%这是一张普通的特克斯纸。\放大倍数=\magstep1\vbadness=10000\hbadness=10000\公差=10000\def\R{{\bf R}}%实数\定义\Z{{\bf Z}}%整数\定义\Q{{\bfQ}}%有理数\定义\C{{\bf C}}%复数\定义\广告{{\rm广告}}\定义\多重{{\rm多重}}\定义\Aut{{\rm Aut}}\定义\q{***}\宣告自守形式和李代数。1996年9月30日Richard E.Borcherds，脚注{$^*$}{由皇家学会支持教授职位和NSF拨款DMS-9401186。}D.P.M.M.S.、。，16 Mill巷，剑桥，CB2 1SB，英格兰。电子邮件：reb@pmms.cam.ac.uk主页：http://www.dpmms.cam.ac.uk/\hbox{\~{}}reb\大跳跃\宣布0。~引言。本文主要是一篇关于一个特殊李代数的广告称之为假怪物李代数。查看的理由只是一般事物中一个相当模糊的物体调查显示，假怪物李代数已经直接领导了对于顶点代数的定义，广义代数的定义Kac-Moody代数，月光猜想的证明，一个新的自形形式家族，可能还有更多从中解脱出来。读者可能会想，为什么我们不从更简单的比假怪物李代数更具代表性。原因是假的怪物是非仿射李理论中已知的最简单的例子代数；其他例子更糟糕。以下是本文其余部分的简要总结。第一个迹象这个假怪物的存在源于康威的发现格子$II{25,1}$的Dynkin图本质上是水蛭格子。我们将在第1节中对此进行解释。对于任何Dynkin图，我们都可以构造一个Kac-Moody代数和伪代数的第一近似怪物李代数是带有Dynkin图的Kac-Moody代数水蛭格子。事实证明，为了得到一个真正好的李代数，我们必须再增加一点；更准确地说，我们必须添加一些``假想简单根“，得到广义Kac-Moody代数。接下来，我们可以看看这个伪函数的“分母函数”怪物李代数。仿射李代数的分母函数是雅可比形式，可以写成无穷乘积[K，第13章]。假怪物李代数的分母函数是正交群的自守形式，可以写成无限乘积。有一个无限这类自守形式的家族，所有这些都已明确知道零。（事实上，自形形式似乎有可能以类似的方式解释了所有零具有``简单的“”描述。）最后，我们简要提到一些联系与数学的其他领域，如反射群和模代数曲面的空间。我感谢S.-T.Yau邀请我参加这次会议，U.~Gritsch，I.~Grojnowski、G.~Heckman和M.~Kleber发表了许多有益的评论关于早期草案和NSF的财务支持。\宣布1水蛭格子和$II_{25,1}$。在本节中，我们解释了康威对反射的计算偶数洛伦兹格$II_{25,1}$的群，所以我们首先回顾一下这个格子的定义。晶格是即使所有向量$v$的范数$（v，v）$是偶数且是否则称为奇数。如果每个$L$的对偶元素由带有一些$L$的元素。正定格或负定格似乎不可能在30维以上进行分类，因为也有其中很多，但不定幺模格有一个非常简单描述：只有一个奇数幺模格任意给定维度$r+s$的$I_{r，s}$和签名$r-s$正整数$r$和$s$，正好有一个偶数幺模格$II_{r，s}$，如果签名$r-s$可以被整除$8$，否则甚至没有单模块。（请注意，$II$$II_{r，s}$是两个$I$，而不是大写$\Pi$！）特别是在那里是一个唯一的偶单模26维洛伦兹格$II_{25,1}$。奇数格$I_{r，s}$可以很容易地构造为集合向量$（n_1，\ldots，n_{r+s}）\in\r^{r，s}$的所有$n_i\in\Z$。（这个向量在$\R^{R，s}$中的范数是$n_1^2+\cdots n_R^2-n_{R+1}^2-\cdot n{r+s}^2$）可以构造偶数格以同样的方式，除了坐标上的条件是它们的和是偶数，它们要么都是整数，要么都是整数$+1/2$。请注意，向量$（1/2，\ldots，1/2）$具有偶数norm$（r-s）/4$，因为签名$r-s$可以被8整除。对于$r=8，s=0$这当然只是$E_8的常见构造$格子。还有第二种方法可以构造$II_{25,1}$：if$\Lambda$是Leech晶格（唯一的24维偶幺模无根正定格）则$\Lambda\oplus II_{1,1}$是一个偶数26维洛伦兹晶格，因此与$II_{25,1}$同构。对于格子$II_{1,1}$，它是方便使用不同的坐标系：我们表示其向量为对$（m，n）\in\Z^2$，范数为$（m，n）$为$-2mn$，因此$（1,0）$和$（0,1）$是范数0向量。我们使用这将以$（\lambda，m，n）$的形式写入$II_{25,1}$的向量，其中$\lambda\in\lambda$和$m，n\in\Z$，其中该向量具有正常$\lambda^2-200000$。相反，Conway向[CS]展示了我们可以反向运行这个过程，并给出一个水蛭格子的极短结构。如果我们允许$\rho=（0,1,2，\ldots，22,23,24,70）\在II_{25,1}$中，然后$\rho^2=0$和$\rho^\perp/\rho$与Leech晶格同构。在本节的其余部分中，我们描述了Vinberg的算法求反射群的简单根及Conway的应用它的。如果$L$是任何洛伦兹格范数0向量形成两个锥和负范数向量是这些锥的“内部”。我们选择一个圆锥体并将其称为正锥体$C$。$C中的范数$-1$向量集$形成双曲线空间$H$的副本。（$H$上的度量值只是$L\otimes\R$上的伪黎曼度量限制为$H$，其中成为黎曼人。）所有旋转的组$\Aut（L\otimes\R）^+$$L\otimes\R$的映射$C$到自身作用于双曲线空间$H$，实际上是$H$的所有等距线的组。特别地修正正的$L$的所有自同构的群$\Aut（L）^+$圆锥可以看作是$H$的一组离散等距线。我们设$W$是反射生成的$\Aut（L）^+$的子组。这些反射可以描述如下：如果$r$是正范数$L$的向量，使L$中所有$s\的$（r，r）|2（r，s）$，然后$s\mapsto s-2r（r，s）/（r，r）$在$r^\perp$中给出的反射作用于$L\otimes\R$以及对$H$的限制，其中它反映在超空间$r^\perp\cap H$。反射超空间划分将双曲线空间转换为称为$W$的Weyl腔的单元。正如在有限Weyl群的情况下，Weyl组$W$起作用在Weyl腔室上传递。我们选择一个Weyl商会$D$和称之为基本Weyl腔。然后是整个组$\Aut（L）^+$是$W$与$\Aut（L）的子群的半直积^+$修复基本Weyl腔室$D$。特别是如果我们可以描述$D$这或多或少决定了组$\Aut（L）^+$。文伯格发明了以下算法来寻找$D$美元。首先选择基本Weyl腔$D$中的任意点$c$。然后按照距离$c$的顺序找到$D$的面。文伯格证明了反射超平面是$D$if和仅当它与$D的每个面之间的角度最多为$\pi/2$时$更接近$c$（其中面之间的角度是指从$D$内）。这意味着我们可以递归地找到$D$的所有墙按距离$c$的顺序排列。用格来重新表述这个算法很方便$L$而不是双曲线空间$H$。而不是一点$c$we选择闭合正锥$C$内的向量$\rho$。对于简单性，我们假设$W$的所有根都有范数$2$（即我们稍后将使用的唯一案例）。然后我们将距离替换为通过$r$的高度$-（\rho，r）$到达点$c$的超平面，其中$r$是任何具有$\rho$的最多$0$内积的根。然后和以前一样我们可以找到所有的简单根（即正根$r$正交按照高度的顺序，通过观察正根$r$是简单的当且仅当它在大多数为0，所有简单根的高度都较小。我们现在可以描述康韦对{25,1}$的反射群$W$。我们选择向量$\rho$为$（0,0,1）\in\Lambda\oplusII_{1,1}$。没有高度为0的根，因为水蛭晶格$\Lambda$没有根。的向量$（\lambda，1，\lambda^2/2-1）$$\lambda\in\lambda$是高度为1的范数2简单根，它是很容易检查它们是否形成水蛭晶格的等距集$\兰姆达$。康威的惊人发现是，这些是$西元。要了解这一点，假设$（v，m，n）$与$v^2-2mn=2$是任何其他值高度$m>1$的简单根。那么$（v，m，n）$最多有内积0具有所有简单根$（\lambda，1，\lambda^2/2-1）$$\lambda\in\lambda$和一个简单的计算表明，这意味着所有$\lambda$的$v/m-\lambda |>\sqrt 2$。但康威、帕克、，斯隆【CS，第23章】表明水蛭晶格有覆盖层半径正好为$\sqrt 2$，换句话说，$\Lambda\otimes\R$只是每个格点周围被半径为$\sqrt 2$的闭合球覆盖$\Lambda$的。特别是有一个向量$\lambda$$\Lambda$与$|v/m-\Lambda|\le\sqrt 2$，以及这个矛盾证明$（v，m，n）$不能是简单根。总之，这对群$\Aut（II_{25,1}）^+$作为半直积$W.G$，其中$W$是水蛭晶格给出的Dynkin图的反射群为上面，其中$G$是这个Dynkin的自同构组图表。不难看出，$G$只是所有人中的一员“仿射”水蛭格（即水蛭格子）的等轴测图原点为“遗忘”），半直接也是如此产品$\Lambda。\Aut（\Lambda）$其中$\Aut（\Lambda）$是双封面$（\Z/2\Z）。