选举规划

发布于2008年6月13日，星期五。

几天前，网站fivethirtyeight.com网站提出了这样一个问题：以最少的州数赢得选举团，也就是说，一组州的投票总数达到270票或更多，但如果从集合中删除任何状态降至270以下。

数学家Isabel Lugo把手伸进工具箱并推出了组合学中最值得信赖的工具：生成函数。伊斯最近的博客帖子给人一种美好的感觉解释。

我是一名程序员，所以我把手伸进工具箱找出我最喜欢的组合学工具：动态编程。动态编程本质上是一个奇怪的名称缓存的递归，减去递归。

让我们考虑一个更简单的计数问题总共有270张选举人票。我们可以写一个简单的递归方程来计算这个数方式：

方式（n，v）=方式（n-1，v票[n]）+方式（n-1，v）

方式（n，v）是方法的数量，仅使用第一个n个州，得到v（v）投票。要么包括州n个要么投票，要么你不投票。如果你这样做，那么你需要v票[n]从第一名投票n-1个如果你没有，那么你需要v（v）来自第一n-1个状态。方式（n，v）只是数字的总和实现这两个简单场景中任一场景的方法。（当然有一个基本情况：使用前0个状态，有一种方法获得0票，无法获得任何其他票数。也没有办法，使用任何数量的状态，获得的票数为负数。）

这就形成了一个简单的递归程序：

整数64方式（int n，int64 v）{如果（n==0&&v==0）返回1；如果（v<0|n<=0）返回0；回程（n-1，v票[n-1]）+回程（n-1，v）；}printf（“精确获取270=%lld\n的方法”，方法（51270））；

（哥伦比亚特区没有任何国会议员，但确实有选举人投票，因此51票。上述讨论讨论了票数[n]好像投票是1索引的，但在C中是0索引的，因此票数[n-1].)

每次呼叫方式（n，*）导致两次调用方式（n-1，*）,造成一个不幸的O（2^N个)运行时间；因为N=51，所以花时间写一个更快的程序是值得的。

有2个⁵¹函数调用，但可能只有52*271个不同函数参数；因此递归程序重复相同的调用数十亿次。如果我们添加缓存，我们可以避免重复：

int64缓存[52][271]；//初始化为-1整数64方式（int n，int64 v）{如果（n==0&&v==0）返回1；如果（v<0|n<=0）返回0；if（缓存[n][v]==-1）缓存[n][v]=方式（n-1，v-投票[n-1]）+方式（n-1，v）；返回缓存[n][v]；}printf（“获取270的方法=%lld\n”，方法（51，270））；

现在，在第一次呼叫方式，最多有两个电话填充每个缓存条目，或最多2个*52个*271个调用。那会跑的许多的速度更快。

我们可以到此为止，但我们可以进一步简化代码通过删除递归并通过迭代填充缓存。

int64路[52][271]；//初始化为0方式[0][0]=1；对于（n=1；n=51；n++）{对于（v=0；v<=270；v++）{方式[n][v]=方式[n-1][v]；if（v票[n-1]>=0）方式[n][v]+=方式[n-1][v-投票[n-1]；}}printf（“获取270的方法=%lld\n”，方法[51][270]）；

在迭代进行计算时，这一点很重要方式[n][v],它已经按照需要的方式计算了条目。自方式（n，*）取决于方式（n-1，*）它足以填满整个行方式[n-1]在开始之前方式[n].没有必要迭代v（v）从0到270。我们可以从270转为0：

int64路[52][271]；//初始化为0方式[0][0]=1；对于（n=1；n<=51；n++）{对于（v=270；v>=0；v---）{方式[n][v]=方式[n-1][total]；if（v票[n-1]>=0）方式[n][v]+=方式[n-1][v-投票[n-1]；}}printf（“获取270的方法=%lld\n”，方法[51][270]）；

