Bond topology of chain, ribbon and tube silicates. Part I. Graph-theory generation of infinite one-dimensional arrangements of (TO4)n− tetrahedra

Day, M.C.; Hawthorne, F.C.

doi:10.1107/S2053273322001747

研究论文

基础
进展

国际标准编号：2053-2733

第78卷| 第3部分| 2022年5月| 第212-233页

https://doi.org/10.107/S2053273322001747

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链状、带状和管状硅酸盐的键拓扑。第一部分无限一维排列的图论生成(T型O（运行）₄)^n个−四面体

麦克斯韦尔·克里斯托弗·戴 ^一 ^*和弗兰克·克里斯托弗·霍桑 ^一

^一加拿大曼尼托巴省温尼伯市曼尼托巴大学地球科学系R3T 2N2
^*通信电子邮件：umday23@myumanitoba.ca

西班牙帕斯瓦斯科大学M.I.Aroyo编辑(收到日期：2021年10月5日； 2022年2月15日接受；在线2022年4月4日)

链状、带状和管状硅酸盐基于(T型O（运行）₄)^n个−四面体，其中T型=硅⁴⁺加P⁵⁺，V⁵⁺，作为⁵⁺，铝³⁺，铁³⁺和B³⁺这种聚合可以用无限图（指定链图）表示，其中顶点表示四面体，边表示四面体之间的链接。键价理论的价和规则将任何顶点的最大度数限制为4，将连接两个顶点的边数限制为1（共角四面体）。这个单位电池链图的（或重复单元）通过平移对称算子的作用生成链图。通过包装退出单位电池以便它们链接到单位电池它们在平移上等价于它们在链图中链接到的顶点，并且包装图保留链图的所有拓扑信息。开发了一个符号代数，表示包裹图中每个顶点的度数。包裹图由其邻接矩阵表示，邻接矩阵经过修改以指示包裹边的方向，向上(+c（c）)或向下（−c（c）)沿着聚合的方向。符号代数用于生成≤8个顶点的图的所有可能的顶点连通性。用有限矩阵表示链图的这种方法现在可以颠倒过来，生成所有可能的顶点连通性≤8个顶点的所有非同构链图。材料实验室R2019b为该方法的计算密集步骤提供了代码，生成了～3000个有限图（和相关的邻接矩阵）和～1500个链图。

关键词：键拓扑;四面体;链图;邻接矩阵;顶点集;边缘集;硅酸盐;图形生成;同构;平移对称.

类似文章

1.简介

硅和氧是地壳和地幔以及硅酸盐中最丰富的元素拉丁感官是许多地壳和地幔过程的最重要组成部分。Day&Hawthorne（2020）是一个更大计划的一部分，该计划旨在为理解控制地壳和地幔岩石中硅酸盐矿物成分、结构变异性和共生（出现）的原子尺度因素提供一个框架 )提出了一个结构层次（霍桑，2014 )硅酸盐部分由以下成分组成的链状硅酸盐矿物(T型O（运行）₄)^n个−在一维无限聚合形成链、带和管的基团。为了表达简单，我们将“链、带和管”表示为“链”，除非需要区分这三种聚合类型。这里我们指的是硅酸盐链、带状物和/或管或其他硅酸盐单元(即。集群、薄板和/或框架），应理解该单元必须含有硅⁴⁺但也可能包含其他四面体配位阳离子：例如 T型=P⁵⁺，V⁵⁺，作为⁵⁺，硅⁴⁺，铝³⁺，铁³⁺和B³⁺为了表达简单，我们将硅酸盐等成分称为主要四面体配位阳离子是否为Si⁴⁺因为我们要求它们含有硅⁴⁺作为一个基本组成部分。

我们希望了解引起不同类别矿物结构的图形特征：（i）常见的高丰度矿物；（ii）低丰度的常见矿物；（iii）高丰度稀有矿物；（iv）低丰度稀有矿物；（v）根本没有矿物结构。要做到这一点，我们需要推导出所有可能的一维无限图（达到某种大小限制），并检查图的特征(一)预防，以及(b条)允许它们嵌入到欧几里得空间中，其边缘长度和边缘间角度与特定类型的一般化学成分的晶体结构兼容。我们的目的不是预测晶体结构，而是检查允许将图形嵌入欧几里德空间的因素，以便其几何特征与晶体结构的度量兼容。这里，我们描述了具有周期对称性的四面体的所有一维聚合；在后面的文章中，我们将讨论将这些图嵌入欧几里德空间的问题。

2.术语

第二天和霍桑（2020)，我们定义链、带和管如下：

链条：的结构单元(T型O（运行）₄)^n个−在一个方向上无限连接在一起的四面体，并且可以通过消除相邻四面体之间的单个连接而将其分解为两部分。

功能区：的结构单元(T型O（运行）₄)^n个−在一个方向上无限链接在一起的四面体，并且不能通过消除相邻四面体之间的单个链接而分成两部分。

管子：的结构单元(T型O（运行）₄)^n个−在一个方向上无限连接在一起的四面体，也与聚合方向正交连接，形成一个空心圆柱体。

当以二维图形显示时，很难区分某些带状排列和管状排列(即（如打印页或屏幕上所示）。管的二维图形总是非平面的：它们总是有明显相交或重叠的边。缎带和链条的二维图形是平面的，可以在没有任何交叉或重叠边的情况下绘制。尽管某些带状和链的图形可能显示交叉边，但可以通过更改带状或链的视图方向和/或移动图形在插图平面中的顶点来删除此特征，同时保持图形的连接性；这对于管的图形是不可能的。

集群：链接的零维结构单元(T型O（运行）₄)^n个−不向任何方向无限延伸的四面体。簇的图形可以是平面的，也可以是非平面的。

结构单元：结构中的强结合部分，由氧阴离子和低配位数阳离子组成（霍桑，1983）, 2015b条 ).

重复装置：（i）链、带或管的一部分，可通过平移对称重复以产生完整的链、带和管；（ii）可以通过拓扑平移对称重复的有限图，以生成完整链、带或管的图。

3.前期工作

自从威尔斯的开创性工作以来(例如. 1954 , 1962 , 1977 )在利用周期网络描述和生成简单晶体结构方面已经做了大量工作。例如，克莱（1980）)研究了硅酸盐中的四面体聚合及其相应的周期网络，以及Klein（1996 )生成了2-周期网及其相应的四面体片。晶体结构的准无限特性在将其表示为有限图方面提出了一个问题。然而，这个问题通过使用（有限）商图（Chung等。, 1984 ; Eon，1998年 , 1999 , 2016 ; 克莱，2004年 ). 这项工作包括使用网络描述已知的晶体结构，以及生成新的网络或图形作为晶体中原子的潜在排列，并提供了大量的结构和网络数据库(例如Delgado-Friedrichs和O'Keeffe，2003年 ; 布拉托夫等。, 2014 ). 钟等。(1984)使用商图来描述和生成网络，这种方法已经集成在各种软件程序中，包括SYSTRE系统（Delgado-Friedrichs和O'Keeffe，2003年)和ToposPro公司（布拉托夫等。, 2014).

硅酸盐方面的工作往往侧重于框架和薄片结构（Smith，1977年 , 1978 , 1988 ; 利博，1985年 ; 霍桑，2015一 ; 霍桑和史密斯，1986年一 ,b条 , 1988 ; 霍索恩等。, 2019 ; 克里夫维奇，2008 , 2009 )，除一些管状链硅酸盐外，没有使用一维周期对称图对硅酸盐链、带状物和管状物进行全面描述（Rozhdestvenskaya&Krivovichev，2011 ). 以前涉及商图的方法侧重于描述和预测晶体结构，因此处理了（i）已嵌入欧几里德空间且（ii）已连接的图。由于（i）我们希望研究将图嵌入欧几里德空间的细节，以便其度量属性与晶体结构兼容，并且（ii）不希望局限于连通图，因为某些晶体结构由彼此不相连的硅酸盐聚合组成，我们使用不同的方法来枚举图。

4.图表

在这项工作中，我们采用图表理论方法，并将首先定义我们的术语，因为文献中的一些定义存在一些差异。

我们可以将图定义为非空元素集，V（V）(G公司)，称为顶点，以及这些顶点的无序对的非空集，E类(G公司)称为边缘（Wilson，1979 ). 我们可以给顶点上色，也可以给顶点贴标签。结果是一个标记的多色图，如图1所示(一)并用图1中的顶点集和边集表示(b条). 顶点的度数是在该顶点上入射的边数；如图1所示(一)，顶点1和3为3阶，顶点2和4为2阶。在这里，我们将使用图形来表示四面体和四面体之间的链接：顶点集表示四面体，边集表示四面体之间的连接。由于硅酸盐中的四面体仅通过共享角点链接，因此我们用来表示四面体无限链接的图中的顶点仅通过一条或零条边链接。简单的键价参数限制了单个四面体可以链接到4个硅酸盐四面体的最大数量，即。桥接O的协调²⁻四面体配位阳离子的离子不能超过2而不违反价和规则（Brown，2016 ). 因此，我们将考虑的图中顶点的最大度为4。为了方便起见，我们将顶点度为1-4的平移对称无限图表示为链图。

图1
(一)具有由红色圆圈指示的顶点和由黑线指示的边的标记图(b条)图的顶点和边集。顶点1和3的阶数为3（3连通），顶点2和4的阶数是2（2连通）。

4.1. 如何将无限链表示为有限图

当我们处理在一个方向上（实际上）无限的四面体链接时，我们考虑的所有图形在一个角度上都是无限的。虽然无限大，但这些链图在四面体聚合方向上具有平移对称性，因此我们用链的平移对称性传播的重复单元来表示链图（参见第5节（见下文）。为此，我们必须将平移对称性合并到重复单元的有限图中。我们可以通过在任何一个重复方向上包裹退出重复单元的边缘来实现这一点(+c（c）和−c（c）)这样，它们就可以连接到相同重复单元内的顶点，同时保持原始链图的连通性（图2).

