整数序列杂志，第4卷（2001年），第01.1.3条

高度k无峰值的堤坝路径

保罗·皮尔特和文金·沃恩
数学系
哈沃德大学
美国华盛顿特区，20059

电子邮件地址：pp@scs.howard.edu,wwoan@howard.edu

摘要：长度为2n的Dyck路径是从（0,0）到（2n，0），仅使用步骤（1,1）（东北）和（1，-1）（东南部）。此外，Dyck路径不会低于x轴。上的峰值Dyck路径是一个节点，其前面紧跟着东北方向的台阶紧接着是东南方向的台阶。峰值位于高度k，如果y坐标为k。设G_k（x）为数字的生成函数长度为2n的Dyck路径，在高度k处无峰值，k>=1。它已知G_1（x）是精细数的生成函数（顺序A000957号).在本文中，我们推导了递推公式

有趣的是，在k=2的情况下，我们得到G_ 2（x）=1+xC（x），其中C（x）是无处不在的加泰罗尼亚数字的生成函数(A000108号).这意味着长度为2n+2，n>=0的Dyck路径数，高度2处没有峰值的是加泰罗尼亚数cn=1/（n+1）二项式（2n，n）。我们还为这最后一个提供了一个组合证明通过在所有长度的Dyck路径集之间引入双射2n+2，高度2无峰值，长度2n的所有Dyck路径集。

关键词：戴克路径，加泰罗尼亚数，精细数，生成函数。

（与序列有关A000108号,A000957号,A059019美元,A059027号.)