康威的Co_1$最大的零星简单群$Co_1$。因此$\Aut（II_｛25,1｝）$可以写为$$W.\Lambda。（\Z/2\Z）。Co_1.$$此描述$Co_1$作为坐在$\Aut（II_{25,1}）顶部的组$似乎是最简单、最自然的描述零星的简单群体。给定任何Dynkin图，都会有一个相关的Kac-Moody代数。作为$II_{25,1}$反射群的Dynkin图非常漂亮，这表明相关的Kac-Moody代数$M_{KM}$应该也要非常好。事实证明，这几乎是真的，但并不完全是真的：我们首先必须通过添加一些虚构的元素来修改Dynkin图为了得到一个好的李代数（这将是伪怪物李代数$M$，其最大Kac-Moody子代数为$M_{KM}$）。在讨论之前，我们回顾了一些关于Kac-Moody代数。\宣布2个Kac-Moody代数。假设$G$是有限维简单复李代数带有Cartan子代数$H$。那么$G$有一个对称不变量双线性形式$（，）$，它在$H$上诱导了一个形式，我们使用它来用双$H^*$标识$H$。H^*$中的根$\alpha\是$H$对$G$的伴随作用的非零特征值是作用于称为Weyl的$H$的有限反射群$W$的根$G$组。一些基本Weyl的简单根$\alpha$$W$的$D$室可以通过Dynkin的点识别$G$的图表。我们将数字$a{ij}$定义为内积$G$和的简单根的$（\alpha_i，\alpha_ j）$是条目$G$的“对称Cartan矩阵”$A$。我们可以而且会归一化内积，使所有对角线条目正实数。这些数字具有以下属性：\项目｛｝$a_｛ii｝>0$\项目{}$a{ij}=a{ji}$\项目{}$a{ij}\le 0$如果$i\ne j$\项目{}$2a{ij}/a{i}\在\Z$中。对Cartan矩阵进行规范化，使其具有整数项和对角线条目均等于2但不是对称的；为了我们的目的，最好使用对称但通常没有整数项的矩阵或对角线系数等于2。它很容易得到从对称化的Cartan矩阵到Cartan阵将所有行乘以适当的常量。我们可以从矩阵$A$中恢复李代数$G$作为李代数由每个简单根的$sl2=langle e_i，fi，hi rangle$生成$\alpha_i$，受以下关系（由于Serre和Harish-Chandra）取决于数字$a_{ij}$：\项目｛｝$[e_i，f_i]=h_i$\项目{}$[e_i，f_j]=$i\ne j的0$$\项目{}$[hi，e_j]=a_{ij}ej$\项目{}$[hi，fj]=-a_{ij}fj$\项目{}$\Ad（e_i）^{1-2a{ij}/a{i}}e_j=0$\项目{}$\Ad（fi）^{1-2a{ij}/a{i}}f_j=0$Kac和Moody注意到我们可以用同样的方式定义李代数对于满足上述条件的任何矩阵$A$；这些是可对称的Kac-Moody代数。（他们还定义了李代数非对称Cartan矩阵，我们将不再使用。）卡克·穆迪代数具有有限维单李的许多性质代数：我们可以定义根、韦尔腔、韦尔群、卡坦子代数、Verma模等等，通过复制通常的定义有限维李代数。有一个Weyl-Kac角色关于Verma模的一些简单商的性质的公式，对于有限维李代数来说，这就是通常的Weyl有限维表示的字符公式。唯一的在这种情况下，我们将使用Weyl-Kac分母公式，即平凡一维模的Weyl-Kac特征公式字符1的，表示$$\sum_｛w\ in w｝\det（w）w（e^\rho）=e^{\rho}\prod_{\alpha>0}（1-e^\alpha）^{\mult（\阿尔法）}$$，其中$\rho$是一个叫做Weyl向量的特殊向量，乘积是全部正根$\alpha$和$\mult$是根的重数，单位为换句话说，对应根空间的维度。Kac表示，如果我们应用这个，我们可以恢复麦克唐纳的身份特定特殊Kac-Moody代数的分母公式仿射Kac-Moody代数，它大致是带系数的Laurent多项式的李代数$G[t，1/t]$有限维李代数$G$或这些的扭曲版本。对于例如，李代数$sl_2[t，1/t]$的分母公式是雅可比三乘积恒等式$$\sum_{n\in\Z}（-1）^nq^{n^2}Z^n=\prod_{n>0}（1-q^{2n}）（1-q^{2n-1}z)（1-q^{2n-1}/z）.$$我们想找一些麦克唐纳恒等式的推广除仿射代数以外的Kac-Moody代数。为此，我们需要找到一些Kac-Moody代数，它们的根重数都是$\mult（\alpha）$和简单根在一些简单的形式。知道简单的根等同于知道Weyl群和Weyl-Kac分母公式中的和，以及知道根重数等于知道乘积在分母公式中。不幸的是，没有已知的例子Kac-Moody代数（有限维和仿射根）的简单根和根重数是明确已知的。当然，总是可以计算如果我们知道用分母公式求简单根。这可以用于给出根乘法的递归公式（由于Peterson）或为多重性。不幸的是，这两个似乎都没有给出满意的简单显式根重数公式任何非仿射Kac-Moody代数。已经有几个一些较容易的多重数的数值计算Kac-Moody代数，以及人们从这些代数中得到的印象表中的根重数看起来相当复杂随机。\宣布3个顶点代数。作为定义顶点代数的动机，我们首先回顾一下有限维简单复李代数的一个简短构造从它们的根晶格。我们只做李代数的例子$A_n$、$D_n$和$E_6$、$E_7$、$E_8$（其他可以获得作为这些李代数在图自同构下的不动点）。假设$L$是$G$的根格，那么根$G$的正是$L$的范数2向量。我们构造一个一组订单2的中央分机$\hat L$of$L$由具有属性的元素$\zeta$生成$e^ae^b=\zeta^{（a，b）}e^be^a$如果$e^a，e^b$是提升到$\hat L$的$a、b\单位为L$。此中央延伸是唯一的，最多可达（非均匀）同构。我们将$G$定义为$Z$-模块$$L\oplus\sum_{\alpha^2=2}e^\alpha$$其中总和超过范数2向量的一组提升在$L$中，我们用$-e^a$标识$\zeta e^a$。我们通过定义$G$上的Lie括号\L中$a，b\的项目{}$[a，b]=0$$\项目{}$[a，e^b]=-[e^b，a]=（a，b）e^b$如果$a，b\在L$中，$（b，b）=2$\项目{}$[e^a，e^b]=a$如果$a=-b$，$e^ae^b$如果$（a，b）=-1$，否则为0。然后不难检查这个括号是反对称的满足Jacobi恒等式，因此它定义了复李代数$G$。（请注意，如果我们没有首先采取$L$产品的中心延伸不会是反对称的。在事实上，没有规范的方法从$L$构造$G$，因为$L$的自同构群，它或多或少是$G$通常不是$G$的自同构群的子群，但它是只有一个次商。）这个构造为李代数提供了一个完全明确的基础$G$美元。我们想对所有的Kac-Moody代数做一些类似的事情。不幸的是，上面的结构一旦晶格破裂$L$是不定的，有范数2向量$a，b$和$（a，b）\le-2$但是$a\ne b$。格的顶点代数将提供对所有格的上述构造的推广。为了简单起见，我们只构造格的顶点代数$L$，其中所有内积均为偶数；一般来说，如果内部产品很奇怪，有必要先用一个中心替换$L$扩展名$\hat L$如上所示。我们也只做施工在复杂的数字上，尽管稍加努力就能做到在整数上完成。我们定义顶点的基本空间$L$的代数$V$是具有派生$D$由$L$的复群环$\C（L）$生成。它不难计算出环$V$的结构：它只是具有对称代数的$L$群环的张量积$L$的可数无限份数$L_i$的和。它是最好把$V$想成是一个交换环以及复数的加法形式群$\C$派生词$D$（跨越这个形式群的李代数）。顶点操作符只是一个形式化的序列$v（z）=\sum_{n\in\Z} v（v）_{-n-1}z^n$，其中$v_n$是$\C$-来自$v的线性运算符$到$V$，这样对于V$中的任何$w\元素$V_nw$都会因$n而消失$足够大。我们可以认为$v（z）$是一种形式形式给出$v_n$的算子值亚纯函数作为$v（z）z^ndz$在$z=0$时的余数。我们现在将定义一些$V$上的顶点操作符。对于L$中的每个$a\，我们定义了顶点运算符$a^+$by$a^+（z）=\sum_{n\ge0}D^n（e^a）z^n/n！$（其中运算符$D^n（e^a）$是元素的乘法运算符$D^n（e^a）$）。我们为L$中的$a定义了另一个顶点操作符$a^-$说$a^-（z）$是从$V$到$V[z，1/z]$的派生$e^b$到$z^{（a，b）}e^b$。然后我们可以检查所有顶点$a^+$形式的运算符相互交换，所有运算符$a^-（z）$相互通勤。最后定义顶点运算符$a（z）$by$a（z=a^+（z）a^-（z）$for$a\inL$，因此操作员$a（y）$和$b（z）$对于任何$a、b\单位为L$。在这个意义上$$（y-z）^N\big（a（y）b（z）-b（z）a（y大取决于$a$和$b$。注意$y^mz^n的系数$在$a（y）b（z）中$通常与$y^mz^n的系数不同$单位为$b（z）a（y）$；只有当两边都乘以系数变为相等的$y-z$的幂。我们现在可以将顶点代数（大致）定义为向量空间$V$，对于每个元素$V$$V$我们得到一个顶点操作符$V（z）$，这些顶点操作符所有人都正式通勤。我们还要求$V$应具有标识元素1，使得$v（0）1=v$和$1（z）v=v$。