1.简介
关于弗雷格逻辑创新和角色的故事他们在他更大的逻辑主义项目中扮演的角色通常会被告知类似于以下几行，重点是他的三行“好书”。首先，弗雷格发明了现代his中的量化逻辑Begriffsschrift eine der公司算术nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens，或概念脚本（1879a）。其次，弗雷格批评了数学基础的前沿（当时）记述在里面Die Grundlagen der Arithmetik：eine逻辑-数学扎尔Begriff der Zahl的Untersuchungüber den，或这个数学基础（1884），他还提供了关于他把数学简化为逻辑的非正式叙述。第三，弗雷格进行了算术的形式重建（并开始真实与复杂分析的重建）Grundgesetze der Arithmetik:begriffsschriftlich abgeleitet波段I&波段II，或算术基本定律(1893/1903),在他最初发展的逻辑中概念文字,或者至少在这个逻辑的直接扩展中通过用价值范围和逻辑法则来管理系统他们。
如果有人对弗雷格的数学哲学感兴趣，那么这个故事也许足够了。但如果一个人的兴趣是针对弗雷格的逻辑哲学，那么这个故事素描严重不足。原因很简单：在中找到逻辑系统格兰杰塞茨实际上意义重大与中的系统不同概念文字。有毫无疑问，弗雷格达到了格兰杰塞茨通过关注各种不足和中给出的系统局限性概念文字.但是这两种逻辑在技术细节方面的差异就哲学解释而言在弗雷格的职业生涯中，支持一个单一、统一的逻辑系统，而他只是扩展了这个系统当他的逻辑学家项目要求他这样做时，他会以各种方式这样做。注意这些差异很重要，因为弗雷格高阶量化逻辑的发明是典型的标志发布时发生的概念文字，但是许多与众不同的人可能会说他的逻辑的特质只出现在后来系统格兰杰塞茨
这些特征包括声称句子指的是真理的价值观；对象的精确类型系统，一级、二级和第三级功能、概念和关系；和简介不同的一阶和高阶量词不同类型。后面逻辑的这些方面格兰杰塞茨不仅仅是对，早期的逻辑概念文字相反这两个系统之间的差异意味着有一连串的符号是逻辑的定理概念文字,但不是逻辑的定理格兰杰塞茨.我们会的参见弗雷格讨论的一个重要例子他自己知道接下来发生了什么。
在深入讨论之前，请对符号、术语和目标是有序的。首先，一些作者，如Heck（2012），已经使用了术语“概念文字“在中用斜体字系统地表达模糊(概念文字)在提到作品和写作时指（假定为单一）逻辑系统时为非斜体在弗雷格的所有作品中。这种方法行不通在这里，因此我们将继续提及这两种系统作为的逻辑概念文字和逻辑格兰杰塞茨分别是。
其次，一些翻译家翻译了弗雷格的“德意志银行“as”哥特式字母”，其他字母为“德语字母”，有些字母有呈现“布赫斯塔贝晚礼服“as”拉丁文字母”，其他则称为“罗马字母”。没有什么哲学依赖于此，它只是一个风格问题差异，因此我在翻译中保留了这些内容，但会在每种情况下，在我的讨论中使用后一种术语。
第三，我们应该强调弗雷格在这两项工作中逻辑的方法和目标与概念通常在现代研究中起作用。沃伦戈德法布描述了现代逻辑概念，他称之为图解概念他认为我们继承了（除其他外）塔斯基和奎因主要关注发现逻辑的性质和逻辑之间的关系这种或那种形式语言中的图式，其次是确定自然语言的句子是否可以翻译为具有此或那个特性的这种模式的实例。概念逻辑在概念文字和格兰杰塞茨然而，Goldfarb称之为普遍主义概念，完全不同。上普遍主义概念，逻辑学对陈述和证明感兴趣适用于任何主题的通用、普遍有效的逻辑法则不管怎样。简单地说，在现代逻辑，逻辑的主题是句子（或图式，或命题或其他类型的语言的实体）和其目标是发现管理和句子（或图式或命题等）之间的关系。打开然而，弗雷格的普遍主义概念的目的并不是为了发现关于语言的普遍真理，而不是发现关于世界的普遍真理（Goldfarb 2010）。
最后，尽管弗雷格只是全面介绍了他的逻辑两次概念文字然后在早些时候的部分格兰杰塞茨，他在其他作品的数量，包括“功能和概念”，“意义和参考”，以及“概念和对象“（关于它的更多信息，请参见下文），但也会在数量上减少他在著名论文中明确讨论了这些差异在他自己的体系和同时代人的作品之间。这些包括（但不一定限于）“Boole’s逻辑演算与概念脚本”（1880/81），“Boole的逻辑公式语言和我的概念脚本”（1881），“论科学合理性概念符号”（1882a），“关于“概念符号”（1882b）和“关于。皮亚诺的概念符号和我自己的”（1897）。这些论文不仅提供了对弗雷格的逻辑和他的逻辑哲学，也包含对优势属于弗雷格的符号比弗雷格的同时代人（同样适用于将弗雷格的记谱法与我们的现代记谱法进行比较时，有很多方面向后-“E”（\（\存在\））和upside-down-“A”（\（对于所有\））符号！）希望这样做的人在材料之外继续研究弗雷格的逻辑本文中包含的内容不仅应参考概念文字和格兰杰塞茨，但这些工作方式好。
2.逻辑概念文字
逻辑概念文字是在弗雷格之前配制的写了《功能与概念》（1891），《意义与参考文献”（1892a）和“概念和对象”（1892b）。这些论文中的每一篇都旨在解决一个特定的弗雷格原始逻辑中的问题概念文字：“功能和概念”澄清概念和关系作为一种数学的地位函数（并包含许多其他逻辑的更改，包括首次发布的弗雷格的感觉/参照区分），“感觉和参考”为弗雷格提供了工具身份的处理，以及“概念和对象”地址弗雷格作品中的类型区分引起的困惑高阶逻辑首先在“函数和概念”（尽管清晰的概念/对象区别也是隐式假设，并在格兰德拉根[1884]). 这些作品中的每一件都导致了这两件作品的重大改变形式细节与哲学解读弗雷格的逻辑介于概念文字和格兰杰塞茨，我们将研究其中的一些差异如下。为了理解基本逻辑力学概念文字靠自己，然而，这三篇文章中最具批判性的是“理智和参考”。
在写作时概念文字，弗雷格没有明确区分意义和指称。结果，他反而调动概念性内容从某种意义上说，在感觉和参照之间分配的工作他后来发表的《理智与参考》著作。
在他反对传统的主旨分析中弗雷格明确指出逻辑概念文字对差异不敏感在表达相同概念内容的判断之间：
我注意到，两项判决的内容可能在两个方面有所不同：或者将从中得出的结论与当与同样的判断，否则情况就不同了。这两个主张“希腊人在普拉提亚击败波斯人”“在普拉提亚，波斯人被希腊人打败了”，在第一方面有所不同。即使感觉上略有不同尽管如此，协议仍然占主导地位。现在我称之为内容是相同的在这两种情况下概念的内容.自只有这个对概念文字，不需要区分具有相同概念内容的命题。（弗雷格1879a：§3)
因此，有趣的是，有点像当代逻辑而不是采用后一种方法格兰杰塞茨，逻辑的操作员概念文字是指（在某些情况下）sense）将适当排序的参数映射到可判断的目录，可以尽可能地加以掩饰“情况”或“事实”（见Dummett 1981以及Currie 1984）。因此，在逻辑上概念文字否定是一个需要可判断的内容（同样，类似于可能的事实或环境）作为输入，并给出另一个可判断的内容作为其值，Frege版本的通用量词是运算符，它将谓词概念内容作为参数，并且给出了可判断的内容作为其价值。
对“负面”和“一般”事实（或者更仔细地说，“消极”和“普遍”概念内容）无疑困扰了概念文字作为一个结果（Beaney 1997），但Frege没有解决此类问题无论如何，它都会消失在格兰杰塞茨。我们的重要目的是概念内容的早期概念的使用，而不是更细微的意义/参考区别意味着逻辑中运算符的适用性概念文字比范围更窄（排版相同）运算符的适用性逻辑格兰杰塞茨.
