或者我们中的许多人？(纽约时报)

8 ÷ 2 (2 + 2)

人们争论的答案是1或16，因为不清楚执行操作的顺序。如果真的面对这个问题，我们会问这个人是什么意思，也许会轻轻责骂他们写得模棱两可。

丹说我们应该感到震惊。它以符号操作或数值计算的形式呈现数学图像。或者更糟糕：数学是一个只有一种正确方法的地方。

我不完全同意，但我们必须承认病毒性证明这就是人们所在的地方他们对数学的理解。这在某种程度上引起了他们的兴趣，至少在他们对自己的答案有足够的信心以寻求验证或与他人进行比较的程度上。

如果我们想像其他学生一样推动人们前进，我们会在他们所在的地方与他们会面，帮助他们迈出下一步。

病毒性并不能保证，但我想知道，研究最初问题的人可能会对什么感兴趣。我们能找到一个足够诱人的问题来引导他们走向更有趣的数学吗？（这个高音喇叭的ZPD是什么？）

我快速回答了以下两个问题：

1. 有多少答案？
   8 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2
2. 什么数字可以放在空格中，这样所有的答案都是整数？
   24 ÷ [   ] ÷ [   ] ÷ [   ]

或以图像格式：

大喊着https://www.openmiddle.com/第二个问题的格式。

第一个问题是要从病毒式的问题引出一个坚定的信念，即这种写作风格会产生多种答案。嗯，有多少？

第二个问题非常有趣。你可以找到一些简单的数字来实现它，但你能挑战自己找到更多吗？有多少？你怎么知道的？我还认为有趣的是，我们学习到的除法运算符的模糊性如何帮助我们简明扼要地表达这个问题。

我们可以争论1或16。我们可以争辩说，我们不应该就1和16争论。但我宁愿把那些感染了有序操作病毒的人当作一个机会，带他们去一个有趣的地方。

帖子治疗病毒8÷2（2+2）首次出现于咖啡到定理.

简单是相对的。对绝大多数人来说，这是一个简单的例如，17 x 17=289，以及复杂的在主理想环中，集合E的有限子集足以生成由E生成的理想。对于少数选择中的其他情况，情况正好相反。(数学变得困难林德霍姆）

这让我想起了我的一位大学数学教授（考虑到我的其他课程，他显然是反其道而行之的），他想从所有数学证明中删除“清晰”和“明显”这两个词。

这句话要么显而易见，要么不明显。如果它很明显，为什么还要写呢？如果不明显，为什么要这样描述？

作为教师和专家，我们不应试图将思想、课程和概念描述为简单、明显或清晰。我们也不应该把事情描述为棘手、复杂或困难。这些应该是学习者的解释，它们会根据学习者的先前知识和经验而有所不同。如果我们把一些东西标为简单的，而学生不理解，学生会有什么感受？“我连简单的东西都不懂！”

我明白了。我们觉得有必要传达有关这个想法如何适合更大结构的信息。或者我们想对学习者设定一些期望，这样他们就不会为困难而烦恼。也许我们是在用并列的方式哄骗学生：“你不明白，但很简单……所以稍微推一点，你很快就能得到。”然而，这些信息是一个非数学的拐杖——它们是专家解释的传递，而不是让学习者投入工作做出自己的解释。它不允许学习者对概念发展有代理权，正是因为其意图是通过专家对概念的发展来加速事情的发展。

显然，服务于一个类似的目标：通过一个想法来感动人们。“很明显，60的除数比任何较小的自然数都多”，关于除数的示例语句可能有意这样说，“这很容易检查，但请相信我，它会更快。”也许它是在试图引导读者以后对作者的微薄贡献有所了解。但在这个过程中，它可能会疏远那些没有立即看到它的读者。我相信其他语言或布局可以用来构建论点，而无需禁止困难或复杂的解释。“为了介绍我的论点，考虑一下60的除数比任何较小的自然数都多。”

我们可以用什么来代替这些有问题的术语？我们可以说什么呢？

公正/简单/明显/清晰
“你只需将方程设置为彼此相等”，“距离公式就是毕达哥拉斯定理”，“解决方案显而易见”
相反：尝试只是（哈哈）从句子中删除单词，或在适当的情况下删除句子。如果事后听起来过于陈述性，也许这是关于何时应该做出这样的声明的线索！

简单/基本/基本
“这是一个简单的问题”，“这些是三角形的基本属性”，“初等数论告诉我们……”
相反，简单性的描述可能只是被删除了。基本上，我喜欢卢克用基本的“初等”有时被用来试图更具体地描述所指的概念，但这听起来有点屈尊俯就，也没有必要。要么移除它，要么用类似的东西替换基本的如果这就是我的意思。

最后，短语“有什么问题吗？“这个短语的区别在于它的准备。作为一名教师，你是否希望学生有问题？他们可能会问什么？你会怎么回答？你有没有在课堂上留下时间来回答出现的问题？如果你不要有这些东西吗，短语“有问题吗？”实际上是指“我完了。你现在应该知道了。如果没有人说话，我们都可以继续前进。“无论你如何设定提问和调查的期望值，行动胜于雄辩。只有一些学生——那些已经接近老师同一页的学生——在课堂上有社会资本在老师提问之后提问。”我完了“信号。任何感到困惑的人都面临着一个选择：在老师准备继续的时候公开披露困惑，或者被动等待，让每个人继续。作为老师，我们不仅应该用语言提问，还应该用准备和计划来鼓励提问。

这些单词和短语是习惯性的。它会仔细注意你的说话模式，以减少你说话的频率。但是，我们通过专家解释和评估来人为地加速学生的速度越少，学生就越能练习自己的解释和评估。

你还听到过像这篇文章中的短语吗？你用什么来代替它们？

帖子仅仅是一种显而易见的、基本的、清晰的、基础的数学交流方式。有问题吗？首次出现于咖啡到定理.

