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得到许可的 未经许可 需要身份验证 发布人:德古意特出版社 2023年8月1日

从柯西数据集确定热方程的时间相关系数时的Hölder稳定性估计

  • 伊门·拉萨斯 ORCID标志 电子邮件徽标

摘要

在本文中,我们从柯西数据集的知识出发,讨论了确定对流扩散方程中出现的含时标量势和矢量势的稳定性结果。我们证明了Hölder型稳定性估计。这项工作中使用的关键工具是几何光学解决方案。

引理的一个证明2.5

引理的证明2.5

定义空间

T型 = { z(z) C类 1 ( 0 T型 ; C类 0 ( Ω ) ) : z(z) ( T型 x个 ) = 0 }

我们考虑子空间 𝒜 T型 属于 2 ( 0 T型 ; H(H) λ - 1 ( n个 ) ) 由定义 𝒜 T型 = { 𝒫 φ * z(z) : z(z) T型 } 然后让 v(v) 2 ( ) 从今往后, 表示中的标量积 2 ( n个 + 1 ) 我们考虑线性算子 关于线性子空间 𝒜 T型 属于 2 ( 0 T型 ; H(H) λ - 1 ( n个 ) ) 如下:

( 𝒫 φ * z(z) ) = z(z) v(v)

按引理2.3

(A.1) | ( 𝒫 φ * z(z) ) | z(z) 2 ( ) v(v) 2 ( ) C类 v(v) 2 ( ) 𝒫 φ * z(z) 2 ( 0 T型 ; H(H) λ - 1 ( n个 ) )

持有 z(z) C类 1 ( 0 T型 ; C类 0 ( Ω ) ) 令人满意的 z(z) ( T型 x个 ) = 0

我们推断 C类 v(v) 2 ( ) .因此 在子空间中是连续的 𝒜 T型 希尔伯特空间 2 ( 0 T型 ; H(H) λ - 1 ( n个 ) ) 因此,使用Hahn–Banach定理,我们可以扩展 线性函数,我们也表示为 ,对空间具有相同的规范 2 ( 0 T型 ; H(H) λ - 1 ( n个 ) ) .根据Riesz表示定理,有一个独特的解决方案 u个 2 ( 0 T型 ; H(H) λ 1 ( n个 ) ) 这样的话 ( (f) ) = (f) u个 对于 (f) 2 ( 0 T型 ; H(H) λ - 1 ( n个 ) ) ,使用

(A.2) u个 2 ( 0 T型 ; H(H) λ 1 ( n个 ) ) C类 v(v) 2 ( )

选择 (f) = 𝒫 φ * z(z) ,我们获得

(A.3) ( 𝒫 φ * z(z) ) = 𝒫 φ * z(z) u个 = z(z) 𝒫 φ u个 = z(z) v(v)

也就是说, 𝒫 φ u个 = v(v)

v(v) 2 ( ) u个 2 ( 0 T型 H(H) 1 ( Ω ) ) 使用表达式 𝒫 φ 我们推断 u个 2 ( 0 T型 ; H(H) - 1 ( Ω ) ) 然后

u个 H(H) 1 ( 0 T型 ; H(H) - 1 ( Ω ) ) 2 ( 0 T型 ; H(H) 1 ( Ω ) )

另一方面,来自(答3)我们有

𝒫 φ * z(z) u个 𝑑 x个 𝑑 = z(z) v(v) 𝑑 x个 𝑑

𝒫 φ u个 = v(v) ,我们有

𝒫 φ * z(z) u个 𝑑 x个 𝑑 = z(z) 𝒫 φ u个 𝑑 x个 𝑑

通过分部积分,我们得到

Ω u个 ( 0 x个 ) z(z) ( 0 x个 ) 𝑑 x个 = 0 ( x个 )

为每个保留 z(z) C类 1 ( 0 T型 ; C类 0 ( Ω ) ) 这样的话 z(z) ( T型 x个 ) = 0 因此,我们得出结论: u个 ( 0 x个 ) = 0 单位为Ω。

致谢

作者感谢Mourad Bellassoude和Yavar Kian对这个问题的讨论和有益的评论,这有助于改进本文。

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收到:2021-02-10
修订过的:2022-07-25
认可的:2023-06-09
在线发布:2023-08-01
印刷出版:2024-04-01

©2023 Walter de Gruyter GmbH,柏林/波士顿

于24年6月6日从下载https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/jiip-2021-0013/html
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