在第3节概念文字，弗雷格介绍了一个与他同时代人（如布勒）的工作有重大偏离以及更普遍的逻辑传统：拒绝命题的主谓分析：
两者之间的区别主题和谓语发现没有位置在我对判决的陈述中。（1879年a：§3)
他用一个稍后的备选方案更灵活概念文字:
让我们假设氢比二氧化碳是用我们的公式语言表示的。然后代替氢的符号我们可以插入氧的符号用于氮气。这改变了人们的感觉“氧气”或“氮气”进入“氢”之前所处的关系。如果表达式被认为是变量，按这种方式，它被拆分为常数分量，表示关系的总和，以及可被其他人替代的符号，以及表示这些关系中的对象。我打电话给前者函数，后者是参数。区别与处理概念内容，但只处理我们掌握它的方式。虽然从刚才的方式来看，“氢”是论点和“比二氧化碳轻”功能上，我们也可以在这样一个“二氧化碳”成为论据和“比氢重”的功能。（1879年a：§9)
他随后在同一节中详细说明：
如果，在一个表达式中（其内容不必是可判断的内容），简单或复杂符号出现在一个或多个位置，以及我们认为它可以通过以下方式完全或部分替代另一个符号（但到处都是相同的符号），然后我们将在这种情况下看起来不变的表达式的一部分函数及其参数的可替换部分（1879a:§9)
这标志着概念文字：Frege已取代分析命题变成其唯一的主语和谓语（一种嵌入的方法在亚里士多德以来的大多数逻辑著作中）一个命题可以被分析为论点和一个功能以多种方式应用于该论点。
一个警告是正确的：弗雷格在概念文字函数和参数之间不应为混淆了对象的类型理论，一级函数（适用于对象），二级功能（适用于一级功能）和三级功能（适用于二级功能）的详细开发格兰杰塞茨.弗雷格，在写作时概念文字，尚未将这些类型区分到位，并在介绍格兰杰塞茨:
此外，与对象相比，函数的性质是比我的概念文字.此外，根据这一点，第一和二级结果。（1893/1903:x）
那么，什么出现在内部概念文字成为类似于一阶变量（即德语“\（\mathfrak{a}\）”，
“\（\mathfrak{e}\）”，等，以及罗马语“\（x\）”， “\（y\）”，等）反而更好被理解为在任何级别的参数（其中将包括后来的弗雷格首先考虑的内容——以及二级函数），以及二级变量（即德语“\（\mathfrak{f}\）”，
“\（\mathfrak{g}\）”，等，以及罗马语“\（f\）”， “\（g\）”）反而更容易理解作为适用于这些函数的变量论据。
虽然正确，但即使这样也有点误导，因为可以被看作是一个判决的论据，也可以被看作相同判断的功能，反之亦然。在介绍时逻辑的凹泛化装置概念文字（更多内容见下文）弗雷格写道：
由于符号\（\Phi\）出现在表达式\（\Phi（A）\）中，因此可以被认为是被其他符号\（\Psi\）、\（X\）所替代然后表示参数\（A\）的其他函数，\（\Phi（A）\）可以视为参数的函数\（\Phi\）。（弗雷格1879a:§10）
换句话说，我们可以解析“氢更轻”这句话而不是二氧化碳是论点，“比二氧化碳轻”是函数，但我们也可以解析相同的句子，以便“比二氧化碳轻”是论点“氢”（而不是像它在格兰杰塞茨，我们可能会将其解释为“满足于氢”）有关更多讨论，请参见Heck和May（2013）。此外，弗雷格指出，函数/参数的区别不是一个反射关于现实结构的任何客观事实（不同于在中找到更高的对象/函数层次结构格兰杰塞茨)但是相反，它仅仅反映了以一种方式分析语句的选择而不是另一个：
对我们来说，相同的概念内容可以通过不同的方式作为这个或那个论点的一个函数，它已经不再重要了因为函数和参数是完全确定的。（1879a:§9）
因此，任何东西都可以是参数或函数，显然的一阶和二阶变量概念文字是没什么。相反一阶变量（即。，“\（\mathfrak{a}\）”，
“\（\mathfrak{e}\）”，等，以及罗马语“\（x\）”， “\（y\）”，等）以及看起来是什么二阶变量（即德语“\（\mathfrak{f}\）”，
“\（\mathfrak{g}\）”，等，以及罗马语“\（f\）”， “\（g\）”）仅仅是启发式，服务帮助读者理解公式的结果多个量词。（下一小节介绍了符号使用Frege和弗雷格符号的扩展描述可用。）
2.1运营商概念文字
2.1.1判断笔划
这个判断笔划也许是弗雷格的方面在这两个版本中，逻辑一直是最重要的主题争议。简单地说，判断笔触，在逻辑上概念文字，转换可判断内容进入之内判断：
判断总是通过符号来表达
它位于符号或符号复合体的左侧给出了判决的内容。如果在水平的左端\（\）被省略，然后判断将转化为仅仅是思想的复杂,作者没有说明他是否承认其真实性或不是。例如，让
意思是判断“相反的磁极吸引一个”另一个“，那么
不会表达这种判断，而只应在读者了解相对磁极相互吸引的概念，例如，为了从中得出结论，并通过这些得出结论测试思想的正确性。在这方面，我们改述使用“情况”或“建议”。（1879a:§2）
在概念文字弗雷格明确表示，并非所有概念内容是一个可判断的内容，因此并非每一个表达式（当然也不是每个对象的名称）有资格是判断笔画的论据：
并非所有内容都可以通过放置
在其符号之前；例如，“房子”这个概念就不行。因此，我们区分可判断的和无法判断的内容。（1879a:§2）
他结束了关于拒绝主旨的讨论分析命题，支持他的函数论证方法，上面讨论过，关于判断笔画：
想象一种语言，其中的命题“阿基米德在攻占锡拉丘兹时被杀方式：“阿基米德在攻占锡拉丘兹时暴死是事实”。即使在这里，如果愿意，主语和谓语也可以可以区分，但主题包含全部内容，并且谓词只起到表示判断的作用。这样一个语言对所有判断只有一个谓词，即“这是事实”。可以看出，这是毫无疑问的这里是通常意义上的主语和谓语。我们的Begriffsschrift就是这样一种语言和符号是所有判断的共同谓词。（1879a:§3）
在引入判断笔划后不久概念文字，弗雷格声称它由两部分，水平冲程”
“和垂直冲程“\(|\)”,哪个是判断笔画正确，他建议水平面将各组成部分结合在一起将可判断的内容归纳为一个整体：
这个水平冲程，符号来自形成，将其后的符号绑定为一个整体断言，通过水平线的左端，与这个整体有关.水平中风可以称为内容笔划，垂直方向判断笔划.内容笔划通常用于将任何符号与后面的符号构成的整体联系起来(打、击等的)一下。内容笔划后面的内容必须始终具有可判断内容（1879a:§2）
请注意，判断笔画的参数仅限于可判断的内容（松散地放在句子中，非正式地术语意义），因此“\(2\)”是，在逻辑上概念文字，不是一个谎言，但只是形式不正确。我们将回到这种观察对理解差异的重要性在弗雷格下面的两个逻辑之间。但是水平的作用很小逻辑中的实际工作概念文字：它从未发生过孤立地。
2.1.2有条件中风
接下来是条件笔划。在概念文字弗雷格对条件笔划的解释如下：
如果（A）和（B）表示可判断内容（§2），则有以下四种可能性：
- \（A）被确认，（B）被确认；
- \（A）被确认，（B）被拒绝；
- \（A）被拒绝，（B）被确认；
- \（A\）被拒绝，而（B\）被拒绝。
现在表示判断第三种可能性没有获得，但其他三个中有一个获得相应地，如果
被否定，那么这就是说第三种可能性确实获得了；即，否定（A），肯定（B）。（1879a:§5）
简单地说，条件笔划是弗雷格的概念文字物质条件的版本：it将两个概念内容组合成一个复杂的概念表示事实的内容，当且仅当第一个表示一个事实，而第二个不表示。在现代术语中，条件的结果（弗雷格将其称为超组分在逻辑上格兰杰塞茨)发生在先行词之上（弗雷格称之为子组件在逻辑上格兰杰塞茨). 注意明确的限制将条件笔划的论点转换为可判断的内容。
尽管弗雷格在概念文字就像他在格兰杰塞茨，是的值得注意的是，复杂的条件笔画结构可以是以多种方式解析为先行词和结果。考虑：
这个表达式是类似的（但在任何合理的等效意义）“”\（C\右箭头（B\右箭头A）\）“现代记数法。但是弗雷格经常把这种形式的表达当作表达更接近（经典）等价物的东西“”\（（C\土地B）\右箭头A\）“.英寸简而言之，弗雷格在读取偏移量之间来回切换上面的公式作为（二进制）条件“\（C\）”作为先行词和
作为结果，作为（三元）条件“\（C\）”和“\（B\）”作为先行词和“\（A\）”作为结果（这将与我们讨论他的推理规则有关（见下文）。
2.1.3否定冲程
弗雷格在年提出的第三个概念概念文字是否定笔画：
如果内容的底面附加了一个小的垂直笔划中风，那么这是为了表达以下情况内容未获得因此，例如，
表示“（A\）未获得”。我把这个叫做小垂直敲击否定笔画.水平冲程的部分否定笔画的右边是\（A\）的内容笔画，另一方面，否定笔画左边的部分是\（A\）的否定词的内容笔划。（1879a:§7）
尽管弗雷格对命题逻辑的思考并不明显作为逻辑的可识别子系统概念文字（或逻辑格兰杰塞茨)、否定和条件性笔划是唯一的命题（Fregean类比）弗雷格引入任一逻辑的运算符（身份确实起作用类似于双条件在两种逻辑中的作用概念文字和逻辑格兰杰塞茨).弗雷格没有提供一个表达完整性的结果（而且也不是很可能在概念上，他甚至可以说写作时的结果概念文字). 但他第7条结论概念文字通过做手势方向，注意这两个操作符允许我们表达我们现在称为包含析取、排除析取和合取作为：
分别是。
2.1.4身份操作员
弗雷格接下来介绍了可能是最臭名昭著的部分的逻辑概念文字他的身份操作员。弗雷格显然，他正在努力解决最终会解决的难题在《意义与参考》中，通过名义上的区别，但这个概念还不可用，因此他面临着下面的谜题：给出两个名字“\（a \）”和“\（b\）”,如果“\（a）=b\）“是真的，如果名称的概念内容是它们的参照物，那么“\（a）=a \）“和“\（a）=b\）“有相同的概念内容。但事实并非如此：“\（a）=a）“和“\（a）=b）“清晰地不要具有相同的概念内容，因为它们意味着不同的东西。
因此，弗雷格不得不否认这一点“\（a \）”和“\（b\）”具有相同的概念内容，至少在身份声明的上下文中。因此，他们概念内容不能作为它们的参照物。弗雷格的结论是身份声明中名称的概念内容是名称他们自己，定义身份如下（值得注意的是，他使用“\（\equiv\）”这里，但是转向更标准的符号“\(=\)”在里面格兰杰塞茨一旦他已经解决了这些问题）：
因此是指：符号\（A\）和符号\（B\）具有相同的概念内容，因此\（A\）始终可以替换为\（B\），反之亦然（1879a:§7）
这解决了问题，因为在真实身份声明的上下文中喜欢“\（a=b\）”， “\（a \）”和“\（b\）”不要挑出相同的事情。相反，“\（a \）”自我参照地挑选符号“\（a \）”（和类似的“\（b\）”），因此身份声称“\（a=b\）”不会express（松散放置）：
\（a）与（b）相同
而是类似于（同样，宽松地说）：
被挑选出来的东西“\（a \）”和挑选出来的一样“\（b\）”.
其概念内容不同于：
被挑选出来的东西“\（a \）”和挑选出来的一样“\（a \）”.