把顶点代数看作是一种可交换的使用组$\C$的正式操作进行振铃，其中$z\in\C$对$v$的操作为$v（z）$，$v（z）w$为$v（z）$和$w$的环积。如果顶点操作符$v（z）$对于所有$v$都是“全纯”，这意味着对于$n\ge 0$，$v_n＝0$，那么顶点代数就是一个带导数的交换环环积由$vw=v定义_{-1}周$. 一般来说我们可以认为$V$的行为类似于一个交换环乘法并非处处都有定义，因为它有极点；如果我们用的元素$z$扰动元素$v，w$之一然后我们得到$z的亚纯函数$v（z）w$$（表现为$z$与$w$作用于$v$的乘积）通常在$z=0$处有一个极点。假设我们有一个向量空间$V$受一组交换作用操作符，例如$V$由图像生成为向量空间在由这些生成的环$R$下以V$表示的元素$1操作员。然后很容易看到从$R$到$V$的地图$r$到$r（1）$是向量空间的同构，因此给出了$V$单位元为1的交换环的结构。有一个顶点算子的类似定理：如果$V$是作用于向量空间由具有相容交换顶点集的算子$D$运算符对其进行操作，以便$V$从元素生成在V$中$1，其中$D（1）=0$由这些顶点操作符的组件决定，然后我们可以把$V$变成顶点代数。如果我们将此应用于上面的空间$V$是从一个格构造而成的对于L$中的$a\，操作符$a（z）$可以给$V$一个顶点代数结构。如果$L$上的内积等于零那么$V$上的顶点代数结构与上述定义的交换环结构；通常是顶点$V$上其他内积定义的代数结构可以是被认为是这个环的一种“亚纯变形”结构。如果$u$、$v$和$w$是顶点代数的元素，则$u（x）v（y）w=v（y极点仅为$x=0$、$y=0$和$x=y$。此函数也等于$（u（x-y）v）（y）w$，如果解释$u（x），这很容易理解$作为组元素$x$对元素$u$的作用。（这是更容易看出我们是否表示环上的组元素$x$的动作元素$u$乘以$u^x$，当它变成$u^xv^yw=（u^{x/y}v）^yw$时。）如果$f（x）$是$x$的任意函数，其极点仅在$x=0$或$x=y$，则柯西公式表明，$0$的残差加上$y的残差$是围绕$f（x）dx/2\pi i$的一个大圆的积分。如果我们申请这等于$f（x）=u（x）v（y）w$，然后取$y=0$的残数，我们发现$$\int_y\int_x（u（x-y）v）（y）wdxdy=\int_y\int_x u（x）v（y）wdxdy-\int_y\int_x v（y）u（x）wdxdy$$其中$x$的积分路径是围绕$y$的一个小圆，围绕$y$和$0$的大圆圈，以及围绕$0的小圆圈$在3个积分中，或者换句话说$$（u_0v）_0w=u_0（v_0w）-v_0（u_0w）$$如果我们首先将被积函数乘以$（x-y）^qx^my^n$，我们获得涉及操作员的更复杂身份$u_iv$和一些二项式系数，它们（非常重要）等价到[B86]中首次用于定义顶点代数的恒等式。\宣布4无主定理和I.~Frenkel的上界。回想一下，Virasoro代数是Lie的中心扩展圆上多项式复向量场的代数，即由元素$L_i$，$i\in\Z$跨越，其中$[L_i，L_j]=（i-j）L_{i+j}$。非奇异格$L$的顶点代数具有自然作用并且我们定义了它的物理子空间$M$$V（L）$是$P^1/DP^0$与某双线性核的商形式，其中$P^i$是（最小重量）的空格$L_0（v）=iv$，$L_i（v）=0$，$i>0$的向量。（这样做的动机来自弦论，其中这个空间大致是在圆环上移动的手征弦的物理状态\R/L$）顶点代数$V（L）$也有一个自然的$L$分级由$L$的群环上明显的$L$分级引起。如果$L$是26维的洛伦兹定理（除其他外）五十、 \alpha\ne0$具有维度$p_{24}（1-\alpha^2/2）$，其中$p_{24}（n）$是$n$到24部分的分区数颜色。（尽管在数学文献，no-ghost定理的原始证明戈达德和索恩在数学上很严谨。）I.Frenkel证明了[F]，如果$L$是格子$II_{25,1}$，那么Kac-Moody代数$M_{KM}$（Dynkin图由$II{25,1}$）的Dynkin图可以嵌入为$V（II_{25,1}）$的物理状态空间，特别是这给出了$p{24}（1-\alpha^2/2）$的上限这个李代数根空间的重数。（Frenkel的这项工作是定义的主要动机顶点代数。）Frenkel的方法给出了多重数的相同上界秩26的任何Kac-Moody代数的根，其所有根都具有规范2。对于秩$k$不等于26的Kac-Moody代数，它给出了弱界$p{k-1}（1-\alpha^2/2）-p{k-1{（-\alpha ^2/2略大于$p{k-2}（1-\alpha^2/2）$。例如秩不等于26的李代数（如$E_{10}$，由于Kac和Wakimoto），其中一些根的重数严格较大大于$p{k-2}（1-\alpha^2/2）$，因此no ghost给出的上限秩26的定理不可能以明显的方式推广到所有人排名。接下来我们可以问一下Frenkel的上界$p_{24}（1-\alpha^2/2）有多好$$M_{KM}$的根重数为。如果我们计算$M_{KM}$根的重数（例如，通过使用Peterson递归公式），我们发现以下结果。所有标准2向量的重数为1，等于Frenkel的上限$p_{24}（1-2/2）$。对于范数0向量，有24个基本轨道对应于24个Niemeier格的范数0向量（24维偶单模正定格）。这个对应关系如下：如果$w$是非零范数0向量在$II_{25,1}$中，则正交的商$w^\perp/w$通过$w$生成的空格对$w$的$w^\perp$进行补码Niemeier格，反之，如果$N$是Niemeir格，那么$N\oplus II_{1,1}$是一个26维偶数洛伦兹格因此与$II_{25,1}$同构。中的范数0向量$II_{1,1}$在$II_{25,1}$中给出范数0向量$w$$w^\perp/w=N$。如果$z$是$II_{25,1}中的任何非零范数0向量$那么使用仿射李代数理论就不难检查了根$nz$的重数等于对应的Niemeier晶格，Leech晶格为0任何其他尼迈尔晶格为24。所以向量的多重性$nz$等于Frenkel的上界$p_{24}（1-0^2/2）=24$，除非当$z$是对应于Leech晶格的范数0向量时。对于normal$-2$向量计算要花费更多的精力。有121个标准$-2$向量的轨道。其中一个轨道的重数为0，一个轨道的多重数为276，其他119个轨道的重数均为276重数$324=p{24}（1-（-2）/2）$等于Frenkel的上限绑定。同样地，有665个轨道的标准$-4$向量，除3个外，其余都是其重数等于$3200=p_{24}（1-（-4）/2）$。此外，当计算这些使用彼得森递推公式的多重性显然负范数是由对应于Leech晶格的范数0向量是0超过24。这表明如果我们以某种方式添加了一个24维根对于范数0向量$\rho$的每个倍数，我们将得到根重数正好等于的李代数Frenkel的上限。我们已经有一个空间$M$包含手性串的所有物理态的空间给出的$M_{KM}$26个维度。上述备注和计算强烈建议$M$本身应该是一个李代数，其简单根由$M_{KM}$的简单根以及$\rho$的倍数。利用该理论很容易在$M$上构造李代数积顶点代数（这并不奇怪，因为顶点代数部分是为了构造这样的李括号而发明的）。第3节末尾我们看到顶点代数乘积$u0v=u0（v）$满足恒等式$$（u0v）0w=u_0（v_0w）-v_0（u_0w）$$是雅各比身份的一个版本，但它不是反对称的。然而，总和$u_0v+v_0u$至少存在在操作符$D=L_{-1}$的图像中，使用它很容易检查将$[u，v]$定义为$u_0v$是否在任意顶点代数$V$的商$V/DV$（其中$DV$是派生词$D$下的$V$的图像。空间$M$是一个李代数$V/DV$的子商，其中$V$是顶点代数格$II_{25,1}$，所以这定义了上的李代数结构百万美元。（事实上，$M$甚至是$V/DV$的子代数，但这更难证明并在很大程度上依赖于后面描述的$M$结构。）还有另一种方法可以使用半无限上同调。根据[FGZ]，向量空间$M$可以与某个半无限上同调群标识，因此具有自然李代数结构。Lian和Zuckerman在[LZ]中对此进行了研究，并从称为Gerstenhaber代数的代数结构半无限上同调。在伪怪物李代数的情况下$M$我们真的没有什么新东西，因为半无限上同调及其代数结构可以从李代数$M$及其双线性形式，但在更一般的情况下不再正确，半无限上同调可能是正确的构造李代数的方法。我们现在想制定$M$的结构。由于$M$接近作为一个Kac-Moody代数，这表明我们应该尝试``强制“$M$成为Kac-Moody代数并找出这方面的障碍是。我们总结了我们所知道的关于$M$的事实：它按$II_{25,1}$分级，根重数由$p_{24}（1-\alpha^2/2）$，它具有不变双线性形式$（，）$由顶点代数$V$上的形式导出，它具有对合$II_{25,1}$（或更多）的自同构$-1$诱导的$\omega$正是通过将其提升到$II_{25,1}$）的双层封面逆变形式$（a，b）0=（a，\omega（b））$在所有非零根的根空间。（形式$（，）_0$不是正数在零权空间$M_0$上确定；这个重量空间是26维度，它的形式$（，）0$是洛伦兹。