%这是一张普通的特克斯纸。\放大倍数=\magstep1\vbadness=10000\hbadness=10000\公差=10000\noindent{\bf怪物李代数？}\大跳跃Conway和Sloane的《球形包装、格子和群》第30章，数学高级。53（1984），第1期，75-79。R.E.Borcherds、J.H.Conway、L.Queen和N.J.A.Sloane\大跳跃我们定义了一个非凡的无限维李代数，并且推测它可能与Fischer-Griess Monster群有关。这个想法在[C-N]中提出无穷维李代数（或超代数）sense“解释”Fischer-Griess“Monster”组合$M$。在这个第二章我们根据[C-S]中描述的水蛭晶格。这些候选人用一个特殊的李代数来描述无限等级。我们首先回顾一下我们目前对这些问题的一些了解。它扶正器[C-N，p.317]中的特征计算证明了怪物组中2A级退化的$C$具有提供头字符的模块序列（限于$C$）。在[K]中，V.Kac将这些显式构造为$C$-模块。现在阿特金、方和史密斯[F]、[S]已经验证了相关关于$M$的[C-N]的数值猜想，我们知道这些模可以给出$M$-模块的结构。最近，Frenkel，Lepowsky和Meurman[F-L-M]为沿着这些路线的怪物，但这对推测。[C-N]的一些猜想有类似的情况，其中$M$被替换通过紧致简单李群，特别是通过李群$E_8$。现在，大多数结果声明都是由Kac等人。然而，这种与李群的类比似乎不是就像人们希望的那样，因为$E_8$中顺序3的元素显示在[Q]到给出了模函数的示例，它们都不是Hauptmodule对于任何模块组。这推翻了第267页的推测[K]的，尤其令人沮丧，因为它是Hauptmodule促使在[C-N]中发现猜想的属性，以及它这个属性给出了这些猜想几乎所有的预测能力。我们将要使用的水蛭晶格的特性主要来源于[C-S报告的晶格中“深孔”的事实第23章]。设$w~=~（0,1,2,3，\ldots，24~|~70）$。的主要结果[C-S第26章]是$II_{25,1}$中向量$r$的子集其中$r\cdot r~=~2$，$r\cdot w~=~-1$（“水蛭根”）是与Leech晶格等距，在由定义的度量下$d（r，s）^2 ~=~｛\rm范数｝（r-s）$。[C-S第27章]的主要结果是$\rm Aut（II_{25,1}）$是通过扩展Coxeter获得的由水蛭根的反射产生的子群图的自同构群与中心逆$-1$. 值得注意的是，基本区域的墙壁这个Coxeter群（与水蛭根一一对应）由图自同构传递置换，形成无限群抽象同构于所有自同构群水蛭格子，包括平移。文伯格[V]表明，对于早期的类比$II_{9,1}$和$II_}17,1}$$II_{25,1}$反射子群的基本区域分别有10和19道墙，以及图的自同构群有订单1和订单2。对于后面的类比$II_{33,1}，\ldots，$there没有像$w$那样的“Weyl vector”，所以看起来$II_{25,1}$在很大程度上是一个独特的对象。我们可以使用向量$w$定义$II_{25,1}$中的根系统。如果$v~\in~II_{25,1}$然后我们通过$-v\cdot定义$v$的高度w$，我们说$v$根据它的值是正的还是负的高度为正或负。我们现在定义了一个Kac-Moody李代数无限维和秩的$L_\infty$，如下所示：$L_\ infty$has每个水蛭根$r$有三个生成器$e（r）$、$f（r）$h（r）$1，以及由以下关系表示：$$\eqalign（等效对齐）{[（r），h（s）]~&=~r\cdot s~e（r）~，\铬[f（r），h（s）]~&=~-r\cdot s~f（r，\铬[e（r），f（r）]~&=~h（r），\铬[e（r），f（s）]~&=~0，\铬[小时（r），小时（r~=~【h（r），h（s）】，\铬e（r）~\{{\rm ad}~e（s）\}^{1-r\cdot s}~&=~0~=~f（r）~\{{\rm ad}~f（s）\}^{1-r\cdot s}，\铬}$$其中$r$和$s$是水蛭的不同根。（我们已经引用了这些穆迪优秀调查文章[M]中的关系。穆迪认为基本根的数目是有限的，但因为没有参数一次引用无限多个基本根，这一点很清楚没关系。另见[K89]。）然后我们推测$L_\infty$为怪物，更具体地说，怪物可以被视为某些自然确定的自同构群的子商$L_\infty$的子商代数。主要问题是“将$L_\infty$缩减到合适大小”。这里有一些建议。一个相当微不足道的评论是，我们可以替换由得到的同态像得到的$L_\infty$的Cartan子代数$H$通过添加关系$$c_1~h（r_1）~+~c_2~h（r_2）~+~\ldots~=~0$$对于水蛭根$r_1、r_2、\ldots$，无论何时$c_1、c_2和\ldots$是整数$$c1 r1~+~c2 r2~+~\ldots~=~0~。$$一个更重要的想法是用某种使我们能够形成生成器，然后限制为所有图固定的子代数自形。得到的代数，假设它可以定义，几乎肯定不会有任何根系统的概念。$L_\infty$的其他子代数与水蛭格，即“深”孔或“浅”孔（参见[C-S第23章]）。