我正在找一些T来试试我的@TCM_at_NCTM（列车控制模块）与学生一起完成任务并分享他们的工作。谢谢！#元素数学聊天 pic.twitter.com/4ytSf9DtAS

-迈克·弗林（@MikeFlynn55）2016年8月15日

这节自行车商店课不仅为学生们带来了财富，也为她自己带来了财富。在探索底层结构时，您可以触及许多不同的主题。查看玛丽莲的博客，亨利·皮奇奥托的博客和Simon Gregg的推文再多吃一点！

当我从别人那里读到这些想法时，它让我想起了我在高中代数2学生身上上的一堂类似的课。它还处理了数字的划分，但探索了与单车、自行车和三轮车不同的约束。在探索这些约束条件时，我的学生发现了一些有趣的模式，包括帕斯卡三角、二次幂、斐波那契数列、，

火车车厢编号课程

这里有三列长度为6的火车，但它们由不同数量的车厢和不同类型的车厢组成。有多少不同的火车？

关于协商“数学差异”的笔记

我故意让这个问题含糊其辞，因为我想让学生们用多种方式来解释它。受以下因素影响雅克尔和科布1996年的文章《社会数学规范》我希望学生们在小组中就什么是不同的.

[注：我确实明确地问过我的学生关于5号列车的问题，以便他们出发。我以后可能会选择其他方式]

学生完善问题

我给了学生剪贴画（包含在PDF中），以支持解决问题的几个方面。首先，缩放的剪切块支持非数字表示。第二，易于改变的性质意味着学生可以快速重新排列块，并且不会锁定到他们最初表示的内容。第三，他们必须将思维从切口形式化为更永久的代表。最后，剪贴画很容易由多人操作，因此可以促进小组讨论。

以下是我的学生的一些想法：

1. 2+2+1与2+1+2不同吗？如果它们是一样的呢？
2. 如果你不允许复制汽车怎么办？（所以2+2+1是不允许的，因为有两个“2s”）
3. 所有“1辆车”都一样吗？
4. 我们可以使用负片汽车吗？（例如长度为“-2”的汽车）
5. 我们可以使用部分汽车吗？(“1.5”)
6. 反射的火车是一样的吗？（2+2+1和1+2+2可能相同，而2+1+2不同）
7. 如果我们被多少辆车限制了怎么办？（例如，只允许使用三辆车）

我对学生们欣然接受质疑规则并发展自己的规则的机会印象深刻。这是我们老师应该经常做的事情！我本想看到学生们的问题1和6，但其他问题都让我有些惊讶。我学到了很多关于我的学生如果有机会可以做什么的知识。他们透露了他们对排列、组合、排序、数字、结构的很多想法……今年晚些时候，当我们正式谈论这些主题时，我能够掌握这些知识。

问题的自由探索让来自多个能力水平的学生做出贡献。有一个学生在苦苦挣扎，他问起了负尺寸的汽车。这类问题会让你停下来；你可能想知道他是否在问这个问题，他明白这个问题吗？我很高兴我让他和他的团队一起探索。当学生发现答案时，答案“无限多的火车！”更有意义，而不是老师不允许调查提供答案。

学生作业

此外，我还让学生体验了测试自己猜想的结果。以下是他们调查的一些结果：（他们的工作中有一些小错误）

1	三
4	7

大多数研究小组发现，在某些假设下，长度为N的序列数为2^N。但是，暴露于产生其他模式的其他假设是进行数学实践元讨论的好地方隐藏结构个数字中的个。

学生组织作业时出现递归

这个小组发现了与帕斯卡三角的联系

我们讨论了一些组模式是如何组合在一起的，以及作为一个班级，我们是如何探索这个问题的许多边界的。然后，我们讨论了一些我们没有探索的边界：例如仅限于特定长度的汽车。（请注意，限制1、2和3辆车是自行车商店问题！

因此，当玛丽莲和亨利分享关于自行车店问题的想法时，我回忆起我的学生们的工作，以及我们如何将各种假设联系到一个更大的结构中。我一直在思考由8个轮子组成的单车、自行车和三轮车在组织内部组合和分区。

我自己回到这个问题上，四处寻找新的概念，这是多么有趣啊！它还没有完成…

限制为只有1和2有另一个有趣的结果，我不会在这里破坏…你自己试试吧！和你的学生一起试试！）另一个扩展是仅限于超长汽车。我最后分享了哥德巴赫猜想:

每个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和

我问我的学生们他们是怎么想的，他们可能会怎么做，它与他们所想的火车车厢有什么联系。然后我让他们知道这个问题没有解决。“你是数学家社区的一员……测试假设，做出猜测，组织和分享想法。”这是我最喜欢的课程之一。（也是进入寒假的好方法……“你的休息硬件是解决哥德巴赫问题，玩得开心！”）

火车车厢课程PDF格式 –这是“本地化”的，用了一个有趣的名字来代表我的学校和今年的时间安排（“Skyline Express”），但我也把它作为一个参与性测验，所以这个pdf中的任务介绍部分是针对这种课堂形式的。

区分为全部的水平

注意这些划分问题的各个方面，激发了从小学到高中，到教师，当然还有专业数学家的学生的好奇心。当学习者有机会自己完善问题并探索自己的想法时，任务就变得个性化了。当任务是个性化然后我们就可以做了社会化的：人们分享自己的想法和工作。

工具书类

Skyline Express课程材料PDF格式–Scott Farrar 2013年

NCTM–教儿童数学–自行车商店http://www.nctm.org/Publications/Teaching-Children-Mathematics/2016/Vol23/Issue1/The-cycling-shop/2016年8月

Yackel，E.和Cobb，P.（1996年）。数学中的社会数学规范、论证和自主。数学教育研究杂志， 27(4), 458-477. doi:1。检索自http://www.jstor.org/stable/749877doi:1个

帖子分区问题可以区分许多学习者首次出现于咖啡到定理.

