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几何和物理中一些非线性偏微分方程的隐凸性

亚恩·布雷尼尔
CNRS，尼斯大学，Dép。法国尼斯，06108，Parc Valrose，de Mathématiques
brenier@math.unice.fr

非线性偏微分的一些专家存在偏见方程与微分几何：凸分析是一个很好的理论，但也是刻板地解决他们领域中一些最有趣和最具挑战性的问题。凸分析主要涉及椭圆和抛物型变分方程原点，可以显示合适的凸势并显示为最小化（静态或动态）。线性椭圆方程的Dirichlet原理是原型。
例如，双曲偏微分方程似乎无法进行凸分析，因为它们是通常由绝对非凸的变分原理导出。（然而，凸性在所谓的熵条件中起着重要作用。）另外，椭圆具有变分公式的系统（例如在弹性理论中）通常涉及远离凸性的结构条件（如哈达玛的“秩一”条件）。（然而，凸性通常可以恢复，例如通过多凸的概念，或通过各种“放松”方法。）
本文的目的是展示一些非线性偏微分方程的例子（主要是强几何特征），其中有一个隐藏的凸结构。这不仅好奇的问题。一旦凸结构未被揭示，鲁棒存在性和对于非常一般的数据，可以意外地获得唯一性结果。当然，像往常一样，规律性问题作为一个艰难的后处理过程遗留下来，但至少是存在性和唯一性问题结果是在一个大框架中获得的。

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