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本页提供了对“有史以来最大的数学证明”的结果、证明和工具的访问2016年国家税务总局纸张用立方和Conquer求解和验证布尔勾股三元组问题通过Marijn J.H.赫勒,奥利弗·库尔曼、和维克托·马雷克（最佳论文奖）。A类预印本arXiv上提供。

公众介绍

以下问题称为布尔勾股三元组问题，是一个典型的示例拉姆齐理论,20世纪80年代，罗纳德·格雷厄姆（Ronald Graham）曾问过他，下文对此进行了描述。

首先定义：A类毕达哥拉斯三元组是三个自然数1 <=一<=b条<=c（c），因此一2+b条2=c（c）2持有。例如3，4，5是这样一个三元组，因为32+ 42= 9 + 16 = 25 = 52.虽然2、3、4不是这样的三元组，因为22+3个2=4+9=13和42= 16.我们注意到这里只考虑自然数，因此2、3不能扩展到毕达哥拉斯三元组（因为13不是某个整数的平方）。

现在的问题是：我们能给自然数1、2、3…上色吗。。。有两种颜色，比如蓝色和红色，这样就没有毕达哥拉斯的单色三重？换句话说，是否可以给每个自然数颜色为蓝色或红色，因此对于每一个毕达哥拉斯的三元组一,b条,c（c）至少什么之中的一个一,b条,c（c）是蓝色的，并且至少有一个一,b条,c（c）是红色的吗？我们证明：答案是否定的。这更容易积极地表达：每当我们给自然数上色时蓝色或红色，必须存在一个单色三元组（一个蓝色三元组或一个红色三倍）。

更准确地说，我们证明了使用“双色”来着色蓝色或红色：1） 然而，我们将数字1、……、。。。，7825，必须存在单色毕达哥拉斯三联。2） 虽然存在一个双色的1。。。，7824，因此没有毕达哥拉斯三元组是单色的。第2部分）相对简单。第1部分）真的很难——每个数字从1。。。，7825有两种可能的颜色，所以总共有27825在某种意义上，所有可能的颜色都需要考虑，需要排除。什么是27825？约为3.63*102355,即具有2356位小数的数字。中的粒子数宇宙至多为10100，一个只有100个小数位（in比较）。

现在让我们表演真实的强力攻击,一个接一个地经历所有的可能性：即使我们可以在宇宙中的每个粒子上放置一台超级计算机，他们将在整个生命周期中完美合作宇宙——到目前为止还不够。即使在每个粒子中放置一个完整的宇宙。即使宇宙内部的每个粒子再次成为一个宇宙，每个粒子都携带一台超级计算机，到目前为止还不够。希望你明白我们得到的100美元不会支付能源账单。

幸好来了SAT求解去营救，这对这些任务来说真的很好可以解决一些这样的任务还有更可怕的任务。我们的“蛮理性”方法解决了问题达到200 TB--这个有史以来最大的数学证明虽然我们必须强调这是在没办法保证，可能要花上好长一段时间！SAT解决使用命题逻辑,以特殊形式CNF公司（合取范式）。幸运的是，在这种情况下，很容易用这种形式表示我们的问题。

无勾股三元组的极值分割

编码

将{1，…，n}划分为两组的SAT编码这样就没有集合包含毕达哥拉斯三元组。

  • Ptn-编码,生成对布尔勾股三元组问题进行编码的公式。Ptn-编码有一个强制参数n个这限制了生成的三元组：只有所有三元组(一,b条,c（c）)与一<=b条<=c（c）<=n个.
  • 平原7824.cnf（最高出现变量：7820）
  • 平原7825立方英尺

简化公式

阻塞子句消除（BCE）是一种SAT预处理技术，可以显著地减少原始编码。BCE得出以下公式：

极值分区

下面显示了极值划分的可视化，即将{1，…，7824}划分为两个集合，以便没有集合具有毕达哥拉斯三人组。图像由三种颜色组成：红细胞在一组中，而蓝色单元格在另一组中。白细胞不受约束：它们可以在两个集合中，而不引入毕达哥拉斯三联。

