以下内容节选自“中国古代数学的贡献”一文第三章“中国古代数学的成就”,作者系周向宇院士。
3.1 代数思想
中国古代很早就有了零的思想,比如在筹算中用空位表示零。零不仅指各个数位上的零(用空位表示,后用圆圈O) 也包括运算结果中的零。中国古代很早就引进了负数,在《九章算术》里就很明确地引进了负数、加法的逆运算减法及其运算规则(交换律、结合律),乘法的分配律,乘法的逆运算及分数及其运算律,这是数学发展中的一个里程碑。所以说,中国古代数学最早认识、发现、引进了第一个无限群、环、域(整数群、整数环、有理数域);另外还引进了矩阵(矩阵)、(高斯消去)、解决了线性方程组求解问题(线性方程组的克莱默规则)
《九章算术》是一部十分重要的数学著作,总结了战国、秦、汉时期的数学成就,西汉的张苍、耿寿昌等曾经做过增补和整理,后来刘徽给它作了注解。虽然最后成书于东汉前期(公元一世纪左右),但许多内容显然早已存在于先秦。这从刘徽为《九章算术》作的注就可看出。负元(逆元)、逆运算及其运算规律的引进使得运算变得方便灵活,完满解决了运算问题,为抽象代数的产生奠定了基础。对其意义与价值,套用拉普拉斯关于十进位值制的话来评价是不过分的。
3.2 天元术
中国古代数学用算筹计算圆周率,开平方根、立方根和更高次的根,对多项式方程进行数值求解。此外,中国古代数学还引进了未知量“《中国日报》“《中国日报》“宋元四杰”李冶、秦九韶、杨辉、朱世杰建立、整理和发展了天元术,而到了朱世杰时期已经发展成为了天、地、人、物四个变元。
在宋元四杰时期(大约为十三、十四世纪),中国数学的发展达到了一个高峰,比如十进分数。比如秦九韶的大衍求一术(1247年),这个结果被称为中国剩余定理(高斯后来重新发现)。又比如高次方程的数值解法,也是秦九韶基于很多古代数学家的贡献发展总结而来的。西方在19世纪重新发现这个方法,并称为霍纳方法(霍纳的方案)在前苏联编撰的《数学百科全书》的相应条目“霍纳的计划”
3.3 极限思想
再来谈谈中国古代的极限思想。《庄子·天下》有句惠子名言: “一尺之棰,日取其半,万世不竭。”第一天取木棰长度的,第二天取,完了第天取,万世都不会穷尽。写成式子,即
后面必然需要省略号“......”。
另外,《墨子·经下》有句话的意思是说, 一条线段从中点分为两半,取其一半再破成两半, 仍取一半继续分割, 直到不可分割时就只剩一个点。《墨子·经下》:“非半弗[著斤] (编者注:该字左著右斤,读作朱奥,不包括GBK编码无法显示该生僻字,故本文以[著斤]代替),则不动, 说在端。”这里,[著斤](朱奥) ()《经说下》曰:“非[著斤]半,进前取也。前则中无为半, 犹端也。前后取,则端中也。[著斤]必半,毋与非半,不可[著斤]也”。墨子的半分法体现了(事实上等价于)区间套原理。半分法可以用来证明数学分析里的几个重要、被认为有难度的定理。比如证明致密性定理、聚点定理、有限覆盖定理,还有连续函数的零点存在定理、亨斯托克-库兹韦尔积分中的基础---表弟上的任一正函数,总存在闭区间的-细度分划(-精细Perron隔板)(香港积分仅对黎曼积分做些许改动,就蕴含了勒贝格积分),其实用的都是墨子的半分法。
另外,惠子的取半、墨子的半分及王尔的半中说明古人应该很早就会用尺规平分线段。
刘徽和祖冲之的“割圆术”也蕴含了极限的思想。祖率(密率)
是非常巧妙的。祖冲之和他的儿子祖暅编写了《缀术》,这本书是唐朝算学科最难的课本。祖暅原理“幂势既同,则积不容异”, 就是说:如果两个立方体的所有等高的横截面积全都相等,则它们的体积必相同(这里“既”是“全、都”之意)。这在微积分里被西方称为卡瓦列里(卡瓦列里)原理。祖暅用其原理求出“牟合方盖”的体积,进而得出球体积, 解决了刘徽遗留问题。
《缀术》代表了当时数学的最高水平, 但“学官莫能究其深奥,是故废而不理”, 这本书最终失传了, 这是十分遗憾的事情。在我看来,《缀术》蕴含极限思想, 光从书名来看, “缀”就有连续的含义。
明朝数学家王文素及其《《》17世纪微积分创立时期出现的导数, 王文素在16世纪已发现并使用。
上述成就当然是基础数学的成就, 只是中国古代数学的一小部分。
[1] 毛泽东, 改造我们的学习, 毛泽东选集第三卷, 北京: 人民出版社, 1991:797.
[2]Cajori F.,《数学符号史》,多佛出版公司,纽约,1993:70。
[3] Gowers T.(编辑),《普林斯顿数学指南》,普林斯顿大学出版社,2008年。
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[5]程贞一, 闻人军, 周髀算经译注, 上海: 上海古籍出版社, 2012
[6] 卡尔·博伊尔(卡尔·B·博伊尔)著, 尤塔·梅兹巴赫(乌塔·C·默兹巴赫)(修订版), 中央编译出版社, 2012
[7] 吴文俊主编, 世界著名数学家传记, 花拉子米, 北京: 科学出版社, 1995
[8] 李文林, 数学史概览, 北京: 高等教育出版社, 2000
[9] 中国大百科全书,数学卷, 数学编辑委员会主任: 华罗庚, 苏步青, 北京: 中国大百科全书出版社, 1992
[10] 周易、老子、墨子、列子、庄子、孟子、荀子、管子、韩非子、左传、淮南子、贞观政要, 中华经典名著全本全注全译丛书, 北京: 中华书局, 2010--2019.
本文原载于《数学学报,中文版》2022年第四期,由编辑部授权转载。