图2
(一)具有1次和3次顶点的无限链图，其中重复单元由虚线分隔，边2–2延伸到重复单元外部；(b条)一种有限包装图，其中延伸到重复单元外部的边(一)被包裹以在顶点2处形成环；(c（c）)顶点为1度、2度和3度的无限链图；(d日)一种有限包装图，其中延伸到重复单元外部的边(c（c）)包裹以在顶点1和2之间形成弯曲边。黑色直箭头表示链图在+c（c）和−c（c）指示。弯曲的黑色箭头(一)和(c（c）)指示如何包裹边(b条)和(d日)和黑色曲线表示(b条)和(d日). 黑色虚线表示每个链图的重复单位。

为了保留与链图平移对称性相关的信息，必须指出包裹有限图中的包裹边；这里，包裹的边总是显示为曲线，而未包裹的边（不退出重复单元）显示为直线。有两种不同的可能性：（i）相邻重复单元通过相同顶点之间的边链接；和（ii）其中相邻重复单元通过非相同顶点之间的边链接。考虑情况（i）：图2中的图表(一)由一个重复单元组成，其中包含1次顶点1和3次顶点2，并且顶点2链接到相邻重复单元中的平移等效顶点。我们可以沿着重复方向将链接到相邻重复单元顶点的边包裹起来，以便它们连接并形成一个环，从而保持顶点2的顶点度数为3[图2(b条)]. 四面体不能链接到自身，因此循环必须指示对应于该四面体的顶点链接到两个+c（c）和−c（c）指示。考虑情况（ii）：图2中的图表(c（c）)由一个重复单元组成，其中包含1次顶点3、2次顶点1和3次顶点2。顶点2链接到中相邻重复单元的顶点1+c（c）方向和顶点1链接到−中相邻重复单元的顶点2c（c）方向，因此缠绕产生一个额外的边缘[如图2中的曲线所示(d日)]在重复单元中的顶点1和2之间。

4.2. 包裹边缘的方向

在大多数情况下，与给定链图的平移对称性相关的所有信息都可以用有限图来表示，方法是将包裹的边包裹并表示为曲线；然而，情况并非总是如此。考虑图3所示的无限链图(一)和3(b条); 它们在拓扑上彼此不同（非同构），因为其中一个包含正方形[图3(一)]另一个包含六边形[图3(b条)]. 然而，包装这些无限图中的每一个都会产生拓扑上相同（同构）的有限包装图[图3(c（c）), 3(d日)]，其中在顶点1和2之间有一条被包裹的边，在顶点1和3之间有一条被包裹的边。这个例子表明，为了通过包装完整地描述一个特定的链图，我们需要指定（i）哪些边被包装（曲线），以及（ii）这些边退出重复单元的方向。在图3中(一)，边从重复单元的顶点1延伸到中的顶点2+c（c）方向，从重复单元外的顶点1到中的顶点3+c（c）方向。这如相应的包装图所示[图3(c（c）)]通过在每个包裹的边上添加一个绿色箭头来指示+c（c）方向。在图3中(一)，边从重复单元外的顶点2和3延伸到−中的顶点1c（c）方向。这如相应的包装图所示[图3(c（c）)]通过在每个包裹的边上添加红色箭头来指示−中的链接c（c）方向。在图3中(b条)，边从−中的顶点1延伸到顶点2c（c）方向和从顶点2到顶点1+c（c）方向，在相应的包装图中，这些方向分别由红色和绿色箭头表示[图3(d日)]. 很明显，连接顶点1和2的包裹边方向的差异是图3中无限图的原因(一)和3(b条)在拓扑上不同。必须指示任何包裹边的方向，以确保链图中包含的所有信息都在有限包裹图中表示。

图3
两个拓扑上不同（非同构）的链图：(一)四元环（正方形）链图，以及(b条)六元环（六边形）的链图，其中边延伸到+c（c）和−c（c）方向分别用绿色和红色箭头显示。(c（c）), (d日)的包装图形表示(一)和(b条)在拓扑上是相同的（同构的），并通过用红色和绿色箭头指示缠绕（弯曲）边的方向来区分。黑色直箭头(一)和(b条)表示链图在+c（c）和−c（c）指示。弯曲的黑色箭头表示如何包裹边(一)以及(b条)和黑色曲线表示(c（c）)和(d日). 黑色虚线表示每个链图的重复单位。

5.链的几何和拓扑（图形）表示

链状、带状和管状硅酸盐结构可显示为三种表示形式：

（i）四面体: (T型O（运行）₄)^n个−组显示为四面体，原始链几何保持不变[图4(一)].

图4
(一)四面体(b条)球杆和(c（c）)垂直于c（c）轴。每个四面体(一)由中的一个点（球）表示(b条)和一个顶点(c（c）)以及中四面体之间的所有链接(一)由中的线（棒）表示(b条)和边缘(c（c）)连接每个球或顶点的。红色和蓝色球（点）分别表示3个和1个连接的顶点。黑色虚线表示¹T型₂^三T型₂几何重复单元(n个_克)英寸(一)和(b条)、和¹V（V）₁^三V（V）₁拓扑重复单元(n个_t吨)英寸(c（c）).

（ii）球杆：其中四面体由点表示，四面体之间的链接由线表示，原始链几何保持不变[图4(b条)].

（iii）图：表示法，其中链被简化为一个图，其中四面体由顶点表示，四面体之间的链接由边表示，并且原始链几何结构没有保留[图4(c（c）)].

给定链、带和/或管的几何结构可以通过识别单个几何重复单元来表示n个_克四面体，图4(一)]如表示法（i）和（ii）所示，给定链、带和/或管的拓扑可以通过识别单个拓扑重复单元来表示n个_t吨顶点，图4(c（c）)]如在陈述（iii）中。拓扑和几何重复单元可以通过单向平移无限链接，分别生成原始的无限多面体、球杆和图形表示。

5.1. 几何重复单元

在四面体和球棒表示法中，我们指定了一个几何重复单元，在该单元中，链的几何结构（如在矿物或合成化合物中观察到的四面体之间的连接长度和角度）保持不变。几何重复单元包含最小数量的四面体(n个_克)需要通过翻译操作生成链。有必要指定包含以下内容的1-、2-、3-和4-连接四面体的数量n个_克用来描述链的几何重复单元。为此，我们将四面体表示为T型，其连接由上标表示c（c）(c（c）=1–4）和几何重复单位中此类四面体的数量由下标表示第页.表达式^c（c）T型_第页=¹T型_第页 ²T型_第页^三T型_第页⁴T型_第页表示四面体在链的重复单元中的所有可能的连接性，以及与第页中≠0^c（c）T型_第页表达式定义为其秩。在矿物和合成化合物中观察到的大多数链只包含2-和3-连接的顶点(即。^c（c）T型_第页排名为2第页=0（对于）¹T型_第页和⁴T型_第页)，但一些链也包含1和/或4个连接的顶点。例如，考虑四面体[图4(一)]和球杆[图4(b条)][Si的表示₄O（运行）₁₂]⁸⁻叶蜡石超群矿物中的链（索科洛娃等。, 2017 ). 球杆表示法显示了两种类型的顶点：（i）3连通（红色圆圈）和（ii）1连通（蓝色圆圈）[图4(b条)]. 几何重复单元包含每种类型的球中的两个(n个_克=4），以及^c（c）T型_第页叶蜡石型链的表达式写为^c（c）T型_第页=¹T型₂²T型₀^三T型₂⁴T型₀=¹T型₂^三T型₂（排名=2）（Day&Hawthorne，2020年).

5.2. 拓扑重复单元

链、带和管的图形表示具有拓扑重复单元，其中仅表示拓扑属性。拓扑重复单元包含最小数量的顶点(n个_t吨)需要通过平移在单个方向上通过无限链接生成链。通过与几何重复单元的类比，我们可以使用以下表达式来描述拓扑重复单元^c（c）V（V）_第页=¹V（V）_第页²V（V）_第页^三V（V）_第页⁴V（V）_第页哪里^c（c）V（V）_第页表示顶点的连接性(V（V）)而不是四面体(T型). 在许多链中，四面体在拓扑上是相同的，但在几何上是不同的。这通常会导致具有几何和拓扑重复单元的链，这些重复单元包含不同数量的四面体和顶点。图4(一), 4(b条)显示了星形叶蜡石超群矿物中链的四面体和球棒表示，其中^c（c）T型_第页=¹T型₂^三T型₂是几何重复单元中四面体的连通性。同一链条的图形表示[图4(c（c）)]具有仅包含两个顶点的拓扑重复单元，如图4中1-连通顶点的不同分支方向(b条)不要影响连杆的拓扑结构。因此，我们可以将叶蜡石超群矿物中的拓扑重复单元描述为^c（c）V（V）_第页=¹V（V）₁^三V（V）₁因此顶点连通性，^c（c）V（V）_第页，对于拓扑重复单元，可以通过将第页在各自的^c（c）T型_第页表达式n个_t吨/n个_克注意，任何具有奇数个奇数次顶点的图都是不可能的。例如，具有顶点连通性的图¹V（V）₁²V（V）₁具有奇数个1次顶点。如果一个1阶顶点连接到一个具有顶点连通性的链²V（V）₁，将创建一个度为3的顶点，并且链不再具有顶点连接性¹V（V）₁²V（V）₁（图5); 因此，这条链是不可能的。相反，具有顶点连接的链¹V（V）₁^三V（V）₁创建（图5)它有奇数（一个）的1阶和3阶顶点，但奇数（两个）的顶点总数是偶数，因此是一个具有顶点连通性的链图¹V（V）₁^三V（V）₁是可能的，如图5所示.

图5
具有顶点连通性的链图²V（V）₁（红色顶点和黑色边）¹V（V）₁添加了顶点（绿色顶点和边），形成了具有顶点连通性的链图¹V（V）₁^三V（V）₁。红色圆圈表示通过与1连通顶点的连接，顶点从2度更改为3度。黑色虚线表示链图的重复单位。

6.邻接矩阵

有限图[图6(一)]可以用数字表示为矩阵[图6(b条)]. 顶点如图6所示(b条)：矩阵的每一列和每一行都与一个特定的顶点相关联，相应的矩阵条目表示两个顶点是否相邻（正），即两个顶点之间是否由一条边连接。矩阵元素表示边集，该矩阵称为邻接矩阵。通常，矩阵的对角线项为零，图的边集由矩阵项的上（或下）三角形表示。顶点的度数是连接到该顶点的边的数量，矩阵每一行和每一列中的条目之和对应于与该行或列关联的顶点度数。没有有向边的图的所有邻接矩阵必须关于对角线对称[图6(b条)]. 如上所述，顶点的最大阶数为4(例如顶点2，图6). 包络图可能包含由两条边链接的两个顶点，其中一条或两条这样的边被包络（弯曲）。

图6
(一)具有顶点连通性的有限图²V（V）₂^三V（V）₂⁴V（V）₁和(b条)相应的邻接矩阵，其中每一行（或列）代表一个顶点，行和列的总和等于各自顶点的度数。上三角和下三角的单元格用红色勾勒出来，并用对角单元格隔开。