一个被困在这类课程中的学生一定会想什么！人们承诺未来会充满有趣的问题，但现在必须艰难度过。

让我们把有趣的问题带到现在。使用此技能可以解决哪些问题？

回答距离问题

几年前，我和另一位老师改编了丹·梅耶（Dan Meyer）的一节课，将这些问题归纳为一句话：“指南针测量距离。”湾区大学地图课程计划（PDF）一个问题问道：“马林学院离旧金山州立大学有多远？”你是怎么做到的？我们可以用尺子，测量地图距离，测量比例尺，然后找出比例。或者，你可以目测天平，或者用你的拇指和手指来接近它的副本。请注意，这两者都与实际的罗盘和直尺结构相似。

如果你在测量比例尺和地图距离，你实际上是在把比例尺段的长度复制到两点之间的一条线上。这是复制线束段构造一开始不要担心他们会伸手去拿尺子，如果没有尺子，问题会更容易。但也要注意，如果我们问尺子与指南针的比较情况，我们可能会进行讨论。给定1英寸，其余的标记就是你用指南针所做的。

这节课还鼓励这样一个概念，即指南针画的圆是指南针中心的等距点集。当然，这是一个圆的定义，但如果我们问“我们现在离Cal或Mills更近了吗？”我们不必跳到垂直平分线，相反，我们可以慢行：所有距离Cal 10英里和Mills 10英里的点在哪里？画了两个圆。每个距离5英里？再绕两圈。距离每个8英里？再绕两圈。一种模式可能开始出现。如果学生们提议在所有这些交点之间划一条线，不要感到惊讶。

建筑课程绘制

上个月，我观察到一些教室在做指南针和直尺介绍。演示完之后，老师可能会说要练习几次。但学生的论文往往只有指南针标记和草图的仿制品，显然不是精确的复制品。这可能会让老师感到困惑，因为整个重点是“复制”。但如果学生不这样做，他们并不愚蠢，只是这项任务毫无意义。字面上没有意义，因为它们没有注意到过程的重要属性是什么。程序的重要属性也有很高的字数输出比——“将指南针的中心放在段的一端，并将另一端打开到另一端”。

好吧，让我们试着提出一个问题，这样学生就需要复制线段和角度来完成它。我一直在头脑风暴，本质上是“从这里到那里”。第一级显示在左侧。

规则：

1. 您只能在BC全程旅行（给定）
2. 您只能以FDE的全角度转弯（给定）
3. 你可以从任何方向出发

根据这些提示，学生需要复制线段和角度。他们被允许以一种能够激发更多创造力的方式“去”。非正式的解决方案（非构造）也是可以接受的，因为在正式化之前非正式地尝试是完全合理的。

有多种解决方案，但这些点是专门选择的，因此起点和终点不是BC的倍数。学生的解决方案可以通过他们接近终点的程度来衡量，这为“更好”的解决方案提供了一些动力，但请注意，他们的构建质量是一个单独的衡量标准。

实际上，我开始这个想法时考虑的是较难的版本：在一张大纸上随机放置两个点，并在中间画出斑点。（见图）给定一个线段和一个角度，你能用它们的副本从头到尾创建一条路径而不碰到斑点吗？

创意构造课：只允许复制一个线段和一个角度。#甲基叔丁基醚 #地理帽从A到B。pic.twitter.com/9AH8cLgclB

-斯科特·法拉（@farrarscott）2016年9月9日

当我想到这一点时，有几件事突然向我袭来。首先，学生们可能会以这种方式复制更多的角度和分段，而不是你在练习中可以轻松指定的。（这很好！）我在思考课程的实施和潜力时写的其他东西

1. 该线段应该不同于远离角顶点的线段长度处的角宽度。（真是一团糟——但本质上，这意味着如果线段和角度要求指南针的开口几乎相同，那么它可能会混淆你在指南针中的测量值
2. 复制一个片段变得非常简单（哈哈），但有时你需要扩展你的目标线，体验这种需求对学生来说很有价值，因为它很难用语言描述。
3. 复制角度需要大量改变指南针-预计会有一些困难（但这是你希望他们克服的）
4. 随机放置孤岛可能会阻止解决方案的存在，但会发现这很强大。适应：也许你被允许离开报纸？或…参见#8
5. 一个简单的级别（如上面的级别1）可能应该首先完成。需要将其设计为需要每个线段和角度。
6. 中等水平就像我在这里画的，或者老师（上课前）先画出解决方案路线，然后放置岛屿来设计水平。
7. 硬水平可能是你让学生为彼此设计的水平。这些不一定很难，但难度很大。
8. 延伸：如果一个级别特别有挑战性，你可以“允许”学生平分一个部分或平分一个角度，并使用一半大小的项目一次。面临这种选择的学生需要评估哪种选择是最好的，因此可能需要练习几次对分技能。
9. 平行线结构的元素可以自动生成，因为学生可以在横向或交替的内角上以相应的角度复制角度。
10. 说到这里，横截面和平行线上的角度也是这个活动的自然结果。学生们可能会猜测平行线上的同余角，这为现在或稍后你提到该单元时的讨论提供了素材。
11. 单个线段和角度的底层结构是平行四边形网格。这有助于评估解决方案，也可以从它是代数的入口点的角度进行讨论可构造数。这并不是说你需要详细讨论概念，但你可以打下一些基础

此外，我认为学生有足够的机会想出一个给定水平的创造性解决方案。由于第一个方向是任意的，学生们可能会有不同的解决方案，这些都值得庆祝。学生们可以看看彼此的工作，注意到所面临和解决的小问题中的相似之处（绕开一个岛屿），也可以在技能上相互帮助，而这并不是问题的“答案”。学生们可能会有兴趣通过用不同的选择重新做来改进他们的解决方案。我可以想象一堵墙上挂满了几十张学生地图的漂亮墙！

如果你尝试这个想法或与之相关的东西，我很想听听！以下是我已经收到的一些相关资源：

@法拉斯科特非常酷！你可能也喜欢这个https://t.co/6a1K9iW2hl

-阿兰·W·格兰西（@aranglancy）2016年9月9日

@齐默尔钻石 @法拉斯科特可能有用：https://t.co/2yWwKnvGFA网站
拼图方法。在我的几何课上非常受欢迎。

-亨利·皮奇奥托（@hpicciotto）2016年9月12日

真实

最后，这里的问题的“真实性”并不取决于它们是“真实世界”。它们是真实的，在某种意义上，它们可以通过使用所讨论的技能来回答，也许除了访问先前的知识之外。这与我们所说的“练习三次技能”的假问题形成了对比。主要区别是，真正的问题可以在没有技能的情况下被攻击，但技能可以改进解决方案。假问题直接要求技能，因此它成为唯一可能的解决方案。

