椭圆积分的主要参考文献是：
M.Abramowitz和I.A.Stegun（编辑）（1964年）《数学手册》具有公式、图形和数学表的函数，国家美国政府印刷标准局应用数学系列华盛顿特区办公室。
Mathworld还包含许多有用的背景信息：
同样如此维基百科椭圆积分.
除非另有说明，否则所有变量均为实数。
称为椭圆积分，如果R（吨，秒）是理性的的函数吨和秒、和秒2是中的三次或四次多项式吨.
椭圆积分通常不能用初等形式表示功能。然而，勒让德证明了所有椭圆积分都可以是简化为以下三种标准形式：
第一类椭圆积分（勒让德形式）
第二类椭圆积分（勒让德形式）
第三类椭圆积分（勒让德形式）
哪里
![[注]](../../../../../../../../doc/html/images/note.png) |
注释 |
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φ称为振幅。
k个称为模量。
α称为模角。
n个称为特征。
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![[注意]](../../../../../../../../doc/html/images/caution.png) |
注意安全 |
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也许椭圆积分比其他任何特殊函数都重要以各种不同的方式表达。特别是决赛参数k个（模量）可以用模角α或参数米。这些是相关的签署人：
k=sinα
m=k2=正弦2α
因此，第三类积分（例如）可以表示为作为其中之一：
∏（n，φ，k）
∏（n，φ\α）
π（n，φ|m）
为了使事情进一步复杂化，一些文本引用了补充参数m的，或1-m，其中：
1-m=1-k2=cos2α
此实现使用k个贯穿：此匹配的要求技术C++库扩展报告。但是，你应该是额外的使用这些函数时要小心！
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什么时候？φ=π/2，椭圆积分被称为完成.
第一类完全椭圆积分（勒让德形式）
第二类完全椭圆积分（勒让德形式）
第三类完全椭圆积分（勒让德形式）
卡尔森[卡尔森77] [卡尔森78]给出了另一个定义椭圆积分的标准形式：
第一类卡尔森椭圆积分
哪里x个,年,z（z）是非负的，其中最多一个可能为零。
第二类卡尔森椭圆积分
哪里x个,年是非负的，在其中大多数可能为零，并且z（z）必须为正数。
第三类卡尔森椭圆积分
哪里x个,年,z（z）是非负的，其中最多一个可能为零，并且第页必须为非零。
卡尔森退化椭圆积分
哪里x个非负且年非零。
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注释 |
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R（右）C类（x，y）=RF类（x，y，y）
R（右）D类（x，y，z）=RJ型（x，y，z，z）
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卡尔森于年证明[卡尔森78]那个
椭圆积分的勒让德形式和卡尔森形式由方程：
特别地，
计算椭圆积分的传统方法是高斯和Landen变换，二次收敛，适用于第一类和第二类椭圆积分。不幸的是，他们遭受了痛苦第三类的有效数字丢失。卡尔森算法[卡尔森79] [卡尔森78],相比之下，为所有三种椭圆提供了统一的方法具有满意精度的积分。
特别值得一提的是：
A.M.勒让德，函数椭圆与积分特征Euleriennes公司，第1卷。巴黎（1825年）。
然而，主要参考文献是：
- M.Abramowitz和I.A.Stegun（编辑）（1964年）《数学手册》具有公式、图形和数学表的函数，国家局《标准应用数学丛书》，美国政府印刷局，华盛顿特区。
- 不列颠哥伦比亚省卡尔森市，用重复法计算椭圆积分,《数值数学》，第33卷，第1卷（1979年）。
- B.C.卡尔森，第一类椭圆积分,SIAM数学分析杂志，第8231卷（1977年）。
- 不列颠哥伦比亚省卡尔森市，椭圆积分三个定理的简短证明,SIAM数学分析杂志，第9524卷（1978年）。
- B.C.Carlson和E.M.Notis，算法577：算法不完全椭圆积分、ACM数学事务《软件》，第7398卷（1981年）。
- B.C.卡尔森，关于椭圆积分和函数的计算.数学杂志。和物理。，44（1965年），第36-51页。
- B.C.卡尔森，第二类椭圆积分表友善的。数学。压缩机。，49（1987），第595-606页。（补编，同上。，第S13-S17页）
- B.C.卡尔森，第三类椭圆积分表.数学。压缩机。，51（1988），第267-280页。（补编，同上，第S1-S5页。）
- B.C.卡尔森，椭圆积分表：立方情形.数学。压缩机。，53（1989），第327-333页。
- B.C.卡尔森，椭圆积分表：一次二次因素。数学。压缩机。，56（1991），第267-280页。
- B.C.卡尔森，椭圆积分表：两个二次积分因素。数学。压缩机。，59（1992），第165-180页。
- B.C.卡尔森，数字的实或复椭圆积分的计算.《数值算法》，第10卷，第1期/1995年3月，第13-26页。
- B.C.Carlson和John L.Gustafson，渐进的对称椭圆积分的逼近、SIAM数学分析杂志，第25卷，第2期（1994年3月），288-303。
以下参考文献虽然与我们的实施没有直接关系，也可能感兴趣：
- R.Burlisch，椭圆积分的数值计算和椭圆函数。数字数学7，78-90。
- R.Burlisch，Bartky变换到不完备的推广第三类椭圆积分.数值数学13, 266-284.
- R.Burlisch，椭圆积分的数值计算和椭圆函数。三数字数学13，305-315。
- 福岛核电站和石崎核电站，数字的一般形式的不完全椭圆积分的计算。《天体力学和动力学天文学》，第59卷，第3/7月号，1994, 237-251.