（i） 根据[C-S第23章]，任何深孔都对应于尼迈尔格$N$，其Witt部分是根的直接和从列表$A_n$$（n~=~1,2，\ldots）$，$D_n中选择的晶格$$（n=~4,5，\ldots）$、$E_6$、$E-7$和$E_8$。只有23个特定组合出现了，我们将以$A_{11}D_7E_6$为标准例子。水蛭根的图包含一个有限的子图，它是与之对应的扩展Dynkin图的不相交并$N$的Witt组件$W$，因此我们的代数$L_\infty$有一个子代数$L[N]$是欧几里德李代数的直和$E（W）$对应于这些组成部分（见[K89]）。对于例如，$L_\infty$有一个子代数$$E（A{11}）~+~E（D_7）~+~ E（E_6）~。$$$L_\infty$的每个这样的子代数都可以扩展到更大的子代数$L^*（N）$还有一个基本根，对应于适当孔的“粘合向量”（见[C-S第25章]）。在相应的图，新节点连接到单个特殊节点每个组件中的节点。$L^*[A_{11}D_7 E_6]$的图形如所示[C-S]图30.1。（连接的扩展Dynkin的特殊节点图是一个其删除将导致相应普通图表。）这些双曲代数$L^*[N]$，具有有限等级，当然比$L_\infty$本身更易于管理。自从23 Niemeier晶格产生了23个Leech晶格结构（[C-S第25章]），很自然会问我们是否可以获得23种不同的Monster使用李代数$L[N]$或$L^*[N]$的构造。（ii）水蛭格子中的每个浅孔（见[C-S第24章]）对应于的最大子代数有限秩的$L_\infty$。我们正在对$L_\infty$进行各种计算（找到通过Weyl-MacDonald-Kac公式确定根的多重性，等）。值得注意的是，这些计算通过马修群最近的显著发现$M_{12}$由两个排列生成$$t~\mapsto~|2t|~，~~~~t~\mapsto~11-t~（{\rm mod}~23）~，$$集合$\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}$的$y~\equiv~\pm x$（${\rm mod}~23$）的集合中唯一的$y$。（见[C-S第11章]。这一发现源于对各种标准扑克牌洗牌的属性。我们已经注意到$M_{12}$中还有许多其他元素具有简单的“卡片编号”中的公式，例如$t~\mapsto~|~t^3~|$）最简单的变换（见[C-S第28章]）Leech晶格的常用欧几里德坐标与其洛伦兹坐标使用$M_{12}$的这种描述。\宣布参考文献。\项目{[C-N]}J.H.Conway，S.Norton，Monstrous moonshine，牛。伦敦。数学。《社会分类》第11卷（1979）308-339页。\项目{[C-S]}J.H.Conway、N.J.A.Sloane，《球形填料、格子和组。第三版。Grundlehren der Mathematischen公司Wissenschaften公司290.Springer-Verlag，纽约，1999年。国际标准图书编号：0-387-98585-9\项目{[F]}P.Fong，出现在怪物——模块化连接。P.S.P.M.37（1980），557--559。\项目{[F-L-M]}I.B.Frenkel、J.Lepowsky、A.Meurman、，顶点算子代数与怪物，学术出版社，1988年。\项目{[K]}V.G.Kac，关于“无限维代数$\ldots$和非常奇怪的公式。数学高级。35 (1980), 264--273.\项目｛[K89]｝V.G.Kac，“无限维李代数”，第三版，剑桥大学出版社，1990年。\项目{[M]}R.V.Moody，双曲线型根系，数学高级。33 (1979), 144--160.\项目{[Q]}L.Queen，有限群、李群和模函数之间的一些关系，博士。论文，剑桥大学，1980年。模函数与有限单群，PSPM 37（1980），561-566。由一些有限群产生的模函数，MTAC 37（1981），547-580。\项目{[S]}R.F.Smith，怪物简单组的头部人物，在J.McKay编辑的“有限群体——成年”中，康斯坦普。数学。45（1985）第303--313页。\项目{[V]}\`E.B.文伯格，{Loba\v-cevski\u\i}空间中的一些算术离散群。李群的离散子群及其模的应用（Internat.Colloq.，孟买，1973年），第323-348页。牛津大学出版社，孟买，1975年。\大跳跃1998年补充说明：本文的李代数确实很接近与怪物简单组相关。为了得到一个好的表现李代数——事实证明，有必要添加一些假想的简单数根到“韭菜根”。这就给了怪物一个假谎言代数，其中包含本文的李代数子代数。参见“怪物李代数”，高级数学。第83卷，第1号，1990年9月，详细信息（但请注意，假怪物撒谎代数在本文中称为怪物李代数）。术语``怪物李代数“现在用于表示特定的``$Z/2Z$-扭曲了“”版本的假怪物李代数。这个怪物李代数由怪物简单群作用，可以用于显示Frenkel构建的怪物模块，勒波夫斯基和梅尔曼满足私酒猜想；看见``怪诞的月光和怪诞的谎言超代数“，发明。数学。109, 405-444 (1992).\再见