我们如何在邻接矩阵中表示关于包裹的信息？在图7的图表中(一)，顶点2链接到中的顶点2′+c（c）方向和到−中的顶点2〃′c（c）方向，并在相应的包装图中[图7(b条)]有两条边入射到顶点2，形成一个环。我们可以通过在邻接矩阵中编码对角线条目2,2来表示这个循环[图7(c（c）)]为2，链图中顶点2的度数为3[图7(一)]，包装图[图7(b条)]和相应的邻接矩阵[图7(c（c）)]. 图7中环形边缘的方向(c（c）)无需用绿色或红色箭头指示，因为任何循环边都会退出两个+c（c）和−c（c）指示。在图7中(d日)，顶点1和顶点2之间有两个链接，其中一个链接出现在重复单元内[图7中的直边(e（电子）)]其中一个链接到两个中相邻重复单元的顶点+c（c）和−c（c）方向[图7中的曲线边缘(e（电子）)]. 为了表示链接到相邻重复单元的方向，相关矩阵条目被赋予上标，表示链接到邻近重复单元的数量和方向。因此，邻接矩阵中的条目1、2编码为2¹⁻[图7(（f）)]当两条1–2边之一从重复单元的顶点1延伸到−中的顶点2时c（c）方向，另一条1-2边出现在无限链图的重复单元内，因此没有上标。同样，条目2、1编码为2¹⁺[图7(（f）)]当两条2-1边中的一条从重复单元的顶点2延伸到+c（c）方向。

图7
(一)具有顶点连通性的链图¹V（V）₁^三V（V）₁, (b条)相应的包装图和(c（c）)相应的邻接矩阵(d日)具有顶点连通性的链图¹V（V）₁²V（V）₁^三V（V）₁, (e（电子）)相应的包装图和(（f）)相应的邻接矩阵。黑色弯曲箭头表示边是如何包裹的(一)和(d日)和黑色曲线表示(b条)和(e（电子）). 中的彩色箭头(b条)不需要，因为顶点2上的循环表示与中的等效顶点（2′和2′′）的链接+c（c）和−c（c）指示。绿色和红色箭头(e（电子）)和中的矩阵元素上标(（f）)指示包裹边缘的数量和方向。黑色虚线表示每个链图的重复单位。

具有顶点连通性的更复杂链图²V（V）₁^三V（V）₄如图8所示(一)相应的包装图及其邻接矩阵如图8所示(b条)和8(c（c）)分别是。条目1、2和2、1编码为1⁺和1⁻指示外部连接的数量和方向[图8(c（c）)]. 顶点2链接到两个+c（c）和−c（c）方向，类似地，顶点3链接到两个+c（c）和−c（c）方向[图8(一)]. 因此，条目2、3和3、2无需以上标2表示方向²显示有两个包裹的边，它们必须出现在相反的方向上。顶点1链接到相邻重复单位中的等效顶点，条目1,1编码为2[图8(c（c）)]. 有两条边连接顶点4和5，其中一条被包裹[图8(b条)]条目4、5和5、4编码为2¹⁺和2¹⁻分别为[图8(c（c）)]. 当描述包裹边时，我们只需要引用上三角（或下三角）中的矩阵元素，而不是两者，因为任何链图的重复单元在平移上等价于相邻的重复单元，因此如果n个边链接到中相邻重复单元的顶点+c（c）方向，n个边还必须链接到−中相邻重复单元的顶点c（c）方向。

图8
(一)具有顶点连通性的链图²V（V）₁^三V（V）₄, (b条)相应的包装图和(c（c）)对应的邻接矩阵。中的黑色曲线(b条)表示中的包裹边(一); 绿色和红色箭头(b条)和中的矩阵元素上标(c（c）)指示包裹边缘的数量和方向。请注意，无需指示链接顶点2和3的包裹边的方向。黑色虚线表示每个链图的重复单位。

7.所有非同构链图的生成

我们已经开发了使用包裹边的无限链的有限表示。现在我们希望反转这个过程，并生成所有可能的对应于无限链的非同构图。图由两个集合组成，一个顶点集和一个边集（第4节)，每个可包括至少一个子集。我们可以将所有可能的非同构图的生成视为一个双成分过程。首先，我们生成所有可能的顶点集和顶点子集，这些顶点集和子集与链、带和管一致（第2节)第二，我们生成所有可能的边集和边子集，这些边集和子集与已经定义的每个顶点集和顶点子集一致。

8.链图顶点集的生成

每个顶点都由其度来表征，我们使用顶点连接性来表示顶点集的度结构^c（c）V（V）_第页( =¹V（V）_第页²V（V）_第页^三V（V）_第页⁴V（V）_第页). 因此，我们可以使用^c（c）V（V）_第页通过写入所有可能的值来生成所有可能的顶点集^c（c）V（V）_第页具有顶点度的链图的表达式c（c）=1、2、3和4，其中第页=1至∞，按顺序增加c（c）和第页。显然，我们需要限制第页出于实际原因，我们可以通过观察观察到的链状、带状和管状矿物的顶点集分布来证明这一点（图9). 如Day&Hawthorne（2020）所示)，大多数结构都有∑第页≤8，因此我们将使用8作为∑的边界极限第页。我们将订购¹V（V）_第页²V（V）_第页^三V（V）_第页⁴V（V）_第页以递增秩表示的表达式(即。个人数量^c（c）V（V）_第页值）。对于给定的秩，我们依次增加c（c）对于第页=1至8；表1显示了^c（c）V（V）_第页以这种方式产生的表达式。对于秩为1的情况，其中c（c）=1，链图不可能：¹V（V）₁对应于单个顶点；¹V（V）₂对应于[T型₂O（运行）₇]二聚体，在不改变c（c）（表1). 因此，最简单的可能链排列具有顶点连接性²V（V）₁，后面是²V（V）₂,²V（V）_三,²V（V）₄ 等对于更高的级别，我们订购^c（c）V（V）_第页在以下方面排名第一c（c）然后就第页，因此对于2级：²V（V）_第页^三V（V）_第页，我们有²V（V）₁^三V（V）_第页,²V（V）₂^三V（V）_第页,²V（V）_三^三V（V）_第页等.

表1
的层次排序方案^c（c）V（V）_第页值，其中第页=1–∞和c（c）= 1–4

1	2	三	4
¹V（V）_第页	¹V（V）_第页²V（V）_第页	¹V（V）_第页²V（V）_第页^三V（V）_第页	¹V（V）_第页²V（V）_第页^三V（V）_第页⁴V（V）_第页
²V（V）_第页	¹V（V）_第页^三V（V）_第页	¹V（V）_第页²V（V）_第页⁴V（V）_第页
^三V（V）_第页	¹V（V）_第页⁴V（V）_第页	¹V（V）_第页^三V（V）_第页⁴V（V）_第页
⁴V（V）_第页	²V（V）_第页^三V（V）_第页	²V（V）_第页^三V（V）_第页⁴V（V）_第页
	²V（V）_第页⁴V（V）_第页
	^三V（V）_第页⁴V（V）_第页

图9
顶点连通性，^c（c）V（V）_第页观察到的链状、带状和管状拓扑作为∑的函数第页对于c（c）= 1–4. 大多数观察到的拓扑具有∑第页≤ 8; 因此，图形生成的边界限制被设置为∑第页=8，用红线表示。正方形表示^c（c）V（V）_第页表达式和∑第页对于一个（黄色）和多个（绿色）观察到的拓扑。【数据来自Day&Hawthorne（2020）

).]

8.1. 用特征多项式方程确定顶点子集

^c（c）V（V）_第页仅描述链图重复单元中顶点的度数。同构（对称等价）的顶点（i）必须具有相同的度数，并且（ii）相邻的度数（next-nearest、next-ext-nearst等.）顶点必须相同。因此，任何图的顶点集都可以划分为同构顶点的子集。

特征多项式，第页(λ)，是描述其特征值为根的平方矩阵（a）的方程第页(λ)其迹和行列式是多项式的系数。我是[A]的单位矩阵λ是标量倍数，是（a）的特征值，如果（a−λ我)=0。每个特征多项式方程都有n个解决方案，因此n个特征值（或根），其中n个等于（A）的维数。我们可以将特征多项式写成如下：

$[p\left（\lambda\right）=\det\left（{\rm{A}}-\lambda I\rift）.\eqno（1）]$

我们可以通过依次删除一个顶点并计算结果图的邻接矩阵的特征多项式方程（称为约化图和约化邻接矩阵）来确定给定图的哪些顶点属于同一个顶点子集。如果两个约简图的特征多项式方程相同，则两个约化矩阵的特征值相同，因此从原图中删除的两个顶点是同构的，并且属于相同的顶点子集。因此，必须计算n个给定的特征多项式方程n个×n个矩阵。为每个矩阵对应的所有矩阵计算特征多项式方程^c（c）V（V）_第页表达式使用材料实验室R2019b附录中的代码B类（请参阅支持信息）。

图10显示了如何对4×4邻接矩阵进行此计算的示例和11在图10中(一)，顶点1和2的阶数为2，因此必须与阶数为3的顶点3和顶点4属于不同的顶点子集。然而，在使用特征多项式方程确认同构之前，不能假设相同阶的顶点属于相同的顶点子集。我们首先从图10所示的图形和矩阵（[A]）中删除顶点1(一). 简化图和简化邻接矩阵[A]−[1]如图10所示(b条)和这个约化矩阵的特征多项式方程(λ)_（[A]-1），计算如图10所示(c（c）)使用上面的公式。删除顶点2、3和4后的简化矩阵[标记(λ)_（[A]-2）,第页(λ)_（[A]-3）和第页(λ)_（[A]-4）]如图11所示(一), 11(b条)和11(c（c）). 这里(λ)_（[A]-3）和第页(λ)_（[A]-4）是相同的，因此顶点3和4是同构的，并且属于相同的顶点子集[图11(d日)]；第页(λ)_（[A]-1）和第页(λ)_（[A]-2）是不同的，顶点1和2是非同构的，并且属于不同的顶点子集[图11(d日)]. 依次删除顶点3和4会导致相同的约简图和约简邻接矩阵[图11(b条)和11(c（c）)].

图10
(一)具有顶点连通性的图²V（V）₂^三V（V）₂及其相应的邻接矩阵（[A]）(b条)通过从图中删除顶点1而生成的简化图(一)和相应的简化邻接矩阵（[A]−1），以及(c（c）)中约化邻接矩阵的特征多项式方程(b条): [第页(λ)_{[A] −1个}].