因此概念文字公式如下：
被迫承担双重责任：在条件的前面上面的事件“\（a \）”和“\（b\）”有效地表示自己。然而，在这个条件的结果中，“\（a \）”和“\（b\）”更直接地表示，对于这些名称实际命名的任何对象。
弗雷格非常清楚对身份的理解，从第8节开始概念文字观察结果如下：
内容的同一性与否定和条件性的区别在于关于名字，而不是内容。而在其他地方，符号只是表示它们的内容，以便它们的每个组合enter仅仅表达了内容之间的关系一旦它们被符号“内容同一性；因为这意味着两种情况名称具有相同的内容。因此，引入了一个符号内容的同一性每个符号的意义都有分歧必须受到影响，相同的符号代表他们的内容，他们自己的下一个。（1879a:§8）
这个问题的解决方案必须等到引入意义/参照的区别。
到目前为止，我们只关注对象名称的标识符号。但弗雷格，在概念文字，从不限制以这种方式使用的标识符号，仅要求其应用以仅产生可判断内容的方式进行限制。因此，在逻辑范围内概念文字身份符号可以适用于任何两个参数，而不仅仅是两个参数之间物体。
2.1.5表示一般性的凹形
最后，我们有Frege的设备来表示概念文字：凹面：
在表达判决时，右侧符号的复合体属于始终可以被视为一个符号发生的函数在其中。如果用哥特式字母代替论点包含插入内容笔划中的此字母的凹面，如在里面
那么这意味着判断函数是事实无论什么都可以作为它的论据。因为一个字母被用作函数的符号，例如\（\Phi（a）\）中的\（\Phi\），可以是它被视为函数的参数，可以被哥特式替换以刚才指定的方式写信。哥特式字母的含义仅受以下明显限制：内容笔划后的符号必须仍然可以判断（§2），如果哥特式字母作为功能，必须考虑这种情况。所有其他哥特式字母的替代品必须具备的条件将包括在判决中。（1879a:§11）
因此，凹度为概念文字的版本（类似于）通用量词，以及形式公式：
是真的（或者，用弗雷格的术语来说概念文字,是事实)当且仅当，对于任何论点无论如何，应用\（\Phi（\xi）\）对该论点是正确的（或者，再一次，是事实）。注释弗雷格明确限制逻辑公式的形成属于概念文字以便凹面只能绑定当适当的参数时输出可判断内容的函数因此，在逻辑中概念文字“
\（\mathfrak{a}+1\）“格式不正确。
我们现在可以为差异的解释添加更多细节弗雷格之间概念文字区分函数和参数，以及更现代的层次结构对象、一级函数、二级函数和将出现在的逻辑中的第三级函数格兰杰塞茨正确理解：
在内部概念文字不主张：
对于任何对象\（\mathfrak{a}\），\（\Phi（\matchfrak{a}）\）都是事实。
而是说这样的话；
对于任何实体（任何“类型”或“排序”）\（\mathfrak{a}\）这样，\（\Phi（\xi）\）与\（\mathfrak{a}\）产生可判断的内容,\（\Phi（\mathfrak{a}）\）是事实。
以这种方式理解量化声明，我们就可以自由了把\（\mathfrak{a}\）理解为参数，把\（\ Phi（\xi）\）理解成函数，或\（\Phi（\xi）\）作为参数，以及\（\mathfrak{a}\）作为功能，只需满足以下要求：\（\mathfrak{a}\）和\（\Phi（\xi）\）的结果是可判断的内容。当然，如果\（\Phi（\xi）\）是一个只将对象映射到的函数可判断的内容，则结果与标准相同一阶量化。但弗雷格强调了这一点再一次，还没有引入允许他使用的概念机制他也从未声称函数只能采用一种类型的实体（即仅采用对象或仅函数等）作为参数。
一个明确的迹象表明在逻辑范围内格兰杰塞茨为了清理这一切在背景——逻辑中的概念文字是这样吗弗雷格没有为不同种类的实体（即使是函数和参数）。尽管弗雷格使用不同风格的变量暗示了一些量化参数的范围，以及函数的其他范围，这仅仅是启发式，它必须是，因为，正如我们已经看到的逻辑概念文字函数/参数区别不是世界上的形而上学区别，而是相反，它只反映了可能解析相同内容的不同方式声明。因此，逻辑中的（单一通用）量词概念文字对象和函数的范围（尽管以一种相当复杂的方式），以及现代第一和高阶量词实际上并不出现在概念文字它们清晰地出现在逻辑格兰杰塞茨相反，有一个涵盖对象和函数（以及概念）的量词关系等），以及对构造是合法的（即，将函数应用于论点必须产生可判断的内容）限制潜力这个量词的每个实例的范围。因此逻辑概念文字承受相当有限的与现代量词相似（见Kemp 1995和Heck&May2013年，该建筑概念文字甚至不能算作第一个真正的量词地点）。
弗雷格有第二种表达泛型的方式——罗马字母。我们将看到，关于如何理解在逻辑中理解此设备的方式格兰杰塞茨。但他们的情况并不神秘意味着在逻辑范围内被理解概念文字,因为在早期的著作中，弗雷格明确指出，罗马人字母通用设备是特殊设备的缩写，并且尤其重要的是，德国字母的例子，凹面版本通用量化：
只有在其范围内，哥特式字母才能保留其意思; 相同的哥特式字母可以出现在不同的范围内在一次判决中，没有在一个范围转移到其他范围。哥特式字母的范围可以包括另一个，例如：
显示。在这种情况下不同的必须选择字母；\（\mathfrak{e}\）不能替换为\（\matchfrak{a}\）。是，共允许在其范围内的任何地方替换哥特式字母的课程另一个特殊的，只要还有不同的不同字母之前的字母。这个没有对内容的影响。只有在以下情况下才允许进行其他替换凹面紧跟在判断笔划之后，所以整个判断的内容构成了哥特式风格的范围信件。因此，由于这个案件特别重要，我应引入以下缩写。斜体信件的范围总是整个判决的内容，而无需在内容中用凹面表示(打、击等的)一下。（1879a:§11）
弗雷格在这里非常明确：罗马（或斜体）的出现逻辑公式中的字母概念文字是只不过是对应公式的缩写罗马变量替换为相应的哥特式变量，以及与立即放置的变量相对应的凹面在判断中风之后。因此，出现在以上引用的逻辑是概念文字，仅仅是以下内容的缩写：
罗马字母的通用性是为了提醒读者替代限制（有效防止变量冲突），用于管理德国变量的替换一般的不适用到中由凹度绑定的变量我们称之为prenex位置。
虽然这是弗雷格对罗马字母的官方理解，他经常把含有罗马字母的公式当作相应的凹界泛函数的替换实例公式——也就是罗马字母挑出的情况特定的函数和参数。虽然这值得更多关注与这里给出的相比，有一个实际的原因迫使弗雷格采取这样的行动：因为他没有引入任何命名中的运算符概念文字，语言不包含表达任何特定主张的资源。
2.2公理和规则概念文字
逻辑概念文字正式包含九个公理还有一条规则，尽管还有两条额外的规则，被反复使用在整个推导过程中，“in经过弗雷格。在概念文字，弗雷格数公式它们在派生序列中的出现，并且只有在需要时引入公理关于他的编号公式1、2、8、28、31、41、52、54和58。我有在讨论，此编号将用于比较该系统以及中给出的公理和规则集合格兰杰塞茨.
2.2.1公理
这是概念文字类似于：
\[A\右箭头（B\右箭头A）\]尽管应该小心，因为弗雷格公理的使用是一个量化公式，而不是图式也许更好地表述为：
\[\对于所有A\；\对于所有B（A\右箭头（B\右箭头A））\]量词的范围超过了可判断的内容。弗雷格辩护该公理如下：
[这个公理]……说：“（a）被否定的情况，\确认（b），排除（a）”。这是显而易见，因为不能同时否认和肯定。我们也可以这样用语言表达判断：“如果命题（a）成立，在任意的情况下也成立命题（b）成立”。（1879a:§14）
公理2（公式2）同样简单，只要我们记得它是一个公式的缩写内容：
弗雷格关于这一公理必须为真的论点一直延续至今四页，此处不再转载。公理1的论据上面引用的应该让读者感受到弗雷格的概念文字特别的理由公理（和类似的注释适用于更复杂的公理）。这个公理的直观有效性应该很清楚，因为它是一个概念文字类似于：
\[\对于所有C\；\对于所有B\；\针对所有A（C\右箭头（B\向右箭头A）\向右箭头（（C\向右箭头B）\右箭头（C\右箭头A）\]量词的范围超过了可判断的内容。
下一个公理，公理3（公式8）允许（与弗雷格版本的桥式起重机，参见下文）条件先行词的重新排列：
这个公理将被逻辑中的一个（更通用的）规则取代格兰杰塞茨.
公理4（公式28）（同样，与弗雷格的版本相结合属于桥式起重机)提供了对位的版本。
与公理3一样，这个公理将被一个更通用的公理取代中的规则格兰杰塞茨.
公理5（公式31）和公理6（公式41）是一对，为我们提供弗雷格关于双重否定的公理化版本引入和双重否定消除：
这些公理，加上Frege版本的桥式起重机,完成我们可能认为的的逻辑概念文字.ukasiewicz证明这些公理的现代转录，加上弗雷格版本的桥式起重机、完好完整关于带有命题量词的经典逻辑，他也证明了（公理3的现代译本）公理3在其他公理加（现代版本）的上下文，再一次，桥式起重机（Łukasiewicz 1934）。当然关于将弗雷格的符号转录成并假设他对可判断内容的概念（公理1到6）中出现的量词范围相同作为一个更现代的命题或句子概念，适用于此结果。
弗雷格对公理5和6的讨论也提供了一个很好的弗雷格作品中发生的变化作文之间的逻辑思考概念文字以及Grundgesetze公司.在序言中概念文字弗雷格指出：
后来我意识到，公式（31）和（41）可以组合成单个
这使得一些简化成为可能。（1879a：前言）
该原理与Axiom 7和Frege版本相结合属于桥式起重机，确实需要公理5和6。此外，还有有充分的理由认为这一原则在非正式场合是有效的吗语义弗雷格让步概念文字，自（in概念文字)变量仅限于可判断的内容，似乎没有什么理由怀疑内容表示为
\（a）与表示的可判断内容相同\（a）。
然而，所有这些都需要注意一点：逻辑中的量词概念文字是限定在量词格兰杰塞茨是不是。在逻辑范围内概念文字弗雷格要求限定量词，以便应用逻辑的结果操作符到相关量词结果范围内的实体在里面可判断内容。因此，有效的公式上概念文字对逻辑的理解是否定的在上的有效期更长格兰杰塞茨理解。在特别是，我们将看到：
对（一致的，）逻辑的无值范围片段格兰杰塞茨.
接下来的两条公理相对简单。公理7（公式52）提供了不可分辨性的公理化版本标识：
这个公理的一个更强有力的版本将出现在的逻辑格兰杰塞茨.
Axiom 8（公式54）为我们提供了自我认同：
同样，这个公理适用于任何论证（c）（也就是说，适用于任何事物无论如何），不仅仅是对象。
公理9（公式58）对于我们来说更有趣，而不是为了它所说的，而是为了它所遗漏的。Axiom 9允许实质上，我们将替换由凹面约束的德国字母带有罗马字母的先决条件：
请注意，Frege没有提供相应的二阶版本这一公理（正如他在格兰杰塞茨)-相反，这个公理应理解为涵盖一阶和二阶case，这样就可以表达如下内容：
对于任何函数\（f\）和任何参数\（c\），使得\（f（c）\）是一个可判断的内容：如果，对于任何参数\（\mathfrak{a}\）这样（f（mathfrak{a}）是一个可判断的内容是事实，那么\（f（c）\）就是事实。
而不是：
对于任何（一级）函数\（f\）和任何对象\（c\）：如果，对于任何对象\（mathfrak{a}\）、\（f（mathfrak{a}）\）都是事实，那么\（f（c）是事实。
2.2.2推理规则
关于推理规则。在序言中概念文字Frege声称他只使用了一种模式推断：
在§6中，对单一推理模式的限制是事实证明奠定基础这样的一概念文字基本元素必须像如果要做到明晰有序，这是可能的。（1879a：前言）
所讨论的规则是桥式起重机，其中弗雷格解释如下：
从§5中给出的解释可以清楚地看出判决
新的判决
\（A\）跟随。在上面列举的四个案例中，第三个是被排除在外
第二和第四次
\（B\），所以只剩下第一个了。（1879a:§6）
弗雷格所指的四种情况是四种可能（A）和（B）的组合是或没有给出事实在上面引用的条件笔划的解释中。
乍一看，这似乎是方式桥墩，但实际上它要复杂得多。弗雷格通常将该规则应用于包含罗马字母的公式对信件。记住这一点概念文字罗马字母是prenex凹量词的缩写，简单的情况弗雷格在解释这条规则时使用的是速记从以下方面过渡：
收件人：
量词的范围超过了可判断的内容。因此，这他适用的规则贯穿始终概念文字，不是命题规则桥式起重机完全。相反，它是一个类似于以下内容（在现代记数法中）：
\[\开始{对齐}对于所有a_1，对于所有a_2点，对于所有b_1，所有b_2点，所有b_m，对于所有c_1点，所有c_2点\对于所有c_k\\&（\Phi_1（a_1，a_2，\dots a_n，b_1，b_2，\ dots b_m）\rightarrow\Phi_2（a_1、a_2、点a_n、c_1、c_2、点c_k）\\[P_2]~&\对于所有a_1，对于所有a_2\点，对于所有b_1\点，对所有b_m（\Phi_1（a_1、a_2、\点a_n、b_1、，b_2，\点b_m））\\\氯化氢\\[C] 对于所有a_1，对于所有a_2\点，对于所有C_1\点，对所有C_k（\Phi_2（a_1、a_2、\点a_n、C_1、，c_2，\dots c_k））\结束{对齐}\]关于这个规则，有两件事需要注意，在这里可以理解方式。
首先，一旦我们认识到（德国莱特）所扮演的角色绑定）的任何实例中由罗马字母缩写的量词规则，很明显弗雷格对规则的辩护是彻底的不足。弗雷格的论点对于一个特定的规则的替换实例，其中没有出现罗马字母。但它没有解决更一般的原则编纂他实际上在整个过程中应用规则的方式概念文字.
