摘要
本文研究了Hilbert空间x=y=L2(0,1)中线性算子方程Ax=y,x∈x,y∈y的适定性,其中A=MóJ是一个紧算子,它可以分解为简单的积分算子J,具有众所周知的奇异值衰减率和乘数函数M确定的乘法算子M。例如,对于非线性算子方程F(x)=y和正向算子F=N或J,其中N是Nemytskii算子,就会出现这种情况。然后通过形式为F'(x0)=MóJ的Féchet导数,研究了非线性方程在F域x0点的局部适定性。我们证明了这种乘法算子M映射在L2(0,1)中的限制影响。如果乘数函数m为零,那么确定不适定性就不容易了。我们将调查这种情况,并提供分析工具及其局限性。对于本质为零的幂型和指数型乘法器函数,我们将通过几种数值方法证明内射乘法算子的无界逆不影响局部适定性。我们提供了一个猜想,并通过一些数值研究进行了验证,即这些乘法算子如何影响a=MóJ的奇异值。最后我们分析了这些乘法算子M对Tikhonov正则化可能性和相应收敛速度的影响。我们研究了近似源条件在线性和非线性不适定算子方程的Tikhonov正则化方法中的作用。基于对近似源条件的研究,我们指出只有m的积分而不是乘数函数在零点附近的衰减决定了正则解的收敛性。