咖啡到定理

玛瑞琳·伯恩斯(@巴恩斯马斯)最近写过博客关于她通过NCTM的儿童数学教学和Mike Flynn遇到的一个问题

 

我正在找一些T来试试我的@TCM_at_NCTM（列车控制模块）与学生一起完成任务并分享他们的工作。谢谢！#元素数学聊天 pic.twitter.com/4ytSf9DtAS

-迈克·弗林（@MikeFlynn55）2016年8月15日

这节自行车商店课不仅为学生们带来了财富，也为她自己带来了财富。在探索底层结构时，您可以触及许多不同的主题。查看玛丽莲的博客，亨利·皮奇奥托的博客和Simon Gregg的推文再多吃一点！

 

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当我从别人那里读到这些想法时，它让我想起了我在高中代数2学生身上上的一堂类似的课。它还处理了数字的划分，但探索了与单车、自行车和三轮车不同的约束。在探索这些约束条件时，我的学生发现了一些有趣的模式，包括帕斯卡三角、二次幂、斐波那契数列、，

火车车厢编号课程

这里有三列长度为6的火车，但它们由不同数量的车厢和不同类型的车厢组成。有多少不同的火车？

我故意让这个问题含糊其辞，因为我想让学生们用多种方式来解释它。受以下因素影响雅克尔和科布1996年的文章《社会数学规范》我希望学生们在小组中就什么是不同的.

[注：我确实明确地问过我的学生关于5号列车的问题，以便他们出发。我以后可能会选择其他方式]

学生完善问题

我给了学生剪贴画（包含在PDF中），以支持解决问题的几个方面。首先，缩放的剪切块支持非数字表示。第二，易于改变的性质意味着学生可以快速重新排列块，并且不会锁定到他们最初表示的内容。第三，他们必须将思维从切口形式化为更永久的代表。最后，剪贴画很容易由多人操作，因此可以促进小组讨论。

以下是我的学生的一些想法：

1. 2+2+1与2+1+2不同吗？如果它们是一样的呢？
2. 如果你不允许复制汽车怎么办？（所以2+2+1是不允许的，因为有两个“2s”）
3. 所有“1辆车”都一样吗？
4. 我们可以使用负片汽车吗？（例如长度为“-2”的汽车）
5. 我们可以使用部分汽车吗？(“1.5”)
6. 反射的火车是一样的吗？（2+2+1和1+2+2可能相同，而2+1+2不同）
7. 如果我们被多少辆车限制了怎么办？（例如，只允许使用三辆车）

我对学生们欣然接受质疑规则并发展自己的规则的机会印象深刻。这是我们老师应该经常做的事情！我本想看到学生们的问题1和6，但其他问题都让我有些惊讶。我学到了很多关于我的学生如果有机会可以做什么的知识。他们透露了他们对排列、组合、排序、数字、结构的很多想法……今年晚些时候，当我们正式谈论这些主题时，我能够掌握这些知识。

问题的自由探索让来自多个能力水平的学生做出贡献。有一个学生在苦苦挣扎，他问起了负尺寸的汽车。这类问题会让你停下来；你可能想知道他是否在问这个问题，他明白这个问题吗？我很高兴我让他和他的团队一起探索。当学生发现答案时，答案“无限多的火车！”更有意义，而不是老师不允许调查提供答案。

学生作业

此外，我还让学生体验了测试自己猜想的结果。以下是他们调查的一些结果：（他们的工作中有一些小错误）

1	三
4	7

大多数研究小组发现，在某些假设下，长度为N的序列数为2^N。但是，暴露于产生其他模式的其他假设是进行数学实践元讨论的好地方隐藏结构个数字中的个。

我们讨论了一些组模式是如何组合在一起的，以及作为一个班级，我们是如何探索这个问题的许多边界的。然后，我们讨论了一些我们没有探索的边界：例如仅限于特定长度的汽车。（请注意，限制1、2和3辆车是自行车商店问题！

因此，当玛丽莲和亨利分享关于自行车店问题的想法时，我回忆起我的学生们的工作，以及我们如何将各种假设联系到一个更大的结构中。我一直在思考由8个轮子组成的单车、自行车和三轮车在组织内部组合和分区。

我自己回到这个问题上，四处寻找新的概念，这是多么有趣啊！它还没有完成…

限制为只有1和2有另一个有趣的结果，我不会在这里破坏…你自己试试吧！和你的学生一起试试！）另一个扩展是仅限于超长汽车。我最后分享了哥德巴赫猜想:

每个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和

我问我的学生们他们是怎么想的，他们可能会怎么做，它与他们所想的火车车厢有什么联系。然后我让他们知道这个问题没有解决。“你是数学家社区的一员……测试假设，做出猜测，组织和分享想法。”这是我最喜欢的课程之一。（也是进入寒假的好方法……“你的休息硬件是解决哥德巴赫问题，玩得开心！”）

