Stieltjes常数

这个Stieltjes常数 $｛\displaystyle\scriptstyle\gamma _｛n｝\，｝$对于${\displaystyle\scriptstylen\，\in\，\mathbb{n}_{0}\，}$产生于洛朗展开属于${\显示样式\脚本样式\泽塔（z）\，}$关于${\显示样式\脚本样式z\，=\，1\，}$，其中${\显示样式\脚本样式\泽塔（z）\，}$是黎曼ζ函数Stieltjes常数有无穷多个正值和负值。这些常量以下列名称命名托马斯·扬·斯蒂尔杰斯Stieltjes常数有时被称为广义欧拉常数.

${\displaystyle\zeta（z）={\frac{1}{z-1}}+\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{（-1）^{n}{n！}}\，\gamma_{n}\，（z-1）γ{n}\，（z-1）^{n}，\，}$

哪里${\displaystyle\scriptstyle\gamma\，}$是Euler-Mascheroni常数.

${\displaystyle\gamma_{n}=\lim_{m\to\infty}{\Bigg[}\sum_{k=1}^{m}{\frac{（\log k）^{n}}{k}}-\int_{1}^{m}{\frac{{\frac{（\log k）^{n}}{k}}-{\frac{（\ log m）^{n+1}}{n+1}{\Bigg]}\，}$

Euler-Mascheroni常数

自

${\displaystyle\lim_{s\to1}{\bigg[}\zeta（s）-{\frac{1}{s-1}{\ bigg]}=\gamma\，}$

这意味着${\displaystyle\scriptstyle\gamma_{0}\，=\，\gamma\，}$.

${\displaystyle\scriptstyle\gamma_{0}\，}$是熟悉的Euler-Mascheroni常数通常只标记为${\displaystyle\scriptstyle\gamma\，}$.

${\displaystyle\gamma=\gamma_{0}=\lim_{m\to\infty}{\Bigg[}\sum_{k=1}^{m}{\frac{1}{k}}-\int_{1}^{m}{\frac{1}}{x}}dx{\Big]}=\lim_{m\to\infty}{\Bigg[}\sum_k=1}^{m{\frac{1}{k}-\log m{\Bigg]}\，}$

Stieltjes常数表

Stieltjes常数

${\显示样式n\，}$	${\显示样式\gamma_{n}\，}$ （8处）	A编号
0	+ 0.57721566	A001620号
1	− 0.07281584	A082633号× (−1)
2	− 0.00969036	A086279号× (−1)
三	+ 0.00205383	A086280号
4	+ 0.00232537	A086281号
5	+ 0.00079332	A086282号
6	− 0.00023876	A183141号× (−1)
7	− 0.00052728	A183167号× (−1)
8	− 0.00035212	A183206号× (−1)
9	− 0.00003439	A184853号× (−1)
10	+ 0.00020533	A184854号

不平等

${\displaystyle|\gamma_{n}|<{\frac{2（n-1）！}{\pi^{n}}，\，n\geq1.\，}$

外部链接

• 埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。,斯蒂尔特杰斯常数，摘自MathWorld-A Wolfram Web资源。[http://mathworld.wolfram.com/StieltjesConstants.html]
• Mark W.Coffey，zeta值系列、Stieltjes常数和总和S_gamma（n）, 2009.
• 西蒙·普劳夫，Stieltjes常数从0到78，每个数字为256。版权所有：Simon Plouffe/Plouffe's Inverter（c）1986。