你怎么认为？geogebra-applet问题是真的还是假的？我说，距离很近。这个问题的一个更假的版本将为学生完成所有的预处理，直接告诉他们“复制EF”。这是我认为许多建筑课程的倾向。我说，这个问题的真实性来自这样一种感觉，即我可以在不使用指南针和直尺的情况下提供合理的答案，而这些工具肯定会改善我的结果。但是，肯定只有一个正确的答案，而构造几乎是形式上实现它的唯一方法（如果我们假设毕达哥拉斯定理依赖于构造）。所以，为了让它更真实，我们调整了目标。上面的课程绘图活动是一次大调整：我们必须从头到尾使用复制的线段（和角度），但学生在如何使用这些工具方面有代理权。

这里的目标是指南针和直尺的构造。忘记“我们稍后会需要它”，让“现在就需要它”！

帖子用指南针和直尺解决实际问题首次出现于咖啡到定理.

戈登的戒指

多边形的边数和新构造中要偏移的边数之间的最佳点让我想起了我在几何课上学习的柏拉图立体和多面体。

我们将探索哪些规则多边形可以围绕一个顶点系统地重复，然后以“保持水”的方式“向上弯曲到3D空间”，而不是给学生整个网络

所以，考虑到两个三角形……不，它们只是相互折叠在一起。但是三个三角形折叠成一个漂亮的四面体“杯子”（没有盖子）

四个三角形？把它们折叠起来，你会发现缺少一个方形底座——但再折叠四个然后得到四面体。我们的想法是，我们应该做最不复杂的指令来找到这些形状。如果“说明”很短，那么它们可能更容易在自然界中出现，尤其是如果你是你的DNA/RNA缺乏存储空间.

那么，哪些多边形实际上形成了可重复的情况？可以围绕顶点重复并留有间隙的顶点。扰流板：三个，四个，五个三角形，三个正方形，三个五边形。这些对应于五个柏拉图立体。然而，二十面体对其“杯子”的重复与其他的有一些有趣的区别。考虑一下四面体只需要多一个三角形与八面体、十二面体和需要完全重复杯子的立方体之间的区别。

这也可以用于扩展/链接平铺和多面体的概念。两个三角形和六个三角形不会折叠成一个杯子，但它们会平铺平面。正多面体是三维空间的“闭合平铺”吗？#继续前进！

看到我的一个这里学生的PDF.

那么…回到约翰·戈尔登地衣文件。我想知道他创造的环是否与不同类型的多面体有联系。重复这个带有三角形间隙的十二角形会形成一个多面体吗？不，但它有瓷砖。那么约翰的其他组合呢？

帖子Golden’s Rings和多面体“Cups”首次出现于咖啡到定理.

当老师听取学生的回答时，许多人更多地关注答案的正确性，而不是他们能从学生的理解中学到什么（Even&Tirosh，1995；Heid，Blume，Zbiek，&Edwards，1999）。很容易识别这样的老师，因为当他们从学生那里得到错误的答案时，他们会说“几乎”、“接近”或“几乎；再试一次”。老师真正想说的是，“给我正确的答案，这样我就可以继续学习我这堂课剩下的脚本了。”Brent Davis（1997）将这种教师行为称为“评价性倾听”评价性地倾听学生答案的教师只会了解学生是否知道他们想让他们知道什么。如果学生不能正确回答，那么老师只会知道学生们没有理解，他们需要重新教授这些材料，只是想必更好。（重点是我的）（第4章，Kindle位置1761-1768）。Wiliam，D.（2002年）。嵌入式形成性评估解决方案树出版社。

汗知道为什么回答是错误的吗？

想想这与可汗学院目前的评估能力有多相似。如果KA只收集学生的回答，并将其评估为二进制正确与否，那么KA只会知道学生没有得到答案，并提供复述（用视频）或给出提示。此外，视频和提示都是非个性化的，因为它们没有说明学生的输入是什么。

Wiliam区分了一种独立的倾听类型：解释性倾听。

“通过仔细听学生们说的话，我能从中了解到什么？”

汗学院能做解释性听力吗？一般技术能做到这一点吗？Geogebra或Desmos等动态数学软件可能会通过尝试将其纳入所呈现的模型来解释您的输入，但这是在倾听吗？尝试一个示例：

我认为它比KA提供的反馈更有价值，因为Geogebra反馈包含更多信息。像6.8这样的响应现在表明您输入的内容与蓝色函数不匹配。然而，它仍然没有人类老师那样灵活，它不仅可以解释狭义的数字响应，而且可以灵活地接受诸如“为什么我们要从中线测量振幅？”这样的输入。KA提供了一个关于这个主题的视频，但你必须去寻找一个特定问题的答案。

当然，Geogebra和他们自身的能力相结合可能是为老师服务的最佳方式。提前设置一个geogebra小程序来预测某些响应，可以帮助老师与学生对话。计算机可以准确、即时、重复和并行地绘制图形（一次可以有多个用户）。教师可以使用Geogebra增强自己的解释性听力，并增强对学生的信息反馈。这里的KA问题没有增加；它的倾听是完全回避的，它的反馈是非个人化和非特定的。使用这种KA课程的老师并没有更有效地教学：要么老师放弃学生接受软件的帮助，要么老师通过帮助自己来取代软件的帮助。在这两种情况下，教师和KA都是一种替代关系，而不是共生关系。

帖子评估性听力和可汗学院首次出现于咖啡到定理.

