CFOS：其他网站的评论：我在网上写了很多关于数学和数学教育的文章……只是不总是这样。在这些帖子中，如果需要的话，我会链接到另一个站点并复制我的评论。大多数情况下，这是给我的，所以我有一本日记，把我的想法放在一个地方。
今天的首席财务官来自Dan Meyer的博客关于马尔科姆·斯旺提出的精彩且颇有名气的任务。丹写道，
这里是最初的马尔科姆·斯旺任务，我喜欢：
在方格纸上画一个形状，并画一个点以显示其周长和面积。网格上的哪些点表示正方形、矩形等？画一个可以用点（4，12）或（12，4）表示的形状。找到所有“不可能”的点。
我们可以在这里讨论添加一个上下文，但如此大规模的更改将阻止关于教育学的精确对话。这就像把老虎比作企鹅。我们将了解到四足动物和两足动物之间的一些高层差异，但将老虎与狮子、美洲虎和猎豹进行比较可以让我们深入了解细节。这就是我想参加这次讨论的地方。
看看这四种任务表示法。它们揭示和隐藏了数学的哪些特征？他们的优点和缺点是什么？
纸张
处理(Dan Anderson的代码)
Scott Farrar的Geogebra
Dan推特粉丝的Desmos活动
以及我的评论：
我喜欢以上所有的组合。
Desmos活动似乎存在无错误检查的缺点。（或者，如果您想回想起在CMC Asilomar的演讲，如果这是一款视频游戏，它会要求您在无法实现边界/区域的情况下重试）在自定义Desmos小程序中，您可以在头脑风暴矩形阶段询问宽度和高度，然后第二个屏幕询问边界和区域吗？（这里还有几个选项……您仍然可以接受与给定宽度和高度不匹配的边界和区域：只需分别标记它们，然后您可以将它们从覆盖图中筛选出来，或者根据下节课的位置将它们包括在内）
似乎也有人在研究某种类型的矩形，从而创建了一条相当直的线。很好的对话开始…
我认为我偏爱我的geogebra one拥有非数字入口点的能力。另一方面，他们也没有直接提高自己在该领域的技能。学生不受计算的阻碍，但也不受计算支持。但是……我喜欢给学生一个任务，让他们进行手动和模拟交互，这意味着他们正在通过物理运动和视觉反馈挖掘数学概念的约束和边界。学生是否会立即意识到并对这个他们似乎无法将圆点插入的区域感到好奇？
我喜欢的加工型与手工制作的geogebra形成对比。我们将如何围绕这个想法进行系统的实验？当我们设计出一种系统的方法时，计算机可以帮助我们执行它。我们可以看到点的密度是不均匀的——这种周长-面积关系和我们实现实验的方式之间的相互作用是什么？（我猜想矩形尺寸是随机选择的，因此如果不是为了基本的周长面积概念，就可以创建一个想要统一的显示。）
手形图迭代有限，容易出现计算错误，速度较慢。然而，它的要求都是内部的（节省纸张和铅笔），而不是基于计算机的。手工绘图可能是所有其他想法的处理方式。如果我们在没有纸笔感觉的情况下，在计算机意义上体验笛卡尔图形，是否有关于笛卡尔图形概念如何变化的研究？我想知道！
现在，我想在教室里混合所有这些。当我在阿西洛马2013，我用过Malcom Swan的初始提示并提供了网格纸让与会者解决这个问题。直到后来我才换上geogebra版本(此处显示2013版，范围略有不同）
现在我会以同样的方式对待学生。以下是1-2天课程的大致时间表：
1.成组的纸张矩形。在你的小组中，在纸上画一张Perim v.Area图，上面有你的四个矩形。（这可能会立即纠正一些错误，比如如果孩子们用宽度和高度代替周长/面积，他们的小组可能会纠正这些错误）
2.组在Desmos上共享，添加更多矩形。他们现在不必在纸上画出来了。我们放弃了，因为Desmos会把它捡起来。因此，允许学生加强他们的概念/抽象方法。
3.课堂讨论、通知、疑问、地址错误……空白区域可能会变得很好奇。好的，现在我们已经使用了Desmos工具，但是如果我们想使用更多的矩形，让我们切换工具。
4.Geogebra草图和/或编程迭代。小组想出了一些东西来尝试和实验geogebra草图，或者设计一个脚本来生成周界和区域，并像Dan Anderson一样绘制它们。
5.单箱退货。哪些点在边缘？可以用Geogebra手绘草图进行调查。或者：可以在Desmos上交给全班一个任务：“设计出你认为最边缘的矩形”。
6.根据课堂的水平，你可以引导学生对所发生的事情做出合理的推测。
现在，我们已经把垫脚石从绘制单个矩形变成了由多个矩形及其（p，a）组成的集合，变成了一个比我们可以人工创建的更大的集合。当我们在第4步时，我们掌握了矩形的周长和面积的抽象，因此我们可以像在课堂开始时在纸上处理单个矩形一样轻松地进行抽象实验。但是，我们可以回到过去，使用每种工具来实现它的帮助。
我相信，这就是教育技术的力量：给抽象概念以具体的把握。但是，当与非技术方法协同工作时，技术是最强大的。科技的可能性如此之大，以至于没有任何一种工具能成为本课的灵丹妙药——每一种工具都暴露出一种新的载体。
最后，请记住Swan的提示（并非旨在使用技术）最初是通过提出一个不可能的点，然后指出还有许多其他的东西要找，从而得出了这个概念的存在。他的提示符通过两个示例定义了这两个区域（出于我们的目的，可以称为白色和红色）：一个是红色，另一个是白色。我想知道通过在纸上想象和推理来研究白色和红色的存在与在geogebra applet上弹跳它们的边界有什么不同。
