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寻根

隔离

分离一元多项式或多项式系统的实根或复根

调用顺序

参数

选项

描述

具有无理实数系数的一元多项式

复合根

示例

工具书类

兼容性

调用顺序

隔离(（f）)

隔离(（f）,X（X），位数=d日，约束=图标，输出=输出，最大根=mxrts（百万美元），方法=mthd公司，域=dom公司)

隔离(克)

隔离(克,X（X），位数=d日，约束=rcons（雷达控制系统），输出=输出，最大根=mxrts（百万美元），方法=ABND公司，域=dom公司，最大值=mxprc公司，部分结果=部分)

隔离(小时,X（X），位数=d日，输出=输出，最大根数=mxrts（百万美元），复杂，域=dom公司，最大值=mxprc公司，部分结果=部分)

隔离(小时,X（X），位数=d日，输出=输出，最大根=mxrts（百万美元），方法=人力资源，域=dom公司，最大值=mxprc公司，部分结果=部分)

隔离(小时,X（X），位数=d日，输出=输出，最大根=mxrts（百万美元），方法=PW公司，域=dom公司，最大值=mxprc公司，部分结果=部分)

隔离(J型,X（X）)

隔离(J型,X（X），位数=d日，约束=图标，输出=输出，最大根=mxrts（百万美元），方法=mthd公司，使真实=b)

参数

（f）

-

一元实值多项式数字系数

克

-

一元多项式实际价值的系数

小时

-

一元多项式复数（数字）系数

J型

-

多项式集合或列表，或多项式理想

X（X）

-

（可选）名称或姓名列表; 变量

d日

-

（可选）正整数; 有效位数（默认值：数字)

图标

-

整数系数多项式列表（可选）

rcons（雷达控制系统）

-

（可选）实数系数多项式列表

输出

-

（可选）输出类型：数字（默认），中点，或间隔

mxrts（百万美元）

-

（可选）要返回的最大根数。默认值为 $\infty$ .

mthd公司

-

（可选）要使用的算法名称：ABND公司,人力资源,PW公司,RS系列，或钢筋混凝土。默认值为ABND公司对于单变量和RS系列用于多变量输入。

复杂的

-

（可选）文字名; 相当于方法=PW如果领域未给出选项，并且方法=人力资源否则

dom公司

-

（可选）两个列表复数（extended_numeric）数字，在复杂平面中限定搜索域

mxprc公司

-

（可选）最大内部工作精度。默认值为 $\infty$ 的复数（数字）系数，否则请参阅下面的选项说明。

部分

-

（可选）无法完全确定的返回区域： $真的$ 或 $假$ （默认）。

b

-

（可选） $真的$ （默认）或 $假$ ; 尝试检测实坐标、虚坐标、整数坐标和虚整数坐标

选项

•
这个数字=d日选项控制输出精度。

–
在以下情况下数字系数和方法不适用时人力资源或PW公司，根和约束的隔离间隔的相对直径最多为 $10^{- d日}$ 也就是说，如果对结果进行数值计算，则得到的浮点尾数为 $d日$ 数字和最多的错误 $0.6$ 单位排在最后。注意，这并不一定意味着前面的数字是正确的；例如，精确值为 $\frac{5751}{2500}$ 可以用区间表示 $[2.299 &逗号； 2.301]$ 在数字= $4$ 特别是，与大于 $10^{d日}$ 宽度可能大于 $1$ ; 即使精确的根是一个整数，中点也不一定舍入到此值。

–
对于非-数字系数，并且当方法不是人力资源或PW公司，可能无法确定拖曳系数是否消失，或者等效地，是否 $0$ 是一个精确的根。在这种情况下- $0$ 根将为绝对的直径最多为 $10^{- d日}$ 并包含 $0$ 和两种输出格式中点或数字（见下文）将有助于确定根的符号；要进行更仔细的检查，请使用输出格式间隔.

•
这个输出选项指定输出的格式，可以是间隔,中点，或数字（默认设置）。

–
输出=间隔返回带有（复杂）rational端点的间隔（或框）列表，每个端点都包含一个根。除非找到确切的根，否则间隔（框）是打开的；在这种情况下，两个端点是相同的。

–
输出=中点精确计算每个区间（框）的中点，以便返回（复杂的）有理近似列表。

–
输出=数字以所需精度对中点进行数值计算 $d日$ ，生成（复杂）浮点近似值列表。

•
这个约束option获取具有实值系数的多项式列表，并在系统根处对其进行求值。此选项比使用评价因为两个原因：（1）引入了较小的数值误差，（2）结果在以下意义上得到了验证：准确的约束的值准确的root将始终包含在该选项返回的间隔中。相比之下，通过评价可能会出现舍入错误和取消。对于数字系数，结果的间隔的相对直径最多为 $10^{- d日}$ . The约束选项仅支持RS系列方法，在单变量情况下也适用于ABND公司方法。

•
这个最大根数选项指定要返回的最大根数。如果多项式的根少于最大根数，此设置被忽略。请注意，此选项可以不保证返回任何特定的根。


此选项不能与一起使用方法=RC如果两者都有方法=RC以及最大根数给出了，方法=RC在单变量情况下被悄悄忽略方法=ABND使用；在多变量情况下最大根数选项被默认忽略。

•
这个方法选项指定要使用的算法。它可以是ABND公司（单变量情况的默认值），人力资源,PW公司,RS系列（多变量情况的默认值），或钢筋混凝土.

