摘要
本文考虑线性化Korteweg–de Vries(KdV)方程ut+uxxx+(c(x)u)x=0{u{t}+u{xxx}+(c){g(t):=u_{x}(0,t)},t∈(0{t\in(0,t)}在边界x=0{x=0}处作为可用的测量输出。将反问题表示为正则化Tikhonov泛函α(c)=12‖ux(0,1;c)-g‖L2(0,T)2+α2‖c′‖L2(0,1)2{mathcal的最小问题{日本}_{\alpha}(c)=\frac{1}{2}u{x}(0,\cdot\,;c)-g\|^{2}_{L^{2}(0,T)}+%\frac{\alpha}{2}\|c^{\prime}\|^{2}_{L^{2}(0,1)}}与Sobolev范数。基于直接问题和伴随问题的弱解和正则弱解的先验估计,证明了输入输出算子是紧的,这表明了反问题的适定性。然后证明了Tikhonov泛函的Fréchet可微性和Fráchet梯度的Lipschitz连续性。结果表明,当泛函来自类C1,1(ℳ){C^{1,1}(\mathcal{M})}时,最后的结果允许我们使用梯度方法的一个重要优点。在最后一部分中,正则化Tikhonov泛函α(c){mathcal最小问题解的存在性{日本}_证明了{\alpha}(c)}。