图11
从图10中的图中删除以下顶点后的约简图、相应的约简邻接矩阵和特征多项式方程

(一): (一)顶点2，第页(λ)_{[A] −2个}, (b条)顶点3，第页(λ)_{[A] −3个}和(c（c）)顶点4，第页(λ)_{[A] −4个}. (d日)使用特征多项式方程确定原始图、邻接矩阵和顶点子集。

如果n个×n个邻接矩阵与另一个的特征多项式方程相同n个×n个邻接矩阵，这些矩阵（及其对应的图）是同构的。

这种方法很费力，对于较大的矩阵（具有多个顶点的图）变得不切实际。对于较大的矩阵，使用特征向量中心性（EVC）启发式更为实用（Meghanathan，2015）). 给定顶点的EVC是该顶点度数和相邻顶点度数的度量。如果两个图的顶点的EVC值不相同，则图是非同构的；如果两个图的顶点的EVC值相同，则图可能是同构的。因此，EVC方法可以表明两个图是非同构的。它不能明确地表明图是同构的，尽管我们不知道有任何具有不同EVC值的两个同构图的例子。

9.矩阵元素组合的推导以及边集和边子集的生成

在第8节中和8.1，我们提出了一种生成所有可能的^c（c）V（V）_第页表达式（顶点集）和使用特征多项式方程检测给定矩阵顶点之间的同构。现在我们可以开始为所有可能的矩阵推导每个不同的邻接矩阵和所有可能的非同构有限图^c（c）V（V）_第页表达式（达到边界限制）。为此，矩阵元素1、2、2的所有唯一组合¹和/或2²必须为每个^c（c）V（V）_第页每个矩阵元素组合对应一个或多个不同的矩阵及其非同构有限图，这些图按如下所述生成。因此，为给定的^c（c）V（V）_第页允许我们生成符合该条件的所有非同构有限图集^c（c）V（V）_第页.两个n个×n个如果矩阵n个特征多项式方程不相同。每个非同构有限图的边子集（对于给定的^c（c）V（V）_第页)然后可以使用使用上述特征多项式方程确定的此类图的顶点子集来确定。然后可以生成具有特定顶点连通性的所有可能的非同构包装图，^c（c）V（V）_第页，使用生成包裹图的有限图的边子集。

9.1. 矩阵元素组合

对于由顶点连接性描述的拓扑重复单元^ci公司V（V）_里=¹V（V）_第页1²V（V）_第页2^三V（V）_第页三⁴V（V）_第页4、边数e（电子）= ∑c（c）_我第页_我/2的情况下，我= 1, 4. 相应邻接矩阵中的边数e（电子）_A类=e（电子）×2，因为每条边在顶点上开始和结束，因此计算两次。对于特定的^c（c）V（V）_第页，我们计算矩阵元素0、1、2、2的所有可能组合¹, 2²与邻接矩阵中的边数之和(e（电子）_A类)为此^c（c）V（V）_第页。这些矩阵元素组合用于生成一组n个-维矩阵，其中n个是中的顶点数^c（c）V（V）_第页兴趣表达，由n个=∑第页_我,我= 1, 4. 我们推导出矩阵元素组合的总和为e（电子）_A类而不是e（电子）因为我们使用每个矩阵的对角元素来存储额外的信息（由0或2占据），因此考虑了所有矩阵位置，而不仅仅是矩阵的上三角或下三角中的位置(即。图6). 给定矩阵元素的一些可能组合^c（c）V（V）_第页可能无效，不需要考虑，因为它们对应的矩阵违反了以下一个或多个约束：

（i）矩阵必须围绕对角线对称(例如图6)除非它包含元素2¹⁺或2¹⁻.

（ii）矩阵的对角单元格只能被0和/或2占据，非对角单元格不能被2占据。

如果矩阵符合这些约束条件，则相关的矩阵元素组合是有效的，并将给出一个或多个与之对应的有限图^c（c）V（V）_第页表达式。

以下示例显示了如何为²V（V）₂^三V（V）₂并确定为有效或无效。顶点数n个=（2+2）是4，边数e（电子）是[（2×2）+（3×2）]/2=5，邻接矩阵中的边数e（电子）_A类为5×2=10，矩阵位置数为4²= 16. 可能的矩阵元素组合（总和为e（电子）_A类=10）如表2所示，标签为[1]–[20]。然后，可以通过尝试使用20个元素组合构造4×4矩阵来确定这些矩阵元素组合中的哪些无效。表2表明元素组合[1]–[14]（以斜体显示）生成符合上述约束条件的矩阵，因此有效；这些矩阵如图12所示相应的非同构有限图如图13所示矩阵元素组合[15]–[20]（以粗体显示，表2)强制至少一个4-连通顶点（和为4的行或列），并且仅生成违反约束（i）和/或对应于具有不同于²V（V）₂^三V（V）₂因此无需考虑。矩阵元素组合写为(米₁× 1)(米₂× 2)(米_三× 2¹)(米₄× 2²)其中米_我是这些矩阵元素的数目。

表2
顶点连接性的矩阵元组合²V（V）₂^三V（V）₂

斜体：有效的矩阵元素组合。粗体：无效的矩阵元素组合。矩阵元素组合写为(米₁×1）(米₂× 2)(米_三× 2¹)(米₄× 2²)其中米_我是这些矩阵元素的编号，用方括号编号，并在文本中相应引用。

#第2页，共2页¹的和2²的
0	1	2	三	4	5
[1] (10 × 1)	[2] (8 × 1)(1 × 2)	[三] (6 × 1)(2 × 2)	[6] (4 × 1)(3 × 2)	[9] (2 × 1)(4 × 2)	[15](5 × 2)
		[4] (6 × 1)(2 × 2¹)	[7] (4 × 1)(1 × 2)(2 × 2¹)	[10] (2 × 1)(2 × 2)(2 × 2¹)	[16](1 × 2)(4 × 2¹)
		[5] (6 × 1)(2 × 2²)	[8] (4 × 1)(1 × 2)(2 × 2²)	[11] (2 × 1)(2 × 2)(2 × 2²)	[17](1 × 2)(2 × 2¹)(2 × 2²)
				[12] (2 × 1)(4 × 2¹)	[18](1 × 2)(4 × 2²)
				[13] (2 × 1)(2 × 2¹)(2 × 2²)	[19]（3×2）（2×2¹)
				[14] (2 × 1)(4 × 2²)	[20](3 × 2)(2 × 2²)

图12
生成具有顶点连通性的原始纹理的所有不同邻接矩阵²V（V）₂^三V（V）₂矩阵元组合（4×1）（1×2）（2×2¹)对应于矩阵[7]和[7′]，（4×1）（1×2）（2×2²)对应于矩阵[8]和[8′]，（2×1）（2×2）（2×2¹)对应于矩阵[10]和[10′]，以及（2×1）（2×2）（2 x 2²)对应于矩阵[11]和[11′]。所有其他有效的矩阵元素组合对应于单个矩阵。

图13
所有有效的矩阵元素组合及其相关的具有顶点连通性的原型图²V（V）₂^三V（V）₂相应的邻接矩阵如图12所示

9.2. 矩阵元组合的多重性与原纹理的推导

每个有效的矩阵元素组合都会生成一个或多个不同的邻接矩阵，具体取决于每种情况下生成的顶点子集的数量。每个邻接矩阵描述一个有限图。这些图不是链图，而是通过系统地展开其边的所有组合来导出链图；我们将这些图形称为原始图形。对于²V（V）₂^三V（V）₂，有14个有效的矩阵元素组合（表2). 然而，图12和13显示了18个不同的矩阵和非同构的原纹理，因为矩阵元素组合[7]、[8]、[10]和[11]各自对应于一个附加的不同矩阵，标记为[7′]、[8′]、[10′]和[11′]，每个都生成一个附加非同构原纹理（图13). 对于给定的^c（c）V（V）_第页，每个有效的矩阵元素组合对应于至少一个非同构的原纹理。我们可以使用以下方法确定每个有效的矩阵元素组合对应多少个非同构的原始纹理。

首先，我们排列矩阵元素（不仅仅是行和列）在其中一个矩阵中的位置，这些矩阵对应于特定^c（c）V（V）_第页感兴趣的。用于顶点连接²V（V）₂^三V（V）₂，有14个有效的矩阵元素组合（表2)，其中一个排列矩阵元素在14个相关邻接矩阵中的位置（图12). 如果任何有效的置换矩阵具有不相同的顶点子集（与不同特征多项式方程关联的任何顶点），则此类矩阵与原始矩阵不同，并将产生额外的非同构原纹理。我们导出给定矩阵的所有有效置换，并使用材料实验室R2019b附录中的代码B类（支持信息）。图14(一)显示矩阵[1][矩阵元素组合（10×1）]（图12)以及相应的原型图[1]（图13). 在图14中(b条), 14(c（c）)和14(d日)，原始矩阵的三个置换版本[1][图14(一)]显示了相应的原始纹理和顶点子集。每个置换矩阵的顶点子集都是相同的，并且所有原纹理都是同构的，因为在子集[1]的顶点被移除的情况下，简化矩阵的特征多项式方程是相同的；在子集[2]的顶点被删除的情况下已经移除的是相同的（图14). 标签可以在相同子集的顶点之间互换，因为这些顶点是同构的[例如比较图14(一)和14(c（c）)].

图14
对于顶点连接²V（V）₂^三V（V）₂, (一)矩阵元组合（10×1）的邻接矩阵[1]、相应的原粒度、简化原粒度的特征多项式方程以及由此产生的顶点子集；(b条), (c（c）)和(d日)这个邻接矩阵和原粒度的三个置换版本。约化邻接矩阵的特征多项式方程是相同的，证实了这些邻接矩阵对应于同构的原纹理。

尽管图13中只显示了矩阵[1]的三个置换版本，所有置换都对应于具有相同特征多项式的原纹理，因此我们得出结论：矩阵元素组合（10×1）只对应于具有顶点连接性的单个原纹理²V（V）₂^三V（V）₂接下来考虑图15(一); 这里我们研究矩阵[7][矩阵元素组合（4×1）（1×2）（2×2¹)]（图11)和相应的原颗粒[7]（图12). 这里，图15中置换矩阵的顶点子集(b条)和15(c（c）)和原始矩阵[7][图15(一)]相同，但不同于图15所示的置换矩阵[7′]的顶点子集(d日)（由特征多项式方程表示）。尽管与图15所示相比，矩阵[7]有更多有效的置换版本，都对应于顶点子集与图[7]或[7′]相同的原粒度。因此，矩阵元素组合（4×1）（1×2）（2×2¹)对应于两个非同构的原始纹理（图[7]和[7′]；图12). 现在考虑图16(一)它表示矩阵[10][矩阵元素组合（2×1）（2×2）（2 x 2¹)]（图11)和相应的原颗粒[10]（图12). 这里，图16中排列矩阵的顶点子集(b条)和16(c（c）)和原始矩阵[10][图16(一)]相同，但不同于图16所示的置换矩阵[10′]的顶点子集(d日)（由特征多项式方程表示）。有两个不同的顶点子集，我们得出矩阵元组合（2×1）（2×2）（2 x 2¹)对应于两个非同构的原始纹理（图[10]和[10′]）（图12). 对于顶点连接²V（V）₂^三V（V）₂14个有效矩阵元素组合中的4个[7]、[8]、[10]和[11]对应于两个不同的有效矩阵（图11、[7′]、[8′]、[10′]和[11′]）和两个非同构的原颗粒（图12[7′]、[8′]、[10′]和[11′]）。因此，有（10×1）+（4×2）=18个具有顶点连通性的非同构原图²V（V）₂^三V（V）₂（图12).

