基思数字 基思

 

基思号码是n个-数字整数N个具有以下属性：如果是类斐波那契数列（in序列中的每个项都是n个之前的术语），第一个n个条款是数字的十进制数字N个，然后N个它本身作为序列中的一个术语出现。例如，197是基思数，因为它生成序列

1, 9, 7, 17, 33, 57, 107, 197, ...

基思的号码列在尼尔·斯隆的 在线整数序列百科全书（参见序列#7629）和Wolfram数学世界（只需搜索“Keith number”）。我在一篇论文中介绍了他们1987年（在那里他们被称为repfigit数字或代表人物)事实证明，它们很受欢迎，通过其他作者，尤其是一系列论文1994年出现在第26卷第3期第页，共页娱乐数学.

这些数字令人不安的原因有几个。首先，他们很难找到，因为找到了基思的所有数字具有n个数字等价于求解一组线性丢番图方程n个变量。一般来说，解决丢番图方程与求解n个-元素背包问题，这是NP-完成。这种情况可能是特定的丢番图这里涉及的方程可以用某种技术求解，而不是NP-hard，但还不知道这种技术。因此，现有的算法使用查找所有基思数n个数字 有一个运行时间增长速度超过线性增长n个增加。

这些数字在某种程度上提醒了他们整数中不可预测的外观。然而，它们更为罕见与素数相比，每10次方之间只出现少数。

以下是小于10的基思数字的完整列表²⁹以下为：

数字数量	基思数字
2	14 19 28 47 61 75
三	197 742
4	1104 1537 22082580 3684 4788 7385 7647 7909
5	31331 34285 3434855604 62662 86935 93993
6	120284 129106147640 156146 174680 183186 298320 355419 694280 925993
7	1084051 7913837
8	11436171 3344575544121607
9	129572008251133297
10	（无）
11	2476928641196189170155
12	171570159070202366307758 239143607789 296658839738
13	19341975065558756963649152
14	4352099979874774596893730427 97295849958669
15	120984833091531270585509032586 754788753590897
16	36213440880740413756915124022254 4362827422508274
17	1181266538888667214508137312404344 16402582054271374 69953250322018194 73583709853303061
18	119115440241433462166308721919462318 301273478581322148
19	13623537772900811763389041747878384662 5710594497265802190 5776750370944624064 6195637556095764016
20	12763314479461384279 27847652577905793413 45419266414495601903
21	855191324330802397989
22	7657230882259548723593
23	26842994422637112523337  36899277593852609997403 61333853602129819189668
24	2291464131365855558461227
25	9838678687915198599200604
26	18354972585225358067718266 19876234926457288511947945 98938191214220718050301312
27	133118411174059688391045955 153669354455482560987178342 154140275428339949899922650 154677881401007799974564336 295768237361291708645227474 956633720464114515890318410 988242310393860390066911414
28	9493976840390265868522067200
29	41796205765147426974704791528 70267375510207885242218837404

这些数字高达15位数，发布在上述问题J.Rec.数学.我发现了16-，17-，1998年9月/10月，18位和19位标本使用稍微改进的穷举搜索方案。这20位及更长的数字是2004年由沃尔夫拉姆的丹尼尔·利希布劳发现的采用强大方法进行研究，包括使用整数线性规划求解相关丢番图方程。

显示的数字红色在上表中，由D.Lichtblau于2004年发现，最终回答了我在1998年，这是为了找到最小的泛指的基思数（包含每个数字0到9至少一次）。

的顺序首要的基思数字开头：

19, 47, 61, 197, 1084051, 74596893730427, ...

请注意，所有具有25位或更多数字的字符都以数字（0,2,4,6,8或5），它立即告诉我们它们不是质数。  目前尚不清楚这是否是一个长期趋势-如果是，那么我们已经发现已经是最大的素数基思数了。

基思的数字d日数字（用于d日=2, 3, ..., 29）是

6, 2, 9, 7, 10, 2, 3, 2, 0, 2, 4, 2, 3,3, 3, 5, 3, 5, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 3, 7, 2, 1...

总共94人，不足10人²⁹.

关于这些数字，还有许多问题没有得到回答，例如：

1. 基思数是无限的吗？启发式论证和上面的数字证据强烈建议答案是“是的”——事实上，我们希望找到大致（9/10）日志₂10（约3） 每10次方之间。但确实有仍然没有证据证明它们的数量是无限的。
2. 定义一个集群基思数字集两个或多个（均具有相同数量的数字），其中所有数字都是整数集合中最小值的倍数。只有三个已知簇：（14，28），（1104，2208），以及非凡的三名成员-（31331、62662、93993）。问题：Keith簇的数量是有限的还是无限？我们不仅猜测它是有限的，但我们推测上述三个簇是唯一的。但我们不知道如何证明这一点。
3. 是n个=10是的唯一位数哪个没有基思号码？（我们初步认为没有，但可能需要一段时间才能找到另一个。）

既然我们怀疑它们会永远存在查找下一个详尽列表中的此类数字，或孤立的更大的例子，总是保持诱人的一个。

最后，请注意，这些可以推广，因此我们可以基数计算b条.我有一个未发表的Kenneth Fan的手稿，详细说明了如何构建全部的基思数（其中有无穷多个）基数2；因此，实际上，二进制文件的问题已经解决案例。可能基数2是唯一的“简单”然而，基数-它们在基数10中的属性当然保持不变相当神秘。