–
方法=PW使用Guillaume Moroz和Rémi Imbach的pwpoly C库计算所有复数根（仅适用于单变量情况；见下文）。

–
方法=人力资源使用Guillaume Moroz和Rémi Imbach的hefroots C库计算所有复数根（仅适用于单变量情况；见下文）。

–
方法=RS使用F.Rouiller等人的RealSolving（RS）C库，只计算实根。

–
方法=钢筋混凝土使用正则链由M.Moreno Maza等人编写的包，只计算实根。

–
方法=ABND使用A.Kobel等人的近似比特流Newton-Descartes方法计算所有实根，该方法基于RS系列。与相比RS系列，的ABND公司对于ill-conditioned问题，variant提供了改进的复杂性保证和显著改进的性能，并且它还可以处理非数值实数系数。


这个约束以及最大根数选项不能与同时使用方法=RC如果两者都有方法=RC以及约束或最大根数已指定，隔离使用执行计算方法=ABND（单变量情况）或方法=RS（多变量情况）。


这个马克普雷克以及部分结果选项只能与一起使用方法=ABND,方法=人力资源，或方法=PW（以及每种情况下的单变量输入）。如果马克普雷克或部分结果给出了，但方法不是人力资源或PW公司，则忽略指定的方法，并且方法=ABND使用。

•
什么时候？方法=人力资源或方法=PW或者，如果复杂的指定关键字时，将计算所有复数根。这些方法只支持具有数字或复数（数字）系数。在这种情况下，结果是复杂平面中隔离框的列表（或多元情况下的列表），形式如下 $[第页 + 我秒 &逗号； u个 + 我 v（v）]$ ，其中 $第页 \leq u个$ 以及 $秒 \leq v（v）$ 是有理数。对于所有非零根， $d日$ 是相对的精确度（即实部和虚部的有效位数）。

•
这个马克普雷克选项指定当方法不是人力资源或PW公司.数值解算器在逐渐提高精度的阶段工作；当一个新阶段开始时，如果新的精度将超过给定值，计算将中断。


当两者都发生时马克普雷克=mxprc公司以及方法=人力资源或方法=PW则如果精度为 $最小值 (mxprc公司 &逗号； d日)$ 已到达所有根，即使结果框没有隔离。默认情况下，只返回已知包含单个根的框。


可以使用部分结果选项（见下文）。


如果可以证明间隔（框）在马克普雷克约束，但无法通过数字选项，但它仍将在默认输出中报告，即使部分结果未给出。


此选项只能用于单变量多项式，并与方法=ABND,方法=人力资源，或方法=PW.如果马克普雷克已指定，但方法未指定人力资源或PW公司，选择方法被默默忽略，并且方法=ABND使用。

•
如果部分结果=真的，未在限制范围内完全处理的间隔（框）列表最大根数或马克普雷克作为第二（或第三）个返回值返回。列表中的每一项都是记录有两个字段，名为间隔以及多重性. The间隔条目包含一个带有（复杂）rational端点的区间（框），以及方法=ABND，的多重性条目包含对可能的不同根数的认证估计克在相应的间隔中，作为范围.如果方法=人力资源或方法=PW指定，则多重性条目总是精确的，即上下限重合，并指定小时在盒子里。


此选项只能用于单变量多项式，并与方法=ABND,方法=人力资源，或方法=PW.如果部分结果已指定，但未指定方法人力资源或PW公司，选择方法被默默忽略方法=ABND使用。

•
当领域选项已指定（仅支持方法ABND公司,RS系列,人力资源、和PW公司)，然后是一元多项式的所有根（f）,克，或小时在指定的框内dom公司已计算。这包括边界上的根（如果有），并且为这些根返回的框与dom公司但可能不在里面dom公司事实上，即使是框外的根，如果它们非常接近边界，也可能会返回。 $\infty$ 或 $- \infty$ 可以在域边界中使用，并且域也可以是实轴或虚轴的子集。对于方法ABND公司以及RS系列，域边界的类型必须为扩展_数字. The领域在多变量情况下不支持选项。

•
使用复杂解算器时，即选项复杂的或方法=人力资源或方法=PW在多元情况下给出，则寻根：-隔离将尝试检测和验证实数、虚数、整数或虚整数的解决方案组件。这通常会增加运行时间。为了加快计算速度，makereal=错误可以指定省略此附加步骤。在单变量情况下或当方法=RS或方法=RC使用。

描述

•
这个寻根[隔离]命令将一元多项式和多项式系统的实（或复）根与有限个解隔离开来。默认情况下，它为每个根计算隔离间隔（框），并在当前设置下以数字方式计算这些间隔的中点数字如果可能的话，对间隔（框）进行细化，以使数值评估精确到 $0.6$ 单位在最后一位；请参阅数字选项以获取详细信息。


与纯数值方法不同，根不会丢失，尽管重复的根可能会被丢弃。此命令不支持参数系数，即输入中出现的所有变量必须列在X（X）.


对于多项式复数（数字）系数（即所有系数的实部和虚部都是整数,分数，或浮动),全部的除非另有特别要求，否则输出中给出了实（或复）根；请参阅最大根数,马克普雷克、和领域选项。


具有无理实数系数的多项式仅在单变量情况下受支持，并且仅在方法=ABND（见下文）。对于此类输入，完整且经认证的根隔离对于足够普遍的情况是不可行的，并且隔离根据相应部分中的规范返回best-fork输出。

•
对于多元多项式系统，第二个参数必须是变量的有序列表，根作为相应的值列表返回。除非方法=RC已指定，隔离首先计算a格鲁布纳基后跟一个有理单变量表示.

