回文是什么？

回文是向前读和向后读一样的东西。它起源于17世纪初的希腊单词回文(帕林德罗莫斯)，字面意思是“又跑回来了。"

数字： 话： 短语： DNA序列：

“52125”、“4334”、“8”和“1758571”。 “Radar”、“I”、“Eve”、“Deed”，以及世界上最长的英语单词“Redisvider”。 “女士，我是亚当”，以及永恒的经典：“一个人，一个计划，一条运河……巴拿马”。 一段DNA，其中一条链的核苷酸序列反映互补链的核苷酸顺序。

(世界上最长的回文句子，基于永恒的经典，“一个人，一个计划，一条运河……巴拿马”，已由创建彼得·诺维格.有关更多单词、句子和短语回文，请访问Jim Kalb的回文连接.)

数字回文

在1984年4月科学美国人“计算机娱乐”专栏,出现了一篇关于数学模式的文章(F.Gruenberger，计算机娱乐，“如何处理数以千计的数字，以及人们为什么想要这样做。”，《科学美国人》，第250卷[1984年4月第4期]，第19-26页。).算法如下：

1. 选择一个数字。
   
2. 反转其数字并将此值添加到原始数字。
   
3. 如果这不是回文，请返回步骤2并重复。
   

示例

大多数数字很快就会变成回文，只需几个步骤：

事实上，在10000以下的所有数字中，大约80%的数字都是通过4个或更少的步骤解决的。大约90%的解决方案需要7个步骤或更少。罕见的案例、数字89，需要24次迭代成为回文。它是迄今为止在10000以下的任何数字中迈出的步伐最多的分解为回文：

196回文探索（也称196算法，196问题）

每个数字最终都会变成回文吗？没有人确切知道，因为它从未被证实过。有些数字似乎从未形成回文。第一个是196。这些数字被称为莱克勒斯.解决这个数字的搜索被称为196算法或196问题，但通常称为196回文探索.

这里有一些关于196回文探索1984年《科学美国人》发行之前。从中找到了两个引用数学中心页码：

• Heiko Harborth，《回文》，数学杂志, (1973) 96-99
• C.W.Trigg，此外还有回文，数学杂志，40（1967）26-28。

1973年的论文指出，Harborth说Trigg在1967年检查了所有小于10000的整数，发现249个似乎从来没有形成回文。196将是这249个数字中的第一个。

约翰·沃克的三年的计算第页声明196最初被迭代了10000次，但没有产生回文。后来，这一数字由保罗·莱兰德在不产生回文的情况下产生超过26000个数字。保罗在一封电子邮件中向韦德·范兰丁汉2002年8月19日：

"您提到的工作是大约20年前在一台运行CP/M的基于4MHz Z80的机器上完成的。核心反向加法和回文检测器用汇编语言编写，I/O等用Algol-60语言编写。机器只有32K内存（实际上在那些日子里相当多），我一直运行程序，直到内存耗尽——这解释了为迭代次数选择的限制。"-保罗·莱兰德

再次，P.Anderton继续这个过程直到70928位数(170000多次迭代)没有遇到回文。(这个谷歌群组发布声称在1987年完成了70000个数字的结果，所以这也许是P.安德顿的努力。)

196的第一次迭代

这里是196次迭代200次对于那些好奇的人。

三年的计算(196位到1000000位)

1987年8月12日，约翰·沃克开始了他在Sun 3/260工作站上创建的程序(使用摩托罗拉68020微处理器)进一步搜索。大约三年后的1990年5月24日，午夜前五分钟，他的程序在2415836次迭代后结束，产生一个长度为1000000位的数字，看不到回文。第二天，John Walker提供了这个1000000位数字和他的程序对互联网页面上的人，三年的计算,对于那些不想重做三年工作就继续追求的人来说。

大约两个月的计算(从1000000到2000000位数)