图15
用于顶点连接²V（V）₂^三V（V）₂, (一)矩阵元组合（4×1）（1×2）（2×2）的邻接矩阵[7]¹)、相应的原纹理、简化原纹理的特征多项式方程和生成的顶点子集。(b条), (c（c）), (d日)这个邻接矩阵和原图的三个置换版本，以及约化邻接矩阵的特征多项式方程。中约化邻接矩阵的特征多项式方程(b条)和(c（c）)与中的相同(一)（邻接矩阵[7]），确认简化的原始纹理是同构的。由邻接矩阵[7′]导出的约化邻接矩阵的特征多项式方程，如所示(d日)，则不同，这证实了该原颗粒与其他原颗粒是非同构的。

图16
用于顶点连接²V（V）₂^三V（V）₂, (一)矩阵元组合（2×1）（2×2）（2 x 2）的邻接矩阵[10]¹)、相应的原纹理、简化原纹理的特征多项式方程和生成的顶点子集。(b条), (c（c）), (d日)这个邻接矩阵和原图的三个置换版本，以及约化邻接矩阵的特征多项式方程。中约化邻接矩阵的特征多项式方程(b条)和(c（c）)与中的相同(一)（邻接矩阵[10]），证实了这些原型图是同构的。由邻接矩阵[10′]导出的约化邻接矩阵的特征多项式方程，如所示(d日)，则不同，从而确认此原始纹理与中的原始纹理是非同构的(b条)和(c（c）).

9.3条。利用顶点子集推导边子集

现在我们有了一种方法来推导给定的所有不同的有效矩阵和相应的非同构原图的集合^c（c）V（V）_第页，可以确定对应于此类矩阵的每个原始纹理的边缘子集。两条边属于同一个子集，当且仅当它们都被包裹（或都没有包裹），并且它们链接到的各个顶点属于同一顶点子集。请注意，在图中给出的边子集中，包裹的边是斜体的。考虑具有顶点连接性的原始纹理²V（V）₂^三V（V）₂如图17所示(一). 特征多项式方程（第8.1节)证明顶点1和3同构，顶点2和4同构，因此这个原型图有两个顶点子集[图17(b条)]. 该原始纹理有五条边，其中四条将子集[1]的顶点链接到子集[2]的顶点，因此它们是等价的，并且属于相同的边子集[图17(c（c）)]. 第五条边将子集[1]的顶点链接到子集[1]的另一个顶点，因此属于第二条边子集[图17(c（c）)]. 考虑具有顶点连接性的原始纹理²V（V）₂^三V（V）₂如图17所示(d日); 有两个顶点子集，每个子集包含两个顶点[图17(e（电子）)]以及四条将子集[1]的顶点链接到子集[2]的顶点的边，以及一条链接子集[2]顶点的边。然而，将子集[1]的顶点连接到子集[2]的顶点的四条边中的两条被包裹，因此属于第三条边子集[图17(（f）)]. 因此，一旦建立了顶点子集，就可以通过检查从相应的原始纹理中读取边缘子集。

图17
用于顶点连接²V（V）₂^三V（V）₂, (一)矩阵元素组合的原始纹理（10×1）(b条)相应的顶点子集(c（c）)相应的边子集。(d日)矩阵元素组合（2×1）（4×2¹), (e（电子）)相应的顶点子集(（f）)相应的边子集。

9.4.MatLab公司矩阵元组合与矩阵元2的局限性和多重性¹和2²

第9.1节所述方法和9.2为给定的生成所有可能的非同构原型^c（c）V（V）_第页但在这里是极其费力和不切实际的n个=5–8，因为可能的矩阵元素排列（和非同构原图）的数量随着这些顶点的数量和程度的增加而呈指数级增加。因此，我们开发了材料实验室R2019b代码（附录B类，支持信息）来派生给定的^c（c）V（V）_第页.所有有效的矩阵元素组合及其包含矩阵元素1、2和/或2的相关原始纹理²使用此代码生成。然而，由于这种代码的内存消耗太大，因此该代码无法区分曲线和直线。因此，包含矩阵元素2的有效矩阵元素组合¹必须手动派生。

考虑一下材料实验室R2019b输出（附录B类，支持信息）用于顶点连接性⁴V（V）₄如图18所示只有与1、2和/或2的矩阵元素组合相对应的原始颗粒²生成了额外的有效矩阵元素组合（及其相应的原始图形），其中涉及2个¹现在可以导出。例如，考虑矩阵元素组合（2×2）（6×2²)以及图19中相应的原始纹理和边缘子集(一). 我们首先转换2中的两个²图19中矩阵中的矩阵元素(一)至2¹（将弯曲的2–4条边中的一条改为直边）以生成矩阵元素组合（2×2）（2×¹)(4 × 2²)和图19中相应的非同构原颗粒(b条). 接下来，我们转换2中的4个²图19中矩阵中的矩阵元素(一)至2¹（2–4和1–3边）生成矩阵元素组合（2×2）（4×2¹)(2 × 2²)和图19中相应的非同构原颗粒(c（c）). 最后，我们将2中的所有6个进行转换²图19中矩阵中的矩阵元素(一)至2¹（2–4、1–3和1–2边）生成矩阵元素组合（2×2）（6×2¹)和图19中相应的非同构原颗粒(d日). 然后，我们可以对图18中的其他矩阵元素组合重复此过程包含矩阵元素2的²对于给定的矩阵元素组合，其包含n个2²矩阵元素，至少有n个/需要生成2个额外的矩阵元素组合和相关的原始纹理。

图18
这个材料实验室R2019b顶点连通性的所有可能有效矩阵元组合及其对应的非同构原图的输出⁴V（V）₄.

图19
对于顶点连接⁴V（V）₄矩阵元素组合的邻接矩阵、相应的原粒度和边子集(一) (2 × 2)(6 × 2²), (b条) (2 × 2)(2 × 2¹)（4×2²), (c（c）) (2 × 2)(4 × 2¹)(2 × 2²)和(d日) (2 × 2)(6 × 2¹). 矩阵元组合（2×2）¹)(4 × 2²)和（2×2）（4×2¹)(2 × 2²)对应于第二个不同的矩阵和非同构的原始纹理，如(e（电子）)和(（f）)分别是。中的邻接矩阵及其对应的原图(b条)–(（f）)不是由材料实验室R2019b代码，必须手动派生。在边子集中，包裹的边是斜体的。

对于包含两个矩阵元素的矩阵元素组合2¹和2²，可能存在多个不同的邻接矩阵和非同构的原纹理。生成矩阵元素组合（2×2）（2×¹)(4 × 2²)[图19(b条)]，2个之一²图19中的边缘(一)、2–4、1–3或1–2必须转换为2¹边缘。然而，1–3和2–4条边属于边子集[2]，1–2条边属于边子集[1]。因此，有两种可能的非同构原颗粒符合矩阵元素组合（2×2）（2×¹)(4 × 2²)，其中2–4或1–3条边中的一条是直的（a 2¹矩阵元素）[图19(b条)]另一种是1–2条边中的一条是直的[图19(e（电子）)]. 生成矩阵元素组合（2×2）（4×2¹)（2×2²)[图19(c（c）)]，2个中的两个²图19中的边缘(一)、2–4、1–3和/或1–2必须转换为2¹边缘。同样，有两种可能的非同构原颗粒。第一个[图19(c（c）)]通过选择这两个选项生成²子集[2]的边[图19(一)]其中2–4和1–3条边中的一条是直的。第二个是通过选择一个2产生的²子集[1]的边和子集[2]的边，其中2–4（或1–3）和1–2条边中的一条是直的[图19(（f）)]. 用于顶点连接⁴V（V）₄，附录中显示了所有有效的矩阵元素组合和邻接矩阵E类（支持信息）和附录中的所有非同构原图F类（支持信息）。

包含矩阵元素2的所有有效矩阵元素组合¹可以使用MatLab公司输出(即。图18). 在某些情况下，需要一个额外的过程来为包含矩阵元素2的矩阵元素组合导出多个非同构的原粒度（如果存在）¹和2²[如图19中的矩阵元素组合所示(b条)和19(c（c）)]. 如第9.2节所述，其他矩阵元素组合（不包含矩阵元素2的组合¹和/或2²)可能对应于多个非同构的原图，但这样的图将由材料实验室R2019b代码（附录B类，支持信息）。

9.5条。指定包裹边和展开边

接下来，我们将包裹的边和所有可能的展开方向指定给原始纹理，以生成定向原始纹理。定向原粒度是一个原粒度，其中一个或多个边被指定为包装在+c（c）或−c（c）方向，并由（i）指定给定原始纹理的一个或多个直边作为包装在+c（c）或−c（c）方向和/或（ii）指定展开方向(+c（c）或−c（c）)原颗粒的一个或多个包裹（弯曲）边缘。

图20(一)显示了原始纹理，图20(b条)显示了一个对应的定向原始纹理，其中1–2条边被指定为包裹，图20(c（c）)显示了相应的（展开的）链图。分配和展开1–3、2–4或3–4边会得到相同的链图[图20(c（c）)]因为这些边与边1–2属于相同的边子集[图20(一)]. 将2–3条边指定为包裹的结果会产生不同的定向原始纹理[图20(d日)]展开该图会生成一个链图[图20(e（电子）)]与图20中的链图不同构(c（c）)因为1–2和2–3边属于不同的边子集[图20(一)]. 在从单个原纹理生成的一系列有向原纹理中展开一条边时，只有当展开的边属于不同的边子集时，才会生成非同构链图。