•
系统必须有有限个复解；否则，隔离将返回一个错误。

•
此函数是寻根包，并可以在表单中使用隔离（..）仅在执行命令后带（RootFinding）。但是，始终可以使用以下命令的长形式访问它寻根[隔离]（..）.

具有无理实数系数的一元多项式

•
提供了对单变量实多项式的非理性系数支持方法=ABND。如果给出了非数值系数，而方法不是人力资源或PW公司，然后选择方法被默默忽略ABND公司使用了算法。如果无理实多项式传递给寻根[隔离]，用户需要采取适当的预防措施来处理可能不完整的输出；请参阅的描述马克普雷克以及部分结果以上选项。

•
一般来说，任意多项式的根隔离是不可行的：一个纯粹的数值例程最终可以隔离简单根，但不能检测多个根。需要进行无平方分解，但不能在所有情况下都进行。一个显著的例外是多项式数字系数，如果需要，这种分解是隐式进行的。


相反ANBD公司根解算器尝试尽最大努力隔离，达到一定的最大内部工作精度马克普雷克。如果无法在该精度约束内最终处理实例，则会给出部分输出。它包含（1）一个经证明的隔离区间列表，（2）一个约束多项式列表（如果适用，即如果约束不为空）在这些隔离间隔进行评估，以及（3）未解析间隔列表（如果部分结果=真的; 请参阅上述选项的说明）。

•
没有通用的方法来确定最大预充电先验。对于数字实例中，默认的最大精度实际上是无穷大；这样的情况总是可以完全处理的。对于非-数字实例，默认值纯粹是根据启发性选择的，作为数字环境变量数字选项和程度 $n个$ 多项式的克:最大预充电默认为 $最大值 (数字 &逗号； 4 d日 &逗号； 8 n个 {日志}_{2} (n个))$ 。在典型情况下，默认值允许分离和细化克达到要求的精度d日数字，但无法保证。

•
案件中出现了特殊情况克是一个数字多项式，但部分或全部约束不是-数字。在这种情况下，用户给定的值马克普雷克在整个计算过程中强制执行，但启发式默认值为马克普雷克仅适用于非-数字约束评估。特别是约束是检查是否有任何约束多项式在的根处可能为零克.


如果克是一个数字多项式，默认是完全隔离克精确到d日数字，并强制执行数字约束最大为d日有效数字。特别是数字约束将是 $[0 &逗号； 0]$ 当且仅当约束在的对应根处消失克; 否则，所有的间隔计算数字约束将不包含 $0$ .


如果约束不是-数字。在这种情况下数字子实例将根据上述规则进行求解，其余的非-数字子实例将受马克普雷克启发式。

复杂的根

•
对于单变量多项式小时带有数字或复数（数字）系数，当方法=人力资源或方法=PW或者，也可以选择复杂的给出关键字，计算所有复根的隔离矩形（框）。

•
方法=PW通常比方法=人力资源当领域选项，在这种情况下，当只有复杂的给出了关键字。

•
如果小时有数字系数，然后所有的实根小时可以这样证明，即边界框的虚部等于零，所有其他框要么严格位于上半平面，要么严格位于下半平面。

•
对于非零根d日指定框的相对精度，即实部和虚部的有效位数。

•
如果马克普雷克如果未给定，则通过首先计算无平方部分来消除多重根 $第页$ 在这种情况下，返回的隔离盒数量始终等于 $第页$ （除非mxrts（百万美元）小于该度或领域选项）。

•
如果马克普雷克则不执行无平方因式分解，并且所有根的近似精度至少为d日或mxprc公司，以较小者为准。如果mxprc公司太小，无法将所有根分开，或者如果 $小时$ 具有多个根，则只返回实际隔离的简单根的隔离框。此外，如果选择部分结果如果给定，则还将返回包含多个根以及关联的重数和的框。隔离盒的数量加上通过部分结果将等于 $小时$ （除非mxrts（百万美元）小于该度或领域选项）。

•
可以将搜索空间限制为复杂平面中的有界或部分有界矩形方法=人力资源或方法=PW通过使用领域期权；请参阅上面对此选项的描述。

•
这个领域以及最大根数选项可以结合使用。如果 $dom公司$ 包含 $mxrts（百万美元）$ 或者更多根 $mxrts（百万美元）$ 盒子会被退回。如果马克普雷克也使用，则计数包括多重性。

•
这个复杂的,方法=人力资源、和方法=PW在多元情况下也支持选项。对于多项式系统理性的或复杂（有理）系数，将计算所有复数根。根据输出选项。

示例

>
$具有 (根查找) &结肠；$

>
$（f） ≔ {x个}^{4} - 三 {x个}^{2} + 2$

$（f） ≔ {x个}^{4} - 三 {x个}^{2} + 2$
(1)

>
$隔离 (（f）)$

$[x个 = −1.414213562 &逗号； x个 = −1. &逗号； x个 = 1 &逗号； x个 = 1.414213562]$
(2)

>
$因素 (（f）)$

$({x个}^{2} - 2) (x个 - 1) (x个 + 1)$
(3)

>
$隔离 (（f） &逗号；数字 = 30)$

$[x个 = −1.41421356237309504880168872421 &逗号； x个 = −1. &逗号； x个 = 1 &逗号； x个 = 1.41421356237309504880168872421]$
(4)

