%这是一张普通的特克斯纸。\放大倍数=\magstep1\vbadness=10000\hbadness=10000\公差=10000\定义\C{{\bf C}}%复数\def\Q｛｛\bf Q｝｝%有理数\def\R{{\bf R}}%实数\定义\Z{{\bf Z}}%整数\无试剂编号\宣告什么是顶点代数？。Arbeitstagung演讲1997Richard E.Borcherds，%作者\脚注{$^*$}{由皇家学会支持教授职位。}D.P.M.M.S.、。，16 Mill巷，剑桥，CB2 1SB，英格兰。电子邮箱：dpmms.cam.ac.uk, http://www.dpmms.cam.ac.uk/\hbox{\~{}}reb\大跳跃标题中的问题的答案是顶点代数是实际上是一种交换环。我将尝试在接下来的演讲，并展示如何使用此概括顶点代数到更高维。要记住的图片是交换环应该被认为与0维量子场论和顶点代数以同样的方式与一维量子场论相关，以及我们想找出与高维场相对应的东西理论。本次讲座是对q-alg/9706008论文的一个阐述，其中包含（一些）缺失的细节。还有一些与索比尔曼未发表的笔记重叠在q-alg预打印服务器上显示为q-alg/9709030。顶点代数与交换环的关系被通常用于顶点代数的相当糟糕的符号。回想一下对于顶点代数$v$的任何元素$v$，我们都有一个顶点算子用$V（V，z）$表示，取$V$到$V$中的Laurent幂级数。我要改变符号，把$V（V，z）u$写成$V^zu$。让我们看看这个新符号中的几个标准公式是什么样子的：$$\eqalign美元{\hbox｛旧符号｝&\qquad\hbox｛新符号｝\crV（u，z）V和V（V（a，x）b，y）c=V（a），x+y）V（b，y）c&qquad（a^xb）^yc=a^{xy}（b^yc）\crV（a，x）V（b，y）c=V（b、y）V（a、x）c&qquad a^xb^yc=b^ya^xc\crV（a，x）b=e^{xL_{-1}}（V（b，-x）a）&qquad a^xb=（b^{x^{-1}{a）^x\crV（1，x）b=b&\qquad 1^xb=b\cr}$$右侧的公式都很容易识别：它们是群$G$作用于交换环的标准公式，其中$a、b、c$位于环$V$中，$x、y、z$是组$G$的元素，G$中$x对V$中$a的作用用$a^x$表示。这表明我们应该尝试建立顶点代数正是交换环的对象神秘的群体性事物$G$。为了简单起见，我们将处理特征为0的字段。这是不是一个重要的假设；它只是让我们摆脱了一些次要的关于导数分幂的技术性。我们首先来看顶点代数的特殊情况所有顶点操作符$V（a，x）$都是全纯的。我们证明了这一点顶点代数与具有导子的交换代数相同$D$美元。信件如下。首先假设$V$是带有导数$D$的交换代数。我们定义顶点运算符$V（a，x）$乘以$V（a，x）b=\sum_{i\ge0}（D^ia）bx^i/i！$。相反，如果$V$是一个顶点代数，则我们通过定义乘积$ab=V（a，0）b$，通过$Da=$x^1$的系数进行推导V（a，x）b$美元。（我们无法真正检查这是否可以转换代数变成全纯顶点代数，反之亦然，因为我们还没有确切地说明顶点代数的公理是什么。）在上面顶点代数的新符号中，我们将$a^x=\sum_ix^iD^ia/i！$$a^xb=\sum_ix^iD^iab/i！$。我们想到了$x$作为一维形式群$\hat的“元素”G_a美元。这个形式群的形式群环$H$是代数多项式$k[D]$的坐标环是形式环功率系列$k[[x]]$。（特征0无所谓无论我们使用李代数还是形式群，本质上同等水平，但在其他特征上，正式团体比李代数。）带有导数的模的（张量）范畴是与正式群环$H$上的模块类别相同，因此全纯顶点代数与交换环相同此类别中的对象。$\hat G_a上的交换代数之间的区别是什么$和一个（非全纯）顶点代数？唯一的区别是像$a^xb^yc$这样的表达式在$x，y$中不再是全纯的，但可以具有奇点；更准确地说，$a^xb^yc$位于$V[[x，y]][x^{-1}，y^{-1{，（x-y）^{-1]$。换句话说，我们可以暂时将顶点代数定义为模块$V$，这样我们为V中的每个$a、b、c、\ldots\给定函数$a^xb^yc^z\cdots$$其行为与交换的相应函数类似环超过$\hat G_a$，但允许它们具有各种奇点。