自从1984年《科学美国人》发行以来，由于对回文的探索感兴趣，蒂姆·欧文发现自己可以使用超级计算机，并发计算机公司Maxion型号9502，1995年。在互联网上搜索已经完成的回文任务，他发现尊尼获加的网页。他“借用”了他的程序，在程序员同事的帮助下拉里·西姆金斯,他们再次投入工作，继续从100万人开始的探索数字。1995年8月22日，经过大约两个月的计算，程序在计算了196到2000000位数字后停止。计算机世代相差8年，蒂姆的超级计算机实现了三次计算量(约翰·沃克三年的工作需要)仅在中两个月.这个号码可以在Tim的网页上找到，大约两个月的计算,任何希望自己继续探索的人。

继续探索(到13000000位数及以上)

我甚至从未见过一台超级计算机，那么我为什么要继续探索呢？因为我创建了一个汇编语言程序，可以执行必要的普通桌面计算机上的计算速度比未优化程序快以前在超级计算机上使用过。(请注意，原始程序创建以计算196回文探索是为了节省内存，牺牲速度。尽管存在这些担忧，我发现这些程序错过了某些本可以保存的优化同样的内存量，而且没有速度损失与内存使用无关的优化).

我的程序开始计算196回文探索1999年8月9日星期一奔腾II 266 MHz PC。

该程序在年达到了100万位数1天和18小时

我打算在某个时候重新测试，因为我的代码被窃听了，导致它总共写入了54兆字节的垃圾屏幕和数据文件，从而减缓了计算速度。

该程序在另一个5天和10小时.

这两个数字都与约翰·沃克和蒂姆·欧文的工作相符。我100%相信我的程序是无错误的，我将只要我有电脑空闲时间，就继续工作。

该程序在另一个时间达到3000000位8天和7小时.

我的13000000个数字的分数发表在2001年11月/12月的Yes Mag：加拿大儿童科学杂志: 单击放大[75 dpi分辨率图像=154 Kb] 单击放大[150 dpi分辨率图像=452 Kb]

该程序平均每秒增加12000000个单位数使用赛扬400 MHz机器(也就是说，它可以在一秒钟内将两个12000000位数相加).超过1万亿(1,000,000,000,000)每天增加一位数。

其他工作-伊恩·J·彼得

在我与伊恩·J·彼得,他目前正在计算所有高达2000000000到200000个数字的整数，他开始改进回文程序。他的手工优化装配程序，在AMD Athlon 500MHz系统上运行4到8次快到我在Intel Celeron 400MHz上的程序。

为什么会有这么大的速度增长？几个因素。他的程序在算法上进行了很大程度的优化，以及在装配级别的手上优化-但我不去在这里泄露秘密；这不是我该释放的，所以请问他。但我可以说一些技术说明：

我的程序使用扁平模式(非真实模式)386代码中的32位寻址，使用Turbo Pascal 7.0，因为我缺少允许true的编译器保护模式存储器寻址。这很有趣，因为Intel 80286(即286)处理器引入了此功能(我以前的Tandy 1000 SX有一个).Ian正在使用保护模式32位寻址，在Linux下运行，并利用新机器上的新指令集。

就硬件而言，这是第一次AMD给我留下了深刻印象。我有一款AMD K6-200MHz，我对此印象不深。我的3Dfx VooDoo2卡正在等待处理器来传递信息。但是，Athlon是另一个故事。它有256 KB的一级缓存(一级缓存多于Celerons在二级缓存中)，是常规奔腾III系统数量的4倍。它有512 KB的二级缓存，但最多可以有8192 KB。这并不意味着你应该出去买一个。你应该购买对你的工作类型最有益的处理器。我们回文程序的性质-鉴于此代码很小，而且可以访问内存始终按顺序排列-从Athlon架构中获得的好处甚至比正常的应用程序或游戏。

他的程序在5个多小时内达到了100万位数，在30多天内达到了10000000位数专用500 MHz Athlon。

其他工作-István Bozsik

伊斯特万·博兹克如上所述，从其他人那里发现了相同的先前工作，我做到了。这激起了他的兴趣，他很快发现他可以还可以编写一个程序来运行196回文探索比他们快得多。他于2000年5月7日编写了自己的程序。

在他的网页他表示，他将搜索量提高到了600万位数。不幸的是，我自己的作品已经超过了600万位数。István无法通过搜索引擎找到我的网页直到他取得成就。他的页面有很多与其他网页有关的链接回文数字。

196讨论-留言板

[注：此留言板处于脱机状态。如果有人愿意主持这个留言板，那么它可以继续存在，拜托联系我.]Felipe Barone创建了一个留言板供讨论196回文之旅。你可能想四处看看。关于196回文任务的计算，我有一些有趣的想法在网络上的以下线程中：跨网络处理.[互联网档案跨网络处理线程。]

上一条记录

除了我的工作之外最延迟回文数是在Ian J.Peter家发现的网站：搜索最大的数字回文.

