拉马努扬的论文
数字分析理论中的一些形式
数学信使，XLV，1916，81–84
我在其他过程中偶然发现了以下公式调查。它们似乎都不是特别重要，也不是他们的证明涉及到任何新思想的使用，但其中一些人很好奇它们似乎值得印刷。我用$d（x）$表示$x$的除数，如果$x$是整数，则为零，否则为$\zeta（s）$黎曼-齐塔函数。
\开始{eqnarray}\mbox{（A）}\frac{\zeta^4（s）}{\zeta（2s）}=1^{-s}d^2（1）+ 2^{-s}d^2（2）+3^{-s}d^2（3）+\cdot，\结束{eqnarray}
\开始{eqnarray}\frac{\eta^4（s）}{（1-2^{-2s}）\zeta（2s）}=1^{-s}d^2（1）-3^{-s{d^2+5^{-s}d^2（5）-\cdot，\结束{eqnarray}
哪里$$\eta=1^{-s}-3^｛-s｝+5^{-s}-7^｛-s｝+\cdots~$$\开始{方程式}{\rm（B）}：：：：\：\：：\+O（n^{\frac{3}{5}+\epsilon}），\ href{#p17_en1}{^1}\结束{方程式}
哪里$$A=\frac{1}{\pi^2}，\：B=\frac{12\gamma-3}{\pi^2}-\frac}36}{\p^4}\zeta'（2）$$$\gamma$是欧拉常数，$C、D$更复杂的常数，以及$\epsilon$任何正数。\开始{eqnarray}{\rm（C）}\：\：\∶：\：：\：d^3\左（\frac{n}{3}\右）+d^3\左（\frac{n}{2}\右）+\cdot=\left\{d\left（\frac{n}{1}\right）+d\left（\frac{n}{2}\rift）+d\left（\frac{n}{3}\right）+\cdots\right\}^2，\href{#p17_en2}{^2}\结束{eqnarray}
\开始{eqnarray}\sum ^\infty_1 n^｛-s｝d^r（n）=\｛zeta（s）\｝^｛2^r｝\ phi（s），\结束{eqnarray}
其中$\phi（s）$对于$R（s）>\frac{1}{2}$是绝对收敛的，并且在特别的\开始{eqnarray}\总和^\infty_1\frac{1}{n^sd（n）}=\prod_p\left\{p^s\log\左（\frac{1}{1-p^{-s}}\right）\right\}=\sqrt{\{\zeta（s）\}}\phi（s）。\结束{eqnarray}
\开始{eqnarray}{\rm（D）}：\：\：：\：\\：\+\cdots+\frac{1}{d（n）}=n\left\{\frac{A_1}{（\logn）^{\frac{1}{2}}}}+\frac}A_2}{n） ^{\压裂{3}{2}}+\cdots+\frac{A_r}{（\logn）^{r-\压裂{1}{2{}}+O\压裂{1}{（\log n）^{r+\frac{1}}{2}}\right\}，\结束{eqnarray}
哪里$$A_1=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\prod_p\left\{\sqrt{（p^2-p）}\log\左（\frac{p}{p-1}\right）\right\}$$和$A_2、A_3、\ldots A_r$是更复杂的常数。
更一般地说
\开始{eqnarray}d^s（1）+d^s=n \｛A_1（\log n）^｛2^s-1｝+A_2（\log n）^｛2^s-2｝+\ldots+A_｛2^s｝\｝+O（n^{\frac{1}{2}+\epsilon}），\ href{#p17_en3}{^3}\结束｛eqnarray｝
如果$2^s$是整数，并且\开始{eqnarray}d^s（1）+d^s=n\left\{A_1（\logn）^{2^s-1}+A_2（\log n）^}2^s-2}+\ldots+\压裂{A_{r+2^s}}{（\logn）^r}+O\left[\frac{1}{n） ^{r+1}}\right]\right\}，\结束{eqnarray}
如果$2^s$不是整数，则$A$是常量。\开始{eqnarray}（E） ：：：：\：\：：\\φ（n）}，\结束{eqnarray}