其次，事实上，这根本不是一条规则，而是一条无限多规则的模式：变量\（a1、a2、an）\（b_1，b_2，\点b_m\）；和\（c_1，c2，\点ck \），其中不仅是\（a_i \）s，\（b_i \\每个实例中的（c_i）s可以不同，但它们的类型（请记住，这些是参数变量和函数变量，而不是对象变量和函数变量）也可以变化。似乎没有这条规则的强烈图式风格不太可能有弗雷格感到不安，因为他的兴趣在于我们可以从中导出特定普遍性的逻辑原则逻辑真理。因此，弗雷格将给出一个完全不同的（尽管有些不清楚）解释罗马字母在格兰杰塞茨.
尽管弗雷格声称桥式起重机是他在序言中唯一的推理规则概念文字,他在稍后的工作中修改了这一说法，并指出：
在逻辑上，继亚里士多德之后，一系列推理模式被枚举；我只使用这一个，至少在所有情况下一个新的判决是从一个以上的判决中得出的。（1879a:§6）
弗雷格脑子里有两条规则，那就是过渡从单一判断到单一判断，是我们应该遵守的规则调用凹性引入和替换规则（Frege没有给他们起名字）。
弗雷格对凹入规则的解释如下：
斜体字母总是可以替换为哥特式字母判决中尚未发生，插入的凹面在判断笔画之后。例如，代替：
可以这样说：
如果\（a\）仅出现在\（X（a）\）的参数位置：它是也清楚地表明:
可以导出：
如果\（A\）是一个不出现\（A\）的表达式，并且如果\（a\）仅代表参数位置\（\Phi（a）\）（1879a:§11)
弗雷格接着给出了第二个利用事实的例子条件性笔画结构可以解析为先行词并以多种方式导致：
类似地，来自：
我们可以推断：
（1879a:§11）
弗雷格的凹入规则的操作如下：给定任何包含罗马字母的公式，我们都可以推断出任何命题它将罗马字母统一替换为德语字母在中立即插入一个包含相同德语字母的凹面的前面一些包含所有出现的新的德语字母（回忆起公式可以解析为结果和先行词以多种方式），或凹度可以放在前面或整个公式（在判断笔画之后）。必须选择新的德语字母，以避免与中已经存在的其他德语字母“冲突”原始命题。看一个更复杂的例子，如果“\（A\）”和“\（B\）”有没有公式不是包含罗马字母“\（x\）”,和“\（\Phi（\xi）\）”和“\（\Psi（\xi）\）”不包含“\（\mathfrak{a}\）”,然后从：
我们可以推断：
但不是：
该规则并不真正涉及“引入”逻辑中的凹性概念文字，由于被替换的罗马字母当然是凹度的实例。相反，这条规则是移动从一个位置到另一个位置的凹面。姓名因此，这里使用“凹面介绍”来强调这个规则和句法相似规则之间的联系在逻辑中发现格兰杰塞茨（其中罗马字母，正如我们将看到的，不是相应首字母的缩写凹面，但是第二个完全独立的设备实现普遍性，因此该规则确实涉及引入一个事先没有出现的凹面）。
弗雷格的最后推理规则概念文字是一个替代规则：一旦证明了一个特定的公式在以后的推导中，不仅可以使用已证明的公式它本身，也是执行任何制服的结果替换出现在同样，根据公式和所有相关的子公式都是可判断的内容。让·范·海耶诺特在他关于概念文字，即弗雷格以非法的方式运用替代规则会导致矛盾。见补充文章假设的矛盾概念文字供讨论。
第三部分概念文字介绍了定义所谓的弱者和强者祖先并在此基础上证明了一个强大的归纳定理概念。对这种结构的仔细检查超出了本文的范围-鼓励读者参考条目弗雷格定理了解更多详细信息。
第三部分最重要的方面是概念文字至少就我们而言，是弗雷格引入的符号：定义笔划“
”.定义笔划最初出现在公式中表格：
哪里“\（\Psi\）”是定义，以及“\（\Phi\）”是定义.在给出了定义冲程的示例后（公式69，（F）在（f）-序列），弗雷格在中解释了笔划的定义概念文字作为跟随：
这句话与之前考虑的不同，因为其中出现了以前未定义的符号；它本身给出了定义。它并没有说“等式的内容与左侧相同”；但是，“他们应该有相同的内容”。这个句子是因此不是一种判断；因此，使用康德主义表达式，也不是综合判断. […]
虽然最初（69）不是一个判断，但它仍然很容易转换为一个；这一次，新符号的含义是从那时起，它将保持固定；因此公式（69）也作为一种判断，但作为一种分析，因为我们只能找出新符号中的内容。This dual role of the公式由判断笔画的加倍表示。（1879年a：§24)
概念内容相同概念的使用（即。，“\（\equiv\）”)在定义中概念文字自动要求定义和定义具有相同的内容（也就是说，表示相同的事实或情况），而改进的对身份的理解格兰杰塞茨只有作为逻辑问题，需要定义和定义表示同一对象。因此，在他的非正式演讲中弗雷格明确规定格兰杰塞茨定义出现在两者上的表达式身份符号的侧面不仅具有相同的参考，而且还具有同样的感觉。
3.逻辑格兰杰塞茨
对弗雷格逻辑演变感兴趣的读者写作之间的观念概念文字和写作属于格兰杰塞茨应该参考简短的补充文章介于概念文字和格兰杰塞茨.在这里，我们将直接跳转到包含在后面的工作。
One of the main, and most obvious, differences between the logic of概念文字和逻辑格兰杰塞茨，其他与增加值范围相比，弗雷格现在有一个充分制定了严格的类型理论。最基本的区别是饱和对象之间的区别，以及功能（包括特殊情况下的概念）因此需要通过向一个或多个更多的论据。
两种特别重要的功能类型是概念和关系。A类概念是一元函数，对于任何参数（适当类型），应用函数的值对于这个论点来说，这是一个真实的价值观。A类关系是一个函数具有两个（或更多）参数，对于任何对（或n个-元组）参数（同样是适当类型的）应用于该对的函数值是一个真值（弗雷格1893/1903年：第4条，另见1893/1903年：第22条）。
弗雷格还根据种类属于他们接受的论点。因此，函数是一级功能当且仅当它接受一个或多个对象（因此只接受一个或多个对象作为参数；函数是二级功能当且仅当它达到第一水平函数或函数（因此只接受一级函数或函数）作为参数；函数是第三级功能当且仅当它采用二级函数或函数（因此只接受一个或多个二级函数）作为论据（弗雷格1893/1903:§21至§23，另见§26).
在下文中，我们将对格兰杰塞茨分为三个部分，第一部分考虑早期逻辑中出现的符号概念文字（尽管经常有很大不同理解），第二种表示那些新颖的符号逻辑格兰杰塞茨第三个是公理（现在称为基本法）和逻辑推理规则Grundgesetze公司.
