让我们看看三角形中心：许多几何类的有趣单元。当然，这是一个关于一些好的“真实世界”应用程序的主题，但是我们不需要总是用应用证明我们的教训它可能会阻碍我们进行重要的数学实践。纯粹的数学被低估了！让我们将一些传统教科书式的应用程序问题与交互式的问题进行比较。首先，霍尔特几何：
这两个问题在某种程度上是一些应用激励因素的典型问题。但请考虑学生的正确回答：
18.主街道应为榆树街和格罗夫街之间夹角的平分线。
37.平分街道之间的角度。画出博物馆和图书馆之间的垂直平分线。游客中心应该是这两条线交叉的地方。
这是如何激发学生的想象力的？如果他们知道什么是角平分线，他们可以提供答案。但是，如果他们不知道（或者还没有建立起双方等距的联系），你能给他们什么样的反馈导向装置他们的答案没有提供答案是什么？
但在本节早些时候，这本书已经提供了直接答案：定理：当且仅当一点与边等距时，该点才位于角的平分线上。18号几乎明确地要求这个定理。第37条提出了更多问题：它希望将这个定理与垂直平分线定理结合起来，这是本节的开始，没有序言。这些问题只是对第1级和第2级问题的修饰布鲁姆分类学.
使用GeoGebra公司，我们可以提供大量的信息，（1）帮助引导学生围绕我们想要的主题，（2）无法以不连续的无懈可击的步骤提供“答案”的进展。我们可以在#小谢尔普福.
这是我创建的一个小程序的图片，用于向学生提供有关点D和三角形ABC的实时信息。而且这是交互式小程序本身，试试看！
在第一张静态图片中，给学生提供了什么信息？大多数学生都会非常热衷于比较DA、DB和DC的距离。所有的学生在开始拖动D点后都会理解。
为了让学生思考垂直平分线，我们需要问什么？我说：“没什么！”我对applet的介绍是“Dragpoint D.查找特殊位置”。这并不是说我没有与学生交流。我正在进行更多的交流！我正在通过Geogebra控制程序中的边界和反馈进行交流操纵器在任何情况下都很强大，但计算机化的操纵器实现了以前不可能实现的教学模式。
我喜欢通过oragami（或patty）纸学习三角形中心课程。我喜欢用指南针和直尺上三角中心课。但这些操纵的界限并不能指导学生。如果你的折叠或线条不正确，纸上不会告诉你。如果你想用指南针或尺子测量距离，你必须一次一个。如果你想问一个非等距的问题（例如），那么可能需要遵循其他复杂的程序。
考虑一下GeoGebra：通过将交互限制为只拖动D，学生可能不再做出没有成效的动作。他们的每一个动作都会通过距离“条形图”和D本身的色差产生反馈。这种反馈并没有告诉学生“不正确”。它告诉学生“这是你输入要求的距离。”然后让学生分析该信息，并用更多输入进行响应。学生和计算机之间的这种交互只需几秒钟。这种交互会重复数十次、数百次或数千次。然后，学生可以使用这些信息开始挖掘提示符：D的特殊位置是什么？究竟是什么让一个地方变得特别？这些问题可以由学生提出和回答，而不会被老师打断。
但等等，还有更多！假设一个学生决定找到DA=DB=DC的地方。计算机操作现在允许介于这个决定和答案之间的任务。他们必须花时间实际将D点移动到正确的位置。在这个Geogebra小程序中，他们有来自颜色和条形图的反馈来帮助他们，但在这里老师可以等待学生提问，“有更好的方法吗？”！我们已经达到了建设环中心的动机。这种动机是由等距等“纯”数学思想驱动的……只是我们不必说。应该引入几何证明，以完善我们的猜想和假设。如果学生们还没有做出猜测，他们怎么会关心它的真实性呢？
在这个小程序中，我决定包含一个扩展：另一个三角形中心。但这并不是通常引入的第二中心。你的学生会找到蓝色的点，并注意到什么是特别的。你自己试试吧！想一想，与基于课堂的介绍相比，这两个点的无言分离也有什么作用：学生将有自己的词汇来分析他们已经玩过的差异，而不是学生必须分析描述他们可能没有意识到的差异的词汇。
在这个小程序中，我包含了两个“答案”复选框。取决于你下一节课想去哪里上课，他们可能会从这节课上抢走一些风头，但我想我会包括他们来帮助说明这一点……和要点。（哈哈）
GeoGebra和其他计算机操作使我们能够以静态文本或讲座中不熟悉的方式思考几何和数学。类似于线条并不总是平行的，我创造了学生观察特例周围邻居的方法并构建了无声的有益屏障和立足点，让学生在发现自己的特殊之处时能够抓住。
让我知道你的想法。
