对我在12月11日至13日加州数学委员会北方会议上所参加会议的持续总结/反思。
数学论坛的安妮·费特（Annie Fetter）在早上的会议上利用技术促进概念理解（2014年版本的演示–非常相似），而Eli Luberoff在技术和智力需求。这两节课都关注如何将技术应用于对学生学习有意义的课堂。我的观点是，在课堂上实现技术应该和实现铅笔一样：它只是你要用它做什么。“实现技术”是教育中有时会出现的一个短语。“我们必须让我们的孩子掌握21世纪的技能！”这是否意味着学生应该在课堂上使用文字处理器或电子表格？这是否意味着学生应该进行编程或编写脚本？这是否意味着学生应该使用答案点击器说“B是答案”？玩电脑游戏？在计算器上绘制方程式？因为有太多的解释，当这些东西对学习数学或“21世纪技能”的实际影响程度大不相同时，它们中的许多被接受为“使用技术”。虽然学习文字处理或使用其他办公工具很重要，这并不是数学课堂的主旨。虽然答案点击器或智能板可以使课堂的某些后勤工作更加高效，但它们并不是以数学内容为中心的。那么什么样的“技术实现”是数学学习的好工具？女士。费特和卢伯罗夫先生来告诉我们一些！
费特首先演示了用几何画板制作的三角形活动。你可以请参阅此处的材料对于那些没有Sketchpad的人，我制作了交互式的在GeoGebra这里在这个活动中，要求学生拖动三角形的点并进行观察。Fetter自2007年以来开发了一种称为“注意和好奇”的方法（详见Max Ray的书《强大的问题解决能力》)她收集学生在提出任何具体问题之前注意到的关于数学图表、图片或情境的东西。这意味着它“支持学生在场景中找到尽可能多的数学知识，而不仅仅是找到答案的途径。”。“好奇”部分是相互交织的，其作用类似：当学生拖着这些点四处走动时，他们是否对自己观察到的东西感到好奇？也许“我想知道两个三角形是否可以相同”是一个数学上模糊的说法，但如果这是学生的精度水平，那么这是一个可以教的时刻，因为老师允许全班同学拿出所有可能的解释，与全班同学一起解释这一疑惑。毕竟，知道准确的词汇可能意味着学生超出了任务范围，因为对术语的精细使用可能是在脑海中形成概念概念的最后几件事之一。如果我们从来没有遇到过这样的属性，为什么我们需要*（稍后详细介绍！）来表示某些属性？为了达到掌握的程度，学生必须在词汇发展的过程中挖掘概念的特征和属性。注意和好奇有助于发展课堂讨论。
技术操纵者
那么，这项技术的意义何在？画板活动起到了操纵作用。它并不花哨，也不完全是“21世纪的技能”，但它能做其他操纵者做不到的事情。操纵开辟了学习概念的视觉/物理交流途径，为更困难的语言途径提供了支持。但操纵语的弱点在于，它们不能像语言交际那样精确，或者操纵语具有一些抽象的不真实属性。然而，技术操纵器可以帮助提高精确度，并减少不相关的属性。费特通过代数瓷砖的例子证明了这一点。学生经常在使用代数图块时，会试图“测量”x图块，因为这些图块在物理世界中必须具有恒定的长度。但它的恒定物理表示与它应该表示的变量的性质不一致。在基于计算机的代数平铺集上：x的长度可以改变，这样学生就有一种简单的方法来区分“当x=4时，我的布局是真的”和“我的布局对所有x值都是真的”的情况。我们通常很容易忽略厚度，但将长度x和面积1x指定给同一块瓷砖。基于计算机的Algebra Tile集合Fetter选择了不修复此问题，但可以在屏幕上用1D对象表示长度，用2D对象表示区域，而这在现实世界中是不可能的。
Sketchpad/Geogebra还允许从“现实世界”中无法访问的抽象概念中显示和隐藏事物。假设JKL总是等边的，但可以有任何大小的线段。这不是物理对象。JKL代表一整类三角形。JKL={所有三角形，这样JK=KL=LJ}意味着，当我们单击并拖动它的一部分时，我们会拖动它描述的无限集以显示另一个元素。这意味着学生可以实证研究这些抽象属性。他们可以探索关于三角形的每一个有声和无声猜测。
技术支持角色