仅为非负根隔离间隔。

>
$隔离 (（f） &逗号；输出 = 间隔 &逗号；领域 = [0 &逗号； \infty])$

$[x个 = [1 &逗号； 1] &逗号； x个 = [\frac{26713738906281537970833}{18889465931478580854784} &逗号； \frac{427419822500504607535299}{302231454903657293676544}]]$
(5)

多元系统。

>
$F类 ≔ [{x个}^{2} - 2 &逗号；年 - 1]$

$F类 ≔ [{x个}^{2} - 2 &逗号；年 - 1]$
(6)

>
$隔离 (F类 &逗号； [x个 &逗号；年])$

$[[x个 = −1.414213562 &逗号；年 = 1] &逗号； [x个 = 1.414213562 &逗号；年 = 1]]$
(7)

>
$R（右） ≔ 隔离 (F类 &逗号； [x个 &逗号；年] &逗号；输出 ='中点')$

$R（右） ≔ [[x个 = - \frac{52175271301331166243}{36893488147419103232} &逗号；年 = \frac{73786976294838206465}{73786976294838206464}] &逗号； [x个 = \frac{52175271301331166243}{36893488147419103232} &逗号；年 = \frac{73786976294838206465}{73786976294838206464}]]$
(8)

>
$评价 (R（右）)$

$[[x个 = −1.414213562 &逗号；年 = 1] &逗号； [x个 = 1.414213562 &逗号；年 = 1]]$
(9)

>
$R（右） ≔ 隔离 (F类 &逗号； [x个 &逗号；年] &逗号；输出 ='间隔' &逗号；方法 ='钢筋混凝土')$

$R（右） ≔ [[x个 = [- \frac{26087635650665564425}{18446744073709551616} &逗号； - \frac{3260954456333195553}{2305843009213693952}] &逗号；年 = [1 &逗号； 1]] &逗号； [x个 = [\frac{3260954456333195553}{2305843009213693952} &逗号； \frac{26087635650665564425}{18446744073709551616}] &逗号；年 = [1 &逗号； 1]]]$
(10)

>
$评价 (R（右）)$

$[[x个 = [−1.414213562 &逗号； −1.414213562] &逗号；年 = [1 &逗号； 1]] &逗号； [x个 = [1.414213562 &逗号； 1.414213562] &逗号；年 = [1 &逗号； 1]]]$
(11)

使用最大根数选项。

>
$R（右） ≔ 隔离 (({x个}^{2} - 2) ({x个}^{2} - 7) &逗号； x个)$

$R（右） ≔ [x个 = −2.645751311 &逗号； x个 = −1.414213562 &逗号； x个 = 1.414213562 &逗号； x个 = 2.645751311]$
(12)

>
$R（右） ≔ 隔离 (({x个}^{2} - 2) ({x个}^{2} - 7) &逗号； x个 &逗号；最大根数 = 1)$

$R（右） ≔ [x个 = 2.645751311]$
(13)

一个带有病态约束的示例。

>
$w个 ≔ 扩大 (穆尔 (x个 - 我 &逗号；我 = 1 .. 10)) &结肠；$

稍微移动系数：

>
$（f） ≔ w个 + {x个}^{7} &结肠；$

>
$R（右）, C类 ≔ 隔离 (（f） &逗号； x个 &逗号；约束 = [w个] &逗号；数字 = 10) &结肠；$

>
$C类$

$[[{x个}^{10} - 55 {x个}^{9} + 1320 {x个}^{8} - 18150 {x个}^{7} + 157773 {x个}^{6} - 902055 {x个}^{5} + 3416930 {x个}^{4} - 8409500 {x个}^{三} + 12753576 {x个}^{2} - 10628640 x个 + 3628800 = −1.000019291] &逗号； [{x个}^{10} - 55 {x个}^{9} + 1320 {x个}^{8} - 18150 {x个}^{7} + 157773 {x个}^{6} - 902055 {x个}^{5} + 3416930 {x个}^{4} - 8409500 {x个}^{三} + 12753576 {x个}^{2} - 10628640 x个 + 3628800 = −126.6073008]]$
(14)

这与更高精度的结果一致：

>
$隔离 (（f） &逗号； x个 &逗号；约束 = [w个] &逗号；数字 = 20)$

$[x个 = 1.0000027558065671334 &逗号； x个 = 1.9968767019889278008], [[{x个}^{10} - 55 {x个}^{9} + 1320 {x个}^{8} - 18150 {x个}^{7} + 157773 {x个}^{6} - 902055 {x个}^{5} + 3416930 {x个}^{4} - 8409500 {x个}^{三} + 12753576 {x个}^{2} - 10628640 x个 + 3628800 = −1.0000192908054545330] &逗号； [{x个}^{10} - 55 {x个}^{9} + 1320 {x个}^{8} - 18150 {x个}^{7} + 157773 {x个}^{6} - 902055 {x个}^{5} + 3416930 {x个}^{4} - 8409500 {x个}^{三} + 12753576 {x个}^{2} - 10628640 x个 + 3628800 = −126.60730080931688758]]$
(15)

将此结果与直接评估进行比较：

>
$微管相关蛋白2 (评价 [20] @ 评估 &逗号； w个 &逗号； R（右）)$

$[−1.000 &逗号； −126.605]$
(16)

隔离可以用无理实系数还有。

>
$R（右） ≔ 隔离 (π {x个}^{2} - 经验 (2) x个 + 平方英尺 (2))$

$R（右） ≔ [x个 = 0.2101740008 &逗号； x个 = 2.141835605]$
(17)

