由此得出，与Kac[3]中为Kac-Moody代数证明相应定理的方式相同。{\it备注}如果$a$的$i$th和$j$th列相等，则定理1的李代数$G$有一个外导子$h$，定义如下$[h，e_i]=e_j$，$[h、e_j]=-eui$，$[h，e_k]=0$如果$k\ne i，j$，$[h，f_i]=f_j$，$[h、f_j]=-f_i$，$[h，f.k]=0$，如果$k\ne i，j$。如果$a$有$n$等于列，则这些派生将生成$G$上的正交群$O_n（R）$。这些外部派生不始终使用Cartan子代数的元素进行交换。{\it勘误表}Borcherds[1]：短语“非奇异SCM”应替换两次通过“Cartan子代数上的非奇异双线性形式”。第15行打开第502页应改为“从（4）开始”第502页第$-4$行应阅读``。。。所有真正的简单根。”提议2.2应改为``正根…“”。\宣布参考文献。\R.E.Borcherds，广义Kac-Moody代数，《代数杂志》115（1988），501-512。\R.E.Borcherds，《怪物李代数》，高级数学。83 (1990), 30--47. \项目{3.}V.G.Kac，“无限维李代数”，Birkh“auser，巴塞尔，1983年。\再见