3.1“旧”操作员格兰杰塞茨
3.1.1判断笔划
就像当年一样概念文字，判断笔画格兰杰塞茨将表达式转换为判断。不同于然而，早期的系统在逻辑上格兰杰塞茨这个判断笔划不附加在列举事实或环境，但会附加到命名对象的表达式（即专有名称）：
上面已经说过，在一个简单的等式中没有断言尚未找到；具有“\(2 + 3 =5\)”只指定了一个真实值，而没有指定它说是哪一个。此外，如果我写“\((2+ 3 = 5) = (2 = 2)\)”和假定一个人知道（2=2）是真的，即使那时我不会因此断言2和3的总和是5；而不是我只会指定以下内容的真实值：“\(2+ 3 = 5\)”指的是与“\(2 = 2\)”.因此，我们处于需要另一个特殊符号才能断言某事这是真的。为此，我让标志在真值名称之前，以这样的方式，例如：
断言2的平方是4。我区分判断来自思想这样我被理解判断承认一思想（弗雷格1893/1903：第5条）
因此，判断笔画在格兰杰塞茨缺乏判断力的表达所讨论的表达式是True的名称，其中这个真的是由真句子表示的对象（和这个False（错误）是用假句表示的宾语）。的表达式表格：
现在不再说“（Phi）是事实”，而是说表示类似“\（\Phi\）是（即与）正确”。值得注意的是在我们的讨论中，判断笔划会有些复杂弗雷格是新来的格兰杰塞茨对罗马人的理解信件。
在格兰杰塞茨弗雷格再次建议笔画本身（1893/1903:§5），以及否定笔画（1893/1903:§6）、有条件中风（1893/19003:§12）、，凹度（1893/1903:§8）可以理解为仅由实际的垂直“笔划”或线条组成（或带有变量的曲线，在凹度的情况下），使用符号的附加水平部分被理解为单独的水平面的出现次数。在实际实践中格兰杰塞茨如果没有水平连接。不同于概念文字然而，水平冲程做在其上相对频繁地发生作为不同于判断笔划的操作员条件笔画和否定笔画。
在逻辑上格兰杰塞茨，的水平行程是附加到对象名称的一元函数符号命名始终输出真值的函数，而不管对象输入类型：
我将其视为函数名，以便：
当\（\Delta\）为True时为True，当\（\Delta\）不是True。因此，
是其值始终为真值或概念的函数根据我们的规定。(1893/1903: §5)
换句话说，如果水平线的前缀是真实值“\（\增量\）”，然后生成的复杂名称：
命名的真实值与“\（\增量\）”.然而，如果，“\（\增量\）”不命名那么，真实值“\（\增量\）“命名为False。
特别重要的是，在格兰杰塞茨，水平冲程不限于可判断内容的应用：水平笔划可以是有意义地应用于任何名称。由于弗雷格坚持所有函数都要定义在适当类型的参数，由必须在所有对象上定义水平笔划。因此，当应用时对于非真值的对象，它输出False。
因此，尽管弗雷格要求判断笔画在解释判决时附加于真实值名称上面引用的笔划，我们可以在Grundgesetze的逻辑范围内实现将判断笔划附加到任何名称的效果\（\ Delta \）不管怎样，将判断笔划附加到“\（\增量\）“，获取：
如果水平冲程是判断冲程的一部分可以融合多个水平面（如下所述）则上述判断相当于：
或者，如果后者表现良好的话。因此“\(2\)”（或者，至少，“\((\)\(2)\)”在逻辑上是一个完善的判断格兰杰塞茨尽管这是错误的。
3.1.2否定冲程
在逻辑范围内格兰杰塞茨，的否定(打、击等的)一下是一个一元函数符号，它附加到的名称物体——在弗雷格的术语中，它命名为一级概念。像水平线一样，否定笔划可以转换任何将正确名称转换为真值名称：
我们不需要特定的符号来声明实值为错，只要我们有一个符号，每个真值都是转化为它的对立面，这在任何情况下都是不可或缺的。我现在规定：
函数的值
对于其值为功能
是True，并且对于所有其他参数都是True。(1893/1903: §6)
因此，如果在真值名称前面加上否定笔划“\（\增量\）”，然后“
\（\增量\）“将True命名为“\（\增量\）”命名为False，以及如果为False命名“\（\增量\）”命名为True。然而，如果，“\（\增量\）”不命名那么，真实值“\（\增量\）“命名为True。
弗雷格对否定性卒中的整体治疗奇怪的后果。例如，如果“\（\增量\）”是任何对象的名称而不是真值，那么“\（\Delta\）“命名为True，因此我们有：
Frege明确指出“
\(2\)”是正确的判断（1893/1903:§6）。
3.1.3条件性中风
在逻辑范围内格兰杰塞茨，弗雷格的有条件中风是附加的二进制函数符号对象的名称——用弗雷格的话来说，是有条件的stroke命名一级关系：
其次，为了能够指定概念和其他重要关系，我用两个来介绍函数论据：
通过规范，其值应为False，如果True被视为\（\zeta\）-参数，而不是True被视为\（\xi\）-参数；在所有其他情况下函数的值应为True。(1893/1903: §12)
条件笔划是一个总函数：给定任意两个专有名称“\（\增量\）”和“\（\Gamma\）”:
是True的名称，如果“\（\增量\）”无法命名True（即，命名False或不命名truth-value），或“\（\Gamma\）”命名为True；和它以其他方式命名False。因此，对于任何名称“\（\增量\）”无论如何：
是真实的名称，因此：
是逻辑上的正确判断格兰杰塞茨
弗雷格将条件句的下半部分称为会称为先行词）子组件的条件，和上部组件（现代读者会称之为结果）超组分。如我们的关于逻辑的讨论概念文字然而，条件笔画结构可以解析为超成分以多种方式创建子组件。例如，给定专有名称“\（\增量\）”,“\（\Gamma\）”,“\（\Theta\）”,“\（\Lambda\）”,和“\（\Xi\）”,我们可以解析复杂的表达式：
具有以下任何一项：
或“\（\Xi\）”作为超级组件（每个读数上有一个、两个、三个或四个子组件，分别）。尽管弗雷格引入了条件笔划它是一个简单的二进制一级函数，从对象对到真实值，在他处理条件中风（和尤其是在推理规则中条件中风）他把条件中风看得更像一种开放式n个-取单个值的ary函数名参数作为超级组件，但可以取任意（有限）个参数作为其子组件。由于弗雷格的许多规则推理是根据添加、消除或重新定位超级组件和子组件歧义对证明的构造有着深刻的影响在内部格兰杰塞茨.
复杂条件笔画的多子成分阅读在这一点上，建筑有两个值得一提的后果。首先，弗雷格指出，在阅读以下内容时：
其中，\（\Delta\）和\（\Lambda\）是两个子组件，每一个子组件子组件与其他组件起着完全相同的作用子部件的“订购”并不重要（1893/1903：§12). 因此，此表达式将相同的真值命名为：
弗雷格引入了一条推理规则（可以在无注释的派生），允许任意重新排序子组件。此规则相当于格兰杰塞茨模拟公理3的逻辑概念文字.
沿类似路线：
将相同的真实值命名为：
弗雷格引入了一条推理规则，允许人们从第一个公式到第二个公式，并允许通常相同的子组件（同样可以应用衍生工具中没有注释）。弗雷格接着指出推理规则推广到条件笔画结构任意数量的子组件。
3.1.4判断冲程的等效性
现在我们已经考虑了我们可能会自然而然地已经注意到，相当不合时宜）认为是逻辑的命题片断格兰杰塞茨，我们需要回到水平冲程。Frege认为否定笔划、条件笔划和判断笔划可以是被理解为仅由实际垂直面组成“笔画”或其形式化所涉及的线条其符号的附加水平部分理解为水平面的单独出现（参见（1893/1903：§5，第6条和第12条）。因此，对于任何名称“\（\增量\）”,所有：
-
\（\增量\），
-
(\（\增量\）），
-
(\（Delta）），以及
-
((\（\增量\））
命名相同的真实值（1893/1903：§6），对于任何名称“\（\增量\）”和“\（\Gamma\）”,全部：
说出相同的真实值（1893/1903:§12）。弗雷格的电话这些等价物，以及替换产生的转换上面的一个表达式与另一个等效公式横向融合类似于子组件的排列以及相同子部件的熔断，弗雷格允许一个元件熔断（和“未熔断”）水平格兰杰塞茨派生（1893/1903:§48），无评论。
细心的读者可能会想知道为什么弗雷格选择了特定的他实际上选择了一些功能。难道他没有定义否定吗“\（\增量\）“命名为True如果“\（\增量\）”不是这个名字真正的价值观？我们现在可以提供答案这个问题：否定与条件笔划必须与水平融合否定笔画和条件笔画的定义根据弗雷格的定义，这是唯一可能的水平划水（Berg&Cook，2017）。
3.1.5等号
现在，我们得出了概念文字和逻辑格兰杰塞茨.现在弗雷格可以解释以下内容的差异“\（a）=a \）“和“\（a）=b\）“（两者均为真）意义不同的术语。因此，在逻辑上格兰杰塞茨弗雷格的等号已定义正如人们所料：
我们已经相当随意地使用了等号来形成示例，但有必要规定更精确的内容关于它。
\[\text{'}\Gamma=\增量\text{'}\]如果\（\Gamma\）与\（\Delta\）相同，则表示True；总共其他情况是指虚假。(1893/1903: §7)
注意，他已经转向使用传统的身份符号“\(=\)”，而不是特殊的符号“\（\equiv\）”他中概念内容的相同性引入概念文字.对弗雷格的感觉/参照区分，特别注意接受了这种区别在后来的逻辑中所起的作用格兰杰塞茨，见Kremer（2010）。
虽然等号的定义现在很简单，弗雷格使用它的方式与现代谓词逻辑中使用了等式符号。弗雷格使用在提出日常平等主张时，如“\(2+ 2 = 4\)”，但他也使用为了表达这一主张，在同一符号两侧加上真实值名称真值名称是相同的名称真实值——也就是说，所讨论的表达式是等效。这解释了弗雷格的明显疏忽定义命题算子的讨论。弗雷格没有明确地提供了材料双条件的定义格兰杰塞茨虽然他可以很容易地定义沿标准线的物质双条件作为二者的结合条件语句：
如果“\（\增量\）”和“\（\Gamma\）”都是真实值名称，然后这个定义的概念和由命名的函数弗雷格的基本等号输出相同的值。如果有一个或两者都是“\（\增量\）”和“\（\Gamma\）”是专有名称，但不是然而，真实值名称，然后是复杂材质的值应用于这些参数的条件可以不同于平等标志适用于他们。例如：
是True的名称，而“1=2”是错误。
弗雷格指出，身份标志与水平，允许我们构造一个映射真值为真，其他对象为假(1893/1903: §5):
这个真实值概念帮助我们解决技术问题与逻辑之间的一个深刻差异有关概念文字和逻辑格兰杰塞茨.
记得弗雷格在序言中提到概念文字他本可以补充：
这一原则将简化表示，因为它意味着Axiom 5和Axiom 6。我们还注意到就逻辑而言，这一主张是正确的概念文字，因为所讨论的量词是仅限于可判断的内容。然而，情况有所不同，在逻辑范围内格兰杰塞茨，自格兰杰塞茨解释这个相同的公式（用“同一性”纯粹从句法上理解，受替换“\（\equiv\）”具有“\(=\)”)为false。让“\（\增量\）”是任何对象的名称这不是真值。然后“\（\Delta\）”是True的名称，因此“\（\增量\）“是False的名称，并且“\（\增量\）”和“\（\增量\）“不要命名同一个对象。所以“\（增量=增量）“是False的名称。
我们可以使用刚才讨论的真值概念来构造逻辑中的正确判断格兰杰塞茨那个捕捉弗雷格考虑添加的原理的直观含义到概念文字:
简而言之，如果“\（\增量\）”姓名一个真值，那么“\（\增量\）”和双重否定“\（\增量\）”命名相同的对象。
接下来是量词。在逻辑上格兰杰塞茨,严格地说，在逻辑上不同于概念文字,弗雷格调动了两种不同形式的普遍量化。这个首先是最简单的：凹度。凹面（带有关联的德语字母）是一个一元二级概念，映射一级函数到真值：
[…]让：
如果函数\（\Phi（\xi）\）的值是每个论点都是对的，否则就是错的。（弗雷格1893/1903：§8)
弗雷格不包括以下限制“\（\Phi（\xi）\）”必须是的名称概念，因此“\（\mathfrak{a}+1）“是一种形式良好的判断逻辑格兰杰塞茨尽管这是错误的。事实上，他不可能连贯地实施任何此类限制，因为必须为所有一级功能定义二级功能必须以与第一级功能完全相同的方式定义用于所有对象。
在逻辑上格兰杰塞茨，凹面，如否定笔画和条件笔画，与水平方向。换句话说，以下所有名称都相同真实值（即等效值）：
-
,
-
,
-
，以及
-
弗雷格还允许连接的水平面融合或分离在派生中不加注释地执行凹度(1893/1903: §8).