所以$M$是一个$（，）_0$下的无限维Lorentzian空间，换句话说，它有一个负范数向量，其正交补为正明确。）我们试图通过找到元素$ei$，然后定义其余的生成器$fi$和$h_i$乘以$f_i=\omega（e_i），h_i=[e_i，f_i]$。任何Kac-Moody代数$G$可以写成子空间$E\oplus H\oplusF$的直接和，其中$H$是Cartan子代数，$E$和$F$是根的和正根和负根的空间。（当然$G$不是子代数$E$、$F$和$H$的李代数和，但只有向量空间和。）如果我们为每个选择一个正整数$n_i$简单的根$\alpha_i$，然后我们可以通过$e_i给$\Z$打分$度$nyi$、$fyi$度$-ni$和$hi$度0。然后$E=\oplus_{n>0}E_n$是正度子空间$E_n的和$$G$。元素$e_i$是空格$E$，在任何固定度的元素$E_i$的意义上$n$是$E_n$与$E_k$为$k生成的子代数的0}E_n$$M$的正根空间。我们递归地构造元素$e_n$中的$e_i$作为$e_n$s元素空间的基础与我们所有的$ei$生成的子代数正交以前在$E_k$中为$k构造0$\项目｛｝$[e_i，f_i]=h_i$\项目{}$[e_i，f_j]=$i\ne j的0$$\项目{}$[hi，e_j]=a_{ij}ej$\项目{}$[hi，fj]=-a_{ij}fj$\如果$a{i}>0$，则项目{}$\Ad（e_i）^{1-2a{ij}/a{i}}e_j=0$，如果$a{ij}=0$，则$[e_i，e_j]=0$。\如果$a{i}>0$，则项目{}$\Ad（f_i）^{1-2a{ij}/a{i}}f_j=0$，如果$a{ij}=0$，则$[f_i，f_j]=0$。如果所有对角线条目$a_{i}$都为正，换句话说，如果所有的简单根都是实的（正范数），那么这些条件正是那些定义对称化Kac-Moody代数的代数。我们将调用满足条件的关系生成的任何李代数在广义Kac-Moody代数之上。（事实上，广义的Kac-Moody代数比这个更一般，因为我们还允许很少有额外的操作，例如加上外部导数、商$H$的子空间位于$G$的中心，并采用中心扩展。）顾名思义，广义Kac-Moody代数的理论是类似于Kac-Moody代数（和有限维简单李代数），有一些小的变化。主要区别是我们可以有假想的（normal$\le0$）简单根。这些有助于Weyl-Kac字符公式中总和的额外项。尤其是分母公式现在看起来像$$\sum_{w\在w}\det（w）\sum_S（-1）^{|S|}w（e^{\rho+\sum-S}）中=e^{\rho}\prod_{\alpha>0}（1-e^\alpha）^{\mult（\alpha）}.$$内部和在成对正交的集合$S$上基数$|S|$和和$\sigma S$的假想简单根。注意，知道左边的总和基本上是等价的了解所有简单的根源，因为真正的简单根源确定外和中的Weyl群$W$，以及虚数简单根决定内部和。有一个明确的分母公式示例在本节末尾。粗略地说，想象中的简单根并没有真正为$G$添加任何非常有趣的内容；这个$G$的复杂性与Weyl的复杂性密切相关$G$的$W$组，它只取决于$西元。假想的简单根只会带来一些额外的松弛通常看起来有点像自由或自由阿贝尔李代数[J]。主要如我们所见，广义Kac-Moody代数的优点是对于$M$，有时可以证明发生李代数是仅使用$M$的一般属性（尤其是几乎正定“”反变双线性形式$（，）0$）。大多数``除仿射代数外的Kac-Moody代数的自然“”示例（例如带有Dynkin图的Kac-Moody代数$M_{KM}$水蛭格或Frenkel-Feingold代数[FF]）似乎是一些更自然的广义Kac-Moody代数的子代数（例如伪怪物李代数$M$）由一些真正的简单根生成空格。请参阅本节末尾的示例。到目前为止，我们已经看到$M$是带有已知根的多重性，所以接下来要做的显然是尝试计算$M$的简单根。我们将能够为$M$这样做可能会产生误导：已知的例子很少广义Kac-Moody代数的单根和根多重性都是已知的。例如，可以构造一个类似于$M$的广义Kac-Moody代数洛伦兹格$L$，但如果$L$是其他洛伦兹格子然后是广义Kac-Moody的简单根$L$的代数似乎过于混乱，无法明确描述。大多数广义Kac-Moody的数百个已知例子单根和根的多重性都是的超代数可以通过“扭曲”分母获得显式已知在某种程度上，假怪物李代数的公式。$M$有一些明显的简单根：简单根$M_{KM}$的$（\lambda，1，\lambda^2/2-1）$是$M$和范数0 Weyl向量的正倍数$M$的$\rho=（0,0,1）$是重数24的简单根。这个上述根重数的计算结果相当于$M$没有标准$-2$或$-4$的简单根，并表明除了上述范数2或0之外，$M$没有简单的根。这个可以大致证明如下。我们可以获得有关假想简单根，使用它们出现在和定义中的事实分母函数。分母函数不容易实现完整地描述，所以关键的一步是查看分母限制在形式向量的二维空间中的函数II_{25,1}\otimes\C$中的$（0，\sigma，\tau），其中$\Im（\sigma）>0$，$\Im（\tau）>0美元。无限积对这个空间的限制分母函数的定义是$$p^{-1}\prod{m>0，n\in\Z} （1-p^mq^n）^{c'（mn）}$$其中$p=e^{2\pi i\sigma}$，$q=e^{2\pii\tau}$，数字$c'（mn）$定义如下$$\sum_{n\in\Z}c'（n）q^n=\Theta_\Lambda（\tau）/\Delta（\tao）=j（τ）-720=q^{-1}+24+196884q+21493760q^2+\cdot$$函数$1/\Delta（\tau）$具有数字$p_{24}（n+1）$作为系数$q^n$，函数$\Theta_\Lambda$是θ函数水蛭晶格的出现是因为水蛭格子是$II{25,1}$到二维格的投影的核$II_{1,1}$。它们的乘积直到常数都是椭圆模函数$j（\tau）$。这个无限乘积可以显式计算将其重写为$$p^{-1}\exp\big（\sum_{m>0}p^mT_m（j（\tau）-720）\big）$$其中$T_m$是Hecke运算符。关键是如果$T_m$应用于一个模块化函数，例如$j$，那么结果仍然是模块化的函数（实际上是$j$中的多项式）。特别是在尊重方面对于变量$\tau$，无穷乘积的行为类似于模重量形式12。它在$\sigma$和$\tau$中也是反对称的，以及这两个条件（加上一些有关增长的技术条件在无穷大处）足以将其表征为乘a常量。结果是$$p^{-1}\prod_{m>0，n\in\Z}（1-p^mq^n）^{c'（mn）}=\Delta（\sigma）\ Delta（\tau）（j（\sigrama）-j（\tau））$$这个同一性在某种意义上意味着多重性具有$II_{1,1}$中的同一图像的“平均”值为0（在某些情况下单词average的意思相当奇怪）。作为一个简单根是简单根空间的维数因此是非负的简单根重数的平均值可以为0，如果它们都是0。换句话说，否定的词根并不简单规范。关于这个论点的更精确的细节，请参见[B90]。$M$的分母公式现在可以明确写成我们知道单根和根的多重性，它是（[B90]）$$e^\rho{\prod_{r>0}（1-e^r）^{p_{24}（1-r^2/2）}}=\sum_{w\in w\top在Z}\det（w）\tau（n）e^{w（n\rho）}$$中，$\tautau函数由$\sum_{n\in\Z}\tau（n）q^n定义=q\prod_{n>0}（1-q^n）^{24}=q-24q^2+\cdots$。上$n=1$的条款右手边正好是分母的值Kac-Moody代数$M_{KM}$的公式；$n>1$的条件是来自假想单根的额外修正项(=$M$的$\rho$的正倍数。我们已经看到，带有Dynkin图的Kac-Moody代数由Leech格最好被认为是根重数较大的广义Kac-Moody代数是明确已知的。类似的现象也发生在其他一些非仿射Kac-Moody代数；他们是最好的考虑作为广义Kac-Moody代数的大子代数。我们将通过讨论Frenkel的案例来说明这一点和带有Cartan矩阵的Feingold代数[FF]$$\p矩阵{2&-1和0\cr-1&2&-2\cr0&-2和2\cr}$$它可以被认为是仿射$A_1$Dynkin图附加了一个额外的节点。Frenkel和Feingold计算了许多根$\lambda$的根重数，并观察到其中许多是由值给出的分区的$1,1,2,3,5,7,11，\ldots$函数$p（1-\lambda ^2）$。一个合适的广义Kac-Moody代数尼曼在其论文[N]中对其进行了描述。这个李代数的根格是$K\oplus II_{1,1}$，其中$K$由$x$和$y$生成，其中$（x，x）=4$，$（y，y）=6$，$。这个格具有行列式23并且没有根，并且对应于非判别元$-23$的虚二次域中的主理想。我们通过定义$p_sigma（n）$$$\sum_n p_\sigma（n）q^n={1\over\eta（\tau）\eta（23\tau）}=q^{-1}+1+2q+3q^2+5q^3+7q^4+11q^5+\cdots$$注意$p_sigma（n）$的前23个值与分区函数$p（n+1）$的值相同。