在他工作之前，已知的最延迟的回文数是10,911.这需要55次迭代变成28位长的回文。

在对从1到9999999的所有数字进行广泛搜索后，他发现以下结果：

程序

Ian Peter测试了他所有的数字到200000位数(约500000次迭代).他证明了没有从1到9999999的数字在超过96次迭代中形成回文，但在大约500000次迭代中。

使用此信息，我设置了我的程序(当前正在尝试的同一程序打破196年回文任务记录)检索迭代次数需要为0到9999999之间的所有数字形成回文。这是通过设置96次迭代的限制来完成。如果数字未解析为经过多次迭代后，它被标记为“无限”。因为我知道我必须把这些数字至少500000次迭代后才能解决。知道可能性这件事发生的可能性很小，我决定不再进一步讨论。

在分析了这些信息后，我确定次延迟回文数超过255次迭代，没有首先找到一个只需较少迭代就能解决问题的方法是极不可能的。

因此，我决定了打破最延迟回文数将从9999999继续，查看最多255次迭代。通过限制迭代次数这样一个小数字节省了令人难以置信的时间(如果我想将迭代限制加倍到510，这个过程立刻变慢了四倍).

使用此方法，在运行程序的前两天内，我的程序解决了两项新记录：100,239,862，解决了97次迭代和140669390个，解决了98次迭代.然而，直到与伊恩·J·彼得他的程序已经解决了这些记录，他只是没有更新他的网页以显示结果。

这里有伊恩·J·彼得的最新结果：

关于改进搜索的思考

当前程序是不这个找到最延迟回文数的最快方法。大多数被检查的数字是“后果已检查个数字中的个。例如140,669,390是：150,669,380,160669,3年70,170,669,360,180,669,350,190,669,340.只需改变第二个和倒数第二位。注意模式-每个数字在第一次迭代后都将成为相同的数(每次修改的两位数之和为13)，因此，最终产生相同的回文。重新计算这些是没有意义的重复同样的迭代。通过改变第三位数和第三到最后一位数，依此类推。这些都被称为“一级后果”，因为它们产生仅一次迭代后的相同数字。

存在其他后果在两次迭代后生成相同数字的(这些被称为“二级后果”，因为它们产生两次迭代后的相同数字)，经过三次迭代(“三阶后果”)等等。虽然，这些东西有点难找到。如果你看看在上表中Ian Peter的工作中，你会注意到他的一些结果和其他的组成相同的回文。它们是后果彼此之间。

正如我们上面所做的那样，通过乱动数字，我们可以找到1*6*4*4=96个数字，包括原始数字，都具有与140669390相同的属性。几乎所有的数字，不仅仅是成为回文的数字，有很多一级后果-在大多数情况下，超过96人。

然而，在我编写一个程序来解决这些问题之前，程序将继续在其机器上运行，因为只要我有权使用它。它目前正在计算每天有100000000个数字-所以，希望我们只看到开始。

改进搜索

1999年8月20日星期五更新:

坏消息：我无法访问专用于这些的计算机计算。

好消息：经过一点思考，我在这将最大限度地减少由一阶后果引起的重复计算数量相同。这是对我先前算法的指数改进。允许我的计算机与我的古老的按照目前的速度，算法将“求解”，到255次迭代，所有数字从0到1360000000。换句话说，所有9位数数字等。理论上，我新的算法，给定相同的数字计算的(在同一台机器上进行2周的计算)，可以“求解”到255次迭代，从0到99999999999999的所有数字。换句话说，所有14-数字。(我以前的算法需要2800年才能实现这一点)我可能不得不随着数字的增长，增加我的迭代限制，因此，所需时间超过了2周，但以上只是一个暗示算法本身的改进。说得够多了几天后，我将实现该算法，希望它符合我的期望。我会在我的家用电脑上运行它，这应该“查看”大约50%的处理在我曾经拥有的专用计算机上。