请注意，我们无法再重建通过在$x=1$处定义$ab＝a^xb$，在$V$上的交换环结构，因为$a^xb$可能在$x=1$处有一个奇点。上面的定义太模糊了，不太有用，所以我们尝试这样做更精确。我们真正想做的是定义某种类别，其多线性映射以某种方式被允许进行排序上面的奇点，其交换环对象只是顶点代数。我们首先要问的是，我们可以定义哪些类别交换环对象。显而易见的答案是张量范畴，例如$\hat G_a$以上（或任何共交换Hopf代数），但事实证明这也是限制性的。（我们将隐含地假设所有类别加法和具有某种“对称”结构。）张量类别要求多线性映射应该是可表示的，但对于我们感兴趣的类别，有时情况并非如此在任何情况下，这种假设都是不必要的。这就足够了假设对于每个对象集合$A_1、\ldots、A_n、B$我们被赋予的范畴是多重线性映射的空间$Multi（A_1，\ldot，A_n，B）$，并且这些满足大量相当明显的属性，我懒得写下来。不幸的是，多线性类别并不是真正合适的对象两者都可以。问题如下。类似$a^xb^yc的表达式$应该住在这样的空间里$V[[x，y]][x^{-1}，y^{-1{，（x-y）^{-1]$。然而，表达式$a^x（b^yc）$不是天生就住在这个空间里，而是住在较大的空格$V[[y]][y^{-1}][[x]][x^{-1{]$，和$（a^{xy^{-1neneneep}b）^yc$生活在另一个更大的空间里。这使得很难比较这些以简洁的方式表达。解决这个问题最简单的方法是使用“松弛多线性”将其定义为不存在类别“”。关键的想法是多线性映射$Multi（A_1，\ldot，A_n，B）$我们得到了许多多线性映射的不同空格$Multi_p（A_1，\ldot，A_n，B）$，由带有根（对应于$B$）和$n的树$p$参数化$叶，对应于$A_1、\ldots、A_n$。我们也应该吃点额外的结构，由不同空间之间的映射组成对应于树之间折叠贴图的多线性贴图，以及多线性映射的合成采用类型的多线性映射$p_1、\ldots、p_n、p$到$p（p_1，\ldot，p_n）美元。（此处$p（p_1，\ldots，p_n）$为通过将$p1，\ldots，p_n$附加到$p$的叶子。）有关详细信息，请参阅我的论文或Soibelman的笔记，或最好还是自己解决。主要的一点是，在放松的多线性范畴中，它仍然是可以定义交换结合代数。乔亚尔指出给出了结合代数的定义多线性范畴与$A_\infty$代数；例如，复合物的细胞用于define$A_\infty$代数由带有$n的根树参数化$树叶，边界图对应于树之间的折叠图。构造放松的多线性类别的一种方法是“顶点组”的表示。可以认为顶点组非正式地作为一个群体与某些种类的允许群上函数的奇点。更精确地说是顶点组由共交换Hopf代数$H$给出，我们称之为它群环与“奇异函数”$K的代数$在$H$的“坐标环”$H^*$上。顶点公理小组说$K$的行为就像它是亚纯环“group”$G$；上的函数；例如，亚纯环函数是通过左右翻译来执行的，所以$K$应该有$H$的良好左右动作。顶点的典型示例组取$H=k[D]$，$H^*=k[[x]]$（因此$H$是形式$\hat G_a$的群环），并取$K$作为商域$H^*$的$k[[x]][x^{-1}]$，我们可以将其视为形式群$\hat G_a$上的有理函数。我们可以从顶点组构造一个松弛的多重线性范畴大致如下。基础类别与顶点群的Hopf代数。然而，多重线性的空间地图是不同的。而不是笼统地定义这些，即有点复杂，我们只看一个例子。我们将$G$是上面的顶点群（其交换环是顶点代数），取3$G$-模$A$、$B$和$C$。然后是空间从$A、B$到$C$的双线性映射被定义为从$A\次B$到$C[[x，y]][（x-y）^{-1}]$的双线性映射在$G^3$作用下保持不变。（最简单的计算方法$G^3$的操作应该是查看它对于从$A\次B$到$C[[x，y]]$的不变双线性映射取$a\次b$到$\sum_{i，j}f（D^ia，D^jb）x^iy^j/i！j！$保持不变作为不变量将$f$从$A\乘以B$映射到$C$。）我们总结了迄今为止所做的工作：\我们引入了“顶点群”。\第2项顶点群上的模构成一个松弛的多重线性类别“”。\最简单非平凡上的交换环对象顶点群就是顶点代数。既然我们已经安装了这台机器，很容易找到更高的顶点代数的维类似物：我们所要做的就是观察高维顶点群上的交换代数$G$；我们将这些顶点称为$G$代数。