求n的最后一个非零位的算法！=================================================（W.Bomfim）找到n的最后一个非零数字的问题！受到的关注几位作者。从OEIS序列A008904中，我们可以看到一些作品。这个[1]习题40和54的答案给出了解决这个问题的明确方法对于特殊情况n=1000。似乎没有人试图概括这一点方法编写一个算法来确定给定n值的这个数字。在这里，我们将看到一种方法。I-练习40和54中理论的概括----------------------------------------------------------------让n为整数，n>=2，M_5（n）是n！的因式分解中5的重数！，和M_2（n）是n！因式分解中2的重数！。用混凝土数学[1]中的同余替换p，我们有不！--------==（-l）^M_5（n）*a_h！。。。a_1！a_0！（修改5）（1）5^M_5（n）其中（a_h…a_1a_0）5是n的基数5表示。因此M_2（n）>M_5（n）参见LEMMA 1，不！2^M_5（n）将（1）中的--------乘以--------，我们得到5 ^ M_5（n）2 ^ M_（n）不！-----------------2^M_5（n）==（-l）^M_6（n）*a_h！。。。a_1！a_0！（修改版5）（2）5 ^ M_5（n）.2 ^ M_（n）由LEMMA 1 n！可被5^M_5（n）整除！不是可被10^（M_5（n）+a）整除，a>=1。所以这个表达式不！-----------------5 ^ M_5（n）.2 ^ M_（n）我们将在下面用I表示，它等于所有n！的起始数字！，除了n！的尾随零！。因此，最后一个I的数字，即I模10，等于n！的最后一个非零数字！。首先，我们将确定I mod 5。从I mod 5很容易找到I mod 10。从（2）我们得到I.2 ^M_5（n）==（-l）^M_6（n）*a_h！。。。a_1！a_0！（修改版5）（3）设m=m_5（n）mod 4。通过下面的LEMMA 2，（3）变为，I.2^m==（-l）^m_5（n）*a_h！。。。a_1！a_0！（修订版5）。由于M_5（n）的奇偶校验等于M的奇偶性，我们得到I.2^m==（-l）^m*a_h！。。。a_1！a_0！（模式5）。（4）对于P=（a_h！…a_1！a_0！）mod 5，它如下所示P==（a_h！mod 5）。。。（a_1！修改5）（a_0！修改五）（修改五）P==2^（t/2）（mod 5），t偶数a_i的和，i=0,1，。。。，小时（5）（5） 是true，因为如果a_i是奇数，即a_i=1或a_i=3，a_i！mod 5=1；因此，对于每个偶数ai，ai！mod 5等于2^（a_i/2），P==2^（t/2）（mod 5）。然后从（4）和（5），I.2^m==（-l）^m*2^（t/2）（mod 5），（6）自然t/2==（t/2）mod 4（mod 4）。根据下面的LEMMA 2，（6）给出I.2^m==（-l）^m*2^（（t/2）mod 4）（mod 5）。i=i mod 5，我们得到i.2^m==（-l）^m*2^（（t/2）mod 4）（mod 5）。(7)设L是n！的最后一个非零数字！。从LEMMA 1来看，M_2（n）>M_5（n），因此L总是偶数。通过LEMMA 3，因为L=I mod 10，L=I，或L=I+5。我们得出结论，如果i是奇数，L=i+5，如果i是偶数，L=i。由于m和（t/2）mod 4的值都在0到3之间，因此可以写入（7）只能使用下表中描述的方式。+---+------+-----+------------------------------------------------+---+-------+|||（t/2）|||||m|（-1）^m|mod 4|i.2^m==（-l）^m*2^（（t/2）mod 4）（mod 5）（7）|i|l|+---+------+-----+------------------------------------------------+---+-------+|0|1|0|i==2^0（mod 5）|1|1+5=6|||1|i==2^1（mod 5）|2|2|||2|i==2^2（mod 5）|4|4|||3|i==2^3（mod 5）|3|3+5=8|+---+------+-----+------------------------------------------------+---+-------+|1|-1|0|2i==-2^0，2i==-1，2i==4，i==2（mod 5）|2|2|||1|2i==-2^1，2i==-2，i==-1（mod 5）|4|4|||2|2i==-2^2，2i==-4，i==-2（mod 5）|3|8||||3|2i==-2^3，2i==-8，i==-4（mod 5）|1|6|+---+------+-----+-------+----------------------------------------+---+-------+|2|1|0|4i==2^0，4i==1，4i==-4，i==-1（mod 5）|4|4|||1|4i==2^1，2i==1，2i==6，i==3（mod 5）|3|8|||2|4i==2^2，4i==4，i==1（mod 5）|1|6|||3|4i==2^3，4i==8，i==2（mod 