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1, 1, 5, 1, 16, 25, 1, 39, 171, 125, 1, 86, 786, 1526, 625, 1, 181, 3046, 11606, 12281, 3125, 1, 372, 10767, 70792, 142647, 92436, 15625, 1, 755, 36021, 380071, 1279571, 1553145, 663991, 78125, 1, 1522, 116368, 1880494, 9818494, 19555438, 15519952, 4608946, 390625
评论
这是r-Euler数的r=5的情况,用A(r;n,k)表示,定义如下。设[n]表示有序集{1,2,…,n},设r为非负整数。让Permute(n,n-r)表示内射映射p:[n-r]->[n]的集合,我们将其视为一次取n-r的n个数的置换。显然,|Permute(n,n-r)|=n/r!。我们说,如果p(i)>i,置换p在位置i,1<=i<=n-r有一个超越。那么r-欧拉数A(r;n,k)被定义为置换(n,n-r)中有k个超越的置换数。因此,5-欧拉数计算了具有k个例外的排列(n,n-5)中的排列。其他情况请参见A008292号(r=0和r=1),A144696号(r=2),A144697号(r=3)和A144698号(r=4)。
由于[Strosser],对当前阵列的另一种解释涉及排列的5-例外统计(另见[Foata&Schutzenberger,第4章,第3节])。我们定义了Permute(n,n-5)中的置换p,如果p(i)>=i+5,则在位置i(1<=i<=n-5)处具有5-超越。
给定置换(n,n-5)中的置换p,将~p定义为置换(n、n-5)的置换,该置换将i带到n+1-p(n-i-4)。映射~是Permute(n,n-5)的双射,其性质是:如果p在位置i上有(分别没有)一个超数,则~p在位置n-i-4上没有(分别有)一个5-超数。因此,~给出了具有k个例外的置换集和具有(n-k)5-例外的置换集中的双射。因此,以相反的顺序读取该数组的行会得到一个三角形,该三角形的条目计算排列(n,n-5)中的排列,其中有k5个例外。
示例:用置换的图像向量(p(1),…,表示置换(n,n-5)中的置换p:[n-5]->[n],。。。,p(n-5))。在置换(12,7)中,置换p=(1,2,4,12,3,6,5)在前两个位置(i=1和2)或最后三个位置(i=5、6和7)中没有异常。置换~p=(8,7,10,1,9,11,12)仅在前三个位置和最后两个位置有5个例外。
参考文献
R.Strosser,1969-1970年斯特拉斯堡大学国际关系管理硕士(I.R.M.A.)。
链接
J.F.Barbero G.、J.Salas和E.J.S.Villaseñor,一类线性递归的二元生成函数。二、。应用,arXiv预印本arXiv:1307.5624[math.CO],2013-2015。
D.Foata和M.Schutzenberger,欧洲理工学院,arXiv:math/0508232[math.CO],2005;数学课堂笔记。,第138号,施普林格出版社,1970年。
配方奶粉
T(n,k)=(1/5!)*和{j=0..k}(-1)^(k-j)*二项式(n+1,k-j)x(j+1)^。
T(n,n-k)=(1/5!)*和{j=5..k}(-1)^(k-j)*二项式(n+1,k-j)*j^(n-4)*(j-1)*。
重复关系:
T(n,k)=(k+1)*T(n-1,k)+(n-k)*T。
例如(具有适当的偏移):(1/5)*((1-x)/(1-x*exp(t-t*x))^5=1/5+x*t+(x+5*x^2)*t^2/2!+(x+16*x^2+25*x^3)*t^3/3!+。
行生成多项式R_n(x)满足R_5(x)=1的递归R_(n+1)(x)=(n*x+1)*R_n。因此,对于n>=6的多项式R_ n(x)只有实零(应用推论1.2。(刘和王)。
第(n+4)行生成多项式=(1/5!)*Sum_{k=1..n}(k+4)*箍筋2(n,k)*x^(k-1)*(1-x)^(n-k)。
对于n>=5,
(1/5)*(x*d/dx)^(n-4)(1/(1-x)^5)=(x/(1-x,
(1/5)*(x*d/dx)^(n-4)(x^5/(1-x)^5)=(1/(1-x^(n+1))*Sum_{k=5..n}T(n,n-k)*x^k,
(1/(1-x)^(n+1))*和{k=0..n-5}T(n,k)*x^k=(1/5!)*和}m=0..无穷}(m+1)^,
(1/(1-x)^(n+1))*Sum_{k=5..n}T(n,n-k)*x^k=(1/5!)*Summ_{m=5..无穷}m^(n-4)*(m-1)*。
Worpitzky类型标识:
求和{k=0..n-5}T(n,k)*二项式(x+k,n)=(1/5!)*x^(n-4)*(x-1)*(x2)*(x-3)*(x-4)。
求和{k=5..n}T(n,n-k)*二项式(x+k,n)=(1/5!)*(x+1)^(n-4)*(x+2)*(x+3)*。
与斯特林数的关系(Frobenius型恒等式):
T(n+4,k-1)=(1/5!)*和{j=0..k}(-1)^(k-j)*(j+4)!*对于n,k>=1,二项式(n-j,k-j)*斯特林2(n,j);
T(n+4,k-1)=(1/5!)*和{j=0..n-k}(-1)^(n-k-j)*(j+4)!*n,k>=0的二项式(n-j,k)*S(5;n+5,j+5)
T(n+5,k)=(1/5!)*和{j=0..n-k}(-1)^(n-k-j)*(j+5)!*n,k>=0的二项式(n-j,k)*S(5;n+5,j+5*n的和{i=0..j}(-1)^(j-i)*二项式(j,i)*(i+5)^n,j>=0。
例子
三角形开始
=======================================================
n \ k |。。0.......1......2......3.........4.......5.......6
=======================================================
5..|..1
6..|..1.......5
7..|..1......16......25
8..|..1......39.....171.....125
9..|..1......86.....786....1526.....625
10.|..1.....181....3046...11606...12281....3125
11.|..1.....372...10767...70792..142647...92436...15625
...
T(7,1)=16:我们用置换的象向量(p(1),。。。,p(n-5))。Permute(7,2)中有1个例外的16个排列是(1,3)、(1,4)、(1.5)、(1.6)、(1.7)、(3,2)、(5,2),(6,2)和(7,1)、(2,1)、。
MAPLE公司
使用(combint):
T: =(n,k)->1/5*加上((-1)^(k-j)*二项式(n+1,k-j)x(j+1)^
对于从5到13 do的n
seq(T(n,k),k=0..n-5)
结束do;
数学
T[n_,k]/;0<k<=n-5:=T[n,k]=(k+1)T[n-1,k]+(n-k)T[n-1,k-1];
T[_,0]=1;T[_,_]=0;
黄体脂酮素
(岩浆)
m: =5;[(&+[(-1)^(k-j)*二项式(n+1,k-j)*Binominal(j+m,m-1)*(j+1)^,(n-m+1):[0..k]]中的j)/m:k in[0..n-m],n in[m.m+10]]//G.C.格鲁贝尔,2022年6月8日
(SageMath)
定义T(n,k):返回(1/m)*总和((-1)^(k-j)*二项式(n+1,k-j)*binominal(j+m,m-1)*(j+1)^
压扁([[T(n,k)代表k in(0..n-m)]代表n in(m..m+10)])#G.C.格鲁贝尔,2022年6月8日
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