作为示例，我们将构造高等自由量子场论中的顶点代数尺寸。（可以构造对应于高维非平凡量子场论？目前这只是一个白日梦，因为它太模糊了，不能称之为猜测。）我们首先需要构造一个合适的顶点组$G$。我们接受它基础Hopf代数$H$是多项式代数$\R[D_0，\ldots，D_n]$其中$D_i=\partial/\partial x_i$，我们可以认为是李代数的泛包络代数时空转换（$x0=t$）。然后，双$H^*$$\R[[x_0，\ldots，x_n]]$，我们将其视为函数代数关于时空。我们将$K$定义为$H^*[（x_0^2-x_1^2-\cdotsxn^2）^{-1}]$，我们认为它是函数的代数允许光具有奇点（极点）的时空圆锥体。现在我们定义顶点$G$代数$V$。$V的潜在空间$是由元素生成的通用交换$H$-代数$\phi$，所以$V=\R[\phi，D_0\phi无穷多变量中的多项式环。我们认为$V$作为$\phi$生成的经典字段的环，它是一个（全纯）顶点$G$代数，因为它是作用于其上的交换环按$H$计算。我们将通过以下方法将其转化为一个非平凡顶点$G$代数``变形“”这个平凡的顶点$G$代数结构。（一般来说，对于顶点$G$-代数，量化意味着在一些交换环将其转换为顶点$G$代数。）为了做到这一点，我们回顾了以下构造交换的方法环：如果$V$是交换运算符$V_n$作用的空间，并且如果$V$由V$中的元素$1\通过以下操作生成运算符，则$V$具有唯一的交换环结构1是标识，所有操作符的动作由下式给出$V$元素的乘法。（证据：简单练习。）类似顶点代数的定理成立（正如Frenkel，Kac，Rado和Wang）。我们将通过以下方法使$V$成为顶点$G$代数作用于$V$的顶点操作符$\phi（x）=\phi$\phi（x）\phi以上。为了构造$\phi（x）$，我们首先将$$\phi ^+（x）=\sum_iD^i\phi x^i/i$$这个顶点算子定义的$V$上的顶点代数结构就是$V$上的交换环结构，所以我们需要对$\phi^+$进行变形。我们将$\phi^-（x）$定义为唯一的$G$不变派生从$V$到$V[x][（x_0^2-x_1^2\cdots）^{-1}]$取$\phi$到一些偶数函数$\Delta（x）$（称为传播算子）。这是唯一定义的通过$V$的通用属性。最后我们把$$\phi（x）=\phi^+（x）+\phi^-（x）.$$很容易检查$\phi（x）$和$\phi（y）$通勤，作为$\phi^+（x）$和$\fi^+（y）$communit，$\phi^-（x）$和$\phi ^-（y）$通勤，以及$[\phi^-（x），\phi^+（y）]=-[\phi ^+（x）、\phi^-（y）]=\增量（x-y）$。因此，我们可以将$V$转换为交换顶点$G$-代数。注意，在量子场论中，$\phi（x）$表示运算符在流形的某个点$x$处对分布$\phi$进行了赋值。另一方面，对于顶点$G$代数，$\phi（x）$应该是认为是“group”元素$x$对元素的操作顶点$G$代数的$\phi$。量子中的其他几个概念场理论也可以转化为顶点代数理论；对于例如，相关函数为$Tr（\φ（x）\φ（y）\φ（z）\cdots）$，其中$Tr$是一些$G$不变量$V$上的线性函数。有些概念并不那么容易扩展；对于例如，顶点$G$代数似乎无法处理除了李群之外的任意弯曲时空，它可以是很难重建希尔伯特空间（这包括特殊情况决定Virasoro代数是酉的）。最后，我们将简要描述顶点定理的一个特例$G$-代数推广了顶点代数的通常恒等式。这个定理（大致）说，在相当一般的条件下顶点算子在$n$-圈上的积分是一个顶点阶微分算子$n$。我们将对此进行说明普通顶点代数，当它说$a（x）的积分$围绕原点的是一个1阶顶点微分算子。这意味着$$\int a（x）dxb（y）-b（y）\nint a（x）dx$$顺序为0，因此对于某些$t$，其形式为$t（y）$。将两边都应用于1并取$y=0$表示$t=\int a（x）dxb$。因此$$\int a（x）dxb（y）c-b（y最后在$y=0$左右对两边进行积分，表明$$\int a（x）dx\int b（y）dyc-\int ba（x）dxb）（y）dyc.$$是顶点代数的特例身份。（其他情况也可以用类似的方法进行推断。）\再见