摘要
我们考虑由周长2π2\pi的光滑闭合曲线限定的单连通平面域Ω的Dirichlet-to-Neumann算子的zeta函数ζΩ\zeta_{\Omega}。我们将差异命名为ζΩ-ζD\zeta{\Omega}-\zeta_{\mathbb{D}},它是域Ω的归一化Steklov zeta函数,其中𝔻表示闭合单位圆盘。我们证明了(ζΩ-ζD)′(0)≥0(\zeta{\Omega}-\zeta_{\mathbb{D}})^{\prime\prime}(0)\geq0具有等式当且仅当Ω是圆盘。我们还提供了一个初等证明,对于满足s≤-1s\leq-1的固定实数𝑠,当且仅当Ω是圆盘时,估计(ζΩ-ζD)′′≥0(\zeta_{\Omega}-\zeta_{\mathbb{D}})^{prime\prime}(s)\geq0保持相等。然后,我们给出了靠近单位圆盘的域Ω的例子,其中该估计未能扩展到区间(0,2)(0,2)。与之前工作相关的其他计算也在文本的剩余部分中详细说明。