拉马努扬总和

定理5

哪里，

具有

和

在这里是上升阶乘：

定理5证明的一些要素，详见[11]，如下所示。我们的第一步是将（7.2）写为后面的总和更换E类通过K（K）和使用（5.7）。然后使用身份克劳森公式，它允许人们写出超几何函数的平方在里面广义超几何的项也就是说，对所有人来说k个一个有

即使使用定理5，我们的工作也不完整。我们还需要计算

对于N=58考虑到拉马努扬[26]和韦伯[38]有计算但对我们来说，用这种方法进行验证比较容易它仍然需要一种易于处理的形式事实上，更复杂存在用于计算的数论技术（这些数字被称为奇异模). 对此类技术的描述，包括重建Ramanujan如何计算各种奇异模他在[26]由Watson在一系列论文开始于[36]; 并给出了一些最近的推导英寸[11]和[30]. 对定理5的检验表明系列1中的常数由以下公式确定.了解是相当于确定数字1103是正确的。

人们不太清楚如何明确地计算以代数形式，除非使用蛮力，并且需要相当大的蛮力；但是从（7.3）中很容易得到任何合理精度的数值计算1103出现！鼓励读者尝试使用16位数字。这大概就是拉马努詹所观察到的。讽刺的是，当Gosper计算出17百万位数使用Sum 1，他没有数学证明Sum 1实际上收敛到他比较了根据Kanada等人之前的计算结果进行计算。这证明总和1对1000万位也提供了第一个完整的证明那个如上述广告所示。妙手回春——计算随着时间的推移，这个数字应该会证明自己。

大致如下。人们对精确的代数性质有足够的了解的组件和如果正数）是不正确的，在一个数字达到300万之前金额一定已不再相符注意Sum 1的组成部分与58度方程的解有关，但实际上没有非理性仍然存在于最后的包装中。再一次，这里很好拉马努扬大概不知道的数理原因，为什么会这样（58至少是一个很好的候选数字）。拉马努扬的对这种奇妙的简化的理解仍然很模糊。拉马努扬[26]提供了14个其他系列，其他一些几乎与总和1一样壮观——人们确实可以得到一些更壮观的东西相关系列。

[1]（添加在证据中）由于博威，许多相关系列博尔文、丘德诺夫斯基和丘德诺夫斯基出现在拉马努詹再次访问，学术出版社，1988年。

他几乎没有解释他们创世纪，只说有“相应的理论”，所以标准他们遵循的理论（如第5节所述）。哈代，引用Mordell指出，“不幸的是，Ramanujan没有开发出相应的理论”。通过与上述方法类似的方法级数可以从经典理论导出[11]. 又是这样不清楚拉马努扬给他们带来了什么，但一定在某种程度上与我们的不同。

最后我们写下另一个非常级数Ramanujan的也源于相同的一般理论体系。