弗雷格明确引入了二阶量化的符号通过凹面，使用现在熟悉的方法：识别其（在这种情况下是第三级）起这样的量词名称的作用。如果“”\（\mathcal）“{F}（F）_\测试版\）“是一个二级函数名（以及“\（\测试版\）”绑定对象级事件“\（\测试版\）”那个出现在参数中“”\（\mathcal）“{F}（F）_\测试版\）“应用），然后：
列出了每一个第一层次的声明的真实价值函数\（\Phi（\xi）\），应用由“”\（\mathcal）“{F}（F）_\测试版\）“到\（Phi（xi））是真的（1893/1903:§24）。因此，与的逻辑概念文字，逻辑格兰杰塞茨涉及一阶和二阶的不同量词量化，而不仅仅是引入一个量词有时覆盖函数，有时覆盖这些函数的参数取决于上下文。
Frege不引入三阶或更高阶的符号凹量化，因为从实际角度来看，他从来没有需要它：相反，他使用值范围运算符来“降低”内部各种结构的水平格兰杰塞茨（如下所述），以便它们位于他的一阶和二阶凹度的范围。
最后，我们有了定义笔划。如中所示概念文字，Frege使用定义笔划
“”表示句子何时为定义：
为了通过已知标志引入新标志，我们现在需要双重定义显示为双判断冲程与水平冲程相结合：
当某物是被定义而不是被评判。通过定义我们通过确定具有相同含义来引入新名称以及与由已知符号组成的名称相同的引用。这个由此，新符号和解释符号成为共同参照；这个因此，定义立即变成一个命题。因此，我们允许引用一个定义，就像引用一个替代通过判断笔画定义笔画。(1893/1903: §27)
这个定义的解释之间没有什么区别中风和中给出的中风概念文字，但它是值得的注意到由格兰杰塞茨定义只断言“\（a \）”和“\（b\）”具有相同的referent，而不是他们有理智。因此，弗雷格明确规定定义和定义的格兰杰塞茨定义相同感觉.
3.2新运营商Grundgesetze公司
3.2.1一种泛化手段：罗马字母
3.2.1.1罗马字母基础
我们开始讨论内部没有出现的新概念逻辑概念文字用第二种方法在中表达通用性格兰杰塞茨：的古罗马的字母通用装置。乍一看，这可能是令人惊讶的是，罗马字母被用作表达内的一般性概念文字，如上所述。但在概念文字他们（至少在官方上）只是一个最初出现在有问题的公式。在逻辑上格兰杰塞茨,然而，罗马字母是一种全新的、独立的一般化。
将我们的注意力限制在最简单的情况下，其中小写罗马字母“\（x\）”“表示”（在弗雷格的术语中）一个对象，以及哪里“\（\Phi（\xi）\）”有吗一级函数名：
是正确的格兰杰塞茨命题当且仅当由命名的函数“\（\Phi（\xi）\）”为输出True所有可能的论点，否则是不正确的（1893/1903:§17).
精明的读者会注意到（跟随弗雷格）我们罗马字母通用装置的解释不遵循我们讨论水平否定时使用的一般模式笔划、条件笔划或凹度。总之，我们没有确定了一个函数表达 “\（\Phi（x）\）”指（其中“\（x\）”是罗马人的翻版字母通用装置），但仅在以下情况下解释判决涉及罗马字母通用装置有对的。
弗雷格从未给出过这种类型的函数标识定义罗马字母通用装置——也就是说，他从不识别一个特殊的二级函数，由这个特殊函数表示逻辑设备。原因很简单：如果他这样做，（i）它可能与实例选择的函数相同相同“顺序”的凹度；（ii）会是适用于Grundgesetze公司公式，但事实并非如此；以及（iii）它不会有灵活性范围事实上是这样的。因此，表达式包含罗马字母不是名字：
我会打电话的姓名只有那些符号或符号组合指的是某物。罗马字母和中的符号组合因此，这些情况不会发生姓名因为他们只是表明.包含罗马字母的符号组合字母，当每个罗马人这个字母被一个名字替换了，我将调用一个古罗马的物体标记此外，包含以下内容的标志组合当每个罗马字母被一个名字替换，我将调用一个古罗马的功能标记或罗马标记函数的。(1893/1903: §17)
鉴于罗马字母的通用性装置似乎是与其他逻辑概念截然不同的特征格兰杰塞茨读者可能会想（a）为什么弗雷格会包括答案是什么？（b）我们应该如何准确地理解它第一个问题相对简单，第二个问题的答案，弗雷格将罗马字母的通用性解释为跟随：
现在让我们看看这个推论是如何在逻辑上称为“芭芭拉”的适合这里。从这两个命题来看：
“1的所有平方根都是1的四次方根”
和：
“1的所有第四根都是1的第八根”
我们可以推断：
“1的所有平方根都是1的八次方根”
如果我们现在这样写前提：
那么我们就不能运用我们的推理模式；然而，如果我们写下前提如下：
这里是§15的情况。上面我们试图表达以这种方式使用罗马字母，但放弃了它因为我们发现一般性的范围不会是充分划分。我们现在通过规定这个范围的罗马字母包括一切除了判断笔划之外，这发生在命题中。因此，人们永远无法通过以下方式表达对普遍性的否定意思是罗马字母，尽管我们可以表达否定。因此，不再存在歧义。然而，它是明确用德语字母和凹面并不是多余的。我们关于a的范围罗马字母只是为了划定它的最窄范围范围并不是最广的。因此，允许范围扩展到多个命题，因此罗马字母适用于以下推论：他们严格划定范围，无法服务。所以，当我们前提是
和
然后为了得出结论
我们暂时扩大了“（x）”的范围，将两者都包括在内前提和结论，尽管这些命题都成立即使没有这个扩展。(1893/1903: §17)
关于这篇文章，有许多重要的事情需要注意。这个首先，这种对罗马字母概括性的新颖处理设备（与逻辑相比概念文字)是动机正是关于桥式起重机那个我们在这篇文章前面提到过。这里所讨论的推论是的版本假设三段论（详见第15条格兰杰塞茨，以及下面的更多内容），但问题是相同的。有问题的规则允许我们，对于任何表达式\（\Delta\）、\（\Gamma\）和\（\Theta\），从以下位置开始移动：
收件人：
但如果，就像逻辑中的情况一样概念文字，的涉及公式的罗马字母：
只是以下内容的缩写：
那么严格地说，我们没有前提的实例对于这个规则，因此无法前进到所需的（正确的）结论。因此，我们需要对罗马的另一种理解字母通用装置。
弗雷格建议，当我们执行假设三段论，我们暂时扩大了罗马字母“\（x\）”以便它包括前提和结论。因此，罗马人信“\（x\）”“表示”相同的对象（无论这可能是什么对象be）在所有三个过程中保持一致Grundgesetze公司命题，我们可以运用假设三段论。
3.2.1.2高阶量化和罗马字母
弗雷格还允许二阶和三阶量化通过罗马字母通用装置表示。因此，如果“\（\增量\）”是的名称对象，然后：
是正确的格兰杰塞茨命题当且仅当，对于任何第一级函数\（f\），将\（f~）应用于对象的结果由命名“\（\增量\）”是没错。同样，如果“\（\Phi（\zeta）\）”是一流的函数名，然后：
是正确的格兰杰塞茨命题当且仅当每个二级函数\（\mathcal{F}\），应用的结果\（\mathcal{F}\）到由命名的函数“\（\Phi（\xi）\）”是真的吗(1893/1903: §25). 尽管Frege明确提供了通过罗马的一般性处理三阶量化设备（不同于他对凹面的处理，凹面仅限于一阶和二阶），他没有为四阶提供任何符号-或任何一种类型的高阶量化。
3.2.1.3罗马字母的工作原理
我们现在进入第二个问题：罗马人到底是怎么来的字母设备工作吗？我们如何理解弗雷格的想法这些表达涉及罗马字母的通用性“指示”但不“命名”真值，以及我们如何理解他们的范围必须包含它们发生时的全部判断（可能，判断笔画），但可以扩展到包括多个笔画立即配方？解决这些问题的正确方法问题是一个颇具争议性的问题。兰迪尼表明弗雷格指的是变量赋值的概念（Landini 2012），这一想法直到塔斯基（Tarski）才得到充分发展(1933); 而赫克却暗示弗雷格有意使用罗马人用辅助名替代理解的字母（即，不包括在对象语言级词汇表），其中，例如，表达式形式：
（或在推理中综合使用多个此类表达式）表明当且仅当“\（\Phi（n）\）”是True的名称，无论辅助名称是什么对象“\（n\）”表示（Heck 2012）。对于这种量词处理的现代版本，参见Mates(1972). 这里不会试图解决这场辩论。
3.2.2值范围运算符
最臭名昭著的原始概念Grundgesetze公司是弗雷格的值-范围运算符，在罗素悖论与弗雷格逻辑主义的崩溃项目。值范围符号，或“平稳呼吸”，将二级函数从一级函数命名为对象。给定任何一级函数名“\（\Phi（\xi）\）”,由命名的对象一元二等式的应用“平稳呼吸”操作员“\（\Phi（\xi）\）”:
\[\7952；（Φ（\varepsilon））\]
是由命名的函数的值范围“\（\Phi（\xi）\）”.与其他人不同逻辑中的基函数符号格兰杰塞茨,弗雷格没有给出所选函数的明确定义通过value-range操作符（有很好的理由，因为有，谢谢康托定理，没有这样的函数！），而是解释《基本法V》非正式版本中的概念：
我用的词是：
“函数\（\Phi（\xi）\）具有相同的值-范围作为函数\（\Psi（\xi）\）“
总是与下列词语共同指代：
“函数\（\Phi（\xi）\）和\（\Psi（\ xi）相同参数的相同值”。
(1893/1903: §3)
值范围运算符最重要的应用之一是它在一级概念和结果对象中的应用，弗雷格打电话给扩展，可以想到，来自现代视角，粗略地说，类似于这些概念的特征功能。扩展do“行为”在逻辑上与（天真的）集合非常相似，但敏感的（或仅仅是理智的）读者应该警惕归因我们对布景的现代看法太多了格兰杰塞茨扩展名。为了深入研究弗雷格关于扩展本质的思想，参见伯格(1984).
弗雷格确定了可以构造的另一个子类对象使用与任何内容都不对应的value-range运算符在现代数学中广泛使用：双值范围。给定任何二进制一级函数名“\（\Phi（\xi，\zeta）\）“，我们形成了（通过应用value-range运算符到“”\（\Phi（\xi，\ζ）\）“（绑定由标记的参数位置“\（\xi\）”),获取一元一级函数名“\（\ Phi（\ varepsilon，\zeta））\）“。现在我们得到了的双值范围“”\（\Phi（\xi，\zeta）\）“通过应用再次执行value-range函数，到“\（\ Phi（\ varepsilon，\zeta））\）“，以获得“\（\ Phi（\ varepsilon，\α）\）“，它将双值范围命名为由命名的函数“”\（\Phi（\xi，\ζ）\）“(1893/1903: §36).
