$\ell_0$-低秩近似的近似算法

的一部分神经信息处理系统进展30（NIPS 2017）

作者

卡尔·布林曼、帕维尔·科列夫、大卫·伍德拉夫

摘要

我们研究$\ell_0$-低秩近似问题，其中的目标是，给定一个$m\timesn$矩阵$A$，输出一个秩-$k$矩阵$A'$，其中$\|A'-A\|_0$被最小化。这里，对于矩阵$B$，$\|B\|_0$表示其非零项的数量。这种低秩近似的NP-hard变体对于没有基本度量的问题来说是很自然的，其目标是最小化不一致数据位置的数量。我们提供了一些近似算法，这些算法大大提高了前面工作的运行时间和近似因子。对于$k>1$，我们展示了如何在poly$（mn）$time中为每$k$找到一个秩$O（k\log（n/k））$matrix$a'$，其中$\|a'-a\|0\leq O（k^2\log（n/k）]）\OPT$。据我们所知，这是第一个对$k>1$的$\ell_0$-低秩近似问题具有可证明保证的算法，即使对于双准则算法也是如此。对于研究得很好的情况，当$k=1$时，我们给出了{次线性时间}中的$（2+\epsilon）$-近似，这对于其他低秩近似变量（如Frobenius范数）是不可能的。我们对研究得很好的二元矩阵情形加强了这一点，以获得次线性时间中的$（1+O（\psi））$-近似，其中$\psi=\OPT/\nnz{a}$。对于较小的$\psi$，我们的近似因子为$1+o（1）$。