尼曼证明了存在一个广义的Kac-Moody代数根晶格$K$，其根重数为由提供$$\mult（\lambda）=p\sigma（-\lambda^2/2）$$如果$\lambda\（单位：K），\lambda（单位：23K'$）和by$$\mult（\lambda）=p_\sigma（-\lambda^2/2）+p_\sigma（-\λ^2/46）$$如果$\lambda\在2300'$中。此外，这个李代数有一个范数0 Weyl向量它的简单根可以用类似于那些假怪物李代数。特别是规范2简单根对应于格子$K$的点，并且有也有一些范数46个简单根对应于$K$的两个陪集，以及重数1或2的一些范数0的简单根对应于Weyl向量的正重数。如果我们采用标准2对应于0的简单根和我们找到的$K$的2个基向量它们具有与Feingold-Frenkel李代数相同的Dynkin图，所以特别是Feingold-Frenkel李代数是一个子代数它的根重数受上述重数的限制。从某种意义上来说，也很容易查证芬戈尔-芬克尔谎言代数解释了所有“小”根，所以前几个根乘数正好由$p\sigma（-\lambda^2/2）$给出，其中是配分函数的值，这解释了Feingold-Frenkel李代数根的观察重数通常由配分函数的值给出。这就回答了Frenkel和Feingold的问题可以为他们的谎言写下一个明确的分母公式代数，只要我们愿意修改一下他们的问题看一个稍微大一点的李代数。尼曼还证明了其他一些Kac-Moody代数的类似结果通过向仿射Dynkin图中添加额外节点获得。\宣布5种与私酒的关系。上述身份用于证明私酒推测，这表明怪物零星群有一个无限维分级表示$V=\oplus V_n$，这样给出了这个表示法中怪物元素的痕迹通过某些Hauptmodules。尤其是分级的尺寸块$V_n$由椭圆模函数$j（\tau）-744$。因为已经有几个关于证据的调查文章（[B94]，[LZ]，[J]，[G]，[Y]）我们将只简要讨论它与假怪物李代数。代表候选人$V$由Frenkel、Lepowsky和Meurman[FLM]具有顶点结构代数[B86]。这个顶点代数是顶点的扭曲版本水蛭格代数。如果我们看一下伪怪物李代数对2的分母函数维子空间（见第4节末尾）我们看到它表示无穷乘积等于一个简单的表达式，所以我们可以问这个限制本身就是一些的分母函数广义Kac-Moody代数。这并不完全正确，但如果我们将两边除以$\Delta（\sigma）\ Delta（\tau）$，我们就得到了这个恒等式$$p^{-1}\prod_{m>0，在Z}（1-p^mq^n）^{c（mn）}=j（p）-j（q）中。$$这是$II_{1,1}$分级广义Kac-Moody的分母公式次数$（m，n）\ne（0,0）$等于$q^{mn}$in的系数$c（mn）$$j（\tau）-744=\sum_nc（n）q^n=q^{-1}+196884q+\cdots$。这些数字与$V$，并以此作为提示，很容易猜测如何构造$V$中的广义Kac-Moody代数称为怪物李代数：我们首先用顶点代数张量顶点代数$V$$II_{1,1}$以获得类似于晶格的顶点代数$II_{25,1}$，然后将相同的构造应用于$V\otimes我们用来构造假怪物李代数的V（II_{1,1}）$从$V（II_{25,1}）$开始。换句话说，怪物李代数只是$V\otimes V（II{25,1}）$中的物理状态空间。因为$V$是一个扭曲版本的$V（\Lambda）$，我们看到了怪物李代数是假怪物李代数的扭曲版本；更准确地说，两个李代数都具有2阶自同构，因此点子代数是同构的。怪物李代数也可以通过[FGZ，LZ]中的半无限上同调来构造。怪物李代数的构造具有怪物的作用具有度块$（a，b）$和$（c，d）的性质$在任何时候都同构为怪物的表示$ab=cd\ne 0$。这可以用来证明康威和诺顿的月光猜想；参见[B92]、[J]、[G]、[B94]。\宣布6分母函数。伪怪物李代数分母公式中的和在$II_{25,1}\otimes\C$的子集上定义函数$\Phi$。它是不难检查，只要虚部为争论的焦点在于圆锥$C$的内部。事实上$\Phi$也可以写成无限乘积，表示我们可以通过查看无限乘积。这是不正确的，因为无限乘积并非处处收敛，函数$\Phi$为零在收敛区域之外。（这是很常见的现象；例如，黎曼泽塔也会发生这种情况函数！）我们可以找到$\Phi$中的一个零，这在任何情况下都看不到其因素如下。首先假设我们认为$\Phi$只是纯粹的虚数它的参数$v$。然后我们可以计算出无穷乘积的收敛性，因为我们知道渐近Hardy-Ramanujan的系数$p_{24}（1+n）$的行为定理，这个区域就是$v^2>2$。（注意区域是$v^2>2$而不是$v^2<-2$，因为$v$纯粹是虚构的。）接下来我们可以看到$\Phi$消失了只要$v$是纯虚的，并且$v^2=2$。要查看此召回复数分析中的著名引理表示如果$f（z）=\suma_nz^n$是具有收敛半径$r$和所有$a_n$是非负的，那么$f$在$z=r$处有一个奇点。所有的$-\log（\Phi）$的级数的系数是非负的（如下所示取无穷乘积的对数并使用事实$p{24}（1+n）$是非负的），因此使用更高维在上面提到的引理的版本中，我们看到$\log（\Phi（v））$有一个当$v$是纯虚数且$v^2=2$时，奇异性。然而$\Phi$本身在这些点上是全纯的，因为它位于定义$\Phi$的无穷和的收敛区域，因此$\log（\Phi（v））$可以是单数的方式是，如果$\Phi$在这些要点。最后，由于$\Phi$是全纯的，它必须完全消失除数$v^2=2$在其所在区域内的点定义。注意，这个除数不是$\Phi$和（因此）的无限乘积完全位于这个无穷乘积的收敛区域。$\Phi$因$v^2=2$而消失的事实表明，可能$\Phi$满足某种排序函数方程，迫使它在这些条件下消失点，可能类似于$\Phi（2v/（v，v））=f（v）\Phi（v）$其中$f$当$（v，v）=2$时，函数不等于1。我们可以准确地猜测通过查看限制在二维空间中的$\Phi$来形成$f$向量$（0，\sigma，\tau）$的值，其中$\Phi$显式计算为$\增量（\sigma）\增量（\tau）（j（\sigma）-j（\t au））$。使用函数等式$\Delta（-1/\tau）=\tau^{12}\Delta，$j（-1/\t）=j（\t）$，如果$v=（0，\sigma，\tau）$，则$v^2=-2\sigma\tau$我们在这个二维子空间$\Phi上看到了$满足函数方程$$\Phi（2v/（v，v））=-（（v，v）/2）^{12}\Phi$$一旦我们猜对了上述函数方程的正确形式这出奇地容易证明。和以前一样，我们只限于$v$的假想值，因为如果我们为这些$v$证明它，它将对于所有$v$，请遵循分析延续。我们首先观察到$\Phi（v）$和$（v，v）^{-12}\Phi波动方程。对于$\Phi$，这是因为它是一个总和$e^{2\pii（z，v）}$形式的项，其中$z^2=0$波动方程的解。如果$\Phi$是波浪的任何解决方案$\R^{25,1}$中的等式，然后$（v，v）^{1-\dim（\R^{25,1}）/2}\Phi（2v/（v，v））$自动也是一个由波算子的标准行为求解保角变换$v\mapsto 2v/（v，v）$。（更普遍地说，我们得到不仅等距的作用，而且整个共形群对波动方程的解空间。）其次，事实是$v^2=2$时$\Phi$消失，这很容易意味着$\Phi$和$-（（v，v）/2）^{-12}\Phi（2v/（v，v））$具有相同的偏导数在这个曲面上最多订购1个。（很明显，它们都消失了这里有与此相切的零一阶偏导数曲面，所以我们只需要检查垂直于表面不硬。）因此$\Phi$和$-（（v，v）/2）^{-12}\Phi（2v/（v，v））$都是二阶微分方程和两者具有相同的导数沿某些（非特征）柯西曲面最多1级，因此根据柯西-科瓦列夫斯基定理，它们是相等的。\宣告7自形形式$\Phi$。我们已经看到$\Phi$满足函数方程$$\Phi（2v/（v，v））=-（（v，v）/2）^{12}\Phi它还满足函数方程$\Phi（v+\lambda）=\Phi$对于II_{25,1}$中的$\lambda\和$\Phi（w（v））=\det（w）\Phi\Aut（II_｛25,1｝）^+$。我们可以计算出由这三个元素生成的组变换的种类，它与群$\Aut（II_{26,2}）^+$，它是共形变换的群$O_{26,2}（\R）$完成）$\R^{25,1}$。$O_{26,2}（\R）^+$在$\Phi$的定义域如下所示。我们可以识别II_｛25,1｝\otimes\C$中向量$v\与C中$\Im（v）\的这个域$射影空间中范数为0的向量子集$P（（II_{25,1}\oplus II_{1,1}）\otimes\C）$通过将$v$映射到范数0向量$（v，1，v^2/2）\在II_{25,1}\oplus II_{1,1}=II_{26,2}$中。图像是用范数0向量表示的射影空间中的向量集其实部和虚部形成正向正交$\R^{26,2}$的负定子空间的基。作为$O_{26,2}（\R）^+$显然在这个空间上自然起作用，我们得到一个对$\Phi$定义域的操作。