双值范围的需要提供了一个非常实用的高阶量词的解释Grundgesetze公司范围通常超过函数，而不是仅仅是现代系统中的概念和关系。给定一个二进制关系符号“”\（\Phi（\zeta，\xi）\）“，第一步的结果，即的引用“\（\ Phi（\ varepsilon，\xi））\）“-不是概念，而是映射的函数对象到值范围。因此，引入价值范围要求弗雷格不仅接受概念和关系，而且更一般的功能，进入他的高阶本体论观Landini（2012:ch.4），供进一步讨论。
弗雷格只定义了一级函数的值范围。当然，他本可以扩展这个概念以获得对象级别二级和三级函数的直接类似物。但确实有没有必要，因为我们可以“减少”二级和高级通过重复应用一级函数上的值范围运算符。例如，给定二级概念名称“”\（\mathcal）“{F}（F）_\测试版\）“映射从一级函数到真值，我们可以构造一个通过首先构造概念名称进行对象级模拟当且仅当一个对象是值范围时，它才包含该对象概念命名为“”\（\mathcal）“{F}（F）_\测试版\）“映射到正确：
由命名的第二级概念的对象级模拟“”\（\mathcal）“{F}（F）_\测试版\）“那么是这个一级概念的价值范围：
这个动作很一般。任何时候，在格兰杰塞茨，需要第二个的对象级模拟-或第三级函数，可以使用此技巧构造这样一个对象。
3.2.3定义描述的反斜杠运算符
逻辑的最后一个基本符号格兰杰塞茨是这个反斜线。反斜杠是一元一级函数将对象映射到对象：
[…]我们可以通过介绍功能来帮助自己：
\[\反斜杠\xi\]使用规范区分两种情况：
- 如果参数有一个对象\（\Delta\）\（\7952；（\Delta=\varepsilon）\）是参数，然后是函数\（\backslash\xi\）是\（\Delta\）本身。
- 如果对于参数，没有对象\（\Delta\），则\（\7952；（\Delta=\varepsilon）\）是参数，然后是参数它本身是函数\（\backslash\xi\）的值。
(1893/1903: §11)
一些术语是有用的：给出任何合适的名称“\（\增量\）”,让我们调用对象由命名“\（\增量=\varepsilon）\）“这个单例扩展的由命名的对象“\（\增量\）”.然后：
- “\（\反斜杠\Gamma\）”与“\（\增量\）”如果“\（\Gamma\）”命名由命名的对象的单扩展“\（\增量\）”
- “\（\反斜杠\Gamma\）”与“\（\Gamma\）”否则。
更简单地说，反斜杠是“单点跳闸”装置。
Frege使用反斜杠作为一种明确的描述操作员。在现代处理中，一个确定描述算子“\（\ iota\）”附加到谓词并且，给定一个谓词“\（\Phi（x）\）”，“\（\ iotax（\Phi（x））”表示满足谓语“\（\Phi（\xi）\）”（如果有这样的）。然而，弗雷格符合通过连续应用值范围降低液位操作符，将其限定描述操作符定义为应用，而不是概念，而不是它们的价值范围。因此，其中“\（\Phi（\xi）\）”是概念名称“\（\反斜杠\Gamma\）”表示由命名的概念映射到True的唯一对象“\（\Phi（\xi）\）”，如果有such，并表示由命名的对象“\（\ Phi（\ varepsilon）\）”否则。
3.3公理格兰杰塞茨
逻辑之间的显著差异概念文字和逻辑格兰杰塞茨前者取决于许多因素吗公理，但很少有推理规则，而后者取决于公理更少，规则更多。逻辑格兰杰塞茨只包含六个公理，现在称为基本法律，包括处理值范围和反斜杠运算符。然而，这不仅仅是重组。相反，在逻辑上格兰杰塞茨弗雷格替换了一个数字中发现的公理概念文字具有相应的在它们的应用。为了深入讨论格兰杰塞茨-弗雷格时代是一个基本的特征法律（与任何其他可从基本原理推导出的逻辑真理相对推理的法律和规则）及其与证明的关系，见佩德里阿里(2019).
3.3.1基本法一
弗雷格的基本法我看起来很熟悉，因为从句法上看至少，它只是公理1从逻辑上概念文字:
在格兰杰塞茨弗雷格为《基本法一》辩护如下：
我们现在将为罗马字母制定一些通用法律以后必须加以利用。根据第12条：
只有当\（\Gamma\）和\（\Delta\）为True时，才为False而\（\Gamma\）不是True。这是不可能的；相应地：
(1893/1903: §18)
鉴于上述讨论（以及弗雷格对“”\（\伽玛射线\）不是真的“而是比“”\（\伽玛射线\）是错的吗？”在《基本法》的辩护中），这并不奇怪表达式是True的名称，即使“\（\Gamma\）”和“\（\增量\）”不是真正的价值观。这个鼓励读者核实，例如：
是True的名称。弗雷格指出：
是上述第一基本法制定的一个特例，通过替换获得“\（b\）”具有“\（a \）”然后熔化相等的子成分（1893/1903:§18）。鉴于其明显的实用性，弗雷格将此列为《基本法I》的第二个版本，我们可以用作基本公理，而无需显式推导。
3.3.2基本法II
《基本法II》看起来也很熟悉，因为它是格兰杰塞茨公理9的逻辑模拟概念文字.现在Frege对物体的层次结构有着清晰的概念，一级功能、二级功能和三级功能现在他有了不同的量词，分别在实体的不同“级别”上在这个等级制度中，他谨慎地制定“一阶”版本和“二阶”版本有关基本法的版本。第一版，基本法IIa是：
弗雷格将《基本法》描述为表达了以下思想：“什么持有所有物体，也持有任何物体”（1893/1903:§20). 《基本法》IIa，结合《基本法》的广义版本桥式起重机在中使用格兰杰塞茨（并进行了讨论下面）提供了从使用凹度公式化的一般性。给定凹度形式命题“\（\Phi（\mathfrak{a}）\）“，我们可以调用基本法IIa：
并使用桥式起重机，以结束“\（\Phi（a）\）”。
《基本法II》的第二个版本被称为《基本法律II》b：
请注意“\（\mathfrak{f}\）”在中子组件，以及“\（f\）”在中超成分是不同的变量（前者是一个德语字母，后者是罗马字母）。
3.3.3基本法III
《基本法三》格兰杰塞茨管理原则等号，乍一看似乎是恒等式的不可分辨性：
如果我们替换罗马字母“\（g\）”通过水平，以及应用水平融合，我们确实可以获得格兰杰塞茨恒等式不可分辨性的版本：
然而，《基本法》第三条的效力远大于此。
基本法III规定，对于任何一元一级函数名“\（\Phi（\xi）\）”以及任何合适的姓名“\（\增量\）”和“\（\Gamma\）”,事实并非如此由命名的函数的应用“\（\Phi（\xi）\）”符合真实价值由命名“\（\Delta=\Gamma\）”是True，而由命名的函数的应用程序“\（\Phi（\xi）\）”符合真实价值命名人：
不是真的。因此，这个公理相当于声称一个人总是可以用对应的命题中任意位置的通用量化表达式（即任何函数\（\Phi（\xi）\）的参数。
当然，否定笔画是可以替换为“\（g\）”因此，以下是《基本法III》的替代实例：
其中（尽管我们尚未讨论广义需要对位规则）相当于：
因此，《基本法III》意味着格兰杰塞茨模拟无法辨别的身份。因此，弗雷格不需要的模拟概念文字逻辑中的公理8属于格兰杰塞茨，因为他证明了：
首先证明：
然后适用基本法III（及其格兰杰塞茨版本属于桥式起重机). 他称之为自我认同原则IIIe（1893/1903:§50）。
3.3.4基本法IV
基本法第四条是：
这个原则可能看起来只不过是一个格兰杰塞茨一个常见经典原理的类比命题逻辑：
\[（\neg（\Delta\left-rightarrow\neg\Gamma））\rightarrow（\Delta\left-right箭头\伽玛）\]然而，像往常一样，我们应该注意不要把这个公理仅仅当作应用于真实值名称。相反，《基本法》第四条的实例名称无论用什么名字代替，都是真的“\（a \）”和“\（b\）”.因此：
是True的名称（请记住“\(2\)”和“\(3\)”是False的名字，“\(3\)”命名为True，因此这两个超级组件《基本法》第四条的子条款是正确）。
与大多数（涉及非值范围的）公理和规则不同的逻辑格兰杰塞茨，《基本法》第四条没有直接的类似规定在逻辑范围内概念文字（但请参阅讨论（见下文公理5和6），其目的似乎部分在于加强对水平和否定的预期解释参数不是真值的情况。然而，鉴于《基本法》第四条中出现的所有罗马字母都有前缀从横向来看，这一原则的实际意义在于与经典模拟相同：给定任意两个真值，如果第一个不等于第二个的否定，那么它们就是他们是平等的。
鉴于《基本法》第四条实际上迫使格兰杰塞茨作为二价体，我们可能想知道发生了什么在概念文字-公理5和公理6。格兰杰塞茨Axiom 5和Axiom 6的类似物在的派生格兰杰塞茨，但是，与Basic的情况一样第二定律，弗雷格事实上识别并证明了很多版本更通用。所讨论的定理是：
他分别称之为IVc和IVd（1893/1903:§51）。
3.3.5基本法五
弗雷格的歌声如此之小，令人有些惊讶引入现在臭名昭著的基本法V。弗雷格只是注意到即：
[…]值范围相等始终可以转换为等式的一般性，以及反之亦然. (1893/1903:§20)
然后陈述公理：
这个格兰杰塞茨基本法第五条的制定很好比著名的现代“翻译”更普遍高阶逻辑中的定律，例如：
\[\对于所有X\；\对于所有Y（\S（X）=\S（Y）\leftrightarrow\对于所有z（X（z））\左右箭头Y（z））\]量词涵盖概念或属性。这个格兰杰塞茨制定《基本法V》不仅需要每个概念都有相应的扩展，但除此之外，任何无论函数是什么（概念还是非概念）都有一个值范围。因此格兰杰塞茨基本法第五条的制定也抓住了类似于：
\[\对于所有f\；\对于所有g（\S（f）=\S（g）\leftrightarrow\对于所有z（f（z）=g（z）））\]由于在高阶逻辑概念的现代处理中然而，与函数不同的排序，而不是作为子类函数类的格兰杰塞茨，弗雷格氏严格地说，《基本法》第五条并不等同于上述任何一条现代配方。
3.3.6《基本法》第六条
最后的公理格兰杰塞茨，基本法VI，管辖反斜杠的行为：
这个公理明确了前面讨论过的反斜杠运算符。如果“\（\Gamma\）”是的名称由命名的对象的单例扩展“\（\增量\）”,然后是结果将反斜杠应用于“\（\Gamma\）”将同一对象命名为做“\（\增量\）”但基本法VI没有告诉我们应用反斜杠时的结果一个名字不单例扩展的名称。我们可能想知道为什么弗雷格没有添加第二条公理来管理这个案例，例如：
演绎系统中缺少这一原则Grundgesetze公司从而对弗雷格的方法论。问题是弗雷格是否会他的逻辑要完整，也就是说，他会接受吗证明用语言表达的每一个逻辑真理格兰杰塞茨迈克尔·达米特建议：
毫无疑问，弗雷格会宣称他的公理，连同未包含在其中的其他非正式规定，如产生完整理论：赋予他对不完整性的认识对于高阶理论来说，这将是一个时代错误。(1981: 423)
Dummett心目中的规定是结论处的真值及其单例扩展的§10中的“排列论证”格兰杰塞茨.《基本法》第二审的缺失然而，VI透露，弗雷格会很清楚逻辑的不完全性格兰杰塞茨（不是吗矛盾），因为他没有包括一个原则在预期解释上明显正确。对他施加压力意识到逻辑原则中的明显差距包括在他的逻辑中（考虑到非正式的语义解释，他提供关于其逻辑的预期解释）不同于声称他知道原则上当然，二阶逻辑是不完整的。
有趣的是，赫克指出（2012:ch.2）弗雷格后来声称在里面格兰杰塞茨这个命题“似乎是，无法证明”（弗雷格1893/11903：第114条）。弗雷格小心翼翼地只声称原则无法证明，因此他会不是声称那是是是的（也就是说，他不会把它写成判断“”,但他也没有声称这是假的。赫克认为弗雷格在这一点上认识到了这种潜力他的体系的不完整性（或至少是一致性与§114所述衍生工具相关的子系统）。什么阻止弗雷格证明有问题的主张，以及什么允许Dedekind在自己处理算术（Dedekind 1888），后者有一个非正式版本自由选择的公理，而弗雷格没有逻辑中选择的形式化版本格兰杰塞茨（赫克2012:第2章）。这是一个重要的观察结果，但不是这个为了得出弗雷格可能认为他的系统是不完整的。
弗雷格不需要一个涵盖在他的算术推导中对非单点扩张的反斜杠在正式体系内格兰杰塞茨（我们可以假设在他想象的真实和复杂分析）。因此，他不需要将其添加到基本法律。弗雷格的正式体系只需要包括他重建算术和分析——这个项目不需要逻辑在现代意义上证明理论上是完整的，因此我们不应该惊讶于他所阐述的逻辑（在弗雷格、他的读者和我们看来）很明显不完整（《基本法》第五条没有使其不一致，因此琐碎地完成）。
3.4推理规则格兰杰塞茨
尽管经常有人声称弗雷格的逻辑很笨拙弗雷格公式化的推理规则很难使用展示相反的情况：由此产生的系统，它利用了优势弗雷格阅读方式中存在的系统性歧义条件句在许多方面比现代演绎系统。
首先，我们提醒读者推理的三条规则已经讨论过了，可以应用于逻辑格兰杰塞茨没有任何注释或标签。这些是子成分的排列，是相同成分的融合子组件和水平融合。除此之外，弗雷格介绍了六条推理规则。
3.4.1广义Modus Ponens
第一个是广义模态Ponens（术语他称“广义模态Ponens”不是弗雷格的弗雷格描述的推理“推断（a）”因此：
如果命题的子成分与第二个不同只有在缺乏判断的情况下，命题才能推断出通过抑制子组件。(1893/1903: §14)
简单地说，如果有人证明了格兰杰塞茨有条件的，和我们还证明了该条件的一个子组件，那么我们可以从条件中推断删除该子组件的结果。假设我们已经证明格兰杰塞茨建议：
那么，如果我们也有“\（\增量\）“，然后我们可以得出结论：
在这个应用程序中，我们正在解析有问题的条件那个“\（\增量\）”是相关子组件，以及：
超级成分。另一方面，如果我们“\（\伽马\）“，那么我们可以得出结论：
治疗两者“\（\增量\）”和“\（\伽玛\）”作为子组件，和“\（\Theta\）”作为超级组件。指出了广义模态Ponens的应用通过一条坚实的水平线。这是过渡标志(1893/1903: §14).