实施搜索

一九九九年九月三日（星期五）最新消息:

我重新编程了我的新指数算法，以找到最小的数字它为每个不同的迭代计数求解为一个回文。例如，它会发现10905963在71次迭代中求解,尽管有一个较小的数字在更多迭代中求解(96次迭代中的9008299).10,905,963报告是因为它是71次迭代中解决的最小数字，在71次迭代中解决的所有数字中。因此，该程序不仅报告以下数字打破更多迭代的记录，但也会报告求解的最小数量x个迭代，对所有人来说x个.

程序调整迭代极限，使其为当前记录。这是在分析完数据后编程的累积，并确定找到一个数字的机会解决当前记录迭代次数的三倍以上，如果不首先找到一个解不到这个数三倍的解当前记录的迭代次数非常少。

我已经启动了新程序，计算所有最延迟的回文数1999年9月3日，星期五，在我的AMD-K6 200 MHz计算机上从头开始。

结果

2002年6月17日星期一更新:

自2000年8月4日星期五以来，我一直无法运行我的程序。当时，我只解决了所有15位数字中的8.34%。我无法继续，因为程序是在DOS下编写的扁平模式，拒绝在Windows 98或更高版本下运行。这些操作系统不再允许计算机(容易地)重新启动进入完全DOS兼容模式，而不是Windows Shell。

2002年5月19日星期日，我终于在Windows中重新编程了我的算法以继续搜索。真遗憾，我等了这么久，因为我现在会对17位数字感兴趣。

经过一些初步的beta测试，我开始了新的程序再一次从头开始2002年3月30日星期四。从那以后达到，超过了我旧DOS程序检查的数字。请注意，它只是在我的AMD 1700+XP处理器上部分运行。

记录，包括最延迟回文数字世界纪录(以红色突出显示)，如下表所示。单击任意数字以弹出计算证明其结果的页面。

2003年4月16日星期三更新:

我现在对17位数字感兴趣。这将是一组有趣的要查看的数字，因为在16位数字的结果之后，只有一次迭代计数低于当前（截至2003年4月16日）世界纪录属于201次迭代(15位数100,120,849,299,260)这一问题尚未解决：160.程序报告的任何新信息都将是160次迭代或者创造一项新的世界纪录。

我们可以通过迭代161次迭代中要解决的最小数目(16位数字600000039361479)一次。因此，我们可以看出17位数字157416393361485将在160次迭代中解决。其最低一阶结果(“后果”在本页上文中有解释)是14,200,033,399,975,995.因此，我们期望看到160次迭代的结果，即，最大值，这个17位数字。

二○○三年四月二十九日（星期二）最新消息:

我已注册本杰明·德斯普勒'在我的查找算法中反向添加代码最延迟回文数，因为他的密码大约是比我的反向加法代码快。确定要测试哪些数字的核心指数算法保持不变。我从零开始寻找，再一次,以确保他的代码与我的代码完美结合。我已经用极端情况对他的代码进行了广泛测试以确保其准确性。我在移植他的代码时遇到的最大问题在我的程序中，他的代码没有被设计为可以多次重新运行。他将其初始化部分编程为一次性交易。初始化代码通常未进行优化，因为它只是运行一次，因此对性能没有影响。它只是影响程序的启动时间，对于需要几个月(他的代码是计算196回文任务)，初始化代码是否需要1/1000秒并不重要或千分之一秒。我重新编码初始化部分，只重新初始化内存的各个部分这必须是为了获得最佳性能。

2003年6月2日星期三更新:

我的旧代码解决了所有17位数字的0.297%。我的新程序(具有本杰明·德斯普勒'反向添加代码)今天终于超越了这一点。所有结果都与先前的结果相匹配。几个小时后，我的程序也终于找到了一个新世界纪录自从旧记录被发现解决了15位数字。我的旧程序是几个小时内解决这个新记录，延迟了将近两个月由于重新启动程序本杰明·德斯普勒'反向加法代码。

此外，当天晚些时候，晚上7:28，发现了160次迭代的记录：10,019,017,999,499,510.这低于我们预期的潜在记录(14,200,033,399,975,995)，它在另一条线上(由逆加迭代形成的一系列数字)，因为由此产生的回文与161次迭代的记录.(请注意，2004年1月28日，发现160次迭代的次数更少，在另一条线索上：10,000,000,730,931,027.)