火车车厢课程PDF格式 –这是“本地化”的，用了一个有趣的名字来代表我的学校和今年的时间安排（“Skyline Express”），但我也把它作为一个参与性测验，所以这个pdf中的任务介绍部分是针对这种课堂形式的。

区分为全部的水平

注意这些划分问题的各个方面，激发了从小学到高中，到教师，当然还有专业数学家的学生的好奇心。当学习者有机会自己完善问题并探索自己的想法时，任务就变得个性化了。当任务是个性化然后我们就可以做了社会化的：人们分享自己的想法和工作。

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工具书类

Skyline Express课程材料PDF格式–Scott Farrar 2013年

NCTM–教儿童数学–自行车商店http://www.nctm.org/Publications/Teaching-Children-Mathematics/2016/Vol23/Issue1/The-cycling-shop/2016年8月

Yackel，E.和Cobb，P.（1996年）。数学中的社会数学规范、论证和自主。数学教育研究杂志， 27(4), 458-477. doi:1。检索自http://www.jstor.org/stable/749877doi:1个

在几何学中，关于构造的单元通常从演示开始，练习复制线段、复制角度、将线段平分、将角度平分。这些被视为构建块，含蓄地承诺稍后进行更详细的构建。实际上，很快，这个单元就会通过一个给定的点构造一条平行线，并通过一个点构造一个垂线。但学习“构建块”往往会陷入不连贯的程序实践中。理由通常是“你以后会需要它”。这不仅让学习者感到非常不满意，而且有时当我们谈到“以后”时，我们也会将该主题视为不连贯的过程。

一个被困在这类课程中的学生一定会想什么！人们承诺未来会充满有趣的问题，但现在必须艰难度过。

让我们把有趣的问题带到现在。使用此技能可以解决哪些问题？

回答距离问题

几年前，我和另一位老师改编了丹·梅耶（Dan Meyer）的一节课，将这些问题归纳为一句话：“指南针测量距离。”湾区大学地图课程计划（PDF）一个问题问道：“马林学院离旧金山州立大学有多远？”你是怎么做到的？我们可以用尺子，测量地图距离，测量比例尺，然后找出比例。或者，你可以目测天平，或者用你的拇指和手指来接近它的副本。请注意，这两者都与实际的罗盘和直尺结构相似。

如果你在测量比例尺和地图距离，你实际上是在把比例尺段的长度复制到两点之间的一条线上。这是复制线束段构造一开始不要担心他们会伸手去拿尺子，如果没有尺子，问题会更容易。但也要注意，如果我们问尺子与指南针的比较情况，我们可能会进行讨论。给定1英寸，其余的标记就是你用指南针所做的。

这节课还鼓励这样一个概念，即指南针画的圆是指南针中心的等距点集。当然，这是一个圆的定义，但如果我们问“我们现在离Cal或Mills更近了吗？”我们不必跳到垂直平分线，相反，我们可以慢行：所有距离Cal 10英里和Mills 10英里的点在哪里？画了两个圆。每个距离5英里？再绕两圈。距离每个8英里？再绕两圈。一种模式可能开始出现。如果学生们提议在所有这些交点之间划一条线，不要感到惊讶。

建筑课程绘制

上个月，我观察到一些教室在做指南针和直尺介绍。演示完之后，老师可能会说要练习几次。但学生的论文往往只有指南针标记和草图的仿制品，显然不是精确的复制品。这可能会让老师感到困惑，因为整个重点是“复制”。但如果学生不这样做，他们并不愚蠢，只是这项任务毫无意义。字面上没有意义，因为它们没有注意到过程的重要属性是什么。程序的重要属性也有很高的字数输出比——“将指南针的中心放在段的一端，并将另一端打开到另一端”。

好吧，让我们试着提出一个问题，这样学生就需要复制线段和角度来完成它。我一直在头脑风暴，本质上是“从这里到那里”。第一级显示在左侧。

规则：

1. 您只能在BC全程旅行（给定）
2. 您只能以FDE的全角度转弯（给定）
3. 你可以从任何方向出发

根据这些提示，学生需要复制线段和角度。他们被允许以一种能够激发更多创造力的方式“去”。非正式的解决方案（非构造）也是可以接受的，因为在正式化之前非正式地尝试是完全合理的。

有多种解决方案，但这些点是专门选择的，因此起点和终点不是BC的倍数。学生的解决方案可以通过他们接近终点的程度来衡量，这为“更好”的解决方案提供了一些动力，但请注意，他们的构建质量是一个单独的衡量标准。