我们可以把$\Phi$的域看作是上面的半平面和$O_{26,2}（\R）^+$作为群的推广$SL_2（\Z）$作用于上半平面。函数$\Phi$应该然后被认为是上部模块形式的推广半平面；这些推广被称为自守形式。我们可以通过说伪怪物李代数的分母函数是自守的离散子群$\Aut（II{26,2}）^+$的权重形式$O_{26,2}（\R）^+$。\宣布8$\Phi$的零。我们在上面看到，对$\Phi$的零的天真猜测是错误的：$\Phi$的因子中有一些零是看不到的。然而现在我们可以使用$\Phi$是一个自守形式。我们已经看到$\Phi$在除数$v^2=2$，显然在组$\Aut（II_{26,2}）^+$下的除数，因为此组下$\Phi$的转换。如果我们识别域$\Phi$的一个子集，上面是复射影空间共轭很容易形象化：除数$v^2=2$就是集合与范数2向量$（0,1，-1）\in正交的点$（v，1，v^2/2）$II_{26,2}$和$\Aut（II_{26.2}）^+$在这些范数2上起传递作用向量，因此$\Phi$共轭到$v^2=2$的零点正好对应将$II{26,2}$中范数2向量的$\{r，-r\}$配对。这些是$\Phi$的零正是其函数“强制”的方程。现在，我们希望看到$\Phi$没有其他零。召回$\Phi$的零$v^2=2$在某种程度上与函数$p{24}（1+n）$的渐近行为。这个Hardy-Ramanujan-Rademacher圆方法给出了更精细的将这种渐近行为描述为$$p_{24}（1+n）=2\pin^{-13/2}\sum_{k>0}{I_{13}（4\pi\sqrt{n}/k）\overk}\sum_{0\leqh，h'0}T_m（f））$，其中$f$是极点在顶点的某些Jacobi形式和$T_m$是Hecke算子按照雅可比形式行事全纯Jacobi形式的$\sum_{m>0}T_m（f）$Maass在其工作中使用了$f$Saito-Kurokawa猜想在[EZ]中描述，然后扩展由Gritsenko[Gr]到Jacobi在高维格上的形式。）注意，这有点夸张$\Phi$限制为2的公式版本第4节中的维子空间。$\Phi的第二个表达式$很容易暗示它在某个子组下很好地转换$\Aut（II_{26,2}）^+$的$SL_2（\Z）$。通过观察傅里叶$\Phi$的系数很容易检查它是否也转换正好位于$\Aut（II_{25,1}）^+$之下。作为这个群体使用$SL_2（\Z）$generate$\Aut（II_{26,2}）^+$，我们可以看到$\Phi$在$\Aut（II_{26,2}）的所有元素下正确转换^+$从而表明$\Phi$是自守形式。上述证明的优点是，它并不是真的取决于水蛭晶格的所有特殊性质扩展到比$II_{25,1}$更通用的格表示$p{24}（1+n）$。如果我们进行偶数扩展我们发现的单模格：\宣布定理。【B95】假设$L$是偶幺模格$II_{s+2,2}$。假设$f（\tau）=\sum_nc（n）q^n$是权重的亚纯模形式$SL_2（\Z）$的$-s/2$具有整数系数，极点仅为如果$s=0$，则为$24|c（0）$。有一个唯一的矢量$\rho\L$这样$$\Phi（v）=e^{-2\pii（\rho，v）}\prod_{r>0}（1-e^{-2-\pii（r，v）}）^{c（-（r，r）/2）}$$是权重的亚纯自守形式$\Aut（II_{s+2,2}）^+$的$c（0）/2$。也可以显式地描述$\Phi$的零和极点。伪怪兽李代数的分母函数是上述定理的特例，其中$s=24$，$f（\tau）=1/\Delta（\t au）$。如上所述的证明并不是很有启发性本质上是一种野蛮的强制检查，$\Phi$在下面正确转换$\Aut（II_{s+2,2}）^+$的一组生成器。可以将其稍微扩展到非幺模格，但随着水平和决定因素的增加，它变得越来越复杂增加。格里森科和尼库林已经制定了一些更高级别的示例明确使用上述方法。最近预印本[HM]，哈维和摩尔草拟了事实上，$\Phi$是一种自形形式，并且给出了一个更好的解释其唯一零为何如上所述，使用不定格的Siegelθ函数（似乎已经被独立地重新发现由从事弦理论研究的物理学家所作）。他们的方法更好地概括到更高的层次；参见[B]。晶格的Siegelθ函数$\theta_L（\tau_1，\tau_2，V）$$L=II_{r，s}$（对于简单性）定义为$$\Theta_L（\tau_1，\tau_2，V）=\sum_{\ in五十} \exp（2\pi i\tau_1\L_1^2/2+2\pi i \tau_2\L_2^2/2）$$其中$\Im（\tau_1）>0$，$\Im（\tau_2）<0$，$V$是一个负定子空间最大维数$n$的$L\otimes\R$，以及$\L_1$和$\L_2$是$\l$到$V^\perp$和$V$的预测。如果$L$为正数当然，这只是$L$的惯常θ函数，因为它不是依赖于$\tau_2$或$V$，对于不定格，级数仍然由于$\Im（\tau）_2<0$的条件，绝对收敛。它满足函数方程$$\Theta_Lleft（{a\tau_1+b\overc\tau_1+d}，{a\tau_2+b\在c\tau_2+d}上，V\右）=（（c\tau_1+d）/i）^｛r/2｝（（c\tau_2+d）i）^｛s/2｝\teta_L（\tau_1，\tau_2，V）$$在自然作用下明显不变$V$上的$\Aut（II_{r，s}）$。现在假设$f$是以下函数的任何线性函数$\tau_1$和$\tau_2$到$\C$。然后$f（\Theta_L）（V）$是$V$的函数，在$\Aut（II_{r，s}）$。哈维和摩尔为$L$和$f$做出以下选择。他们选择$L$作为晶格$II{s+2,2}$。子空间集$V$can用$L$的厄米对称空间进行标识，如下所示：L\otimes\C$中的范数0向量$x+iy\表示投影空间$P（L\otimes\C）$对应于负数跨越$x$和$y$的确定空间。它们的线性函数使用是（或多或少）由$$f（\Theta_L（\tau_1，\tau_2，V））=\int_D\θ_L（τ，τ，v）g（τ）dτd其中$D$是$SL_2（\Z）$在上半部的动作的基本域平面和$f$是权重$-s/2$的亚纯模形式只在尖角处有杆。函数$\Im（\tau）\Theta_L$转换如下重量$s/2$和微分$d\tau的模形式d\bar\tau/\Im（\tau）^2$在$SL_2（\Z）$下是不变的，因此被积函数在$SL_2（\Z）$下是不变的，积分不依赖于基本域$D$的选择。积分需要解释由于形式$e^{2\pi-in\tau}$，其中$n<0$。哈维和摩尔首先解决了这个问题对$\Re（\tau）$进行积分，然后再进行积分关于$\Im（\tau）$（尽管这仍然给将$1/\Im（\tau）$从1积分到无穷大，这是他们处理的首先从被积函数中减去一个合适的函数）。上述积分与Niwa[Ni]在其下村通信的工作。这可以用来解释在[B95]中观察到Shimura对应与上述无穷乘积；见下文第11节。在哈维和摩尔的特殊公式可以被认为是对偶归约对的Howe对应关系的版本对于具有奇点的函数，$O_{s+2,2}（\R）$和$SL_2（\R。哈维和摩尔正式评估了这个积分，发现它是本质上由绝对值的对数给出上述定理的函数$\Phi$，加上一些基本因子这说明了积分在以下情况下是不变的$\Aut（II_{r，s}）^+$，而$\Phi$不是完全不变的。乔根森和托多罗夫发现了一种完全不同的构建方式模空间上的相似自守函数作为解析判别式[JT]。与上述工作的关系是Enriques的模空间曲面和极化K3曲面是（大致）商签名$（n，2）格的hermitian对称空间$$n=10$或$18$。似乎有些功能由Jorgensen和Todorov建造使用哈维和摩尔方法的一些变体。最近出现了无限乘积的自形形式在物理学家关于弦理论的几篇论文中，但我没有对此有足够的了解，可以进行报告。参见[HM]和[D]了解例子。\宣布10一些秩为10的超代数。哈维和摩尔的$\Phi$公式具有很大的优势它很容易推广到任何维的任意格$L$，签名和行列式；详见[B]。我们将在本节中给出几个例子。更高级别案例中出现的一个额外功能是自形形式可以有几个明显不同的形式无限的产品扩张，汇聚在不同的地区。经典例如，不同的产品扩展一维晶格的θ函数。如果我们把$$\theta（\tau）=\sum_{n\in\Z}（-1）^nq^{n^2/2}$$然后呢是组$\Gamma（2）$的模块化形式，并且有以下无穷乘积尖点处的扩展$\Gamma（2）$。$$\eqalign美元{\θ（τ）&=1-2q^{1/2}+2q^{4/2}-2q^{9/2}+\cdots\cr& = （1-q^{1/2}）^2（1-q）（\tau/i）^{-1/2}\theta（-1/\tau）&=2q^{1^2/8}+2q^{3^2/8{+2q^}{5^2/8neneneep+\cdots\cr&=2q^{1/8}（1-q）^{-1}（1q^2）（1-q^{3}）^{-1}（1-q^4）\cdot}$$所以两个明显不同的无限乘积实际上是相同的功能围绕不同的尖点展开。我们将取$L$作为格$II_{9,1}\oplus II_{1,1}（2）$，其中$II_{1,1}（2）$是所有范数乘以2.