在多个或近多个根的情况下，这通常是不可行的；在下面的例子中，如果没有符号简化，纯数值例程就无法推断出在 $\sqrt{2}$ :

>
$R（右） ≔ 隔离 (({x个}^{2} - 2) (x个 - 平方英尺 (2)))$

$R（右） ≔ [x个 = −1.414213562]$
(18)

检查部分结果将发现以下情况：

>
$R（右）, 部分 ≔ 隔离 (({x个}^{2} - 2) (x个 - 平方英尺 (2)) &逗号；部分结果 = 真的)$

$R（右）, 部分 ≔ [x个 = −1.414213562], [记录 (间隔 = [\frac{101904826760412361}{72057594037927936} &逗号； \frac{1630477228166597777}{1152921504606846976}] &逗号；多重性 = 0 .. 2)]$
(19)

如果事先知道输入确实是无平方的，那么提高最大精度可以解决这种情况：

>
$一 ≔ 评估值 [100] (平方英尺 (2)) &结肠；$

不是那样的 $一$ 非常接近 $\sqrt{2}$ ，但不完全相同。

>
$隔离, 未完成的 ≔ 隔离 ((x个 - 平方英尺 (2)) (x个 - 一) &逗号；部分结果 = 真的) &结肠；$

>
$无 (隔离), 无操作系统 (未完成的)$

$0, 1$
(20)

>
$隔离, 未完成的 ≔ 隔离 ((x个 - 平方英尺 (2)) (x个 - 一) &逗号；马克普雷克 = 1000 &逗号；部分结果 = 真的) &结肠；$

>
$无操作系统 (隔离), 无操作系统 (未完成的)$

$2, 0$
(21)

注意多项式 $({x个}^{2} - 2) (x个 - 一)$ 没有无理系数，但只有无理系数数字（包括浮动s）；因此，以下调用默认为完成隔离：

>
$隔离, 未完成的 ≔ 隔离 (({x个}^{2} - 2) (x个 - 一) &逗号；部分结果 = 真的) &结肠；$

>
$无操作系统 (隔离), 无操作系统 (未完成的)$

$三, 0$
(22)

这个马克普雷克如果可以接受不完整或近似的答案，也可以使用该机制来限制计算资源。下面的多项式有两个完全分离的简单根，其绝对值接近 $110$ ，但也有两个非常接近的简单根 $10^{−100}$ 对于后两者，需要大约50000位准确数字来区分：

>
$隔离, 未完成的 ≔ 隔离 ({x个}^{100} - {(10^{100} x个 - 1)}^{2} &逗号；马克普雷克 = 100 &逗号；部分结果 = 真的) &结肠；$

>
$隔离$

$[x个 = −109.8541142 &逗号； x个 = 109.8541142]$
(23)

>
$评价 [30] (未完成的 [1] ['间隔'])$

$[1.00000000000000000000000000000 \times 10^{−100} &逗号； 1.00000000000000000000000000000 \times 10^{−100}]$
(24)

尽管在本例中完全分离根是可行的，但这样的部分结果可能足以用于数值应用。

复合根对于一元多项式。支持实数和复数（数字）系数。

>
$隔离 ({x个}^{6} - 1 &逗号； x个)$

$[x个 = −1. &逗号； x个 = 1]$
(25)

>
$隔离 ({x个}^{6} - 1 &逗号； x个 &逗号；'复杂的')$

$[x个 = −1. &逗号； x个 = 1 &逗号； x个 = 0.5000000000 + 0.8660254038 我 &逗号； x个 = 0.5000000000 - 0.8660254038 我 &逗号； x个 = −0.5000000000 + 0.8660254038 我 &逗号； x个 = −0.5000000000 - 0.8660254038 我]$
(26)

>
$隔离 ({x个}^{2} - 我 &逗号； x个 &逗号；'复杂的')$

$[x个 = 0.7071067812 + 0.7071067812 我 &逗号； x个 = −0.7071067812 - 0.7071067812 我]$
(27)

而不是复杂的,方法=人力资源或方法=PW可以指定以请求特定的复杂解算器。如果领域选项未使用，则通常方法=PW更高效，在这种情况下，只有复杂的未指定方法。

>
$隔离 ({x个}^{6} - 1 &逗号； x个 &逗号；'方法 = 人力资源')$

$[x个 = −1. &逗号； x个 = 1 &逗号； x个 = 0.5000000000 + 0.8660254038 我 &逗号； x个 = 0.5000000000 - 0.8660254038 我 &逗号； x个 = −0.5000000000 + 0.8660254038 我 &逗号； x个 = −0.5000000000 - 0.8660254038 我]$
(28)

>
$隔离 ({x个}^{2} - 我 &逗号； x个 &逗号；'方法 = PW公司')$

$[x个 = 0.7071067812 + 0.7071067812 我 &逗号； x个 = −0.7071067812 - 0.7071067812 我]$
(29)

输出隔离盒。对于每个框，第一个复数是左下角，第二个是右上角。

>
$隔离 ({x个}^{2} - 我 &逗号； x个 &逗号；'复杂的' &逗号；'输出 = 间隔')$

$[x个 = [\frac{854839645001008256604305}{1208925819614629174706176} + \frac{854839645001008256604305 我}{1208925819614629174706176} &逗号； \frac{854839645001010290403183}{1208925819614629174706176} + \frac{854839645001010290403183 我}{1208925819614629174706176}] &逗号； x个 = [- \frac{854839645001010290403183}{1208925819614629174706176} - \frac{854839645001010290403183 我}{1208925819614629174706176} &逗号； - \frac{854839645001008256604305}{1208925819614629174706176} - \frac{854839645001008256604305 我}{1208925819614629174706176}]]$
(30)