哪里$$C=\gamma+\sum^\infty_2\left\{\log_2\left（1+\frac{1}{\nu}\right）-\压裂{1}{\nu}\right\}（2^{-\nu}+3^{-\nu}+5^{-\nu}+\ldot）$$这里$2,3,5，\ldots$是素数和\开始｛eqnarray*｝\压裂{\phi（n）}{n}=\frac{\gamma-1}{\logn}+\frac{1！}{（logn）^2}（\gamma+\gamma_1-1）+\frac{2！}{（\logn）^3}（\gama+\gamma_1+\gama_2-1）+\ldots\cr+\frac{（r-1）！}{（\logn）^r}（\gamma+\gamma_1+\gamma_2+\ldots+\gamma_{r-1}-1）+O\left\{\frac{1}{（\logn）^{r+1}}\right\}，\结束{eqnarray*}哪里$$\zeta（1+s）=\frac{1}{s}+\gamma-\gamma_1s+\gamma_2s^2-\gamma_3s^3+\ldot$$或$$r！\gamma_r=\lim_{\nu\to\infty}\left\{（\log 1）^r+\frac{1}{2}（\log2） ^r+\ldots+\frac{1}{\nu}（\log\nu）^r-\frac}{1}}{r+1}（\ log\nu）^{r+1}\右\}$$\开始{eqnarray}{\rm（F）}：\：\：：\：\左（\frac{u}{n}\right）d\left（\frac{v}{n}\right）=\sum\mu（\delta）d\left（\frac{u}{delta}\rift）d\左（\frac{v}{\delta}\右），\结束{eqnarray}
其中$\delta$是$u$和$v$的公因数，并且$$\frac｛1｝｛\zeta（s）｝=\sum^\infty_1\frac｛\mu（n）｝｛n^s｝$$$${\rm（G）}：\：\：：\：$$我们有\开始｛eqnarray｝D_v（n）=\sum\mu（\delta）D\left（\frac{v}{\delta}\right）D_1\左（\frac{n}{delta}\right），\结束{eqnarray}
其中$\delta$是$v$的除数，并且\开始{eqnarray}D_v（n）=α（v）n（log n+2γ-1）+beta（v）n+Delta（n），\结束{eqnarray}
哪里$$\sum^\infty_1\frac{\alpha（\nu）}{\nu^s}=\frac{\zeta^2（s）}{\ zeta（1+s）}，\总和^\infty_1\frac{\beta（\nu）}{\nu^s}=-\frac}\zeta^2（s）\zeta'（1+s）}{\泽塔^2（1+s）}$$和$$\Delta_v（n）=O（n^{\frac{1}{3}}\log n）~\href{#p17_en4}{^4}$$\开始{eqnarray}（H） ：\：\：：\：\\：\：=\alpha_c（v）n（\log n+2\gamma-1）+\beta_c（v）n\Delta_{v，c}（n），\结束{eqnarray}
哪里$$\sum^\infty_1\frac｛\alpha_c（\nu）｝｛\nu^s｝=\frac｛\zeta（s）\sigma_｛-s｝（|c|）}{\泽塔（1+s）}$$$$\sum^\infty_1\frac{\beta_c（\nu）}{\nu^s}=\frac{\zeta（s）\sigma_{-s}（|c|）}{\zeta（1+s）}\left\{\frac{\zeta'（s）}{\ zeta（s）{+\ frac{\ zeta'（1+s）}{\zeta（1+s）}+\frac{\sigma{-s}~'（|c|）}{\sigma{-s}（|c'）}\right\}$$$\sigma_s（n）$是$n$除数的$s$次幂和$\sigma_s'（n）$关于$s$的$\sigama_s（n）美元的导数，以及$$\Delta_{v，c}（n）=O（n^{\frac{1}{3}}\logn）。\链接{#p17_en15}{^5}$$（一） 福尔摩勒(1)和(2)是的特殊情况\开始{eqnarray}\压裂{\zeta（s）\ zeta（s-a）\ zeta（s-b）\ zeta}{\zeta}=1^{-s}\西格玛_a（1）\西格玛_b（1）+2^{-s{\西格马_a（2）\西格玛_b（2）+3^{-s}\σa（3）\σb（3）+\cdot；\结束{eqnarray}
