玛瑞琳·伯恩斯(@巴恩斯马斯)最近写过博客关于她通过NCTM的儿童数学教学和Mike Flynn遇到的一个问题
这节自行车商店课不仅为学生们带来了财富，也为她自己带来了财富。在探索底层结构时，您可以触及许多不同的主题。查看玛丽莲的博客，亨利·皮奇奥托的博客和Simon Gregg的推文再多吃一点！
当我从别人那里读到这些想法时，它让我想起了我在高中代数2学生身上上的一堂类似的课。它还处理了数字的划分，但探索了与单车、自行车和三轮车不同的约束。在探索这些约束条件时，我的学生发现了一些有趣的模式，包括帕斯卡三角、二次幂、斐波那契数列、，
火车车厢编号课程
这里有三列长度为6的火车，但它们由不同数量的车厢和不同类型的车厢组成。有多少不同的火车？
关于协商“数学差异”的笔记
我故意让这个问题含糊其辞，因为我想让学生们用多种方式来解释它。受以下因素影响雅克尔和科布1996年的文章《社会数学规范》我希望学生们在小组中就什么是不同的.
[注：我确实明确地问过我的学生关于5号列车的问题，以便他们出发。我以后可能会选择其他方式]
学生完善问题
我给了学生剪贴画（包含在PDF中），以支持解决问题的几个方面。首先，缩放的剪切块支持非数字表示。第二，易于改变的性质意味着学生可以快速重新排列块，并且不会锁定到他们最初表示的内容。第三，他们必须将思维从切口形式化为更永久的代表。最后，剪贴画很容易由多人操作，因此可以促进小组讨论。
以下是我的学生的一些想法：
- 2+2+1与2+1+2不同吗？如果它们是一样的呢？
- 如果你不允许复制汽车怎么办？（所以2+2+1是不允许的，因为有两个“2s”）
- 所有“1辆车”都一样吗？
- 我们可以使用负片汽车吗？（例如长度为“-2”的汽车）
- 我们可以使用部分汽车吗？(“1.5”)
- 反射的火车是一样的吗？（2+2+1和1+2+2可能相同，而2+1+2不同）
- 如果我们被多少辆车限制了怎么办？（例如，只允许使用三辆车）
我对学生们欣然接受质疑规则并发展自己的规则的机会印象深刻。这是我们老师应该经常做的事情！我本想看到学生们的问题1和6，但其他问题都让我有些惊讶。我学到了很多关于我的学生如果有机会可以做什么的知识。他们透露了他们对排列、组合、排序、数字、结构的很多想法……今年晚些时候，当我们正式谈论这些主题时，我能够掌握这些知识。
问题的自由探索让来自多个能力水平的学生做出贡献。有一个学生在苦苦挣扎，他问起了负尺寸的汽车。这类问题会让你停下来；你可能想知道他是否在问这个问题，他明白这个问题吗？我很高兴我让他和他的团队一起探索。当学生发现答案时，答案“无限多的火车！”更有意义，而不是老师不允许调查提供答案。
学生作业
此外，我还让学生体验了测试自己猜想的结果。以下是他们调查的一些结果：（他们的工作中有一些小错误）
大多数研究小组发现，在某些假设下，长度为N的序列数为2^N。但是，暴露于产生其他模式的其他假设是进行数学实践元讨论的好地方隐藏结构个数字中的个。
学生组织作业时出现递归
这个小组发现了与帕斯卡三角的联系
我们讨论了一些组模式是如何组合在一起的，以及作为一个班级，我们是如何探索这个问题的许多边界的。然后，我们讨论了一些我们没有探索的边界：例如仅限于特定长度的汽车。（请注意，限制1、2和3辆车是自行车商店问题！
因此，当玛丽莲和亨利分享关于自行车店问题的想法时，我回忆起我的学生们的工作，以及我们如何将各种假设联系到一个更大的结构中。我一直在思考由8个轮子组成的单车、自行车和三轮车在组织内部组合和分区。
我自己回到这个问题上，四处寻找新的概念，这是多么有趣啊！它还没有完成…
限制为只有1和2有另一个有趣的结果，我不会在这里破坏…你自己试试吧！和你的学生一起试试！）另一个扩展是仅限于超长汽车。我最后分享了哥德巴赫猜想:
每个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和
我问我的学生们他们是怎么想的，他们可能会怎么做，它与他们所想的火车车厢有什么联系。然后我让他们知道这个问题没有解决。“你是数学家社区的一员……测试假设，做出猜测，组织和分享想法。”这是我最喜欢的课程之一。（也是进入寒假的好方法……“你的休息硬件是解决哥德巴赫问题，玩得开心！”）
火车车厢课程PDF格式 –这是“本地化”的，用了一个有趣的名字来代表我的学校和今年的时间安排（“Skyline Express”），但我也把它作为一个参与性测验，所以这个pdf中的任务介绍部分是针对这种课堂形式的。
区分为全部的水平
注意这些划分问题的各个方面，激发了从小学到高中，到教师，当然还有专业数学家的学生的好奇心。当学习者有机会自己完善问题并探索自己的想法时，任务就变得个性化了。当任务是个性化然后我们就可以做了社会化的：人们分享自己的想法和工作。
工具书类
Skyline Express课程材料PDF格式–Scott Farrar 2013年
NCTM–教儿童数学–自行车商店http://www.nctm.org/Publications/Teaching-Children-Mathematics/2016/Vol23/Issue1/The-cycling-shop/2016年8月
Yackel，E.和Cobb，P.（1996年）。数学中的社会数学规范、论证和自主。数学教育研究杂志， 27(4), 458-477. doi:1。检索自http://www.jstor.org/stable/749877doi:1个