骨干

变量出现在公式的主干中，如果在所有解决方案中分配给相同的真值。The backbone of平原7824.cnf对称破坏后（即添加单位子句“2520 0”）为主干7824.cnf（336 kb，包括公式）。

验证零件

原始配方

证明从一个命题公式开始，该公式对使用上述编码的毕达哥拉斯三元组问题，使用的变量偏移量为10000，允许对称破坏技术。这个公式（407 kb）表达分割{10001，….，17825}分为两组，其中一组没有毕达哥拉斯三元组。以下是对三个证明部分的简短描述，它们可以只需通过串联进行合并。

转换证明（第一部分）

原始公式被转换，在证明的第一部分中表示变压器拖动（2 mb），使用阻塞子句消除和对称破缺来优化公式，结果在里面转换的cnf（262 kb）。这个变形公式是相等的到bce7825.cnf公司用一个额外的unit子句来打破集合的对称性。

立方体证明概述（第二部分）

对于分区中的每个立方体，汇总的立方体证明立方体.drat（127 mb），包含一个子句是多维数据集的否定。在校样中添加页眉导致无法满足公式立方.cnf（127 mb），与百万立方厘米, 但随着所有标志的翻转）。

同义反复性质的证明（第三部分）

证明的最后一部分验证了立方体分区覆盖整个搜索空间。多维数据集分区可以是将多维数据集视为叶节点的二进制搜索树这棵树。对于此树的每个内部节点重言式证明重言式杜拉特（3.65亿）包含其两个子级的解决方案。证明终止带有空子句。

立方体

顶层分区

我们对转换后的公式使用两个级别。第一层由一百万个立方体组成，百万立方厘米（129 mb），用inccnf格式.

二级分区

分区的第二级的多维数据集文件位于TACC公司. 每个tar文件由1000个压缩多维数据集文件组成。为了生成DRAT证明文件，需要以下工具：

  • 多维数据集文件已压缩。要解压缩多维数据集文件，首先在存档中的*.bz2文件。第二步，使用立方解码。c（c），可以简单地使用gcc立方解码.c-O2-o立方解码.
  • 葡萄糖3.0的改良版本，称为葡萄糖,它接受inccnf文件作为输入。

日志文件

这个结果（71mb）用于解决和验证第二级使用范围{1..7824}的子问题。请注意，只有一个立方体（343864）是SATISFIABLE。这个列显示以下信息：
  1. 立方体数；
  2. 立方体长度；
  3. 立方体（分割）时间；
  4. 征服时间；
  5. 结果；
  6. 验证结果；
  7. 验证时间；和
  8. DRAT证明的尺寸
    9. .

在媒体中

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证明示例

考虑避免方程a+b=c与a<b<c的单色解的问题，而用两种颜色给自然数着色，比如红色和蓝色。这种模式不能无限期地避免。最小的反例是给数字{1，…，9}着色。这个问题可以编码使用9个布尔变量x_i输入SAT。将x_i赋值为true意味着将数字i放入红色分区，而将xi赋值为false意味着将数字i放在蓝色分区中。这个DIMACS公司这个问题的编码如下所示。

电话：9 32
  1  2  3 0     -1 -2 -3 0
  1  3  4 0     -1 -3 -4 0
  1  4  5 0     -1 -4 -5 0
  2  3  5 0     -2 -3 -5 0
  1  5  6 0     -1 -5 -6 0
  2  4  6 0     -2 -4 -6 0
1 6 7 0-1-6-7 0
  2  5  7 0     -2 -5 -7 0
  3  4  7 0     -3 -4 -7 0
  1  7  8 0     -1 -7 -8 0
  2  6  8 0     -2 -6 -8 0
3 5 8 0-3-5-8 0
  1  8  9 0     -1 -8 -9 0
  2  7  9 0     -2 -7 -9 0
  3  6  9 0     -3 -6 -9 0
  4  5  9 0     -4 -5 -9 0

因为这个问题有9个布尔变量，所以有512个可能的分区。然而，反驳证据，即。，对所有患者提供反例的证据仅包含四种模式（大于100倍小于100倍）。这些模式在下面显示为DRAT证明，该格式用于表示毕达哥拉斯三元组问题的证明。

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