二叉树的枚举（加泰罗尼亚数字）。

对于每个节点数，n个, 有一个特定的数字可能的二叉树配置。这些数字构成一个序列关于的整数n个。描述整数的有用方法序列是构造一个生成函数：

(1)

其系数b_我 是顺序。B（x）幂级数是纯形式变量的吗x。我们不感兴趣在研究B（x）等等。建筑的全部要点它是为了计算公式b_我.（此外，关闭表单表达式B类(x个)，如果存在，则提供另一个有用的有机会研究序列。）

因此，我们的想法是假设一个具有系数的通用生成函数（1）表示二叉树的数量。现在我们必须找到一些规律系数的行为。

我们可以从分析树开始n.（名词）。显然地，b₁为1，并且b₂为2。这个b₀系数有些人为无节点树我想，这是唯一的一个。进一步分析得出以下观点：如果二叉树有n个节点，则必须有一个节点作为根和两个子树。子树中的节点总数必须为n个-1,它们中的任何一个都可能是空的。假设k个节点在左子树中，右子树具有n-k个-1个节点，k个从0转到n个-1.根节点始终存在，因此树配置的不同之处仅在于子树的配置。这个上可能的树总数n个然后可以表示节点作为：

(2)

这个公式表达了我们问题的细节。术语的数量in（2）根据n个。表达式对无效n个=0;对于n个=1我们只有一个学期b₀b₀;对于n个=2有两个术语b₀b₁+b₁b₀因此，我们可以重写（2）更多精确到

(3)

将（3）替换为（1），我们得到

(4)

遗憾的是，我们刚刚声称括号中的表达式对无效k个= 0. 我不知道如何处理这种矛盾。

下一步是转换（4）中的产品总和表达式转换为适当的sum表达式。此操作实际上代表多项式的乘法规则[Henrici，1982，p 382]：

(5)

为了我们的目的，应该在相反的方向上使用。

多项式（5）的乘法实际上可以证明是相同的如果我们让n个= 2米和衬垫系数第页_我和q个_我在（5）中米零，以便第页_我可以扩展到n-1个.我很难使用卷积定理如作业问题描述中所述，如[亨利希，1982年，第385页]包含两个Fourier的Hadagard乘积变换和共轭傅里叶变换用于加速传统的卷积。

在我们的案例中p（x）和q（x）都是一样的B（x）.我们现在可以将规则（5）向后应用于（4），或者更好然而，获取以下项的表达式B（x）²并将其与(4):

(6)

比较（6）和（4），我们可以看到，为了找到相似性，总和指数应从k个到k个-1:

(7)

将两部分相乘后x个:

(8)