如果输入多项式只有实数系数，则其所有实数根的输出框将始终具有零虚部。

>
$隔离 ({x个}^{4} - 1 &逗号； x个 &逗号；'复杂的')$

$[x个 = −1. &逗号； x个 = 1 &逗号； x个 = 我 &逗号； x个 = −一]$
(31)

>
$隔离 ({x个}^{4} - 1 &逗号； x个 &逗号；'复杂的' &逗号；'输出 = 间隔')$

$[x个 = [−1 &逗号； −1] &逗号； x个 = [1 &逗号； 1] &逗号； x个 = [我 &逗号；我] &逗号； x个 = [−一 &逗号； −一]]$
(32)

如果输入多项式没有实数系数，但有实数根，那么实数根的隔离框通常仍有（小的）非零虚部。

>
$隔离 (扩大 (({x个}^{2} - 2) (x个 - 我)) &逗号； x个 &逗号；'复杂的')$

$[x个 = 我 &逗号； x个 = 1.414213562 - 2.736911063 \times 10^{−46} 我 &逗号； x个 = −1.414213562 - 6.679151101 \times 10^{−34} 我]$
(33)

>
$隔离 (扩大 (({x个}^{2} - 2) (x个 - 我)) &逗号； x个 &逗号；'复杂的' &逗号；'输出 = 间隔')$

$[x个 = [- \frac{125361639}{151115727451828646838272} + \frac{151115727451828521476633 我}{151115727451828646838272} &逗号； \frac{125361639}{151115727451828646838272} + \frac{151115727451828772199911 我}{151115727451828646838272}] &逗号； x个 = [\frac{213709911250251657417421}{151115727451828646838272} - \frac{399524907238821585794734825144345 我}{91343852333181432387730302044767688728495783936} &逗号； \frac{213709911250252979334451}{151115727451828646838272} + \frac{399524907238821585794734825144295 我}{91343852333181432387730302044767688728495783936}] &逗号； x个 = [- \frac{213709911250252979334451}{151115727451828646838272} - \frac{799049814477643171711489528659011 我}{182687704666362864775460604089535377456991567872} &逗号； - \frac{213709911250251657417421}{151115727451828646838272} + \frac{799049814477643171467449771918269 我}{182687704666362864775460604089535377456991567872}]]$
(34)

将搜索限制为非负实部和虚部。

>
$隔离 ({x个}^{6} - 1 &逗号； x个 &逗号；'复杂的' &逗号；'领域' = [0 &逗号； \infty + 我 \infty])$

$[x个 = 1 &逗号； x个 = 0.5000000000 + 0.8660254038 我]$
(35)

只有假想的根。

>
$隔离 ({x个}^{8} - 三 {x个}^{4} + 1 &逗号； x个 &逗号；'复杂的' &逗号；'领域' = [- 我 \infty &逗号；我 \infty])$

$[x个 = - 0.7861513778 我 &逗号； x个 = 1.272019650 我 &逗号； x个 = - 1.272019650 我 &逗号； x个 = 0.7861513778 我]$
(36)

限制计算的根数。

>
$（f） ≔ {x个}^{16} - 65025 {x个}^{2} + 510 x个 - 1$

$（f） ≔ {x个}^{16} - 65025 {x个}^{2} + 510 x个 - 1$
(37)

>
$隔离 (（f） &逗号； x个 &逗号；'复杂的' &逗号；'最大根数' = 6)$

$[x个 = 2.206383923 &逗号； x个 = 0.4905310497 + 2.151612560 我 &逗号； x个 = 0.4905310497 - 2.151612560 我 &逗号； x个 = 1.987827746 + 0.9575576732 我 &逗号； x个 = 1.987827746 - 0.9575576732 我 &逗号； x个 = 1.375446946 + 1.725459305 我]$
(38)

在上面的例子中，在原点附近有两个非常接近的根。默认情况下，隔离始终尝试隔离所有根，并在内部不断提高精度，直到可能为止。使用马克普雷克选项，可以限制该精度，因此，可能无法找到所有根。

>
$隔离 (（f） &逗号； x个 &逗号；'复杂的' &逗号；'数字' = 10 &逗号；'马克普雷克' = 10)$

$[x个 = −2.207504373 &逗号； x个 = 2.206383923 &逗号； x个 = 1.987827746 + 0.9575576732 我 &逗号； x个 = 1.987827746 - 0.9575576732 我 &逗号； x个 = 0.4905310497 + 2.151612560 我 &逗号； x个 = 0.4905310497 - 2.151612560 我 &逗号； x个 = −0.4916514963 + 2.151612559 我 &逗号； x个 = −0.4916514963 - 2.151612559 我 &逗号； x个 = −1.988948195 + 0.9575576718 我 &逗号； x个 = −1.988948195 - 0.9575576718 我 &逗号； x个 = 1.375446946 + 1.725459305 我 &逗号； x个 = 1.375446946 - 1.725459305 我 &逗号； x个 = −1.376567393 + 1.725459303 我 &逗号； x个 = −1.376567393 - 1.725459303 我]$
(39)

