欧拉数的渐近逼近和包含

关键词：欧拉数，渐近包含，渐近近似，OEIS A122045。

欧拉数的近似值。

欧拉数有一个标准的渐近公式。例如数学世界或数学函数数字图书馆（NIST）（§24.11）我们可以找到公式

贝尔纳西

本文作者发现了两个似乎是新的欧拉数包含。他们是在本页上报告。给出的边界包含一个简单但我将称之为欧拉数的惊人高效近似“可爱的近似值”。

欧拉数的急剧增加。

让En个表示欧拉数。如果n为偶数且n≥20则

颂扬结论

例如，包含预测

0.3887561841253070612..*10^2372<| E（1000）|<0.3887541853070617..*10*2372。

事实上，|E（1000）|=0.388756184153070615..*10^2372。

注意，这些公式中没有引用阶乘函数。

欧拉数的可爱近似。

上述包含的下限也可用作一个方便的近似值对于Euler数。然后采用以下形式（假设n为偶数）

欧拉近似

等效地，这个公式可以表述为

欧拉近似

例如，标准近似值给出E（1000）~0.38872..*10^2372，这相当于4有效的十进制数，而最后一个近似值为E（1000）提供了近似值18.2有效的十进制数字。

渐近公式

更一般地说，让我们看看对数的三个渐近公式欧拉数。

  1. 对数E1（n）=（1/2+n）*ln（n
  2. 对数E2（n）=（1/2+n）*ln（n*
    （1-ln（（120*n^2+9）/（120*n^2-1））
  3. 对数E3（n）=（1/2+n）*ln（n）-（1/2+n）*ln（pi）+（5/2+n）*1n（2）-n*
    （1-1/（12*n^2）*（1-1/

我们看到公式2和公式3是公式1的改进。我们现在专注于公式3指数形式exp（LogE3（n））。

是什么使这种渐近近似特别有用一许多的比数字图书馆提供的更接近数学函数（见§24.11）——近似值的误差很容易估计。

事实上，这是一种解释近似有效性的便捷方法公式是给出精确小数位数的下限，即。e.表示公式保证的小数位数至少。在exp（LogE3（n））的情况下，我们有一种很好且简单的方式来表达此边界：

EddE（n）=地板（3*log（3*n））（有效对于n≥50）。

例如，对于Euler（31622776），这个边界表示55exp（logE3（n））的十进制数字保证正确（真值为55.7）。

总结：计算欧拉数E（n）的近似值n≥50且n偶数计算exp（logE3（n））并保留楼层（3*log（3*n））小数结果的位数。

定义EulerAsympt（n）：如果n<50：打印“数值错误，n必须≥50”返回如果is_add（n）：返回0R=RealField（400）nn=n*n对数E=R（（1/2+n）*ln（n）-（1/2+n）*ln（pi）+（5/2+n）*1n（2）-n*（1-1/（12*nn）*E=（-1）^（n//2）*exp（对数E）涡流=3*ln（3*n）打印SciFormat（E，floor（Edd）-1）#参见SciFormation返回E对于（49..52）中的n：打印n，EulerAsympt（n）49→值误差，n必须≥5050→-6.05 32852481886e5451 → 052→6.50616248668461e57欧拉不对称（31622776）8.5695388504484365001271635684501232589197962270228803556e217235371

请注意，当我们使用此格式化函数时，该函数仅显示有效数字：SciFormat格式.与圣人基于这些公式和这些近似值的精确十进制数字（edd）可以如下计算。

AsyE1（n）=exp（对数E1（n））AsyE2（n）=exp（对数E2（n））AsyE3（n）=exp（对数E3（n））EddE1（n）=-log10（abs（1-AsyE1（n）/abs（euler_number（n）））EddE2（n）=-log10（abs（1-AsyE2（n）/abs（euler编号（n）））EddE3（n）=-log10（abs（1-AsyE3（n）/abs（euler_number（n）））EddEE（n）=地板（3*ln（3*n））ANF=50；END=1000；步骤=20plot2=list_plot（[[n，EddE2（n）]表示范围内的n（ANF，END，STEP）]，color='red'）plot3=list_plot（[[n，EddE3（n）]表示范围内的n（ANF，END，STEP）]，color='blue'）plotE=list_plot（[[n，EddEE（n）]表示范围内的n（ANF，END，STEP）]，color='magenta'）显示（plot2+plot3+plotE）

下图比较了近似值的精确小数位数（公式3，蓝色曲线），精确小数位数由这个公式，3*ln（3*n）（品红色曲线）。为了进行比较，红色曲线显示公式3的精确十进制数字。公式1（由DLMF/NIST给出）给出不值得展示的拙劣近似值。

重述exp（LogE3（n））给出了欧拉数的以下渐近展开式E（n）对于n>0偶数：

注：“可爱的近似值”是在1月21日给出的本作者2007年。这里是公告在新闻组de.sci.matematick中。纳入内容是于2007年1月22日在本网页上给出。感谢Achim Flammenkamp我注意到以前版本中的一个错误。

以前的 伯努利数的渐近包含和近似。
下一个阶乘函数的渐近展开。