这个规则是对简单的的版本桥式起重机在中找到概念文字，或包含在使用线性符号的现代演绎系统中。考虑从以下方面过渡需要多少步骤：
\[A_1\右箭头（A_2\右箭头）（A_3\右箭头（A_4\右箭头（A_5\右箭头\右箭头B））和\（A_8\）至：
\[答_1\右箭头（A_2\rightarrow（A_3\right箭头（A_4\rightarrow）（A_5\右箭头（A_6\rightarrow（A_7\rightarrow B）））在一个典型的自然演绎系统中。在逻辑范围内格兰杰塞茨，Frege可以在一步到位。关于弗雷格规则威力的类似评论推理适用于利用事实的其他规则那个Grundgesetze公司公式可以解析为子组件和超成分以多种方式（即广义假设三段论、广义对立和广义困境）。
Frege允许多个广义的广义形式Modus Ponens公司因此，如果我们已经证明：
然后我们证明了这两个“\（\增量\）“，和“\（\伽马\）“，我们可以删除这两个子组件同时，用双水平线标记过渡(1893/1903: §14).
3.4.2广义假设三段论
下一个推理规则是广义假设三段论（这又是一个新奇的术语——弗雷格称之为规则“推断（b）”）：
如果相同的符号组合出现在一个命题中超成分，而在另一个超成分中作为子成分，则命题可以推断出后一种超成分的特征为超级组件及其所有子组件，功能作为子组件。然而，这两种情况下出现的子组件只需写入一次. (1893/1903: §15)
这是一个通用的、更强大的熟悉规则版本假设三段论它利用了子组件的“相等”状态：给定格兰杰塞茨命题，以及第二个命题超级组件是第一个组件的子组件，我们可以推断替换中的相关子组件所产生的建议第一个命题包含第二个命题的子成分提议。例如，如果我们推导了以下两个公式：
然后我们可以将这些组合起来，以获得：
请注意，我们已经将“\（\Gamma\）”变成一次事件。广义假设三段论的应用如下所示新型过渡标志&虚线水平线“---”，以及多个广义假设三段论的同时应用是由双虚线水平线“====”表示。广义假设三段论是一种更强大的基于规则的理论公理2的形式概念文字.
3.4.3广义对立
推理的第三条规则是广义对位（弗雷格将此规则称为“对位”）。
可以用提供的超级组件置换子组件同时反转每一项的真实价值。(1893/1903:§15)
广义对位允许我们“切换”超成分格兰杰塞茨命题任何它的子组件，提供了一个“同时反转每个人的真实价值”。回顾事实弗雷格将否定描述为“每一个真实值被转换为相反的值”（1893/1903：§6），这相当于在，或从中删除单个否定（如果至少存在一个否定），每个有问题的公式。因此，如果我们推导出：
那么广义对立将允许我们获得以下内容：
广义对位的应用使用过渡标志“”\（\大\时间\）“广义对位Axiom 4强大的基于规则的版本概念文字.
3.4.4普遍困境
推理的第四条规则是广义困境（弗雷格称之为“推断（c）”）：
如果两个命题的超成分一致，而一个组件的子组件只和另一个的子组件不同通过带前缀的否定笔画，我们可以推断出其中常见的超成分具有超成分的特征，以及两个命题的子成分，但两个命题除外作为子组件提到的功能。在此，出现的子组件在这两个命题中，只需写一次。(1893/1903:§16)
因此，如果我们推导出格兰杰塞茨的命题形式：
我们可以推断：
广义两难困境由点划线表示“\（\cdot\！-\！\cdot\！-\！\cdot\！-\！\cdot\）”.
广义困境是的逻辑Grundgesetze公司，而不是那些明确的涉及价值范围，没有明确的（即使很多较弱）逻辑中的模拟概念文字，（假设我们认为公理5和公理6至少与《基本法》非常类似上述IV-see），尽管这是一个类似的规则可衍生的在早期系统中（将其置于当代条款）。注意到之后，在前言中概念文字，那个他把自己限制在推理的公理和规则上弗雷格写道：
这并不排除，后来，从多个对一个新模式的判断只能以间接方式进行推理，并转换为直接推理为了缩写。事实上，这在以后可能是可取的应用。这样，进一步的推理模式将起来。（1879a：前言）
在致的前言中格兰杰塞茨然而，弗雷格指出战略发生了相当显著的转变：
为了获得更大的灵活性并避免过长允许自己默认使用子组件的排列（条件）和相同子成分的融合，并且没有减少将推理和结果的模式降到最低。任何认识的人用我的小本子概念文字将如何从中收集在这里，人们也可以满足最严格的要求，但这也是将导致范围的显著增加。(1893/1903:前言）
据推测，尤其是弗雷格的广义困境注意这里。
3.4.5凹面简介
弗雷格的下一个推理规则，我们将（遵循论逻辑中的类比规则概念文字)呼叫凹面简介（弗雷格将此规则称为“罗马字母转换为德语字母“），控制两个设备之间的交互在中表达通用性格兰杰塞茨，罗马字母通用装置和凹度：
罗马字母在命题中出现时可以被替换用同一封德国信。同时，后者必须放置在这样一个超级组件前面的凹面之上外面没有罗马字母。如果在这个超级组件包含德语字母的范围，以及罗马字母字母出现在这个范围内，那么要使用的德语字母为后者引入的必须与前者不同。(1893/1903: §17)
从机械角度来说，这与在逻辑中给出的凹形介绍概念文字.用于标记凹度应用的过渡符号引言是“\（\提升1ex{\undersaren{\hsspace{1.5em}}\）“。
3.4.6罗马字母消除
而凹面介绍允许我们从一般性出发用罗马字母表示，一般用凹面和基本法II（与广义方式桥墩)允许我们从用到目前为止，用罗马字母表示的泛化的凹度我们无法摆脱表达普遍性的命题或排序）到特定实例（逻辑概念文字不包含名称，因此此缺少不是早期系统中的缺点）。弗雷格对此进行了纠正介绍我们将称之为罗马字母消除规则（弗雷格将此规则称为“引用命题”）他描述如下：
当引用一个命题的标签时，我们可以用一个简单的通过在命题中统一替换罗马字母进行推理使用相同的专有名称或相同的罗马物体标记。
同样，我们可以替换罗马命题中的所有出现职能信函“\（f\）”,“\（g\）”,“\（h\）”,“\（F\）”,“\（G\）”,“\（H\）”用相同的名字或罗马字母一级函数的标记，带有一个或两个参数，具体取决于关于罗马字母是用一个还是两个表示函数论据。
当我们引用法律（IIb）时，我们可以替换“\（M_\beta\）”的相同名称或罗马标记具有第二类参数的二级函数。(1893/1903: §48)
罗马字母消除允许两种应用。这个首先，也是最简单的，涉及统一替换特定的罗马字母带有正确名称的字母。但罗马字母排除规则也允许我们用罗马对象标记替换单个罗马字母。因此，使用此规则，我们还可以获得“\（\菲律宾语（\）\（y） \）“从“\（\Phi（x）\）“通过替换罗马字母“\（x\）”带有罗马对象标记“\（y\）“。同样，给定一个格兰杰塞茨形式命题“\（f（Delta）\）“我们可以推断“\（\增量\）“（替换罗马字母“\（f\）”函数名为“”或“\（克（\）\（\三角洲）\）“（通过替换罗马字母“\（f\）”带有罗马功能标记“\（g）”). 其中最明显也是最重要的罗马字母消除规则的应用是在引入公理的“实例”，因为弗雷格不需要我们明确地写下这个公理。相反，我们可以引用任何应用公理的罗马字母消除规则（一次或多次）自身。
此推断没有转换符号，因为它已应用当在应用上述其他规则之一。
我们对中发现的逻辑系统的调查到此结束弗雷格的概念文字和格兰杰塞茨.但是这与弗雷格逻辑思想的结论相去甚远。尽管弗雷格最终放弃了他的逻辑主义项目导致矛盾的部分逻辑系统（基本法V和VI，以及更普遍的价值范围概念）罗素悖论，他继续为许多人教授逻辑课程年。对弗雷格后期观点感兴趣的读者应该查阅补充文章悖论之后的弗雷格逻辑.