图20
用于顶点连接²V（V）₂^三V（V）₂, (一)矩阵元素组合（10×1）及其顶点和边子集的原图(b条)定向原粒度，其中1–2条边（边子集[2]的）被指定为包装在+c（c）方向，以及(c（c）)生成的链图。(d日)定向原粒度，其中2–3条边（边子集[1]的）被指定为包装在+c（c）方向，以及(e（电子）)生成的链图。请注意，展开属于不同边子集的单条边如何导致非同构链图。图例如图7所示

; 弯曲的1–2和2–3边上的绿色和红色箭头表示展开边的方向：绿色=+c（c）方向，红色=−c（c）方向。

10.所有非同构链图和簇图的推导

对于给定的^c（c）V（V）_第页，我们可以使用上述方法导出所有可能的非同构原图（及其相关的邻接矩阵），并确定其顶点和边子集。然后，可以使用一个特定的原粒度来生成与其兼容的所有非同构定向原粒度。这分两个步骤完成：（i）将原始图中的所有弯曲边分配给它们要展开的方向（通过分配绿色和红色箭头，例如图20); （ii）原颗粒中所有独特的直边组合（除了2¹直边展开此直边会产生矩阵元素2²我们已经在其他矩阵元素组合中产生了）是类似的分配方向，它们将在其中展开。（i）和（ii）的结果是一组有向原图。反过来，这些有向原图的包裹边可以被解开，以生成所有非同构链图和簇图。定向原颗粒中可能出现两种类型的边：弯曲（包裹）边和直边。曲线边必须链接到相邻重复单元的顶点，因此在生成链图时必须始终展开曲线边。如图20所示（第9.5节)当指定单个直边作为包装时，只需要从每个子集中选择一条边来生成所有非同构定向原粒度集。将多条直线指定为包裹时，必须导出所有唯一的直线组合（边组合）（与它们所属的边子集无关）生成所有非同构有向原图的集合，并且展开这样的有向原图将生成与父原图一致的所有非同构链图。对于给定的原纹理，如果指定为包裹的边不属于相同的边子集和/或如果指定给这些边的方向不同，则边组合和相应的定向原纹理称为唯一的。一旦将原始纹理的直边组合指定为包裹，这些边将替换为弯曲边，并用红色和绿色箭头标记，以指示展开方向：绿色=+c（c），红色=−c（c）。如果一条边被指定为包裹，则该边展开的方向将作为上标附加到相应的矩阵元素中，如第6节所述.

10.1. 展开边和冗余展开：阶数为1和2的顶点

对于给定的每个原始纹理，必须将所有唯一的边组合指定为包装^c（c）V（V）_第页然后展开以生成与之对应的所有非同构链图^c（c）V（V）_第页然而，这些边组合中的许多对应于有向原图，这些原图一旦展开，就会生成与先前生成的链图同构的链图。考虑具有顶点连接性的原始纹理¹V（V）₁^三V（V）_三如图21所示(一). 该原始纹理具有连接顶点3和4的弯曲边，必须为该边指定彩色箭头，以指示其展开方向，然后才能将直边指定为包裹边。对于原始纹理中弯曲的边，展开方向不重要；这可以在未包装的链图中看到[图21(c（c）)]其中顶点3链接到中的顶点4+c（c）方向和顶点4链接到−中的顶点3c（c）方向。图21(b条)显示了通过将彩色箭头指定给边缘3–4和图21而产生的定向原始纹理(c（c）)显示了相应的链图，其中单个重复的顶点和边分别被涂成黄色和绿色。图21(d日)显示了通过将3–4和1–2条边指定为包裹边而产生的定向原始纹理，以及图21(e（电子）)显示了相应的链图，其中展开了+c（c）方向用蓝色箭头表示，原始展开的1–2边用虚线表示。然而，展开1–2边不会产生新的链图[比较图21(c（c）)和21(e（电子）)]. 在图21中(（f）)，3–4和1–2边也会展开，但1–2边缘会在−中展开c（c）方向；同样，我们没有产生新的链式图[图21(克)][比较图21(c（c）), 21(e（电子）)和21(克)]. 顶点1的阶数为1，通过单个1–2边连接到链。因此，将此边指定为沿任一方向包裹，必须生成与原始链图同构的链图，其中1–2条边未展开[图21(c（c）)]. 展开链接到1阶顶点的任何边[例如图21中的顶点1(d日), 21(（f）)]将生成一个链图，该链图与展开相同的有向原始纹理生成的链图同构，其中该边未展开。

图21
用于顶点连接¹V（V）₁^三V（V）_三(一)矩阵元组合（6×1）（2×2）的原图¹)以及相应的顶点和边子集(b条)指定3-4条边为包装在+c（c）方向和相应的邻接矩阵和边子集，以及(c（c）)生成的链图。(d日)定向原始纹理，其中3–4和1–2边缘被指定为包裹在+c（c）方向和相应的邻接矩阵和边子集，以及(e（电子）)生成的链图。(（f）)定向原始纹理，其中3–4和1–2边缘被指定为包裹在+c（c）和−c（c）方向，以及相应的邻接矩阵和边子集，以及(克)生成的链图。请注意(e（电子）)和(克)与中的链图同构(c（c）). 蓝色箭头表示中1–2条边的展开方向(e（电子）)的+c（c）方向和方向(克)−c（c）方向。每个链图中单个重复单元的所有边和顶点分别显示为绿色和黄色。图例如图7所示

和20

考虑具有顶点连接性的原始纹理²V（V）₂^三V（V）₂如图22所示(一); 没有弯曲的边，我们可以首先将2–3条边指定为包裹的，生成图22中生成的定向原始纹理(b条). 图22(c（c）)显示了通过展开−c（c）方向。如果相同原始纹理的2–3、1–2和1–3边缘被指定为包裹，则图22所示的定向原始纹理(d日)生成。图22(e（电子）)显示了通过展开−中的2–3条边生成的链图c（c）方向，中的1–2边+c（c）方向和中的1–3边+c（c）方向；所得链式图[图22(e（电子）)]与图22中的链图同构(c（c）). 生成此原始纹理的所有唯一边组合[图22(一)]，对应同构链图的边组合可以通过检查相应的边子集来确定。在图22中(d日)，边1–2和1–3被指定为包裹的，因此属于不同的边子集[3][与图22中的边子集相比(一), 22(b条)]. 这些边都在+c（c）方向和都链接到顶点1，因此是冗余的（可以省略），生成的边子集（和邻接矩阵）与图22中的相同(b条). 图22中的链图(e（电子）)与图22中的链图同构(c（c）)因此，展开边缘组合（1–2+、1–3+和2–3-）是多余的，并且相应的定向原始纹理（图22(d日)]不需要生成。

图22
用于顶点连接²V（V）₂^三V（V）₂, (一)原颗粒[与图20中的相同

(一)]对于矩阵元素组合（10×1）以及相应的顶点和边子集(b条)将2–3边指定为包裹在−中的定向原始纹理c（c）方向和相应的邻接矩阵和边子集，以及(c（c）)生成的链图。(d日)定向原始纹理，其中1–2和1–3边缘被指定为包裹在+c（c）方向和−中的2–3边c（c）方向，以及相应的邻接矩阵和边子集，以及(e（电子）)生成的链图。(（f）)其中2–3和1–2边缘被指定为包裹在−c（c）方向和中的1–3边+c（c）方向，以及相应的邻接矩阵和边子集(克)合成链图，以及(小时)这个链图的一个非交错版本。请注意(e（电子）)与中的链图同构(c（c）)作为涉及顶点1的展开(d日)都是多余的。图例如图21所示

相同的边缘（1–2、1–3和2–3）被指定为如图22所示的包裹(d日)，但1–2边将在−中展开c（c）方向和生成的定向原始纹理如图22所示(（f）). 对应的链式图[图22(克)]与图22中的链图非同构(c（c）), 22(e（电子）)从图22中可以清楚地看到(小时)它显示了图22中的链图(克)去除了边缘的一些视觉重叠（我们将此过程称为解开）。连接到顶点1（1–2和1–3）的两条边沿相反方向展开，因此没有冗余；因此，该边缘子集[图22(（f）)]必须使用，因为相应的有向原图可能会生成一个新的非同构链图[图22(克), 22(小时)].

考虑图23中的相同原图(一). 我们可以选择一个边组合，其中1–2、1–3、2–4和3–4边被指定为包裹在+c（c）方向和2–3边被指定为包裹在−中c（c）生成定向原始纹理和相应边缘子集的方向[图23(b条)]. 展开此图将生成图23中的链图(c（c）). 对该边子集的检查表明，连接到顶点1和4的两条边在+c（c）方向，因此是冗余的，并且这个有向的原图不会生成新的非同构链图。展开涉及顶点4的边是多余的，如果省略，其余的边子集与图22中的相同(d日)和图22中的链图(c（c）), 22(e（电子）)和23(c（c）)是同构的。或者，我们可以省略涉及顶点1（而不是顶点4）的边的展开，以生成图23中的边子集、邻接矩阵和相应的定向原始纹理(d日). 展开此图将生成图23中的链图(e（电子）)它与图22中的链图同构(c（c）), 22(e（电子）)和23(c（c）). 如果涉及顶点1和4的冗余展开[图23(b条)]则剩余的边缘子集与图22中的相同(b条). 因此，对应于图22中边缘子集的边缘组合(d日), 23(b条)和23(d日)不需要考虑，因为每个都会生成与图22中的同构的链图(c（c）).