我们定义了一个向量值模形式$F$$f_{ij}$代表$i，j\in\Z/2\Z$$$\eqalign美元{f_{00}（τ）&=8\eta（2\tau）^8/\eta[τ）^{16}=8+128q+1152q^2+\cdots\crf{10}（\tau）=f{01}（\t au）&=-8\t（2\tau）^8/\t（\t au）^{16}=-8-128q-1152q^2-\cdots\crf_{11}（τ）=&8\eta（2\tau）^8/\eta=q^{-1/2}+36q^{1/2}+402q^{3/2}+\cdots\cr}$$然后有一个自形形式，即其绝对值（或多或少）由$$\int_D\Theta_L（τ，τ，v）F（τ）d\tau d\bar\tau/\Im（τ）$$（其中Siegelθ函数现在是一个特定的向量值在$L'/L$的群环中取值的函数。根据[B]的定理13.3，我们可以找到无穷乘积展开式每个本原范数0向量的自守形式$L$（或相当于每个一维尖点）。通过定义$c（n）$$$\sum_nc（n）q^n=f_{00}（\tau）+f_{11}（\tau）=q^{-1/2}+8+36q^{1/2}+O（q）.$$然后是一个尖点的无穷乘积（对于$K$，$I_{9,1}$的偶数子晶格）是$$\eqalign美元{&e^{2\pi i（\rho，v）}\prod_{\lambda\in K'\top（\lambda，W）>0}（1-e^{2\pi i（v，\lambda）}）^{\pm c（-\lambda^2/2）}\cr=&\G}\det（w）e^{2\pi i（w（rho），v）}中的sum_{w\\prod_n（1-e^{2\pi in（w（\rho），v）}）^{（-1）^n8}\cr}$$其中，如果K$中的$\lambda \或如果$\lambda$有奇数范数，如果$\lambda$有偶数范数但不在$K$中，则为$1$。组$G$是由反射生成的反射组$K$的标准$1$向量的。另一个顶点的无穷乘积（$K=II_{9,1}$）是$$\prod_{\lambda\在K\top（\lambda，W）>0}（1-e^{（v，\lambda）}）^{c（-\lambda^2/2）}中（1+e^{（v，\lambda）}）^{-c（-\lambda^2/2）}=1+\sum_{\lambda}a（\lambda）e^{2\pi i（v，\lambda）}$$其中$a（\lambda）$为1，如果$\lambda=0$，则系数共$q^n$个$$\t（\tau）^{16}/\t（2\tau）^8$$如果$\lambda$是$n$乘以正圆锥$C$，否则为0。在这两种情况下，我们都可以使用事实上，它是奇异权重的自形形式，所以其傅里叶系数对应于的$\lambda$值非零范数为零，我们得到了上述公式。这两个都是公式是广义Kac-Moody的分母公式秩为10[R]的超代数，这两个超代数都可以构造为在10维环面上运动的超弦的状态空间。自守形式也可以被视为标记Enriques曲面的周期空间，如[B96]所示，可以是用于表明Enriques曲面的模空间为准仿射。\宣布11。~ Shimura通信。Shimura对应关系是模块化权重形式的映射$k+1/2$到重量$2k$的模块化形式。Shimura的原始定义在[S]中是相当迂回的，涉及到采用的本征形式权重$k+Hecke操作符下的1/2$，取相应的欧拉产品，以一种神秘的方式将其更改为新的欧拉产品，然后使用Weil定理从中重构一个模形式新Euler产品。Niwa[Ni]和Kohnen[Ko]重新制定了Shimura的并找到了一种更直接的方法来构建Shimura的地图。在1级案例中结合他们的结果（并使对情况$k=0$的扩展），我们得到以下定理作为一个特殊的案例。\宣布定理。假设$f（\tau）=\sum_nc（n）q^n$对于$\Gamma_0（4）$（带有$k），是重量$k+1/2>0$的模块化形式$偶数）使得傅里叶系数$c（n）$消失除非$n\equiv 0,1\bmod 4$。然后由定义的函数$\Phi（\tau）$$$\Phi（\tau）=-c（0）B_{k}/2k+\sum_{n\ne 0}q^n\sum_{00$. 如果$k=0$并且所有系数$c（n）$都是整数，那么对于某些有理$h$函数$q^h\exp（\Phi（\tau））$是$SL_2（\Z）$的某些字符的权重为$c（0）$（至少如果我们首先从$\Phi$的表达式中删除无限常量项）。例子。如果$k=0$，则取$f（\tau）=\tea（\teau）=\sum_nq^{n^2}$。然后$$\Phi（\tau）=\log\left（\prod_{n>0}（1-q^n）^2\right）$$使得$q^h\exp（\Phi（\tau））$是$\eta（\tau）^2$并且$h＝1/12$。例子。放置$f_{13/2}=θf（θ^4-16F）（θ^4-2F）$重量$6+1/2$，其中$F（\tau）=\sum_{n>0}\sigma_1（2n+1）q^{2n+1}$。那么$\Phi（\tau）$必须是重量12的形式，所以必须是$\Delta（\tau）$的倍数。我们发现$$\eqalign{&f_{13/2}（\tau）=q-56q^4+120q^5-240q^8+9q^9+1440q^{12}-1320q^{13}-704q^{16}+O（q^{17}）\cr&\Delta（\tau）=\sum_n\tau（n）q^n=q-24q^2+252q^3-1472q^4+O（q^5）\cr}$$并可以在上面的示例中明确检查$$\tau（n）=\sum_｛d|n｝d^5c（n^2/d^2）$$Niwa表明，函数$\Phi$可以通过考虑$\bar\Theta（\tau）f（\tau）$的积分，其中$\Theta$是三维晶格的西格尔θ函数。这很相似第9节中的哈维和摩尔公式，实际上这两个公式这是一种特殊的豪尔信件模数形式，可能在顶点处有极点[B]。特别是上述Shimura信函如果允许形式$f$在尖点，除了形式$\Phi$现在具有奇点来自$f$极点的假想二次有理数。这个如果$k>0$，奇点将是$k$阶的极点和对数奇点（对应于如果$k=0$，则返回$q^h\exp（\Phi）$）。例子。放置$$\eqalign美元{f（τ）&=f_{13/2}（τ&=q^{-3}+64q-32384q^4+131535q^5-4257024q^8+1153936q^9+O（q^{12}）\cr&=\sum_nc（n）q^n\cr}$$（其中$H（2，n）=L（-1，\chi_n）$是科恩函数[Co]）所以$F$的重量是$5/2$。我们看到$\Psi（\tau）$应该是模块形式重量$2（5/2-1/2）=4$，我们可以计算出奇点并发现它们是2阶极点在1的立方根的共轭处。我们发现$\Psi（\tau）$是$$\eqalign美元{64\三角形（\tau）/E_4（\tau）^2&=64（q-504q^2+180252q^3-56364992q^4+O（q^5））\cr&=\sum_nq^n\sum_{d|n}dc（n^2/d^2）\cr}$$在1的立方根处有2级极点及其共轭因为$E_4$在这些点上有1阶的零。例子。现在我们来看一个例子，其中$k=0$和$f$尖端有杆子。我们接受$$\eqalign美元{f（τ）&=-2f_{13/2}（τ）E_6（4\tau）/Delta（4\tao）-108\tea&=-2q^{-3}+4+504q-53496q^4+171990q^5-3414528q^8+8192504q^9+O（q^｛12｝）\cr&=\sum_nc（n）q^n.\cr}$$这次$q^h\exp（\Psi）$的重量应该再次等于常数项4，并且在立方根为1的共轭。这些极点来自术语$-2q^{-3}$如下：系数$-2$是零的顺序，指数3是二次方程的判别式其根是1的立方根的共轭。我们发现了$$\eqalign美元{q^h\exp（\Psi）&=\Delta（\tau）/E_4（\tau）^2 \cr&=q\prod_{n>0}（1-q^n）^{c（n^2）}\cr}$$是与前一示例中的函数相同，最大为64倍。所以这个函数的系数和指数在其无穷乘积中，可根据以下公式进行展开半积分重量的模块化形式，极点在尖端。我们已经知道$\Delta的无限乘积$我们可以使用上面的例子来找到一个显式的无限乘积对于Eisenstein级数$E_4（\tau）$，因此也适用于椭圆模函数$j（\tau）=E_4（\t au）^3/Delta（\tau）$。更一般地，我们可以找到无限的产品扩展具有积分系数的任何一级模函数其零和极点位于虚二次有理数或尖点。\宣布12个有限性定理。人们可以问，上面讨论的例子是否孤立和异常对象，或它们是否是无穷大的一部分家庭。可以将上述大多数结构概括为制作数百个类似事物的类似示例比如说假怪物李代数。然而，有几个定理这表明这样的例子总数可能是有限的。怪物李代数的良好行为取决于以下事实$II_{25,1}$的反射组非常好，特别是在它有一个（Weyl）向量$\rho$，它有界于内部具有所有简单根的产品。如果在某些洛伦兹格$L$具有负范数，则只有有限格$L$和$L$的反射组的简单根的数量全自同构群中的有限索引。