使用部分结果选项，隔离还返回无法隔离的根簇。

>
$隔离 (（f） &逗号； x个 &逗号；'复杂的' &逗号；'数字' = 10 &逗号；'最大预充电' = 10 &逗号；'部分结果')$

$[x个 = −2.207504373 &逗号； x个 = 2.206383923 &逗号； x个 = 1.987827746 + 0.9575576732 我 &逗号； x个 = 1.987827746 - 0.9575576732 我 &逗号； x个 = 0.4905310497 + 2.151612560 我 &逗号； x个 = 0.4905310497 - 2.151612560 我 &逗号； x个 = −0.4916514963 + 2.151612559 我 &逗号； x个 = −0.4916514963 - 2.151612559 我 &逗号； x个 = −1.988948195 + 0.9575576718 我 &逗号； x个 = −1.988948195 - 0.9575576718 我 &逗号； x个 = 1.375446946 + 1.725459305 我 &逗号； x个 = 1.375446946 - 1.725459305 我 &逗号； x个 = −1.376567393 + 1.725459303 我 &逗号； x个 = −1.376567393 - 1.725459303 我], [记录 (间隔 = [\frac{1103823438081}{281474976710656} - \frac{我}{36028797018963968} &逗号； \frac{70644700037185}{18014398509481984} + \frac{我}{36028797018963968}] &逗号；多重性 = 2 .. 2)]$
(40)

我们可以增加最大预充电以及数字足以隔离所有根。

>
$隔离 (（f） &逗号； x个 &逗号；'复杂的' &逗号；'数字' = 25 &逗号；'马克普雷克' = 25 &逗号；'部分结果')$

$[x个 = 1.375446945551779641864712 + 1.725459305149751407406670 我 &逗号； x个 = 1.375446945551779641864712 - 1.725459305149751407406670 我 &逗号； x个 = −1.376567393345465779959392 + 1.725459303460417547940936 我 &逗号； x个 = −1.376567393345465779959392 - 1.725459303460417547940936 我 &逗号； x个 = −1.988948195028652851974813 + 0.9575576718336940068757207 我 &逗号； x个 = −1.988948195028652851974813 - 0.9575576718336940068757207 我 &逗号； x个 = −0.4916514962757859876144393 + 2.151612559134999495972727 我 &逗号； x个 = −0.4916514962757859876144393 - 2.151612559134999495972727 我 &逗号； x个 = 0.4905310496576921502540973 + 2.151612559886820176866561 我 &逗号； x个 = 0.4905310496576921502540973 - 2.151612559886820176866561 我 &逗号； x个 = 1.987827745769011252162110 + 0.9575576731884427011111223 我 &逗号； x个 = 1.987827745769011252162110 - 0.9575576731884427011111223 我 &逗号； x个 = 2.206383922877867415056704 &逗号； x个 = −2.207504372789926225305570 &逗号； x个 = 0.003921568627450980392376213 &逗号； x个 = 0.003921568627450980391937512], []$
(41)

如果有一个精确的双根，那么默认情况下它只会列出一次。

>
$克 ≔ 扩大 (({x个}^{2} - 2) {(三 x个 - 我)}^{2})$

$克 ≔ 9 {x个}^{4} - 19 {x个}^{2} - 6 我 {x个}^{三} + 12 我 x个 + 2$
(42)

>
$隔离 (克 &逗号； x个 &逗号；'复杂的')$

$[x个 = 0.3333333333 我 &逗号； x个 = 1.414213562 + 1.233581138 \times 10^{−17} 我 &逗号； x个 = −1.414213562 + 1.233581138 \times 10^{−17} 我]$
(43)

无论马克普雷克选项，双根只能通过部分结果.

>
$隔离 (克 &逗号； x个 &逗号；'复杂的' &逗号；'马克普雷克' = 100)$

$[x个 = −1.414213562 - 3.189827476 \times 10^{−16} 我 &逗号； x个 = 1.414213562 - 3.189827476 \times 10^{−16} 我]$
(44)

>
$隔离 (克 &逗号； x个 &逗号；'复杂的' &逗号；'马克普雷克' = 100 &逗号；'部分结果')$

$[x个 = −1.414213562 - 3.189827476 \times 10^{−16} 我 &逗号； x个 = 1.414213562 - 3.189827476 \times 10^{−16} 我], [记录 (间隔 = [- \frac{1}{1125899906842624} + \frac{93824992236885 我}{281474976710656} &逗号； \frac{1}{1125899906842624} + \frac{187649984473771 我}{562949953421312}] &逗号；多重性 = 2 .. 2)]$
(45)

多元系统。

>
$隔离 ([x个 + 年 + z（z） &逗号； x个年 + 年 z（z） + z（z） x个 &逗号； x个年 z（z） - 1] &逗号； [x个 &逗号；年 &逗号； z（z）])$

$[]$
(46)

>
$地图 (打印 &逗号；隔离 ([x个 + 年 + z（z） &逗号； x个年 + 年 z（z） + z（z） x个 &逗号； x个年 z（z） - 1] &逗号； [x个 &逗号；年 &逗号； z（z）] &逗号；'复杂的')) &结肠；$

$[x个 = −0.5000000000 - 0.8660254038 我 &逗号；年 = −0.5000000000 + 0.8660254038 我 &逗号； z（z） = 1]$

$[x个 = −0.5000000000 - 0.8660254038 我 &逗号；年 = 1 &逗号； z（z） = −0.5000000000 + 0.8660254038 我]$

$[x个 = −0.5000000000 + 0.8660254038 我 &逗号；年 = −0.5000000000 - 0.8660254038 我 &逗号； z（z） = 1]$

$[x个 = −0.5000000000 + 0.8660254038 我 &逗号；年 = 1 &逗号； z（z） = −0.5000000000 - 0.8660254038 我]$

