螺旋平铺
通常的定义平铺涉及将空间划分为与以下内容一致的部分但已经有一些关于相似性瓷砖在这种情况下，这种一致性要求被放宽了，所以瓷砖只需要彼此相似。一种可能的方法形成这种瓷砖的方法是将瓷砖排列成螺旋形的:
这种螺旋瓷砖的一个著名示例是正方形，螺旋中的相邻正方形的大小为黄金比例。
使用1乘sqrt（2）矩形的相关平铺是欧洲纸张尺寸标准和K.S.Brown关于“黄金三角形“暗示存在另一个平铺等边三角形的大小比是多项式的x个三-x个-1.Brown的网站也包括以下内容的描述另一个螺旋平铺通过30-60-90个直角三角形.
螺旋平铺的好定义是什么？可以是什么形状用作螺旋瓷砖中的瓷砖？每个人可以有几个邻居瓷砖有吗？这些瓷砖的对称性是什么？
复数
螺旋由两个同时运动的组合形成：围绕螺旋中心的膨胀和扭曲。相同的运动组合产生于复杂度的增加数字一+b条i.如果我们认为这些数字正在形成一个平面，然后将任意配置的所有点相乘那架飞机经过一+b条我可以进行几何计算，通过将配置从原点扩展到平方英尺(一2+b条2)，同时围绕原点扭转配置棕褐色的-1(一/b条).
因此，使用复数是有意义的乘法表示螺旋平铺的对称性。
定义
我们定义了一个瓦片成为复数平面。
我们定义了一个平铺是一组不相交的瓷砖它的闭包覆盖了整个复数平面。
我们定义了一个复对称瓷砖是复杂的数字，使每个平铺乘以该数字产生相同瓷砖的另一块瓷砖。
我们定义了一个螺旋瓷砖是一块瓷砖两块瓷砖秒和t吨，一些复杂的对称平铺贴图秒到t吨.
最后一个定义可以改为：对称行为可传递地在瓷砖上。请注意，这些定义不同于所使用的螺旋平铺的概念作者：Grünbaum和Shephard【瓷砖和图案，W.H.Freeman1987年，第512-516页]，不涉及相似性通常没有上述定义明确（“我知道当我看到它时“测试适用”）。一些材料更接近我们现有的这可以在同一本书中找到[第520-522页]。
平铺映射的唯一性
我们从定义中知道，对于任何两块瓷砖秒和t吨在螺旋平铺中，一些复数z满足集合论方程秒*z=t吨.还能有更多吗比一个这样的z?考虑距离d(秒)和d(t吨)每个的起源。由于复数乘法作用于这些距离，the magnitude ofz必须为d(t吨)/d日(秒). 什么关于它的方向？
假设第*年=秒*z=t吨.然后秒*(z/年)=s，所以秒通过某些旋转保持不变关于起源。只有这样的瓷砖可以是环形的，其中两个边界分量具有相似的不变性，并且彼此相似其他。
我们将此病例视为退化；从现在开始，我们假设不会发生在我们的tilings中。所以在非退化螺旋中平铺，对称z映射秒到t吨是唯一定义。我们用以下公式表示这种对称性t吨/秒.
螺旋瓷砖的对称性
螺旋瓷砖的对称性，就像任何其他的对称，形成a组：两个对称的乘积是另一种对称，如任何对称的逆对称，以及乘积具有关联性。这里的群积只是复数乘法。因为从一个平铺到另一个，该组必须离散的：任意对称z在复数平面上有一个邻域只包含这种对称性。对于，如果z映射一些点x个在瓷砖内部秒到相应的点在瓷砖内部t吨，任何其他复数足够近z也会绘制地图x个进入瓷砖内部t吨通过复数乘法的连续性。我们可以这样总结这个结论：螺旋平铺的对称性必须是非零复数的乘法。如果我们在包含参考点1的瓷砖中选择一个参考点点，该点的图像1*G=G给出一个参考点每个平铺，所以G的成员是一一对应的用螺旋瓷砖。我们可以将每个瓷砖视为形成标准邻域或基本域围绕每个对称z.
指数映射
函数exp(z)具有良好的转换特性乘法加法：经验(年+z)=经验(年)*经验(z). 相反的函数日志(z)因此应该将乘法转换为加法，所以我们可以用它来理解乘法用更简单的加法运算表示对称群G。有一个轻微的并发症：exp(z)不是一对一，自exp以来(z)=经验(z+2pi）。因此，一个更无秩序的必须任意选择要用作相反。在我们的例子中，我们对集合理论反演感兴趣，所以我们用符号log（G）来表示集合{z:经验(z)在G}中。
那么，如果G是复数的乘法子群，log（G）是一个加法子群。如果G是离散集，log（G）也是离散的。所以如果G是螺旋的对称集平铺，log（G）是加法复数的离散子群数字。对于这样的子组，只有两种可能性可以看起来像：要么是晶格，或是整数倍数K的集合z属于单个发电机z.