V.Nikulin已经展示了[N]基本上只有有限数量的这样的格子与常数相乘，Esselmann已经证明尺寸大于$20$的其中一个是行列式4由$I{21,1}$的偶数向量组成。尼库林最近扩展了他的定理，以涵盖向量$\rho$具有零范数。在这种情况下，最大的晶格可能是格$II_{25,1}$，尽管这还没有被证明。那么Nikulin的工作表明，可能只有有限的有趣的李代数类似于怪物李代数。然而，有无实根广义Kac-Moody代数的几个例子它们仍然知道简单根和根重数以及Weyl向量等于0，所以仍然可以想象（但不太可能）数量无限。Nikulin和Gritsenko给了一些与某些双曲线有关的广义Kac-Moody代数的例子[GN]中的反射组，并建议洛伦兹晶格$L$中的晶体反射群全自同构群中的有限指数与一些好的广义Kac-Moody代数或超代数分母公式是一种自守形式Siegel模块形式为$\Delta_5$（标准之一属2）的Siegel模形式环的生成器可以是写成这样一个无限乘积。许多李代数类似于假怪物李代数（和所有已知等级至少为3的等级）密切相关$\eta$函数（正负）幂的某些乘积具有乘法系数。例如假怪物李代数它本身与函数$\Delta（\tau）=\eta（\tao）^{24}$相关，其系数$\tau（n）$被证明是乘法的由Mordell和Hecke撰写。Y.Martin[M]最近发现eta功能的所有此类产品，特别是证明了它们只有有限个。这再次提示伪怪物李代数的类似物只有有限多个。一些秩为2的广义Kac-Moody代数，例如怪兽李代数本身与eta函数。然而，大多数已知的不是与亏格0同余的某些Hauptmodus密切相关$SL_2（\R）$的子组；例如，怪物李代数是与子组$SL_2（\Z）$的Hauptmodule$j（\tau）$相关。很容易找到无穷多个非同余亏格0子群，但J.G.汤普森表明，只有有限数量的任何给定亏格的同余子群的共轭类。第9节中的定理提供了无限多的例子具有无穷乘积展开的自守形式。最不幸的是其中不可能是广义的分母公式Kac-Moody代数。关键是大多数无限乘积在格中包含范数至少为4的向量，因此这样的向量必须是任何广义Kac-Moody代数的根。然而如果$v$是广义Kac-Moody代数的正根，那么$（v，v）|2（v，w）$用于任何其他根$w$。这意味着如果根格是幺模的，那么正范数向量不能有标准值大于2。事实上第九节中可以作为广义分母公式的定理Kac-Moody代数是与假怪物谎言相关的代数代数和我们在上面已经看到的怪物李代数。当然，有许多更高层次的自形形式不错的无限产品扩张，似乎可以想象可能是没有正范数向量的无穷族出现在无穷乘积中。这些可以被解释为广义Kac-Moody超代数的分母公式根重数和简单根重数的已知差异。\宣布参考文献。\项目{[B86]}{R.E.Borcherds，顶点代数，Kac-Moody代数，还有怪物。程序。国家。阿卡德。科学。美国卷83（1986）3068-3071.}\项目{[B90]}{R.E.Borcherds，怪物李代数，高级数学。第83卷，第1期，1990年9月。}\项目{[B92]}{R.E.Borcherds，巨大的私酒和巨大的李超代数，发明。数学。109, 405-444 (1992).}\项目{[B94]}R.E.Borcherds，简单群与弦理论，第一届欧洲数学大会，巴黎，1992年7月，编辑A.Joseph等人，第1卷，第411-421页，Birkhauser，1994年。\项目{[B95]}R.E.Borcherds，$O_{s+2,2}（R）$上的自守形式和无限乘积。发明。数学。120，第161-213页（1995年）\项目{[B96]}R.E.Borcherds，Enriques曲面的模空间和假怪物李超代数。《拓扑学》第35卷第3期，699-7101996年。\项目{[B]}R.E.Borcherds，具有奇点的自守形式关于格拉斯曼人，预印alg-geom/9609022。\项目{[Co]}H.Cohen，涉及负整数值的和$L$-二次字符的函数。数学。《Ann.217》，271-285（1975）。\项目{[C]}{J.H.Conway26维偶数洛伦兹晶格。《代数杂志》80（1983）159-163。本文重印为[CS]第27章。}\项目{[CS]}{J.H.Conway，N.J.A.Sloane.球形填料，格子和组。Springer-Verlag纽约1988，Grundlehren der mathematischenWissenschaften维森沙芬290.}\项目{[D]}R.Dijkgraaf，E.Verlinde和H.Verlinde，《计算戴恩》在N=4弦论中，hep-th/9607026，以及R.Dijkgraaf、G.Moore、E.Verlinde和H.Verlinde，第二量化字符串，hep-th/9608096。\项目{[E-Z]}{M.Eichler，D.Zagier，“雅可比形式理论”，进展数学第55卷，Birkh“auser，波士顿，巴塞尔，斯图加特，1985年。}\项目{[F]}I.Frenkel，Kac-Moody代数和对偶的表示共振模型。群论在物理学和物理学中的应用数学物理，芝加哥，1982年，第325-353页，应用讲座数学。上午21点。\项目{[FF]}I.Frenkel，A.Feingold，双曲Kac-Moody代数以及亏格2的Siegel模形式理论，数学。《Ann.263》（1983年）编号：1，87-144。\项目{[FLM]}{I.B.Frenkel，J.Lepowsky，A.Meurman，顶点算子代数与怪物，学术出版社，1988年。}\项目{[FGZ]}{I.B.Frenkel，H.Garland，G.Zuckerman，半无限上同调与弦理论，Proc。国家。阿卡德。科学。美国83（1986），8442-8446}\项目{[G]}R.W.Gebert，顶点代数导论，Borcherds代数还有怪兽李代数，Internat。《现代物理学杂志》A8（1993）编号31，5441-5503。\项目{[Gr]}V.A.Gritsenko，$n$变量的Jacobi函数。J.苏联数学。53 (1991), 243-252.（原文俄文在Zap.Nauch.LOMI v.168研讨会（1988）中，第32-45页）\项目{[GN]}V.A.Gritsenko，V.V.Nikulin，Siegel自形形式一些Lorentz Kac-Moody代数的修正。1995年预印本。\项目{[HM]}J.Harvey，G.Moore，代数，BPS状态和字符串，预印hep-th/9510182。\项目{[J]}E.Jurisich，广义Kac-Moody李代数，自由李代数以及Monster李代数的结构。J.纯应用。《代数》126（1998），第1-3期，第233--266页。\项目{[JT]}J.Jorgenson，A.Todorov，Enriques surfaces和分析判别法，预印本1995。一个解析判别式对于极化K3表面，1994年预印。\项目{[K]}V.G.Kac，“无限维李代数”，第三版，剑桥大学出版社，1990年。\项目{[K95]}顶点代数，出现在``量子场论的新趋势“，论文集1995年Razlog（保加利亚）研讨会，A.Ganchev等人编辑。\项目{[KW]}V.Kac，M.Wakimoto，可积最高重量模块李论和几何中的仿射超代数和数论为了纪念Bertram Kostant，第415-456页，编辑J.-L.布莱林斯基，R.布莱林斯基，V.Guillemin，V，Kac，《数学进展》第123卷，Birkhauser，1994年。\项{[Ko]}$\Gamma_0（4）$上半积分权的模形式，数学。《年鉴》248249-266（1980）。\项目{[LZ]}B.Lian，G.Zuckerman，关于弦理论中的BRST代数结构，hepth/921107，数学物理通信154，（1993）613-64，以及Moonshine上同调、q-alg/950101有限群和顶点算子代数，RIMS出版物（1995）87-11。\项目{[M]}Y.Martin，乘法$\eta$-商，预印本。关于Dedekind$\eta$-函数的Hecke运算符和乘积，出现在Comptes Rendus Acad中。科学。，巴黎。\项目{[Nie]}P.Niemann，关于一些广义Kac-Moody代数已知根重数，剑桥博士论文，1994年。\项目{[N]}V.V.Nikulin，Lobachevsky中的离散反射群空间和代数曲面，《国际货币基金会会议录》，伯克利，1986年，654-671. \项目{[Ni]}S.Niwa，半积分重量的模形式和积分某些θ函数，《名古屋数学杂志》第56卷（1975年），第147-163页。\项目{[R]}U.Ray，广义Kac-Moody的字符公式超代数。《代数杂志》177（1995），第1期，154-163。\项目{[S]}G.Shimura，关于半整数重量的模形式，数学年鉴。97, 440-481 (1973).\项目{[Y]}J.-H.Yang，Kac-Moody代数，巨大的私酒，雅可比形式和无穷乘积，第13-82页，《1995年学报》数论几何及相关专题研讨会，编辑J.-W.Son，J.-H.Yang，平山数学研究所《科学》，1996年5月。\再见