$[x个 = 1 &逗号；年 = −0.5000000000 - 0.8660254038 我 &逗号； z（z） = −0.5000000000 + 0.8660254038 我]$

$[x个 = 1 &逗号；年 = −0.5000000000 + 0.8660254038 我 &逗号； z（z） = −0.5000000000 - 0.8660254038 我]$
(47)

>
$地图 (打印 &逗号；隔离 ([x个 + 年 + z（z） &逗号； x个年 + 年 z（z） + z（z） x个 &逗号； x个年 z（z） - 1] &逗号； [x个 &逗号；年 &逗号； z（z）] &逗号；'复杂的' &逗号；'使成为现实 = 假')) &结肠；$

$[x个 = −0.5000000000 - 0.8660254038 我 &逗号；年 = −0.5000000000 + 0.8660254038 我 &逗号； z（z） = 1 - 2.528799864 \times 10^{−26} 我]$

$[x个 = −0.5000000000 - 0.8660254038 我 &逗号；年 = 1 + 1.152625820 \times 10^{−25} 我 &逗号； z（z） = −0.5000000000 + 0.8660254038 我]$

$[x个 = −0.5000000000 + 0.8660254038 我 &逗号；年 = −0.5000000000 - 0.8660254038 我 &逗号； z（z） = 1 + 2.528799864 \times 10^{−26} 我]$

$[x个 = −0.5000000000 + 0.8660254038 我 &逗号；年 = 1 - 1.152625820 \times 10^{−25} 我 &逗号； z（z） = −0.5000000000 - 0.8660254038 我]$

$[x个 = 1 + 5.574280276 \times 10^{−26} 我 &逗号；年 = −0.5000000000 - 0.8660254038 我 &逗号； z（z） = −0.5000000000 + 0.8660254038 我]$

$[x个 = 1 - 5.574280276 \times 10^{−26} 我 &逗号；年 = −0.5000000000 + 0.8660254038 我 &逗号； z（z） = −0.5000000000 - 0.8660254038 我]$
(48)

输入系统的系数可能包含 $我$ .

>
$隔离 ([{x个}^{2} - 2 我 &逗号；我 x个年 - {x个}^{2} + 2] &逗号； [x个 &逗号；年] &逗号；'复杂的')$

$[[x个 = −1. - 我 &逗号；年 = −2.] &逗号； [x个 = 1 + 我 &逗号；年 = 2]]$
(49)

最后，我们考虑一个具有无穷多个复杂解的较难多元系统。输入为多项式理想因此，Groebner基础由隔离被记住。

>
$具有 (多项式理想) &结肠；$

>
$J型 ≔ ⟨53 年 z（z） - 28 年 {x个}^{2} + 5 年^{2} {x个}^{2} z（z） + 13 年^{4} z（z） &逗号； 83 年^{2} z（z） + 9 {x个}^{2} {z（z）}^{2} - 60 年^{2} {x个}^{2} z（z） - 83 年^{4} z（z） &逗号； 62 x个年 + 37 年^{三} + 5 z（z） {x个}^{三} + 96 年^{4} z（z）⟩ &结肠；$

>
$隔离 (J型 &逗号； [x个 &逗号；年 &逗号； z（z）])$

错误，（在RootFinding:-Isolate中）系统有无穷多个解决方案

记住基础：

>
$理想信息 :- KnownGroebnerBases公司 (J型)$

$\{时分双工 (z（z） &逗号； x个 &逗号；年)\}$
(50)

>
$J型 ≔ ⟨53 年 z（z） - 28 年 {x个}^{2} + 5 年^{2} {x个}^{2} z（z） + 13 年^{4} z（z） &逗号； 83 年^{2} z（z） + 9 {x个}^{2} {z（z）}^{2} - 60 年^{2} {x个}^{2} z（z） - 83 年^{4} z（z） &逗号； 62 x个年 + 37 年^{三} + 5 z（z） {x个}^{三} + 96 年^{4} z（z）⟩ &结肠；$

>
$隔离 (J型 &逗号； [x个 &逗号；年 &逗号； z（z）] &逗号；方法 ='钢筋混凝土')$

错误，（在RootFinding:-Isolate中）系统有无穷多个解决方案

工具书类


通过有理单变量表示法求解零维系统工程、通信和计算应用代数杂志，卷。9，否。5 (1999): 433-461.


Rouillier，F.和Zimmermann，P.“多项式实根的有效隔离”计算与应用数学杂志，卷。162没有。1 (2003): 33-50.


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Becker，Ruben等人，“复杂多项式根聚类的复杂性分析”第41届符号与代数计算国际研讨会论文集 (2016).

兼容性

•
Maple 2024增加了对多元情况下复杂解决方案的支持。这个方法=PW以及使成为现实选项和默认行为复杂的选项已更改。这个领域选项现在也支持方法ABND公司以及PW公司在单变量情况下。

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这个最大根数Maple 15引入了该选项。

•
有关Maple 15更改的更多信息，请参见Maple 15中的更新.

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这个方法=ABND,马克普雷克以及部分结果2019年枫叶推出了选项。

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有关2019年枫叶变化的更多信息，请参阅2019年枫叶更新.

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这个小时参数是在Maple 2023中引入的。

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这个方法=人力资源,复杂的以及领域Maple 2023引入了选项。

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有关Maple 2023变更的更多信息，请参见Maple 2023更新.

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这个寻根[隔离]命令在Maple 2024中更新。

另请参见

评价

数值解

多项式理想

正则链

根

寻根

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