拉马努扬陶函数
看起来很简单,不是吗? 但计算τ(n个)不是。。。
第一个值是:
(1)= 1
(2)= -24
(3)= 252
(4)= -1472
(5)= 4830
(6)= -6048
Ramanujan发现它具有显著的特性:
对于米,n个互质整数,
对于第页素数。
现在我们需要一个公式来计算τ(第页)对于所有素数第页.
与加泰罗尼亚语有关的公式三角形
从Eichler-Selberg迹公式可以导出
哪里第页是质数,并且H(H)(n个)是二进制的Hurwitz-Kronecker类数负判别式的二次型-n个.
一种新的更快的配方
重新组合多条记录道得出公式
哪里第页是质数并且H(H)5(n个)=n个5H(H)(n个).
请注意,它主要由第张表,共张H(H)5(n个)整数。因此,在计算时,这是一种速度稍快的算法τ(第页)为所有人素数。
经过重新安排,我得到了很好的配方
哪里C类5=42是5第个加泰罗尼亚数字。
非普通素数
我们发现只有素数第页对于其中τ(第页)≡0(模第页)是2、3、5、7、2411和7758337633,最多10个10.
参见OEIS条目:A007659号
奇数素数值
我们的目的是识别τ(n)是奇数素数的整数n,忽略τ(n)的符号。主要结果如下:
定理 设n是一个正整数,使得τ(n)是一个奇素数。那么n的形式是p问题-1其中p和q是奇素数,p是普通素数。
一组LR(p,q):=τ(p问题-1)其中“LR”代表Lehmer-Ramanujan。
这里我们给出所有已知对(p,q),p<100,这样LR(p,q)是素数(p)或或然素数(PRP):
(p,q)
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数字*
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原始
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验证人
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软件
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结束日期
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持续时间
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(11, 317)
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1810
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P(P)
|
奥利维尔·罗泽尔
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PARI/GP公司
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(17, 433)
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2924
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P(P)
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奥利维尔·罗泽尔
|
PARI/GP公司
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12/02/2011
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10小时
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(29, 31)
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242
|
P(P)
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(29, 83)
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660
|
P(P)
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(29, 229)
|
1834
|
P(P)
|
奥利维尔·罗泽尔
|
PARI/GP公司
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(41, 2297)
|
20367
|
P(P)
|
弗朗索瓦·莫林
|
欧洲电力公司
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06/04/2018
|
24天
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(41, 28289) |
250924 |
项目需求计划
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(47, 5)
|
37
|
P(P)
|
(47, 47)
|
424
|
P(P)
|
(47, 4177)
|
38404
|
P(P)
|
安德烈亚斯·恩格
|
厘米/立方厘米
|
22/06/2022
|
15天
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(59, 1381)
|
13441
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P(P)
|
Gerasimos Politis公司**
|
普里莫
|
12/10/2013
|
83天
|
(59, 8971)
|
87365
|
项目需求计划
|
(79, 1571)
|
16386
|
P(P)
|
Gerasimos Politis公司**
|
普里莫
|
07/02/2014
|
(79, 6317)
|
65920
|
项目需求计划
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(89, 73)
|
772
|
P(P)
|
(97, 331)
|
3606
|
P(P)
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奥利维尔·罗泽尔
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PARI/GP公司
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16/02/2011
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31小时
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(97, 887)
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9682
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P(P)
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凯拉·斯坦博利杜**
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普里莫
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26/05/2013
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(*)LR(p,q)的小数位数
(**)由Nik Lygeros和Olivier Rozier监督
对于p<1000,这些值在半对数尺度上的分布:
灯光灰色区域目前正在处理中。蓝色区域大多由LR团队处理:Anna、Athina、Dimitris、Elias、,Fotini、Giorgos、Keira、Kostas、Koulla、Marios、Neoklis、,帕特丽斯、西奥多拉、维姬、克莉莎。感谢他们所有人!
LR_数据.pdf:已知(可能)素数LR(p,q),p<1000
数字数据
陶_0001000000.zip(1.4 Mb):所有素数的tau(p) p<10^6
陶_0010000000.zip(13.4 Mb):τ(p)对于所有素数 p<10^7
出版物
N.Lygeros和O.Rozier,Ramanujan tau函数的奇素值,Ramanujan杂志,10.1007/s11139-012-9420-8(2013) N.Lygeros和O.Rozier,一方程的新解τ(第页)lect 0(模第页),日记账属于整数序列第10.7.4条(2010)
主页
拉马努扬陶函数©2010奥利维尔·罗泽尔
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