图23
用于顶点连接²V（V）₂^三V（V）₂, (一)原颗粒[与图20中的相同

(一)]以及相应的顶点和边子集(b条)有向原型图，其中1–2、1–3、2–4和3–4边被指定为包裹在+c（c）方向和2–3边被指定为包裹在−中c（c）方向及其相应的邻接矩阵，以及(c（c）)生成的链图。(d日)通过省略涉及顶点1的冗余展开生成的定向原始纹理(b条)，及其对应的邻接矩阵和边子集，以及(e（电子）)生成的链图。请注意(e（电子）)与中的链图同构(c（c）). 图例如图7所示

和21

考虑图24中的相同原图(一). 我们可以选择一个边组合，其中1–2、1–3、2–3和2–4边被指定为包裹在+c（c）方向和3–4边被指定为包裹在−中c（c）图24中生成定向原始纹理和相应边缘子集的方向(b条). 展开此图将生成图24中的链图(c（c）). 对该边子集的检查表明，涉及顶点1和3的所有边都在+c（c）方向，并且不会生成新的非同构链图。如果我们省略涉及顶点1的展开，我们将生成图24中的边子集、邻接矩阵和定向原始纹理(d日). 展开此图将生成图24中的链图(e（电子）)它与图24中的链图同构(c（c）). 或者，我们可以省略涉及顶点3（而不是顶点1）的展开，以生成图24中的边子集、邻接矩阵和相应的定向原始纹理(（f）). 展开此图将生成图24中的链图(克)它与图24中的链图同构(c（c）), 24(e（电子）). 与图24中的边子集相对应的边组合(b条), 24(d日)不需要考虑展开，因为它们将生成与图24中同构的链图(克)当我们开始选择涉及1、2、3条边等的边组合时，这一点已经在方法中生成。如果某个顶点链接到循环和/或多条边，则涉及特定顶点的边不能在同一方向上展开。因此，如果一行n个（或列n个)在邻接矩阵中包含矩阵元素2，2¹和/或2²，所有链接到顶点的边n个不能以与矩阵元素2和2相同的方向展开²指示在两个方向和矩阵元素2上展开¹指示一条已包裹的边和一条未包裹的边。

图24
对于顶点连接²V（V）₂^三V（V）₂, (一)原颗粒[与图20所示相同

(一)]以及相应的顶点和边子集(b条)定向原始纹理，其中1–2、1–3、2–3和2–4边被指定为包裹在+c（c）方向，3–4边被指定为在−c（c）方向，其对应的邻接矩阵和边子集，以及(c（c）)生成的链图。(d日)通过省略涉及顶点1的冗余展开生成的定向原始纹理(b条)、其相应的邻接矩阵和边子集，以及(e（电子）)生成的链图。(（f）)通过省略涉及顶点3的冗余展开生成的定向原始纹理(b条)、其相应的邻接矩阵和边子集，以及(克)生成的链图。请注意(c（c）), (e（电子）)和(克)是同构的。图例如图7所示

和21

10.2、。展开边和冗余展开：阶数为3和4的顶点

考虑图25中相同的原始纹理(一). 我们可以选择一个边组合，其中1–3和2–3边被指定为包裹在+c（c）方向和2–4边被指定为包裹在−中c（c）图25中生成定向原始纹理和相应边缘子集的方向(b条). 展开此图将生成图25中的链图(c（c）)解开纠缠后，我们看到这个链图由两个不相连的链图组成[图25(d日)]. 这里，涉及顶点3的三分之二的边在+c（c）方向；省略这样的展开会产生图25中的边缘子集、邻接矩阵和定向原始纹理(e（电子）). 然而，展开此图会生成图25中的链图(（f）)与图25中的不同构(c（c）), 25(d日). 因此，只有在同一方向（如第10.1节所述）全部展开时，才能忽略给定顶点的展开). 将2-4条边指定为包裹在−中的边组合c（c）方向和3–4边被指定为在+c（c）方向生成图25中的定向原始纹理和相应的边缘子集(克). 展开此图将生成图25中的链图(小时)以及对该链式图的无角度版本的检查[图25(我)]表明它与图25中的同构(c（c）), 25(d日). 因此，展开非同构有向原图可能会（也可能不会）产生同构链图。这就是为什么这种生成方法可能会为给定的原图生成重复的链图的原因。注意，在展开前预测哪些有向原型图将导致同构链图并不总是可能的，但可以使用附录中描述的规则对大多数原型图进行预测A类.

图25
用于顶点连接²V（V）₂^三V（V）₂, (一)原颗粒[与图20中的相同

(一)]以及相应的顶点和边子集(b条)定向原始纹理，其中1–3和2–3边缘被指定为包裹在+c（c）方向和−中的2–4边c（c）方向，其对应的邻接矩阵和边子集(c（c）)合成链图(d日)这个链图的一个非交错版本。(e（电子）)通过省略涉及顶点3的冗余展开生成的定向原始纹理(b条)、其相应的邻接矩阵和边子集，以及(（f）)与中链图非同构的合成链图(c（c）). (克)将2-4边指定为包裹在−中的定向原始纹理c（c）方向和3–4边被指定为在+c（c）方向，其对应的邻接矩阵和边子集(小时)合成链图，以及(我)这个链图的一个非交错版本。请注意中的链图(小时)和(我)与中的链图同构(c（c）)和(d日). 图例如图7所示

和21

考虑图26中的原始纹理(一)其中两个2-3边缘中的一个是弯曲的。箭头自动分配到该边，以生成图26中的边子集、邻接矩阵和定向原始纹理(b条). 展开此图将生成图26中的链图(c（c）). 如果图26中定向原始纹理的1-2边缘(b条)被指定为包装在−中c（c）方向，图26中的定向原始纹理(d日)已生成。展开该图生成图26中的链式图(e（电子）)它与图26中的链图同构(c（c）). 在图26中(d日)，与顶点2相关的三分之二的边（1–2，3–2）在同一个位置展开(+c（c）)第三条边未展开。如果我们将1–2边的展开方向从−c（c）[图26(d日)]至+c（c）图26中的边子集、邻接矩阵和有向原图(（f）)生产。展开此图将生成图26中的链图(克)它与图26中的不同构(c（c）), 26(e（电子）). 这里，链接到顶点2的三分之二的边以相反的方向展开。如果图26中定向原始纹理的1-3边缘(（f）)被指定为包装在+c（c）图26中的方向、边缘子集、邻接矩阵和定向原图(小时)生产。展开此图将生成图26中的链图(我)它与图26中的同构(c（c）), 26(e（电子）). 这里，链接到顶点1的四分之三的边在同一张图中展开(+c（c）)方向（对角矩阵元素2表示在两个方向上展开），第四条1–2边在−中展开c（c）方向；链接到顶点3的三条边中的三分之二沿同一方向展开，第三条边未展开。

图26
用于顶点连接^三V（V）₂⁴V（V）₁, (一)矩阵元组合（4×1）（2×1）¹)及其顶点和边子集(b条)定向原始纹理，其中2–3条边被指定为包装在+c（c）方向，其对应的邻接矩阵和边子集，以及(c（c）)生成的链图。(d日)将2–3边指定为包装在+c（c）方向和1–2边被指定为包裹在−中c（c）方向，以及相应的邻接矩阵和边子集，以及(e（电子）)生成的链图。(（f）)定向原始纹理，其中2–3和1–2边缘被指定为包裹在+c（c）方向，其对应的邻接矩阵和边子集，以及(克)生成的链图。(小时)定向原始纹理，其中2–3、1–2和1–3边被指定为包装在+c（c）方向，其对应的邻接矩阵和边子集，以及(我)生成的链图。请注意，中的链式图(e（电子）)和(我)与中的链图同构(c（c）)作为涉及顶点2的展开(d日)是多余的，涉及顶点1的展开(小时)都是多余的。图例如图7所示

和21

10.3. D*顶点和冗余展开

基于第10.1节中的示例和10.2，我们得出如下结论：如果链接到有向原纹理的特定顶点（任何程度）的边有一半以上在同一方向上展开，而其他边没有展开，则不会产生新的非同构链图。我们将这样的顶点称为D*顶点。因此，不需要考虑产生具有D*顶点的边子集的任何边组合。注意，只有当相应的矩阵行（和列）仅包含矩阵元素1和2时，D*顶点才可能¹使用相同的符号（all+或all−）。还请注意，边组合（如1–3–、1–2–和1–3+、1–2+）是多余的，因为它们生成同构链图（平移轴的正向反转），因此只需要考虑其中一个边组合。

10.4. 线性和多边形分支

分支是通过一条边链接到链图主干链的一组顶点。链图可能包含两种类型的分支：（i）线性分支和（ii）多边形分支。线性分支不包含多边形，多边形分支包含多边形。在图27中(一)，顶点2到9形成一个线性分支，因为它们通过一条边（1-3）连接到主干链（顶点1）。在图27中(b条)，顶点2、4、5和6形成一个线性分支，因为它们通过一条边（2–3）连接到主干链（顶点1和3）。在图27中(c（c）)，顶点2、3、4、5和6通过一条边（1-3）连接到主链（顶点1），形成多边形分支。

图27
(一)一个具有顶点连通性的原图和相应的链图¹V（V）_三²V（V）₄^三V（V）₁⁴V（V）₁其中边3-5、3-2、3-7、2-4、5-6、7-8和8-9以及顶点2-9形成线性分支，边1-1和顶点1形成主干链。(b条)一个具有顶点连通性的原图和相应的链图¹V（V）₂²V（V）₁^三V（V）₂⁴V（V）₁其中边3–2、2–4、2–5和5–6以及顶点2、4、5和6形成线性分支，边1–1、3–3和1–3以及顶点1和3形成主干链。(c（c）)一个具有顶点连通性的原图和相应的链图²V（V）₂^三V（V）₄其中边3–2、3–5、2–5、2–4、5–6和4–6以及顶点2至6形成多边形分支，边1–1和顶点1形成主链。图例如图7所示

线性分支的识别简化了链图的生成，因为线性分支（有向原纹理）的任何边（在任意方向）的展开都不会产生新的非同构链图。考虑具有顶点连接性的原始纹理¹V（V）₂²V（V）₁^三V（V）₂如图28所示(一). 展开该图生成图28中的链式图(b条)其中顶点2、3、4和5形成一个线性分支，通过单个边（1-2）连接到主干链。将这样的分支中的任何边指定为已包装，将不会生成新的非同构链图。如果3–5边被指定为包裹在+c（c）方向，图28中的定向原始纹理(c（c）)已生成。展开此图将生成图28中的链图(d日)它与图28中的链图同构(b条)因为顶点5是D*顶点。图28中的定向原颗粒(e（电子）)通过指定包裹在+c（c）方向。展开此图将生成图28中的链图(（f）)它与图28中的链图同构(b条)和28(d日). 图28中的定向原颗粒(克)通过将1–2、2–3和3–5边指定为包裹在+c（c）方向。展开此图将生成图28中的链图(小时)它与图28中的链图同构(b条), 28(d日)和28(（f）).

图28
(一)具有顶点连通性的原粒度¹V（V）₂²V（V）₁^三V（V）₂及其相应的邻接矩阵，以及(b条)边1–2、2–3、3–4和3–5以及顶点2至5形成线性分支的合成链图（用绿色椭圆表示）。(c（c）)一种定向原始纹理，其中3-5条边被指定为包装在+c（c）方向，其对应的邻接矩阵，以及(d日)得到的链式图。(e（电子）)定向原始纹理，其中2–3和3–5边缘被指定为包裹在+c（c）方向，相应的邻接矩阵，以及(（f）)生成的链图。(克)定向原始纹理，其中1–2、2–3和3–5边被指定为包裹在+c（c）方向，其对应的邻接矩阵，以及(小时)生成的链图。注意如何在(b条), (d日), (（f）)和(小时)是同构的。图例如图7所示

展开图29中的定向原始纹理(一)生成包含由三元环组成的多边形分支的链图[图29(b条)]. 在图29中(c（c）)，显示了相同的定向原始纹理，其中2–4边被指定为包裹在−中c（c）方向。展开此图将生成图29中的链图(d日)它与图29中的链图不同构(b条).