数学论坛的安妮·费特（Annie Fetter）在早上的会议上利用技术促进概念理解（2014年版本的演示–非常相似），而Eli Luberoff在技术和智力需求。这两节课都关注如何将技术应用于对学生学习有意义的课堂。我的观点是，在课堂上实现技术应该和实现铅笔一样：它只是你要用它做什么。“实现技术”是教育中有时会出现的一个短语。“我们必须让孩子们具备21世纪的技能！”这是否意味着学生们应该在课堂上使用文字处理器或电子表格？这是否意味着学生应该进行编程或编写脚本？这是否意味着学生应该使用答案点击器说“B是答案”？玩电脑游戏？在计算器上绘制方程式？因为有太多的解释，当这些东西对学习数学或提供“21世纪技能”的经验有着截然不同的实际影响时，其中许多都被认为是“使用技术”。虽然学习单词处理或使用其他办公工具很重要，这并不是数学课堂的主旨。虽然答案点击器或智能板可以使课堂的某些后勤工作更加高效，但它们并不是以数学内容为中心的。那么什么样的“技术实现”是数学学习的好工具？女士。费特和卢伯罗夫先生来告诉我们一些！

费特首先演示了用几何画板制作的三角形活动。你可以请参阅此处的材料对于那些没有Sketchpad的人，我制作了交互式的在GeoGebra这里在这个活动中，要求学生拖动三角形的点并进行观察。Fetter自2007年以来开发了一种称为“注意和好奇”的方法（详见Max Ray的书《强大的问题解决能力》)她收集学生在提出任何具体问题之前注意到的关于数学图表、图片或情境的东西。这意味着它“支持学生在场景中找到尽可能多的数学知识，而不仅仅是找到答案的途径。”。“好奇”部分是相互交织的，其作用类似：当学生拖着这些点四处走动时，他们是否对自己观察到的东西感到好奇？也许“我想知道两个三角形是否可以相同”是一个数学上模糊的陈述——但如果这是学生的精度水平，那么这是一个可以教的时刻，因为老师允许全班同学拿出所有可能的解释，与全班同学一起解释这一疑惑。毕竟，知道准确的词汇可能意味着学生超出了任务范围，因为对术语的精细使用可能是在脑海中形成概念概念的最后几件事之一。如果我们从来没有遇到过这样的属性，为什么我们需要*（稍后详细介绍！）来表示某些属性？为了达到掌握的程度，学生必须在词汇发展的过程中挖掘概念的特征和属性。注意和好奇有助于发展课堂讨论。

技术操纵者

那么，这项技术的意义何在？Sketchpad活动起到了操纵作用。它并不花哨，也不完全是“21世纪的技能”，但它能做其他操纵者做不到的事情。操纵开辟了学习概念的视觉/物理交流途径，为更困难的语言途径提供了支持。但操纵语的弱点在于，它们不能像语言交际那样精确，或者操纵语具有一些抽象的不真实属性。然而，技术操纵器可以帮助提高精确度，并减少不相关的属性。费特通过代数瓷砖的例子证明了这一点。学生经常在使用代数图块时，会试图“测量”x图块，因为这些图块在物理世界中必须具有恒定的长度。但它的恒定物理表示与它应该表示的变量的性质不一致。在基于计算机的代数平铺集合上：x长度可以更改，因此学生可以通过擦洗x的长度来轻松区分“当x=4时，我的布局为true”和“当x值为所有x值时，我布局为trues”两种情况。物理代数平铺的另一个问题是，它们必须是3D的。我们通常很容易忽略厚度，但将长度x和面积1x指定给同一块瓷砖。基于计算机的Algebra Tile集合Fetter选择了不修复此问题，但可以在屏幕上用1D对象表示长度，用2D对象表示区域，而这在现实世界中是不可能的。

Sketchpad/Geogebra还允许从“现实世界”中无法访问的抽象概念中显示和隐藏事物。假设JKL总是等边的，但可以有任何大小的线段。这不是一个物理对象。JKL代表一整类三角形。JKL={所有三角形，这样JK=KL=LJ}意味着，当我们单击并拖动它的一部分时，我们会拖动它描述的无限集以显示另一个元素。这意味着学生可以实证研究这些抽象属性。他们可以探索关于三角形的每一个有声和无声猜测。

技术支持角色

这与费特演示的其他小程序非常相似。在每一个（Runners、Galactic Exchange、Algebra Tiles）中，教科书可能局限于复杂的学术语言的信息被改为交互式图形格式。Fetter指出，技术可以生成图表所示的情况，但它进一步为探索和实验提供了空间，当学生通过交互“要求”时，它会显示信息。因此，技术是抽象阶梯上的辅助工具。用技术建立概念知识意味着把它作为建立学生心理结构的垫脚石。费特的演示还表明，技术仍然只是要素不是替代品。我们老师仍在与学生讨论，我们仍在促进学生之间的讨论。技术可以降低任务入口点的负担：每个人都可以在屏幕上拖动一个点。词汇中有等腰词的学生与没有等腰词者处于同等地位：但当三角形的点被拖动时，他们都可以注意到三角形的两边是否保持等长。在接下来的讨论中，课堂上的知识和经验得到了整合和重新分配，因为有更多的学生能够参与到这些属性中，所以更加强大。

智力需求

Eli Luberoff从相关角度谈到了技术实现。智力需求是盖尔森·哈雷（Guerson-Harel）使用的一个术语。“为了让学生学习我们想要教给他们的东西，他们必须有这种需要。”（哈雷，2013）其中，智力需求可以被认为是（1）对确定性的需要，（2）对[逻辑]因果关系的需要。通常，数学的教学没有考虑这些智力需求。Harel描述了一个缺乏需求的问题：

一名学生有一家铲雪企业，无限铲雪收费为每位顾客100美元。然而，对于每一位超过20岁的顾客，他会给每位顾客打1美元的折扣。他能赚的最大金额是多少？

马上，我们被告知这是一个最大的数额——当我们可能没有考虑到这种可能性的时候。对此稍作更改会提出一个更模糊的问题，但也会询问一个参数，而不是值：

一名学生有一家铲雪企业，无限铲雪收费为每位顾客100美元。然而，他对每个20岁以上的顾客都会给每个顾客1美元的折扣。他应该有多少个顾客？

注意，这些问题的答案是相同的：f（x）=（20+x）（100-x）的最大值是（403600）。但在第二个版本中，3600美元是40位客户的理由，而第一个版本的3600美元则是直接答案。第二个版本使用f（x）作为解决需求的工具：“有多少客户？”而第一个版本则使用f（x）作为问题的对象。注意，在这两种情况下，商业模式都同样荒谬但第二个版本通过询问参数并发现输出值的属性来更直接地处理这种情况。无论上下文有多愚蠢，当学生有代理权调查参数时，它就变成了“真实的”。我们老师应该相信，我们探索的概念足够特殊，可以根据其自身的优点来揭示（当挖掘不同的客户数量时，最大点会变得有趣）。在我们意识到需要最大分数之前询问它会导致学生们不理解为什么这样的分数是特殊的。

帖子CMC North Asilomar总结第二部分！技术：概念理解和智力需求首次出现于咖啡到定理.