实际上，我开始这个想法时考虑的是较难的版本：在一张大纸上随机放置两个点，并在中间画出斑点。（见图）给定一个线段和一个角度，你能用它们的副本从头到尾创建一条路径而不碰到斑点吗？

创意构造课：只允许复制一个线段和一个角度。#甲基叔丁基醚 #地理帽从A到B。pic.twitter.com/9AH8cLgclB

-斯科特·法拉（@farrarscott）2016年9月9日

当我想到这一点时，有几件事突然向我袭来。首先，学生们可能会以这种方式复制更多的角度和分段，而不是你在练习中可以轻松指定的。（这很好！）我在思考课程的实施和潜力时写的其他东西

1. 该线段应该不同于远离角顶点的线段长度处的角宽度。（真是一团糟——但本质上，这意味着如果线段和角度要求指南针的开口几乎相同，那么它可能会混淆你在指南针中的测量值
2. 复制一个片段变得非常简单（哈哈），但有时你需要扩展你的目标线，体验这种需求对学生来说很有价值，因为它很难用语言描述。
3. 复制角度需要大量改变指南针-预计会有一些困难（但这是你希望他们克服的）
4. 随机放置孤岛可能会阻止解决方案的存在，但会发现这很强大。适应：也许你被允许离开报纸？或…参见#8
5. 一个简单的级别（如上面的级别1）可能应该首先完成。需要将其设计为需要每个线段和角度。
6. 中等水平就像我在这里画的，或者老师（上课前）先画出解决方案路线，然后放置岛屿来设计水平。
7. 硬水平可能是你让学生为彼此设计的水平。这些不一定很难，但难度很大。
8. 延伸：如果一个级别特别有挑战性，你可以“允许”学生平分一个部分或平分一个角度，并使用一半大小的项目一次。面临这种选择的学生需要评估哪种选择是最好的，因此可能需要练习几次对分技能。
9. 平行线结构的元素可以自动生成，因为学生可以在横向或交替的内角上以相应的角度复制角度。
10. 说到这里，横截面和平行线上的角度也是这个活动的自然结果。学生们可能会猜测平行线上的同余角，这为现在或稍后你提到该单元时的讨论提供了素材。
11. 单个线段和角度的底层结构是平行四边形网格。这有助于评估解决方案，也可以从它是代数的入口点的角度进行讨论可构造数。这并不是说你需要详细讨论概念，但你可以打下一些基础

此外，我认为学生有足够的机会想出一个给定水平的创造性解决方案。由于第一个方向是任意的，学生们可能会有不同的解决方案，这些都值得庆祝。学生们可以看看彼此的工作，注意到所面临和解决的小问题中的相似之处（绕开一个岛屿），也可以在技能上相互帮助，而这并不是问题的“答案”。学生们可能会有兴趣通过用不同的选择重新做来改进他们的解决方案。我可以想象一堵墙上挂满了几十张学生地图的漂亮墙！

如果你尝试这个想法或与之相关的东西，我很想听听！以下是我已经收到的一些相关资源：

@法拉斯科特非常酷！你可能也喜欢这个https://t.co/6a1K9iW2hl

-阿兰·W·格兰西（@aranglancy）2016年9月9日

@齐默尔钻石 @法拉斯科特可能有用：https://t.co/2yWwKnvGFA网站
拼图方法。在我的几何课上非常受欢迎。

-亨利·皮奇奥托（@hpicciotto）2016年9月12日

真实

最后，这里的问题的“真实性”并不取决于它们是“真实世界”。它们是真实的，在某种意义上，它们可以通过使用所讨论的技能来回答，也许除了访问先前的知识之外。这与我们所说的“练习三次技能”的假问题形成了对比。主要区别是，真正的问题可以在没有技能的情况下被攻击，但技能可以改进解决方案。假问题直接要求技能，因此它成为唯一可能的解决方案。

你怎么认为？geogebra-applet问题是真的还是假的？我说，距离很近。这个问题的一个更假的版本将为学生完成所有的预处理，直接告诉他们“复制EF”。这是我认为许多建筑课程的倾向。我说，这个问题的真实性来自这样一种感觉，即我可以在不使用指南针和直尺的情况下提供合理的答案，而这些工具肯定会改善我的结果。但是，肯定只有一个正确的答案，而构造几乎是形式上实现它的唯一方法（如果我们假设毕达哥拉斯定理依赖于构造）。所以，为了让它更真实，我们调整了目标。上面的课程绘图活动是一次大调整：我们必须从头到尾使用复制的线段（和角度），但学生在如何使用这些工具方面有代理权。

这里的目标是指南针和直尺的构造。忘记“我们稍后会需要它”，让“现在就需要它”！