事实上，方式[n][v]取决于方式[n-1][u]只为u小于等于v，所以如果v（v）从270迭代到0，我们可以重用单个表行（我们也可以借此机会替换n-1个具有n个,既然n个没有索引到方式更多）：

int64路[271]；//初始化为0方式[0]=1；对于（n=0；n<51；n++）对于（v=270；v>=票[n]；v---）方式[v]+=方式[v-投票[n]]；printf（“ways to get actually 270=%lld\n”，ways[270]）；

许多动态编程解决方案都具有此特性，您只需要下面和左边的数组项，因此如果您从右边迭代，您可以只保留一行。对于这个问题，节省的空间并不显著，但在一些问题上确实如此。

现在我们有了一个非常简单、直接的方法计算获得270票的方法的数量，但不是最初的问题。最初的问题是有多少方法可以获得至少270票，但具有最小状态集。

我们可以计算出获得270票、271票、272票等的方法。，但对于较大的数量，我们需要确保只包括使用最小集的方法。我们可以通过使用状态来确保最小化n个只有的票如果总数还不够大：

int64路[400]；//初始化为0方式[0]=1；对于（n=1；n<=51；n++）对于（v=270+票[n]-1；v>=票[n]；v---）方式[v]+=方式[v-投票[n]]；

这个+=将永远不会添加方式[u]对于任何u>=270.方式[v]是准确获取v（v）投票其中一组状态相对于270是最小的。要获得至少270张选票的方法数量，求和数组的末尾：

总计=0；对于（v=270；v<400；v++）总计+=方式[v]；printf（“获取至少270的最小方法=%lld\n”，总计）；

400的上限只是一个足够大的数字：任何最低限度的获胜组合都不可能获得超过400张选票*

这里有一个微妙之处：我们只添加状态n个的选票如果投票总数超过270票，但也许状态n个拥有55票，目前总数为269票。正在状态中添加n个总数超过270，但在那里一定是269个州中的较小州，所以不是最小集。要避免这种情况，只需考虑每个州按大小排序，从多数票到最少票。然后，当我们添加一个状态时，正在考虑的集合只能包含更大的状态，因此上面的代码可以计算期望的答案。

具体来说，下面有一个完整的C程序。它在我的Thinkpad X40上运行大约80微秒。这比等待任何O（2）都要快得多⁵¹)本来会的。

我认为有两个如此不同的人真是太棒了思考相同计算的方法：抽象泛函生成函数的优雅性和命令的直接性动态规划。那些更喜欢一个的人方法或其他方法可以选择适合他们的方法。就个人而言，我是卢戈认为会说“通过生成函数的方法只是动态编程符号无缘无故地四处飘荡。”**

*事实上，由于得票最多的州有55票，没有最低票数获胜一局可能有超过324票，但因为你不能大州获得269票，324票不可能最小集。因此，实际的上限甚至更小。事实上，如果你把得票最多的州加起来，你需要第一个11人达到271人，最后胜利的州有15个。因此，使用284作为上限就足够了而不是400。这种题外话正是400已经足够了！

**类似的对应关系是静态单一分析（SSA）表和连续传递样式（CPS）.很容易看到SSA拥护者说CPS只是SSA有一堆额外的lambdas浮动没有什么好理由！

#包括<stdio.h>typedef long long int64；int票[51]={55, 34, 31, 27, 21, 21, 20, 17, 15, 15,15, 13, 12, 11, 11, 11, 11, 10, 10, 10,10,  9,  9,  9,  8,  8,  7,  7,  7,  7,6,  6,  6,  5,  5,  5,  5,  5,  4,  4,4,  4,  4,  3,  3,  3,  3,  3,  3,  3,三，};int64路[400]；整数main（int argc，char**argv）{int n，v，代表；总计int64；对于（n=0；n<400；n++）方式[n]=0；方式[0]=1；对于（n=0；n<51；n++）对于（v=270+票[n]-1；v>=票[n]；v---）方式[v]+=方式[v-投票[n]]；总计=0；对于（v=270；v<400；v++）总计+=方式[v]；printf（“%lld\n”，总计）；返回0；}