2004年12月15日星期三更新:

上午10:44，经过整整500天的从头开始处理，我的程序(具有本杰明·德斯普勒'反向添加代码)最终解析了所有17位数字。大部分时间(500天中的444天)只需要处理17位数字。由于在我的算法中进行了优化，它不会反复检查每个数字。我的算法确定哪些数字可以从搜索中删除，并且仍然保持100%的准确结果。结果，我的程序实际上只检查了186819193449个总数，而不是999999999999999个数字，计算所有17位及以下数字的结果，这是一个重大的优化。如果在同一台计算机上，这将需要70多万年的时间，在不进行优化的情况下计算所有这些数字。

2005年3月21日星期一更新:

在过去几周里，沃恩套房（Vaughn Suite）就我的任务与我通信。他建议对数据进行统计分析，以确定可能性在任何给定的迭代限制下丢失记录。通过这样的分析，我们可以设定与首选风险相匹配的限额。如果这表明当前的限制是过度的，然后，我们将通过降低限制来加快程序。

起初，我采取了一种幼稚的方法，只是将限制设置为找到的最后一条记录的3倍。这样做只是因为，乍一看，似乎已经足够了。它似乎比伊恩·彼得（Ian Peter）的200000位数限制要安全得多(大约500000次迭代，根据检查的次数略有不同).我应该再次注意到伊恩·彼得的作品已经详尽地表明，无法快速解决的数字似乎永远不会解决。这对于我们对我的数据使用以下统计分析至关重要。

Vaughn Suite的分析从每个数字长度的最延迟回文数开始，如下所示(完成18位数字集后于2005年9月25日星期日更新):

您会注意到，此数据是目前尚不清楚来自我在此页面上显示的记录.我的最延迟回文数探索只存储在每个迭代深度解析的最小数字。因此，如果记录设置在较小的数字集中，在相同的迭代量中解析的任何其他数字较大的数字集不会被记录，因为它们是较大的数字。这些数字不记录即使他们是该数字集最延迟的回文数，原因很简单这是不程序的目的。

例如，在7位数集合中，最延迟的回文数是9,008,299这需要96次迭代才能解决。有两个(后果未计数)8位数在96次迭代中解决：15,002,893和15,059,593,但它们没有被记录下来。最延迟的回文数记录对于8位的集合10,309,988只需95次迭代即可求解。在96次迭代中解决的两个问题不小于7位数，9,008,299,这需要96次迭代才能解决，我的程序只保存最小的一次。

沃恩套件验证了每个数字集的最大迭代深度他自己为所有数字设置了13位数，并获得了本页15位数和17位数集合的最大深度，14位数和16位数集合的从我的笔记Wade VanLandingham的网站(在其他人的笔记下).他指出，这些数值似乎呈线性趋势，估计18位集合的最大迭代深度可能是250，建议测试到350次迭代，而不是将上一条记录乘以三。经过讨论，我们进行了线性回归分析，得出以下方程式：

预期最大迭代深度=14.416667*位数长度-18.338235

标准偏差为11.245233。我们得出的结论是，我们可以使用正态分布来描述数据。这些迭代极限与它们所代表的集合的数字长度之间存在98.83%的相关性。(如果你是一名统计学家，并且认为这是错误的，请联系我.)有了这些信息，我们做了进一步的电子表格分析以确定概率18位数字集合中缺少一个数字，给出任何迭代限制。我们还可以输入概率(风险)我们准备接受的水平，该表将告诉我们这种风险所需的迭代级别。

