数学家的密室

--数论中未解决问题的挑战--

目录

新增内容（2009年7月22日）

第0章开场——为什么我对数论感兴趣。

第1章：4/n=1/a+1/b+1/c[D11]
第2章：方块由3个不同的数字组成[F24]
第三章：n=（x+y+z）（1/x+1/y+1/z）
第4章：n=x三+年三+z（z）三【D5】
第5章：重复小数[A3]
第6章：自然数的加性回文[F32]
第7章：科拉茨猜想[E16]
第八章：连分式和佩尔方程
第9章：友好号码[B4][B5]
第10章：同余数（同余）[D27]
第11章：数论算法[A3][B45][F10]
第12章：整数分解算法

附录1：WIFC（世界整数分解中心）
附录2：参考文献
附录3：如何加入保理化项目
附录4：Tomabechi的“ppmpqs.exe”基准
附录5:（新增！）素数表（接近2的素数n个, 10n个、析因、主要和复合）

[nn]表示理查德·盖伊，“数论中尚未解决的问题”第三版.

摘要

第1章：4/n=1/a+1/b+1/c（D11埃及分数）

  1. （部分内容仍用日语书写）

  2. 埃尔德斯和施特劳斯推测以下Diopantine方程

    4/n=1/a+1/b+1/c
    可以用正整数求解所有n<1。

  3. 我发现了如何从任意解构造参数化解。

    定理：

    让A、B、C进入N个是丢番图方程的解
    m/P=1/A+1/B+1/C，B=kP
    （A<B<C；m=4,5,6,7；P=素数；k∈N个)
    （注意：C总是可以被P整除）

    将a、b、c、d、e、f、c'、d'定义为，
    c：=B/P
    答：=mk-1
    b:=a-（P模块a）
    n：=（P+b）/a
    d：=cn-A
    e：=gcd（c，d）
    c’：=c/e
    d'：=d/e
    f:=ke/（bc-ad）
    然后，
    m/（an-b）=1/e（c'n-d'）+1/k
    和
    P=an-b
    A=e（c'n-d'）
    B=k（安-B）
    C=f（an-b）（C’n-d）
    如果只有C可以被P整除，然后还有另一种方法可以启发式地构造参数化解。
    该程序是在这里.
    这将有助于扩大搜索范围。

  4. m/P=1/A+1/B+1/C的所有溶液，m=4,5,6,7，P=素数小于100
    和导出的参数化解如所示，
    4/P=1/A+1/B+1/C：P=2..47,P=53..97
    5/P=1/A+1/B+1/C：P=2..47,P=53..97
    6/P=1/A+1/B+1/C：P=2..47,P=53..97
    7/P=1/A+1/B+1/C：P=2..47,P=53..97

第2章：方块由3个不同的数字组成（F24一些十进制数字问题）

  1. 日本数学家辛一松问证据或矛盾，除了繁琐的解决方案102个, 4*102个和9*102个,只有两个不同的十进制数字组成的完美平方数。已知最大的解决方案是

    816192= 6661661161.

  2. 我将这个问题的条件扩展为（I）3个不同的数字（ii）完全n次方，并发现了许多显著的参数化模式和零星的解决方案。
    零星模式的所有解决方案最多10个25对于非零模式
    最多10个23包括零在内的模式是在这里.

    1501674067666649999852=22550250055025025225200022000050000225（2008年4月7日）
    1490670655108730886732=22220990020022929092929022220290920900929（2008年4月7日）

    31802522547770395385022=10114004404014444004140001011401140404004（2008年4月28日）
    66749834797132300059622=4455540444454404544554554004500055455545444（2008年6月2日）
    30157752651590112301382=90949004499449044944400904449999999499044（2008年6月9日）

    449499949999999499999952=2020050205050000205050050005050005250000500000025（2008年10月31日）
    208327397238179751383622=4340030444003434434430443000043430333044043044（2008年10月31日）
    无限模式的所有解（参数化解）都是在这里.

  3. 有时第一个（最小的）解决方案会变得非常大。例如，

    056 : 22360814084166662=50000600650666660656065066555556（1997年5月4日）
    079 : 88191722853734972=777777 9979909999000700790009009（1997年5月5日）
    789 : 99493707779879172=989899788778798887897789997998889（1997年5月10日）
    019 : 436942788245669642512=190919000199900101110919009019911991001（1998年5月6日）

  4. 我搜索到以下范围，但找不到013和689;

    013 : 1024
    678 : 1025

  5. 更高权力的解决方案如下.
    我找不到完美的第7次方由3个不同的数字组成。

第三章：n=（x+y+z）（1/x+1/y+1/z）

  1. 用原始方法求abs（n）上述方程的整数解小于100。
    解决方案-100≤n≤100（通过穷举搜索）如下.

  2. 克雷莫纳mwrank解决方案

    溶液-500≤n≤-1
    溶液1≤n≤500
    现在您可以获得更大的解决方案，如
    n=-100：（x，y，z）=（445012553219887106322 663397965750）
    n=94：（x，y，z）=（571064，-1799160，79045681）

  3. 搜索方程的整数解x/y+y/z+z/x=n
    abs（n）按原始方式小于100。
    这里有解决方案-100≤n≤100（通过穷举搜索）.

