处理货币价值时，将一个数字除以100安全吗？

Question

在存储库代码中，在另一个团队开发的模块中，我发现价格可以从美分转换为欧元，只需将数字除以100。

代码是Javascript格式的，因此它使用IEEE 754标准标准。

我知道将货币值作为浮点数处理是不安全的，但在将任务发送给其他团队之前，我想知道这种情况是否安全。

到目前为止，我没有发现任何整数除以100的结果不准确的情况。让我们更进一步：100只是2*2*5*5.

我们知道数字除以2是安全的，因为它只是一个位置的转换。

所以我们可以很容易地说，如果存在一个不能被5精确整除的数字，那么被100整除是不准确的。

我做了很多测试，没有找到任何这些数字，但我还远远没有对论文进行理论论证。

那么，在IEEE 754标准中，数字除以100安全吗？

Answer 1

具有15个有效精度数字的浮点十进制数转换为64位二进制浮点数(编号在JavaScript中）并返回到十进制，而不会丢失精度。虽然二进制数可能无法准确存储十进制数，但它具有更多的精度位（最少需要17个十进制有效数字来表示53位的尾数），并通过精确取整转换为原始十进制数。尾数的这些额外二进制数字正是为了在CPU运算的所有结果中保持这15个有效十进制数字的精确性。请参阅往返转换所需的位数了解详细信息。

当被100除时，二进制结果仍有53位精度，最小精度单位（尾数的最低位）可能有错误，除非结果下溢到0（请参阅每个计算机科学家都应该了解浮点运算详细信息。）。该二进制数仍然可以通过四舍五入转换为精度在15位有效小数内的正确精确十进制数。

换句话说，如果您的十进制数字的有效位数不超过15位，那么将它们除以100可以保持该精度。

例如，尝试123456789012345/100和0.000123456789012345 / 100在浏览器控制台中（这两个数字都有15个有效的十进制精度数字），这些除法返回15个有效十进制数字内的正确十进制数字：

123456789012345/1001234567890123.450.000123456789012345 / 1000.00000123456789012345

Answer 2

如果x个是15位十进制整数，然后进行转换x个到JavaScript编号，除以100，然后将结果转换为具有15个有效十进制数字的数字，即可精确生成x个/100.证据如下。

笔记：

• 将除法结果转换为具有15位有效十进制数字的数字，可以得到精确的结果x个/100.除法的实际结果，当它位于编号格式，通常不会x个/例如，73/100产生0.729999999999999982236431605997495353221893310546875。
• 将除法结果转换为更多超过15位有效小数通常也不会产生x个/100，因为额外的数字可能会显示差异，如上面的.73所示。（当然，使用较少的数字可能不足以表示x个/100.）因此，如果希望准确沟通x个/100到另一个进程，则必须精确到15个有效十进制数字（或其他一些错误缓解措施）。
• 下面的证明适用于15位整数x个，不适用于其他15位有效小数（例如15位十进制数字后跟一个或多个零的数字，或以小数点开头的数字，后跟一些零，然后是15位有效数字）。

前期工作

JavaScript是ECMAScript的实现，在埃克玛-262和ISO/IEC 16262。在第6.1.6条中，Ecma-262规定IEEE-754基本64位二进制浮点格式用于ECMAScript编号类型，但只使用单个NaN。第6.1.6条进一步描述了所使用的算法，该算法本质上是IEEE-754算法，具有四舍五入、ties-to-even。

IEEE-754基本64位二进制浮点格式使用53位有效位。

二进制浮点数的最小精度单位（ULP）是指赋予其有效位中最低有效位位置的值。（因此，ULP按指数缩放。）以ULP度量，所有正常的53位有效位都在[2]中⁵²ULP，2个⁵³ULP）。

对于15位有效的十进制数，其ULP将是归因于15位位置的值^第个从前导有效数字开始倒数的数字位置。

引理

首先，我们确定了一个众所周知的事实，即将一个15位有效的小数转换为编号如果数字在编号格式。

如果x个是浮点格式（2）正常范围内的15个有效十进制数字（不一定是整数）⁻¹⁰²²≤ |x个| < 2¹⁰²⁴)，然后转换x个将结果转换为浮点格式中可表示的最接近的值，然后将结果转换成15位有效的十进制数字x个，当两个转换都是以四舍五入到最近、ties-to-even的方式执行时。为了看到这一点，让我们年是第一次转换的结果。如果年不同于x个小于ULP的½x个，然后x个是最接近的15位有效数字年因此必须是第二次转换的结果。

在第一次转换中，结果年距离最多为½ULPx个，由于舍入规则。这是一个至多½/2的相对精度⁵²（即潜在的½ULP误差除以可用ULP测量的最小有效位）。因此，年不同于x个最多2分之一⁵³在最坏的情况下x个可以是9999999999999=10¹⁵−1，因此相对于ULP的误差x个将是（10¹⁵−1)/2⁵³，约为ULP的.111倍x个因此，年总是不同于x个小于其ULP的½，因此转换年返回到15位有效的十进制数字会产生x个.

证明

如果x个是一个15位小数的整数，它在编号格式，因为编号格式的有效位为53位，因此能够精确表示最多为2的所有整数⁵³，约9.007e15，大于10¹⁵.

因此，转换x个到编号产量准确x个没有错误。

然后，根据算术结果的舍入规则x个以100表示最接近的数字x个/100.叫这个年现在请注意x个/100是一个可以用15位有效小数表示的数字。（它可以用科学记数法写成x个•10⁻²或在源代码中作为的数字x个后缀为电子2.）注意转换x个/100至编号也会产生收益年，因为转换产生的数字与除法一样，在编号最接近的格式x个/100.通过引理，转换的结果x个/100至编号并返回到15个有效的小数位数x个/100，因此转换的结果x个到编号，然后除以100，再转换为15个有效的十进制数字也会得到x个/100.