回想起来，我做了比我需要做的多得多的计算。对18位数集合使用708次迭代的限制表示错过的记录必须与平均值相差41.51个标准偏差。这是一个天文上的小机会。我甚至无法计算机会由于程序的精度限制，在Excel中。(如果有人有枫树,数学软件或其他计算机代数系统,拜托联系我,也许我们可以计算出实际的数量。)让你知道这有多疯狂，68%的数字在1 SD内(标准偏差)平均值，95%在2SD内，99.7%在3SD内，9993%在4SD内，99.99994%在5SD内，99.9999998%在6SD内，999999997%在7SD内，以此类推。从另一个角度来看，如果我们希望有千分之一的机会丢失记录，我们应该设置迭代将平均值限制为3.09 SD。1000000分之一(一百万)失败的可能性，我们将迭代极限设置为平均值4.75 SD。1000000000中的1(十亿)，将其设置为6.00 SD。1000000000000中的1(1000亿)，将其设置为7.04。10000000000000000中的1(一百万亿)，将其设置为7.94。想象一下，失败的几率会一直达到41.51！

因此，现在可以通过使用此信息加快搜索速度。经过多次讨论，我个人决定每10000000人中就有1人错过了一项记录，这是合理的。这是基于我个人的推测，当一项新的世界纪录被发现时，有许多其他的迭代记录都低于世界记录。换句话说，一项世界纪录已经被发现，在这项纪录中没有其他的迭代深度的记录几乎与记录一样深。因此，在不太可能的情况下(十万分之一的机会)事件我们很可能会错过一个记录知道我们错过了，由于在迭代中可能会出现许多其他数字深度非常接近极限。在这种情况下，我们可以增加迭代深度，并重新测试整个数据集。是的，必须重做这项工作会很令人沮丧，但我相信这种情况发生的概率是10000000分之一，在程序中加快速度是值得的。

对于丢失记录的概率为1/10000000，我们的公式确定了一次迭代深度为299.63是必需的，因此我将18位数字集的深度设置为300。对于深度为300次的迭代，丢失记录的实际概率是11921892中的1，给那些好奇的人。

我非常感谢沃恩套房的帮助。使用此信息最延迟回文数探索已经是速度提高了5.5倍以上.

2005年9月25日星期日更新:

2005年9月25日星期日凌晨3:16，我的程序(具有本杰明·德斯普勒'冲销添加代码)完成了18位数字集。最延迟的回文18位数字在232次迭代中求解，正如您可以从标有“每位数最大延迟”的上表中看到的那样。利用这些信息更新统计分析，我们得出以下新公式：

预期最大迭代深度=14.255934*位数长度-17.320261

标准偏差为11.087996。这些迭代极限与它们所代表的集合的数字长度之间存在98.96%的相关性。

使用此信息，丢失记录的概率为1/10000000，迭代限制应设置为311.20。我已将此值四舍五入到315对于19位数的集合。315次迭代的限制实际上表示66981399人中有1人失去记录。

某些数字在测试极限内无法解析为回文，我们相信，无论迭代多少次，这些数字都永远不会解决。这些数字称为Lychrel数。每测试一个新的数字长度，出现Lychrels的百分比就会增加：

Lychrels的百分比
数字长度	%未解决
1位数 2位数 3位数 4位数 5位数 6位数 7位数 8位数 9位数 10位数 11位数 12位数 13位数 14位数 15位数 16位数字 17位数字 18位数字	0.00% 0.00% 1.67% 3.51% 7.25% 14.45% 22.17% 31.30% 40.42% 49.61% 57.82% 65.44% 71.64% 77.17% 81.41% 85.22% 88.03% 90.55%

(请注意，上述数据是从我的程序测试的数字子集中获得的。由于前面解释的优化，我的程序不会测试每个数字。因此，虽然这个图表不是100%准确，但它肯定非常接近。最有可能的是精确到所示精度范围内。)