这让我想起了一个类似的教训，有一年，我雄心勃勃，在预科课程中将物流增长作为指数增长的背景。它进行得很好，但下一次我这样做时，我也想结合朱莉的一些想法…

我的介绍与朱莉的介绍类似：僵尸正在攻击这个班级。但我决定表演一点，以适应僵尸袭击的“现实”（哈哈）。也就是说，指数增长可能高估了感染率，因为当已经有很多僵尸时，很难找到正常健康的人来吞食他们的大脑。

所以我们表演了一个稍有不同的模型：我要求一名学生志愿者成为“零号病人”，让他们来到智能板上运行1-32的随机数生成器（“RNG”）（我的学生每个人都有一个数字，根据字母表的顺序排列，这很方便）。无论谁的号码被选中，都会被零号患者“咬”，现在有两个号码。下一轮，每个僵尸都会滚动RNG并咬一个同学（这里有很多精彩的表演……），但有一个警告：如果RNG找到了一个已经是僵尸的人，那么什么都没有发生。学生们称这种情况为“愚蠢的僵尸”事件。这意味着我们将从指数倍增开始，但僵尸越多，我们获得新僵尸的可能性就越小，因为我们接近了“食物”供应上限——类似于捕食者/猎物种群模型。这确实有助于淡化“单一正确预测模型”的想法。我们有指数增长的工具，这有助于描述我们的情况，但如果我们也考虑逻辑模型，它可以帮助我们修复一些缺陷。当然，逻辑模型也不能保证是完美的。我们在课堂上进行了很好的讨论，讨论了每个模型如何包含一些变量（一般意义上）和假设，而这两个模型都不能反映整体情况。我还问，“如果我们将此扩展到更大的人群（例如整个学校），模型的哪些特征会改变或保持不变？”

最后，我通过绘制一些人类文明的人口图来结束讨论。注意到，我们不知道供应上限在哪里，也不知道未来可能解决哪些上限（例如农业发展如何允许新的增长，或者最近抗生素如何允许新增长）。我觉得这是一次很好的尝试，将我的数学课堂与历史等其他学科联系起来(卡钦，那种罕见的人文联系)和生物学。

您可以在此处查看本课中的幻灯片：2013年3月15日他们并不是什么都有（因为我试着使用智能板+白板+另一个投影仪来协同工作），但可以让你稍微了解一下课堂的情况。您可以在此处看到工作表：僵尸与物流增长但我现在可能会改变很多

帖子Quickie课程描述：僵尸与指数增长上限首次出现于咖啡到定理.

我刚从加州数学委员会在阿西洛马举行的北方会议回来。井号标签#立方厘米15.

总的来说，今年的会议非常成功。寻找一种与前几年不同的参加会议的产品也很有意思。在我执教的头几年里，我渴望在课堂上执行任何任务或快速策略，或磨练我的内容知识。也许到了第五年，我对自己的内容和准备更加自信，所以我希望改进我的教学方法。最近，由于我担任教练/研究角色，我已经研究了更多的领导力课程。当然，由于edtech一直对我很感兴趣，无论怎样我都无法抗拒这些……这次会议的好处在于，它由数学教育工作者以各种角色呈现了所有这些类型：各级教师、校长、教练、决策者、研究人员、教授等等…

以下是我参加2015年会议的简要总结。你可能会注意到一个主题…

（仍然在寻找人们幻灯片的链接……我发誓我把它们写在了什么地方

有一些艰难的选择要参加，但希望我能浏览一些推特和博客，回顾一下我的备选会话选择。继续…

Eli Luberoff–数字内容设计原则

Eli是在线绘图计算器Desmos的创始人。但是，自从它问世以来，它的潜力已经大大超过了过去（80年代）的图形计算器。我认为Desmos团队已经从容应对了这一演变：探索“数字内容”可能带来的可能性。Eli简要介绍了Desmos的历史，但随后很快带领我们进行了第一次演示：

丹·梅耶（Dan Meyer）的《它会成功吗？》（Will it Hit the Hoop？）在Desmos计算器中我们被要求预测射门是否会击中篮筐，但使用Desmos：我们可以键入抛物线方程来帮助进行预测。

[丹在2010年首次开发了这项任务，你可以获取一些初始材料并在此处阅读我在课堂上试用了几年。你可以看到我的一个例子2012版和讲义。我在为学生设置回归拟合或为学生设置y截距和顶点拟合之间来回切换。我的学生们肯定很喜欢它，我想我从顶点/yint版本中得到了更多，因为我对我想让学生从中得到什么有了更好的想法，而不是“yay抛物线”。然而回首往事，我非常想改变。更多关于当我参加Michael Fenton的会议时反思自己的任务…]

好的，但在Desmos的这个版本中，没有为学生预先制作任何内容。我们刚刚得到了图像和标准的Desmos设置。考虑一下区别：如果我们给学生一个回归拟合的结构或抛物线的顶点形式，那么这就是我们可以完成这项任务的地方。然而，如果我们没有给出具体的概念的工具，而不是提供Desmos计算器本身的工具……学生理论上可以采用多种方法。当然，使用GeoGebra也可以做到这一点，但在这两种情况下，我们都必须对学生成为软件熟练用户的能力充满信心。虽然GeoGebra甚至可能提供更多潜在的概念路径（更高的上限），但它的标准接口可能没有Desmos标准接口的简单入口点（低地板）。这并不是说Desmos总是赢得了界面比较（试着画一个三角形），但它比图形计算器更容易朝着共同的方向发展。但我离题了…