\开始{eqnarray}\裂缝{（eta（s）\eta（s-a）\eta（s-b）\eta-（s-a-b）}{（1-2^{-2s+a+b}）\zeta（2s-a-b）}=1^{-s}\西格玛_a（1）\西格玛_b（1）-3^{-s{\西格马_a（3）\西格玛_b（3）+5^{-s}\西格玛a（5）\西格玛b（5）-\cdots\结束{eqnarray}
可以找到一个近似的通和公式\开始{eqnarray}\西格玛a（1）\西格玛b（1）+\西格马a（2）\西格玛b（2）+\ldots+\σa（n）\σb（n）。\结束{eqnarray}
一般公式很复杂，最有趣的例子是$a=0，当公式为（3）时，b=0$$a=0，b=1，$（如果是）\开始{eqnarray}\裂缝{\pi^4n^2}{72\zeta（3）}（\log n+2c）+n E（n），\结束{eqnarray}
哪里$$c=\gamma-\frac{1}{4}+\frac}\zeta'（2）}{\zeta（2）{-\裂缝{\zeta'（3）}{\zeta（3）{$$并且$E（n）$的顺序与$\Delta_1（n）美元的顺序相同；并且$a=1，b=1$，当它是\开始{eqnarray}\frac｛5｝｛6｝n^3\zeta（3）+E（n），\结束{eqnarray}
哪里$$E（n）=O\{n^2（\logn）^2\}，\：E（n”）\neqo（n^2\logn）$$$\mbox{（J）}~~\mbox}如果}s>0$，则\开始{eqnarray}\西格玛（1）\θc^n（n！）^s，\结束{eqnarray}
哪里$$1>\theta>（1-2^{-s}）（1-3^{-sneneneep）（1-5^{-s}）\ldot（1-\varpi^{-s{）$$$\varpi$是不超过$n$的最大素数，并且$$c=\prod_p\left\{\left（\frac{p^{2s}-1}{p^2s}-p^s}\right）^{1/p}\左（\frac{p^{3s}-1}{p^{3s}-p^s}\右）^{1/p^2}\左（\frac{p^{4s}-1}{对^{4s}-p^s} \右）^{1/p^3}\cdots\right\}$$$$\mbox{（K）}\：\：\∶\：\=\frac｛1｝｛4｝+\sum^\infty_1r（n）q^n，$$以便$$\zeta（s）\eta（s）=\sum^\infty_1r（n）n^{-s}$$然后\开始｛eqnarray｝\裂缝{\zeta^2（s）\eta^2（s）}{（1+2^{-s}）\zeta（2s）}=1^{-s{r^2（1）+2^{-s}r^2\结束{eqnarray}
\开始{eqnarray}r^2（1）+r^2，（2）+r ^2（3）+\cdots+r ^ 2（n）=\frac{n}{4}（\log n+C）+O（n^{\frac}3}{5}+\epsilon}），\结束{eqnarray}
哪里$$C=4\gamma-1+\frac{1}{3}\log2-\log\pi+4\log\gamma（\frac{3}{4}）-\frac{12}{\pi^2}\zeta'（2）$$这些公式类似于(1)和(3).
1.如果我们假设黎曼假设，这里的误差项的形式是$O（n^{frac{1}{2}+epsilon}）$。
2.哈迪先生向我指出，这个公式已经由Liouville给出，数学杂志第二辑，第二卷（1857年），第393页。
3.假设黎曼假设。
4.$\Delta_v（n）$的形式似乎不太可能$O（n ^｛\frac｛1｝｛4｝+\epsilon｝）。$哈迪先生最近表明了这一点$\Delta_1（n）$的格式不是$o\{（n\logn）^{\frac{1}{4}}\log\logn\}$。这也同样适用。
5.很可能$\Delta_{v，c}（n）$的顺序与$\Delta _ 1（n）美元的顺序相同。
