计算离散线区间的平铺
条目注释A067824号和A107067号整数序列百科全书

埃里克·利弗斯（Eric Rivals）
LIRMM（计算机科学系）
CNRS-蒙彼利埃大学II
法国
竞争对手_AT_lirmm.fr
网址：http://www.lirmm.fr/~竞争对手


本页(网址：http://www.lirmm.fr/~竞争对手/研究/瓷砖/)是条目的注释A067824号和A107067号整数序列百科全书[6].

我们的目标是计算离散线间隔的分幅数。当我们展示了这些组合对象的近似公式时，我们计算了序列的第一项，并发现它已经在百科全书中了，没有任何解释。序列指向R.Zumkeller，他给出了一个计算它的程序。因此，我们的主要结果是给这个序列赋予了一个意义：对于一个整数n个，它是一个长度间隔的瓷砖数n个离散线的，Z轴.我们对这些结果给出了两个证明。第二个证明表明百科全书的两个序列一致：条目A067824号和A107067号，这是我们的第二个主要结果。后者给出了{0，1}中系数除以多项式的多项式数Xn个−1.

此页面也提供PDF格式在这里以及相关出版物是那里,对应于参考[1]，已发布LNCS第4009卷。



1引言

在这里，我们定义了瓷砖的概念。一个人认为一个空间可以平铺，在我们的例子中，空间是离散线：Z轴(即, {−∞,…, −2, −1, 0, 1, 2, …, +∞}). 让A类是的子集这个空间。然后A类是一个瓦片，如果有另一个子集B类这样的话A类+B类=Z轴，其中A类+B类表示{一+b条:一∈A类,b条∈B类}.B类被称为二重的或翻译属于A类.B类是空间中放置副本的位置集A类覆盖整个空间。由于定义是对称的，B类是也是一块瓷砖。

通常，两个集合的和产生一个多组,即，一套某些元素出现多次。这不是一个瓦片。因此，表示这一点，而不是A类+B类=Z轴其中一人写道：
A类⊕B类=Z轴.


1.1瓷砖的周期Z轴.

让A类,B类的子集Z轴具有A类有限的。纽曼[5]1977年证明，如果A类⊕B类=Z轴然后B类是周期性的,即，它存在k个∈N个这样的话B类=k个+B类此外，他还表明k个小于2d日(A类)，这使人们能够在指数时间内检查图案A类瓷砖Z轴，其中d日(A类)表示最大元素属于A类然而，在所有已知示例中，k个≤ 2d日(A类)（尼瓦特猜想）[4]. A类示例中给出了周期图1.1.

示例1  集合{0,1,4,5}平铺Z轴它的双重性是B类:= { 0, 2} + 8Z轴.




2我们的案例：平铺间隔Z轴.

让n个∈N个具有n个> 1. 我们考虑空间[[ n个 ]],即，的间隔[0，n个−1 ]. 我们想计算所有可能的数量的瓷砖[[ n个 ]]对于任何n个。让我们看一些例子。

示例1  
  1. 让（f）= {0,2,4}（f）=
    （f）瓷砖[[6]]它的双重性是（f）    ^6= {0,1}

    很明显（f）还有瓷砖Z轴.

  2. 让（f）= {0, 3, 4, 5, 7, 8}（f）=
    （f）瓷砖Z轴带双离合器（f）    ^Z轴= {…, −12, −6,0, 6, 12, …} = 6Z轴.

    （f）还有瓷砖Z轴/12Z轴，但它不是任何间隔的平铺[[ n个 ]]，随便什么n个是。




因此，区分Z轴那也是平铺间隔为Z轴而那些没有。

2.1瓦片的自周期性

我们定义了自周期性模式（一组不一定是瓦片）。这个概念是这个概念的吊坠属于周期单词（或参见PDF格式的文本). 让n个≥0且（f）是这样一种模式d日(（f）)<n个.

定义1  让第页为0≤的整数第页≤d日(（f）).
第页是一个自周期（f）对于长度n个当且仅当任何我∈ [0,n个−第页[其中一个有
我∈（f）⇔ (我+第页) ∈（f）.


让∏n个(（f）)表示的自周期集（f），以及πn个(（f）)它的最小非空自周期。



2.2组合结果

我们证明如果（f）是的平铺[[ n个 ]]，如果我们表示是对偶的（f）^n个然后：



示例2  让n个：=12和（f）:= { 0, 1, 4, 5, 8, 9 }.（f）瓷砖[[12]]; 它的双重功能n个：=12是（f）^12:= { 0, 2 }.


这意味着间隔的任何平铺[[ n个 ]]可以分解为较短间隔的完全周期平铺的总和。这个分解也称为Krasner因子分解[三]，另请参见[2,7]了解更多信息。

2.3计数公式

由此，可以枚举集合Ξn个，全部的瓷砖[[ n个 ]]我们得到了一个循环公式ξn个，表示的分幅数[[ n个 ]],即，的Ξ的基数n个.

定理2  一个具有ξ1= 1和
    ξn个    =    1 +
 
Σ
d日∈N个:d日∣n个,d日≠n个
ξd日 .     


注意，如果n个>1是素数，然后是Ξn个= { { 0 },[[ n个 ]]}和
δn个= ψn个=1和ξn个= 2.


ξ的值n个对于n个>0是序列项的值A067824号英寸[6]、和(2)对应于重复Zumkeller给出了这个序列的关系。使用Moebius反演，可以很容易地导出ξn个:

ξn个 = 1 −
 
Σ
d日|n个;d日≠n个
μ(
n个
d日
)(2ξd日− 1)
.


三识别算法

我们还展示了一个识别集合（f）给定为任何间隔的输入平铺。该算法还提供了平铺的最小间隔（f）以及（f）作为完全自周期瓷砖的总和。它以线性时间运行。

定理3  让（f）成为一种模式。我们的算法在中决定O（运行）(d日(（f）))时间是否有n个∈N个这样的话（f）瓷砖[[ n个 ]]并给出了（f）完全在中自周期瓷砖。


鸣谢：R.Zumkellerk、O.Gandouet、F.Philippe。

工具书类

[1]
Olivier Bodini和Eric Rivals。平铺离散线的间隔。在M.Lewenstein和G.Valiente的编辑中，程序。17日组合模式匹配（CPM）年度研讨会，第4009卷，共计算机科学课堂讲稿，第117-128页。斯普林格·弗拉格，2006

[2]
N.G.de Bruijn公司。基于插入器集的基础。出版物。数学。德布勒森, 1:232–242, 1950.

[3]
M.Krasner和B.Ranulak。法律保护署（Sur une propriétédes polynómes de la division du cercle）。巴黎科学院, 240:397–399,1937

[4]
J.C.Lagarias和Y.Wang。使用一个平铺的平移平铺线条。数学发明, 124(1-3):341–365, 1996.

[5]
D.J.纽曼。整数的细分。J.数论, 9:107–111, 1977.

[6]
新泽西州。答：。斯隆。整数序列在线百科全书，2004年。可在网址：https://oeis.org.

[7]
R.蒂德曼。将整数分解为两个子集的直接和。编辑S.David，数论，第261-276页。牛津大学出版社，1995年。
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