我们观众有机会尝试一些方法，在镜头上得到预测抛物线（当人们互相帮助时）。然后Eli向我们展示了同一个任务，其模式略有不同：Desmos Activity框架。（请参阅teacher.desmos.com（教师.desmos.com）)教师可以在Desmos中创建活动，学生可以在网上运行。Desmos的这种模式真正拓展了技术课程设计的前沿。Eli指出，“一个仍处于研究阶段的问题是，‘用技术教育学生的正确方法是什么？’”我希望我目前正在写的论文能够帮助阐明用技术进行良好教学的一些要素。我们不能放弃我们所知的所有关于课程设计、课程开发、，和教育学，当被授予技术使用权时。科技不是魔法科技是一种新型的交通工具：我们当然可以用这种交通工具走新的道路，但一个好老师仍然是动力。这就是为什么我如此喜欢Desmos Activities的设计：他们将重点放在师生互动上。教师被赋予了查看和突出学生思维的新功能。学生被赋予了交流思想的新功能。课堂讨论仍然是很多学习的地方——Desmos活动只是为我们提供了一个新的角度或途径。

在Desmos活动模式中，教师或活动创建者在活动中创建一系列页面，这些页面要么提出问题，要么提供图形计算器的实例，要么只提供一些说明性/说明性文本。但每个图形都可以预先设置为具有教师想要的任何元素。如果我们想引导学生使用基于顶点的抛物线，我们可以提供这些工具。如果我们想引导学生二次回归模型然后我们可以提供一些起点。但是，我们也可以把多个页面串在一起，每个页面都支持老师想要的任何目标，无论达到什么程度。此外，该结构的存在是为了提示学生猜测或解释他们的推理这些回答和图表会发生什么变化？它们是收集的实时并在活动期间显示在教师界面上。（将这些功能与其他环境（如GeoGebraTube）进行比较应该是一篇全新博客文章的主题——不过我必须将其保存到以后这些活动结构的最重要方面之一是Desmos没有尝试进行评估。这就是老师的角色。在大多数活动中，接受“错误”答案的方式与接受“正确”答案的方式完全相同。（某些活动，如中央公园，一定要指出正确/不正确，但要显示错误回答的经验结果（促进实验）。关于学生的交流数据是学生自己的回应。没有把学生归纳为一个薄的电子表格或清单基于极少的数据点Desmos认识到计算机远没有评估学生思维的能力。Desmos认识到教师的角色与以往一样，无论有无技术。

“它会击中篮筐吗？”——教师们渴望公众能够接触到@ddmeyer公司和@躲避者的新（旧）活动#mtbos公司 #asilomar公司 #立方厘米15

-斯科特·法拉（@farrarscott）2015年12月11日

在我们对Hoop Activity的初稿（最终版本将在teacher.desmos.com上“很快”发布）进行了一番讨论之后，Eli将我们按照内容级别/兴趣分成了几个组，并要求我们使用Activity Builder创建一个任务。我很高兴有时间与其他与会者一起深入讨论，因为虽然我觉得自己不仅仅是Desmos的初学者，但我仍然需要了解它的具体功能。我加入了一个专注于制作三角中心活动的小组。我经常选择这门课作为学习一款新软件或设备的示例课，因为我在很多方面都上过这样的课，有技术的也有非技术的。有了Desmos，我知道几何并不是它的强项，因为主要的输入是打字。（或者至少，我倾向于草图板/几何布拉的几何构造）在接下来的一个小时左右的时间里，我们在三角形活动上取得了一些进展（我答应自己很快就会完成），学习了一些满足我们需要的特殊输入——例如画三角形

在本次会议期间，Eli还介绍了Desmos公司的工作原理。他指出，询问教育技术公司的商业模式很重要，因为公司长期存在的途径有限。如果你的公司得到支持你的哲学的天使投资者的支持，那就太棒了，但可能性不大。如果你的公司被卖给了一家大公司，要么被搁置，要么在某种程度上被扭曲，那显然也不好。Desmos目前通过与其他公司的合作来支持自己，例如Pearson、CollegeBoard、Amplify、Mathalicious、College Prepartial Math等。这涉及到规模和教育理念的各个方面，但也许因为他们是多元化的，他们能够承受来自一方或另一方的过度影响，并保持自己的身份。我很高兴听到关于商业模式的坦率讨论。我们都被edtech的业务烧焦了：看看图形计算器行业是如何保持它的古代计算器通过与SAT测试挂钩。相比之下，Eli承诺“Desmos将永远为学生和教师免费”。听起来很棒。

Eli总结了一些重要结论：

1. 课堂上很难做的技术
2. 很难把技术课程做好
3. 感觉像是一个仍在解决1和2问题的研究项目。

1和2有点不言自明，即使没有技术，但我认为重点关注的是#3。作为一个教育工作者社区，我们仍然在摸索什么最有效，但由于Desmos是免费的，并且涉及社区（活动可以由任何人创建并共享），我们有一些好的项目可以挖掘。我仍然有很多问题需要反思和深入自己……学生们是否以不同（更好？）的方式利用基于技术的课程来学习概念？或者首先，我们如何将基于技术的课程与非技术的课程进行比较？教师呢？teacher.desmos的工具是否支持形成性评估？还是实现更强大的教学？使用工具经验性地导致更强大的教学？为了实施这些课程……或设计这些课程，教师需要什么样的培训？观众们对如何掌控Desmos感到非常焦虑……而Desmos在这方面更容易。输入表达式/方程式是学生的最佳输入方式吗？输入格式如何限制或促进某种思维？

总而言之，我喜欢从“源代码直接”角度了解Desmos的设计原则。会议还让观众通过亲身实践的方式更加熟悉活动构建器。我认为我对Desmos的担忧是它是如何以实际方式实现的。我还认为存在一些UI问题，例如键入界面，以及围绕（缺少）菜单的选择。在Asilomar反思的未来部分中，我将深入探讨Desmos和技术的一些方面。

相关链接–
鲍勃·洛赫尔分享了将Activity Builder应用于高中课堂的一些想法：活动生成器，课堂设计注意事项

第2部分：我将比较Eli和Annie Fetter在周六的会议，这两个会议都是关于技术实现的。

帖子2015 CMC North Asilomar总结–第1部分首次出现于咖啡到定理.