  4. 克雷莫纳mwrank解决方案

    -100≤n≤-1的溶液
    1≤n≤100的溶液
    现在您可以获得更大的解决方案，如

    n=-48：（x，y，z）=（72072752816411426700，33132848506529596688，-2507227741462639305）
    n=62：（x，y，z）=（4467832378776170000，-51609086900999886977，278221158496143039700）

第4章：n=x三+年三+z（z）三（D5四个立方体的总和）

  1. 搜索n小于10000的上述方程的整数解。

  2. 解决方案是在这里.
    搜索范围现在是max{|x|，|y|，|z|}≤106.
    对于某些数字，搜索范围最大为1010甚至更远，
    丹·伯恩斯坦（Dan J.Bernstein）和诺姆·艾尔基斯（Noam D.Elkies）实现了这一目标。

  3. n=x的解三+年三+2赫兹三是在这里.
    搜索范围现在是max{|x|，|y|，|z|}≤106.
    Jean-Charles Meyrinac和Mike Oakes尝试达到最大值{|x|，|y|，|z|}≤4*106.

第5章：重复小数（A3梅森素数。声誉。费马数。k型素数n个+1)

  1. 引入重复小数（这不是一个未解决的问题）。

  2. 也指声誉分解
    （A3梅森素数。声誉。费马数。k型素数n个+1)    .

第6章：自然数的加性回文（F32 Conway的RATS和回文）

  1. （部分内容仍用日语书写）

  2. 几乎所有的nutual数在几次迭代后似乎都变成了回文数以与自身相反的顺序进行加法。

  3. 196还不知道它是否会变成回文。

  4. 还有一些数字经过多次迭代后将变成回文添加，但需要多次。例如，89要求24次迭代。
    已知的最大迭代次数是10000000525586206（232次）由找到赫尔穆特·波斯特.
    列出了其他示例在这里.

第7章：科拉茨猜想（E16 3x+1问题）

  1. 这是一个非常著名的未解决问题。
    对于n∈N个，将f（n）定义为，

    3n+1（n为奇数）
    n/2（n为偶数）。
    然后任意n（似乎）收敛到序列4 - 2 - 1.

  2. 我建议如何构造像4n+1这样明显收敛的方程。
    （4n+1-（12n+3）+1-3n+1，（3n+1）<（4n+1））
    通过使用这种方法，我们可以缩小搜索范围。
    显示比率在这里.

  3. 我还考虑了n和max（n）（f（n）的最大值）之间的关系。
    这张桌子是在这里.似乎存在常量秒（几乎等于2）这样

    最大值（n）≤n2+ε
    如果得到证明，它将是任意n的f（n）的上界，
    我们可以证明最初的问题（但似乎很难）。

    有关更多结果，请参阅托马斯·奥利维拉和席尔瓦的网站。
    3x+1猜想验证结果

第八章：连分式和佩尔方程

  1. 丢番图方程x个2-尼2=±1被称为Pell方程.
    有时x和y对某个n来说变大了。例如，

    2275282- 103 * 224192= 1
    88901822- 109 * 8515252= -1

  2. 我们可以用连续分式展开法求解佩尔方程。
    这里有一个程序。（这不是一个未解决的问题）。

  3. Pell方程的解表和连分式展开
    对于sqrt（n），此处为2≤n≤97.

第9章：友好的数字（B4友好号码，B5准同居号码或订婚号码）

  1. 最多搜索10对以下数字10.

    友好的数字
    拟可积数
    增强的友好数字.

第10章：同余数（D27同余数）

  1. （部分内容仍用日语书写）

  2. 如果n∈N个是直角三角形的面积值三角形各边的值以问，则n称为全等数或会合.
    如何构造n的解尚不清楚。

  3. 我展示了一些构造聚合溶液的方法。

  4. 聚合的解决方案多达1000个在这里并定位在这里。

第11章：数论算法

  1. （部分内容仍用日语书写）

  2. 介绍各种数论算法。

  3. 我认为以下主题在基础课程中很少出现。

    1. Tanz的泰勒展开系数。
    2. 如何通过计算分区数不是递归方式.
    3. 如何计算卢卡斯序列。
    4. 伯努利数和欧拉数（B45欧拉数）

  4. 韦伊费列治素数（A3梅森素数。声誉。费马数。k型素数n个+1)

  5. 一n个≡c（模n）（F10二次幂的余数）

  6. 希尔伯特类多项式、韦伯类多项式

第12章：整数分解算法

  1. （部分内容仍用日语书写）

  2. 文中提到了以下算法，并给出了示例程序。

    1. 蛮力法
    2. rho法
    3. p-1法
    4. p+1方法
    5. 连分式法
    6. 多重多项式二次筛法
    7. 椭圆曲线法

附录1:WIFC（世界整数因子分解中心）

包括以下问题的因素；

附录2：参考文献

附件3：如何加入保理化项目

附录4:Tomabechi的“ppmpqs.exe”基准

附录5：主表（接近2的底漆n个, 10n个、析因、主要和复合）

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“Cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi（库胡斯·雷伊演示）。Hanc marginis exigitas非披风。"
（“我为这些问题找到了极好的解决方案。但这一空白太小，无法填补。”）

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