图29
(一)具有顶点连通性的原粒度²V（V）₂^三V（V）₂，其对应的邻接矩阵，以及(b条)边2–3、3–4和2–4以及顶点2、3和4形成多边形分支的合成链图。(c（c）)将2-4边指定为包裹在−中的定向原始纹理c（c）方向，以及(d日)不包含分支且与中的链图非同构的合成链图(b条). 图例如图7所示

展开线性分支的任何边都会生成一个链图，该链图与展开相同的有向原纹理（其中该边未展开）所生成的链图同构。这种情况与线性分支的边是否连接到D*顶点无关。因此，任何涉及线性分支边缘的边缘组合（以及相关的定向原始纹理）都不需要考虑。如果多边形分支的边被展开，则可能会生成额外的非同构链图，与线性分支不同，必须展开这些边的所有唯一组合，以确保生成所有非同构链图。

仅包含元素“1”[矩阵元素组合]的任何原粒度和邻接矩阵(米₁×1）]并且不包含多边形，则不能对应于链，可以省略。将这样一个原颗粒的边缘指定为包裹（以任何组合和方向），然后展开这样的边缘，将始终生成原始的原颗粒，而不会生成非同构的簇或链。这种简化非常重要，因为它可以大大减少从给定的原图生成非同构链图所花费的时间。

10.5. 导出非同构链图：²V（V）₂^三V（V）₂

到目前为止，我们已经推导出了所有有效的矩阵元素组合（表2)，关联矩阵（图12)以及相应的具有顶点连通性的原型图²V（V）₂^三V（V）₂（图13)我们已经确定了这些元素组合中的哪些对应于多个不同的矩阵和非同构的原纹理。18个非同构原纹理中每一个不会产生D*顶点的边的所有唯一组合现在都可以展开以生成所有非同构链图。用于顶点连接²V（V）₂^三V（V）₂，我们在附录中给出了矩阵元素组合（10×1）的示例C类（支持信息）。具有顶点连通性的所有其他非同构链图²V（V）₂^三V（V）₂生成（附录G公司，支持信息），通过分配其他17个原始纹理的边缘（图13)以所有独特的组合进行包装，然后展开生成的定向原始纹理。注意，矩阵元素组合（10×1）是最复杂的情况²V（V）₂^三V（V）₂随着非同构有向原图的数量（以及生成的非同构链图的数量）随着对应矩阵元素组合中的1的数量的减少而减少。这发生在与矩阵元素2、2相关的包裹边的数量和方向上¹和2²是固定的，因此可以指定为包裹在+c（c）或−c（c）方向，以及更少的潜在非同构有向原图和结果链图。

10.6. 生成所有可能的非同构原图和链图

图30总结了生成所有可能的非同构链图的一般过程.使用材料实验室R2019b附录中列出的代码B类（支持信息）。在第8节中，设定∑边界极限的基本原理第页≤8。然而，我们并没有生成所有顶点连通性的所有原图和非同构链图(^c（c）V（V）_第页)对于∑第页≤8，因为非同构链图的数量随着增加呈指数增长e（电子）（边数），对于较大的值第页并且会产生大量不切实际的链图。对于某些顶点连通性，生成了∑的所有非同构链图第页≤ 8 (例如 ²V（V）₈)，但对于大多数顶点连通性，都会生成∑的链图第页≤4–6，因为这会产生一组大小可控的链图。对于每个选定的^c（c）V（V）_第页，附录中列出了所有有效的矩阵元素组合及其相应的邻接矩阵E类（支持信息）。与附录中每个邻接矩阵相对应的所有原图E类编入附录F类（支持信息）。在附录中C类，我们展示了如何生成所有具有顶点连通性的非同构链图²V（V）₂^三V（V）₂对应于矩阵元素组合（10×1）。使用上述方法生成的所有非同构链图都在附录中进行了编译G公司（支持信息）。集群包含在附录中G公司仅当它们与原始纹理不同构时（附录F类)它们是从中生成的。附录中显示的所有可能的集群F类和G公司对应于完全由1的as（SiO）组成的矩阵元素组合₄)^4–四面体无法链接到自身（对角线2）或与其他（SiO）共享边₄)⁴⁻四面体（非对角线2）。附录A类是一个规则列表，用于确定^c（c）V（V）_第页表达式和/或定向原图可以忽略不计，因为它们不会产生额外的非同构链图。附录D类（支持信息）解释了附录E类,F类和G公司（支持信息）的组织和使用方法。

图30
从可能的顶点连通性的完整集合导出所有非同构链图的整体方法的流程图¹V（V）_第页1²V（V）_第页2^三V（V）_第页三⁴V（V）_第页4。绿色方框表示操作，黄色方框表示产品。

11.讨论

人们经常在文献（以及提交的手稿评论中）中读到，应该“将观察到的结构与其他可能的结构安排进行比较”，就好像只有一个或两个其他可能的相同（或类似）化学计量的结构安排一样。我们在这里已经表明，对于特定的化学计量，通常有大量拓扑上可能的结构安排。的确，Day&Hawthorne（2020年)结果表明，在～450链硅酸盐矿物中观察到了～50个非同构的硅酸盐四面体链排列，其中4个出现在～375链硅酸盐中，～46个出现在~75链硅酸盐中。将这些数字与拓扑上可能的甚至是适度化学计量比的链数进行比较表明，大多数链图（见附录G公司对于T型O（运行）_n个化学计量学n个≤8）不存在于矿物或合成化合物中。图31显示了可能范围的分布T型O（运行）_n个对于一维和二维硅酸盐聚合（黄色框）T型O（运行）_n个在矿物中观察到（Day&Hawthorne，2020). 从图31中可以明显看出原子排列的化学组成（至少部分）由其排列的键拓扑特征控制，并且所有可能的非同构链图的生成提供了（i）“将观察到的结构与其他可能的结构排列进行比较”的机会，以及（ii）研究为什么链（和片）排列的某些化学计量在拓扑上是可能的，但在晶体结构中却没有观察到。

图31
范围T型O（运行）_n个用于链状和片状硅酸盐。黄色方框显示四面体的一维和二维聚合在拓扑上可能的范围，绿色方框显示在链状和片状硅酸盐矿物中观察到的组成范围。修改自Day&Hawthorne（2020）

在本工作的第二部分中，我们将详细研究影响（i）晶体结构中特定链拓扑的出现或不出现的因素；（ii）在广泛的晶体结构仅在一个或两个结构中的排列和其他链拓扑；以及（iii）丰富矿物中特定链拓扑的出现与仅在稀有矿物中出现其他拓扑的情况。此外，作为n个在里面T型O（运行）_n个可以直接从任何^c（c）V（V）_第页，可以生成任何特定链化学计量比的所有非同构链图，明确允许将观察到的结构与相同（或相关）化学计量比其他可能的结构安排进行比较，还允许预测特定化学成分的可能结构。

附录A

确定以下内容的规则^c（c）V（V）_第页表达式和/或定向原图不会产生额外的非同构链图

规则的详细信息如表3所示.

表3
确定以下内容的规则^c（c）V（V）_第页表达式和/或定向原图不会产生额外的非同构链图

对于规则[2]和[6]，单个重复单元的顶点和边分别显示为黄色和绿色。

规则或属性	示例
[1] 任何图形(^c（c）V（V）_第页)具有奇数个奇数阶顶点是不可能的。任何^c（c）V（V）_第页哪里e（电子）_A类是可以忽略的奇数	A类¹V（V）₂²V（V）₂^三V（V）₁图形不可能作为e（电子）_A类= 9
[2] 任何两个同构有向原图，其中每个同构包裹边的方向相反，都会生成平移轴反转的同构链图。只需要考虑一个这样的定向原型
[2] 任何两个同构有向原图，其中每个同构包裹边的方向相反，都会生成平移轴反转的同构链图。只需要考虑一个这样的定向原型	两个同构²V（V）₂^三V（V）₂所有等价边以相反方向包裹的有向原图：生成的链图是同构的
[3] D顶点：如果连接到顶点的所有边都沿同一方向缠绕，则该顶点为D顶点。用D*顶点展开有向原图不会产生新的非同构链图。展开链接到1次顶点的任何边将永远不会产生新的非同构链图
	顶点1是一个D顶点。没有必要将1连通顶点的边指定为包裹，因为这将导致D顶点	顶点1是一个D*顶点
[4] 3度的D顶点：如果3度的顶点有两条沿同一方向缠绕的边和一条未缠绕的第三条边，则该顶点是D顶点，且有向原图在展开后不会形成新的非同构链图
	顶点3是一个D*顶点
[5] 4度的D顶点：如果4度的顶点有三条沿同一方向缠绕的边和一条未缠绕的第四条边，则该顶点是D顶点，且有向原图在展开后不会形成新的非同构链图
	顶点1是一个D*顶点
[6] 线性分支：展开线性分支的任何边都不会生成新的非同构链图。多边形分支不是这样的
[6] 线性分支：展开线性分支的任何边都不会生成新的非同构链图。多边形分支不是这样的	边1–2、2–3、3–5和3–4组成线性分支。未包裹此分支的边缘	线性分支的每一条边都被包裹，生成的链图与左边的链图同构

支持信息

附录B:MatLabR2019b代码。DOI（操作界面）：https://doi.org/10.107/S2053273322001747/uv5008sup1.pdf

附录C：生成2V23V2链图的示例。DOI（操作界面）：https://doi.org/10.107/S2053273322001747/uv5008sup2.pdf

附录D：附录E、F、G的使用说明DOI：https://doi.org/10.107/S2053273322001747/uv5008sup3.pdf

附录E：矩阵元素组合和邻接矩阵。DOI（操作界面）：https://doi.org/10.107/S2053273322001747/uv5008sup4.pdf

附录F：矩阵元素组合和原始图形。DOI（操作界面）：https://doi.org/10.107/S2053273322001747/uv5008sup5.pdf

附录G：矩阵元素组合和链图。DOI（操作界面）：https://doi.org/10.107/S2053273322001747/uv5008sup6.pdf

致谢

我们感谢Stephen Kirkland博士建议使用特征多项式方程确定顶点同构，Cody Ross博士建议改进我们的材料实验室R2019b代码，以及三位匿名评审员的评论。

资金筹措信息

这项工作得到了马尼托巴大学MCD研究生奖学金和加拿大自然科学与工程研究委员会FCH发现基金的支持。

工具书类

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