这与Fetter演示的其他小程序非常相似。在每一个（Runners、Galactic Exchange、Algebra Tiles）中，教科书可能局限于复杂的学术语言的信息被改为交互式图形格式。Fetter指出，技术可以生成图表所示的情况，但它进一步为探索和实验提供了空间，当学生通过交互“要求”时，它会显示信息。因此，技术是抽象阶梯上的辅助工具。用技术建立概念知识意味着把它作为建立学生心理结构的垫脚石。费特的演示还表明，技术仍然只是要素不是替代品。我们老师仍在与学生讨论，我们仍在促进学生之间的讨论。技术可以降低任务入口点的负担：每个人都可以在屏幕上拖动一个点。词汇中有等腰词的学生与没有等腰词者处于同等地位：但当三角形的点被拖动时，他们都可以注意到三角形的两边是否保持等长。在接下来的讨论中，课堂上的知识和经验得到了整合和重新分配，因为有更多的学生能够参与到这些属性中，所以更加强大。
智力需求
Eli Luberoff从相关角度谈到了技术实现。智力需求是盖尔森·哈雷（Guerson-Harel）使用的一个术语。“为了让学生学习我们想要教给他们的东西，他们必须有这种需要。”（哈雷，2013）其中，智力需求可以被认为是（1）对确定性的需要，（2）对[逻辑]因果关系的需要。通常，数学的教学没有考虑这些智力需求。Harel描述了一个缺乏需求的问题：
一名学生有一家铲雪公司，每位顾客无限制铲雪收费100美元。然而，对于每一位超过20岁的顾客，他会给每位顾客打1美元的折扣。他能挣的最大金额是多少？
马上，我们被告知这是一个最大的数额——当我们可能没有考虑到这种可能性的时候。对此稍作更改会提出一个更模糊的问题，但也会询问一个参数，而不是值：
一名学生有一家铲雪企业，无限铲雪收费为每位顾客100美元。然而，他对每个20岁以上的顾客都会给每个顾客1美元的折扣。他应该有多少个顾客？
注意，这些问题的答案是相同的：f（x）=（20+x）（100-x）的最大值是（403600）。但在第二个版本中，3600美元是40位客户的理由，而第一个版本3600美元是直接的答案。第二个版本使用f（x）作为解决需求的工具：“有多少客户？”而第一个版本则使用f（x）作为问题的对象。注意，在这两种情况下，商业模式都同样荒谬😉 但第二个版本通过询问参数并发现输出值的属性来更直接地处理这种情况。无论上下文有多愚蠢，当学生有代理权调查参数时，它就变成了“真实的”。我们老师应该相信，我们探索的概念足够特殊，可以根据其自身的优点进行展示（当挖掘不同的客户数量时，最大值变得有趣）。在我们意识到需要最大分数之前询问它会导致学生们不理解为什么这样的分数是特殊的。
卢伯罗夫（Luberoff）沿着这些路线模拟了另一个示例：Dan Meyer的“选择要点”课程。我个人在我所有几何课程的第一周上过这节课，因为我早在古典dy/dan时代（没有反对当前时代的言论，丹！）事实上，现在回过头来看那篇帖子，我很喜欢这句话：
如果我问自己，这个概念是有用的、有趣的、基本的还是令人满意的，然后沿着这个向量反向工作，而不是从一组分散的技能中朝着它努力，那么这个数学问题就更容易解决。在这一切中，也许有一本书我应该读。 –2009年丹
2009年，丹最终看到了哈雷关于智力需求的作品，当然，他也与德斯莫斯的卢伯罗夫分享了这些想法。其思想是，在几何图形中命名点的基本原则应被视为“解决问题“而不是被视为自动前提的离散实践。我觉得我们真的可以理解一些学生向我们展示的意想不到的差距，并不是说他们“从未学习过”这个概念，而是说他们从来没有遇到过除了满足老师的要求之外还需要使用自己的知识的问题，“标注你的分数！”
发现和反馈
因此，在学习时，体验一个概念的缺失是很有用的，这样，当想法为我们解决问题时，我们会感到解决。我们甚至可能会像历史数学家一样，以类似的方式，对我们需要或发明的东西进行描述，以建立在先前想法基础上的方法。“年轻人不必重复人类的历史，但也不应期望他们从上一代人停止的那一刻开始”（弗洛伊登塔尔，1981年)与哈雷的观点相联系：“对个人来说，经历类似于发现新知识的智力扰动是有益的。”
那么技术是从哪里来的呢？卢伯罗夫断言，发现源于简单的问题，需要快速有效的反馈。
虽然计算机可能擅长快速，但它不一定是有用的反馈。可汗学院的“交互式”课程只能为您提供一点点信息（true=您的答案与我们的匹配，false=您的回答与我们的不匹配）。当它给出此反馈时迅速地，它没有那么有用，因为它只基于你自己输入的几个字符。Luberoff还展示了SBACC发布的问题幻灯片，这些问题也没有得到反馈。（他们也有一些有趣的输入设计失败我在这里写过，其中Steve Rasmussen在这里写得更详细)