今天的首席财务官来自Dan Meyer的博客关于马尔科姆·斯旺提出的精彩且颇有名气的任务。丹写道，

这里是最初的马尔科姆·斯旺任务，我喜欢：

在方格纸上画一个形状，并画一个点以显示其周长和面积。网格上的哪些点表示正方形、矩形等？画一个可以用点（4，12）或（12，4）表示的形状。找到所有“不可能”的点。

我们可以在这里讨论添加一个上下文，但如此大规模的更改将阻止关于教育学的精确对话。这就像把老虎比作企鹅。我们将了解到四足动物和两足动物之间的一些高层差异，但将老虎与狮子、美洲虎和猎豹进行比较可以让我们深入了解细节。这就是我想参加这次讨论的地方。

看看这四种任务表示法。它们揭示和隐藏了数学的哪些特征？他们的优点和缺点是什么？

纸张

处理(Dan Anderson的代码)

Scott Farrar的Geogebra

Dan推特粉丝的Desmos活动

以及我的评论：

我喜欢以上所有的组合。

Desmos活动似乎存在无错误检查的缺点。（或者，如果您想回想起在CMC Asilomar的演讲，如果这是一款视频游戏，它会要求您在无法实现边界/区域的情况下重试）在自定义Desmos小程序中，您可以在头脑风暴矩形阶段询问宽度和高度，然后第二个屏幕询问边界和区域吗？（这里还有几个选项……您仍然可以接受与给定宽度和高度不匹配的边界和区域：只需分别标记它们，然后您可以将它们从覆盖图中筛选出来，或者根据下节课的位置将它们包括在内）

似乎也有人在研究某种类型的矩形，从而创建了一条相当直的线。很好的对话开始…

我认为我偏爱我的geogebra one拥有非数字入口点的能力。另一方面，他们也没有直接提高自己在该领域的技能。学生不受计算的阻碍，但也不受计算支持。但是……我喜欢给学生一个任务，让他们进行手动和模拟交互，这意味着他们正在通过物理运动和视觉反馈挖掘数学概念的约束和边界。学生是否会立即意识到并对这个他们似乎无法将圆点插入的区域感到好奇？

我喜欢的加工型与手工制作的geogebra形成对比。我们将如何围绕这个想法进行系统的实验？当我们设计出一种系统的方法时，计算机可以帮助我们执行它。我们可以看到点的密度是不均匀的——这种周长-面积关系和我们实现实验的方式之间的相互作用是什么？（我猜想矩形尺寸是随机选择的，因此如果不是为了基本的周长面积概念，就可以创建一个想要统一的显示。）

手形图迭代有限，容易出现计算错误，速度较慢。然而，它的要求都是内部的（节省纸张和铅笔），而不是基于计算机的。手工绘图可能是所有其他想法的处理方式。如果我们在没有纸笔感觉的情况下，在计算机意义上体验笛卡尔图形，是否有关于笛卡尔图形概念如何变化的研究？我想知道！

现在，我想在教室里混合所有这些。当我在阿西洛马2013，我用过Malcom Swan的初始提示并提供了网格纸让与会者解决这个问题。直到后来我才换上geogebra版本(此处显示2013版，范围略有不同）
现在我会以同样的方式对待学生。以下是1-2天课程的大致时间表：

1.成组的纸张矩形。在你的小组中，在纸上画一张Perim v.Area图，上面有你的四个矩形。（这可能会立即纠正一些错误，比如如果孩子们用宽度和高度代替周长/面积，他们的小组可能会纠正这些错误）
2.组在Desmos上共享，添加更多矩形。他们现在不必在纸上画出来了。我们放弃了，因为Desmos会把它捡起来。因此，允许学生加强他们的概念/抽象方法。
3.课堂讨论、通知、疑问、地址错误……空白区域可能会变得很好奇。好的，现在我们已经使用了Desmos工具，但是如果我们想使用更多的矩形，让我们切换工具。
4.Geogebra草图和/或编程迭代。小组想出了一些东西来尝试和实验geogebra草图，或者设计一个脚本来生成周界和区域，并像Dan Anderson一样绘制它们。
5.单箱退货。哪些点在边缘？可以用Geogebra手绘草图进行调查。或者：可以在Desmos上交给全班一个任务：“设计出你认为最边缘的矩形”。
6.根据课堂的水平，你可以引导学生对所发生的事情做出合理的推测。

现在，我们已经把垫脚石从绘制单个矩形变成了由多个矩形及其（p，a）组成的集合，变成了一个比我们可以人工创建的更大的集合。当我们在第4步时，我们掌握了矩形的周长和面积的抽象，因此我们可以像在课堂开始时在纸上处理单个矩形一样轻松地进行抽象实验。但是，我们可以回到过去，使用每种工具来实现它的帮助。

我相信，这就是教育技术的力量：给抽象概念以具体的把握。但是，当与非技术方法协同工作时，技术是最强大的。科技的可能性如此之大，以至于没有任何一种工具能成为本课的灵丹妙药——每一种工具都暴露出一种新的载体。

最后，请记住Swan的提示（并非旨在使用技术）最初是通过提出一个不可能的点，然后指出还有许多其他的东西要找，从而得出了这个概念的存在。他的提示符通过两个示例定义了这两个区域（出于我们的目的，可以称为白色和红色）：一个是红色，另一个是白色。我想知道通过在纸上想象和推理来研究白色和红色的存在与在geogebra applet上弹跳它们的边界有什么不同。

帖子来自其他网站的评论：四个同样可怕问题的动画gif（dy/dan）首次出现于咖啡到定理.