最后注意，2pii是log（G）的成员，因为它位于日志（1）。因此，如果log（G）是一个格，那么它是一个包含向量2πi。如果log（G）的形式为Kz，然后z必须是纯想象的，所以G（由力量组成exp的(z))必须纯粹由旋转组成。如果是这样，我们有有限个无穷大数的另一退化情形楔体通过在原点处拟合来平铺平面。
因此，从现在开始，我们可以假设任何非退化螺旋瓷砖的形式为exp（T），其中T是周期性的（同余）在其平移对称晶格。
螺旋平铺中的邻里
在螺旋平铺中，给定的平铺周围可以有多少个平铺？由对称群的及物性，答案与选择了哪个瓷砖。一些操作欧拉特点显示邻居的数量只能是二、四或六。更详细地说，如果有人将瓷砖的边缘粘在一起由它如何与邻居连接而形成的模式，可以得到歧管，每个点附近的空间“看起来”像平面。上述分析表明，瓷砖来自于应用周期平铺的指数映射，表明此流形必须拓扑等价于环面，所以欧拉公式告诉我们V-E+F=0，其中F是歧管中的面数（仅一），E是边的数量，V是顶点的数量。现在，如果瓦片有k个邻居，它会将边的k条边贡献给E、 但每条边都有两条边，所以E=k/2和k必须是偶数。此外，每个顶点至少有三个边的端点，每个端点边有两端，所以2E≤3V，与欧拉相结合公式E=V+1表示E<=3。
k=2的情况给了我们第三种退化瓷砖。当晶格对数（G）由两个值pi i和x个对于一些真正的x个，所以只有瓷砖的对称性是膨胀（无旋转）和通过原点的反射。这个退化案例中的瓷砖必须是无限条带，其两个边界类似于彼此。
在其余的情况下，这些瓦片在组合上是等价的四边形或六边形（它们可能有其他形状，包括三角形和五边形，但它们有四个或六个相邻，并且与四个或六个顶点相邻，其中超过两块瓷砖相接）。这是与定期平铺的关键区别，它还允许使用三个相邻的瓷砖。
哪个四边形平铺？
我们现在讨论多边形形成螺旋的必要条件平铺。由于上述分析，最重要的多边形要考虑的是四边形和六边形。我们不考虑三角形和五边形分开，就像在任何螺旋平铺这样多边形必须沿着其边放置顶点，并且因此可以认为是四边形或六边形某些角度等于π。如瑟斯顿所述【三维几何和拓扑学，未出版手稿，1990年，第137页]任何四边形可以以本地看起来像螺旋瓷砖的一部分。这种结构称为“发展中的地图”，是一个特殊的建筑案例适用于任意流形。然而，也有一些非局部的形成螺旋的四边形的形状要求瓷砖。如果将开发图构造应用于任意四边形，结果通常重叠或无法填充的裂缝。
所有四边形的空间可以由四个指定参数（例如两个角度和两个边长）。看起来发展中的地图符合自身的要求对应于对二维子空间的限制四边形。有合理的方式来描述吗子空间？
哪个六边形瓷砖？
研究六边形螺旋瓷砖的一种方法是观察一下，因为任何这样的平铺都是周期平铺，它有一个基本的四边形。没有假设此顶点的通用性丢失四边形是六边形瓷砖的顶点。
所以必须有可能剖析六角形可以重新组装（允许相似性）变成四边形，形成螺旋平铺。瓷砖存在的一个简单必要条件是必须能够将六边形顶点分为两组三个三元组，每个三元组加上2π。这两个三元组必须要围绕六边形交替，就像上面的瓷砖一样？什么还需要其他条件吗？
总结
我们已经根据传递函数定义了螺旋相似平铺一组复数乘法。在确定了三种可能性之后瓷砖的退化形式（嵌套环，有限多无限楔子和无限多的无限条）其余螺旋瓷砖的瓷砖组合等效于四边形在顶点处与四个相交，或六边形在顶点与三个相交在顶点处。这些平铺是通过应用具有一定限制的周期平铺的指数映射平移对称的晶格。最后，我们开始了四边形和六边形的初步分类形成螺旋瓷砖。