好吧，技术不会自动给我们很好的反馈，但可以从技术那里获得很好的回馈。Luberoff引用了linerider，用户（玩家？）根据他们画线或曲线的输入，从骑手所遵循的路径中获取信息。此反馈非常有用且快速。底座直接且立即受到用户输入的影响。（p.s.一些linerider创作变得相当疯狂!) 我注意到，我们也在重新定义我们可能认为是反馈的内容。它不一定是语言性的，也不一定是评价性的（即不是评估），而且它不一定以单一的想法为目的构建。当linerider的骑手摔倒时，用户会看到他们输入的经验结果线索沿着许多想法，包括但不限于加速度、斜率、曲率、最大值。
这与安妮·费特的演示：拖动三角形的学生以三角形JKL的变化和不变属性的形式接收即时和连续的反馈。这些节目的设置是为了尽可能完整地展示一种现象，作为教师，我们必须相信，互动现象所传达的信息比我们通过语言交流所能传达的信息要多。因为，如果我告诉你“一个圆的半径可以绕圆周绕6.28倍”，这绝对比你玩的信息少我对同一主题的geogebra素描.
案例研究：功能嘉年华
Luberoff随后向我们展示了一些Desmos活动，这些活动旨在促进相关概念的智力需求，并旨在提供持续有用的反馈。（相关：我对“连续体样式“在课程设计中）其中一个课程是功能嘉年华学生们会被提示绘制一些小场景的图表，比如一个人从大炮中被射出的高度。当他们绘制图形并按下播放键时，会显示图形，并与新动画中的“实际”高度进行比较。反馈接受他们的输入并显示结果。这并不是说是对是错，而是显示出你赋予它的每个时间值的高度。这意味着学生可以使用他们看到的信息修改和调整他们的图形。“哦，一开始我的宽容度太低了，我会改变图表的那部分”
此外，函数的分析性质随着学生的游戏而出现。函数的形式定义是冗长抽象的东西，如果学生从未发现在这种情况下出现了什么问题，他们怎么能理解为什么我们不允许每个输入有多个输出？好吧，考虑一下学生在功能狂欢节上涂鸦，突然之间他们就准备好解释了给你多输出的问题是什么。当您提供“太棒了！这意味着我们应该只有一个输出，实际上，当我们为每个具有特殊名称的输入限制一个输出时功能“这是对我们的多炮兵问题的一个解决方案：我们可以绘制的图形类型限制的抽象数学结构是从简单的绘图任务中产生的一个子线程，它具有快速、有用的反馈。显示润滑油关闭柯道远的课堂与此活动互动时差视频。如果你还没看过，现在就看吧！这是一个惊人的观点，学生如何适应课程的设计和反馈风格的结构，以创建越来越精确的图形。这段视频真的是我一天中最喜欢的部分：它说明了学生们是如何尝试、沮丧、继续玩，并最终接受了越来越多的挑战。Desmos Activity结构使考克斯先生能够与他的学生谈论如此多的想法，因为他们都直接参与了这些想法。这只是活动的第一张幻灯片！
还有什么？
Luberoff演示了更多Desmos活动包括一个基于LineRider主题的未发布版本：Marbleslides。
卢伯罗夫最后重申“发现令人深感满意”。当学生使用desmos时，有一个低地板，但有一个高天花板：很容易开始，但建议许多开放式主题允许学生深入探索，没有恐惧。
我认为Desmos活动有一些很好的教育设计，但我们可以从Fetter的演示中看到，有时技术操纵可能非常简单。在两次演示中，技术的重点是学生在老师的指导下体验现象。这项技术提供了一些边界，例如学生无法使三角形无等腰，并删除了其他边界，例如允许解释非函数。如果你有机会，我强烈建议你去看看费特和卢伯罗夫。
Harel，G.（2013）。智力需求。在K.R.Leatham（编辑）中，数学教育研究的重要方向（第119-151页）。纽约施普林格。检索自http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4614-6977-3_6
Ray，M.（2013）。强大的问题解决能力海涅曼。
Victor，B.（2011年）。上下抽象的阶梯。检索自http://worrydream.com/LadderOfAbstraction网站/
接下来的第3部分：简短（我希望如此）回顾剩下的部分。