5）|2|2|+---+------+-----+-------+-------+--------------------------------+---+-------+|3|-1|0|8i==-2^0，3i==-1，3i==-6，i==-2（mod 5）|3|8|||1|8i==-2^1，3i==-2，3i=3，i==1（mod 5）|1|6|||2|8i==-2^2，3i==-4，3i==6，i==2（mod 5）|2|2|||3|8i==-2^3，8i==-8，i==-1（mod 5）|4|4|+---+------+-----+------------------------------------------------+---+-------+从上表中可以确定L，--------------------------------------z<-（x+t/2）模块4；如果z为0，则L<-6，否则L<-2^z。--------------------------------------其中x==m（mod 4）。例如，让x使得m=xmod4=2，那么（-1）^m=1，设t/2 mod 4=0；因此z=2，L=4。我们可以在“2 1 0”行中看到L=4上表中的。重数M_5（n），[2]，第1.2.5节，由下式给出M_5（n）=[n/5^1]+[n/5 ^2]+[n/5^3]+。。。(8)从LEMMA 4，对于1<=k<=h，[n/5^k]==（a_h+…+a_k）（mod 4），所以我们可以求x，使x==m（mod 4），通过------------------------------------------------------q<-0；对于i=h，h-1，1，{q<-q+a_i；x<-x+q}。------------------------------------------------------因为在第k次迭代时，上述伪代码中的变量q接收和（a_h+…+a_k）的值，该值与[n/5^k]一致，在最后一次迭代之后，x与M_5（n）同余，并且x与M同余（模块4）。II-算法------------------算法。给定一个整数n，n>=0，求L等于不！。1.[Check n>=2。]如果n=0或1，则算法结束返回1。2.[初始化]设置q<-0；t<-0；x＜-0；3.[将n转换为基数5。]让s<-a_h，a1，a0是数字序列五元数中的n。4.[扫描数字。]对于i=h，h-1，1，使q<-q+a_i；x<-x+q；如果a_i是偶数，则设置t<-t+a_i。5.[查找L。]如果a_0是偶数，则设置t<-t+a_0。设置z<-（x+t/2）mod 4；如果z为0，则使L<-6，否则设置L<-2^z。算法结束，L是答案。***从第一节可以很容易地证明该算法是正确的。给定算法的执行时间取决于执行步骤3。当n较大时，可以使用高效的多精度软件包。例如，我使用了函数GMP（MPIR）的mpz_get_str（），[3]。步骤4在O（log n）时间内运行。我们使用O（log n）字节将（n）5的数字存储在C字符串中可以从MSD中一个接一个地找到数字，这就是提出的算法需要，但我不知道如何有效地做到这一点。何时n的几个值在一个序列中给出，在某些情况下，n的转换可以使用前面的结果，从而提高步骤3的效率。我想做这方面的实验。III-引理----------------下面的引理使这个表示“自包含”。雷玛1。对于n>=2，M_2（n）>M_5（n）。对于n=2、3和4，M_2（n）>M_5（n），因为M_5。如果n=5，5=2^3*3^1*5^1，因此M_2（n）>M_5（n）。当n=6，7，我们可以将n写成5k+1、5k+2、5k+3、5k+4、5（k+1）；对于k=1,2。如果k是偶数，则5k+2和5k+4都是偶数，因此n取值5k+1至5（k+1），M_2（n）至少增加三倍；当5（k+1）是5的幂。奇数k的情况类似。***LEMMA 2。设x和y为正整数。如果x==y（模态4），则2^x==2^y（模态5）。因为2^n的最后一个数字取值为2、4、8、6、2。。。对于n=1，2, ... , 2^x==2^y（mod 10）。[2]第1.2.4节第D定律，其中a=2^x，b=2^y，r=10，r=5，s=2完成了证明。***LEMMA 3。如果x mod 10=r、x mod 5=r或r-5。有一个整数k，k>=0，例如x=10k+r=5k'+r，k'=2k。如果r<5紧接着x mod 5=r。如果r=5+a，0=x mod 5=r，或r-5；我们还有y模5=R=>y mod 10=R，或R+5。***外理4。给定以5为基数的数字n，用a_h.5^h+…+表示a_1.5^1+对于1<=k<=h，a_0.5^0，[n/5^k]与（a_h+…+a_k）（mod 4）同余。[n/5^k]=[（a_h.5^h+…a_1.5^1+a_0.5^0）/5^k]=a_h.5^（h-k）+…+a_k.5^（k-k）=a_h.5^（h-k）+…+答（_k）。证明来自这样一个事实：对于i>=0，5^i模4=1。***工具书类----------[1] 罗纳德·格雷厄姆（Ronald L.Graham）、唐纳德·科努特（Donald E.Knuth）和奥伦·帕塔什尼克（Oren Patashnik），混凝土数学。；Addison-Wesley，第4节，练习40和54。[2] D.E.Knuth，《计算机编程艺术》，第1卷。[3] http://www.mpir.org/mpir-1.3.1.pdf