我的最新成绩（退休前） 13.4年世界纪录（2005年11月30日至2019年4月26日）

2005年11月30日星期三更新: 今天早上5:20，我的节目(具有本杰明·德斯普勒'反向添加代码)解决了一个新（当前）世界纪录. 这个19位数1,186,060,307,891,929,990解析为119位回文在里面261次迭代. 证明：查看1186060307891929990的反向添加序列 这个新的世界纪录打破了我的项目创造的旧的世界纪录(具有本杰明·德斯普勒'反向添加代码)2年143天前，哪一个是17位数字10,442,000,392,399,960在中解析为111位回文236次迭代. (我并不是第一个打破2003年7月10日236次迭代记录的人。Vaughn Suite编写的程序发现了19位数字1,000,000,079,994,144,385,在中解析为119位回文259次迭代，2005年7月26日上午8:27。)

最延迟回文数字记录

“零迭代”注：这些数字是根据迭代次数计算的达到回文所需的反向加法。至少执行一次迭代。因此，如果数字已经是回文，则在0次迭代后它不会被视为回文。因此，我们有这样的例子1,5和999.

“已解决”注意：在下图中，'解决了的'表示这些数字被重复计算出需要显示的最大迭代次数在合理怀疑范围内这个数字永远也解不出来。

对于所有17位数及以下的数字，我确定迭代是合理的这些数字是目前世界纪录的三倍。例如，如果记录是200次迭代，我的程序将测试其他数字到600次迭代。这已经被证明是严重的滥杀根据统计分析。对于18位数的集合，Vaughn Suite和我使用了统计分析确定300次迭代的合理限制。这一限制有不到12000000分之一的机会使我们错过一项记录。对于19位数的集合，使用相同的统计分析我们确定了315次迭代的合理限制。这个限制有不到67000000分之一的可能性，我们将错过一个记录。

应该注意的是Ian Peter的结果已经是本质的用于这些计算中的假设。他对所有9位数及以下的数字进行了广泛搜索(将它们全部转换为200000位数[略少于500000次迭代])毫无疑问，如果一个数字不能很快分解成回文，它会的从未分解成回文。

尽管人们相信这些数字从未解决问题，比如196,这可能无法证实。除非能够证明它们永远不会解决，以下结果只是猜测。

这些记录的有趣之处在于发现它们需要大量的计算，但只需要一分钟的计算证明它们在声明中以回文结尾迭代次数。有了程序，所需时间将少于用一秒钟证明上述数字确实解决了问题。我不需要吉尼斯世界纪录官员在这些计算过程中出现。你可以自己取这些数字，写一个快速的程序，并自己证明结果。事实上，我已经这样做了。点击上面的任何一个数字，你就会将显示计算页面-实时计算(您可以通过在URL末尾输入自己的唯一数字来测试) -证明此数字解析为所显示的步数中的回文，向您展示实现目标所需的计算。

如果您想了解更多信息，请联系我，或者如果你知道我说了不正确的信息在本页上。据我所知，这是正确的此时。

回文整数序列

整数序列在线百科全书,由维护尼尔·J·A·斯隆,有很多关于回文数的整数序列.

我的世界纪录页面如下：

• A006960元-反向加法！从196开始的序列。
  
• A023108号-在函数f（x）=x+的重复应用下，明显不会产生回文的正整数(数字颠倒的x).
  
• A023109号-最小的数字，需要n次反向和加法迭代才能达到回文。
  
• A033665号-到达回文所需的“反转并添加”步骤数，如果从未到达回文，则为-1。
  
• A033670号-反转并添加！轨迹为89。
  
• A065198号-n为到达以n开头的回文所需的“反向和添加”步骤数设置了一个新记录。
  
• A065199号-记录到达回文所需的“反向和添加”步骤数。
  

• A072216号-考虑反向和加法！问题(囊性纤维变性。A001127号);在所有最终到达回文的n位数字n中，选择收敛步骤最多的数字n(如果出现平局，选择最小的N); 序列给出N的值。
  
• A072217号-考虑反向和加法！问题(囊性纤维变性。A001127号);在所有最终达到回文的n位数字n中，选择需要最大步数才能收敛的数字n(如果是平手，选择最小的N); 序列给出了N收敛所需的步骤数。
  
• A072218号-考虑反向和加法！问题(囊性纤维变性。A001127号);在所有最终到达回文的n位数字n中，选择收敛步骤最多的数字n(如果是平手，选择最小的N); 序列给出了到达的回文。