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1, -9, 1, 162, -27, 1, -4374, 891, -54, 1, 157464, -36450, 2835, -90, 1, -7085880, 1797714, -164025, 6885, -135, 1, 382637520, -104162436, 10655064, -535815, 14175, -189, 1, -24106163760, 6944870988, -775431468, 44411409, -1428840, 26082, -252, 1
评论
T(n,m)=R_n^m(a=0,b=9),以给定1962年参考文献的符号表示。
T(n,m)是一个Jabotinsky矩阵,即一元行多项式e(n,x):=和{m=1..n}T(n、m)*x^m=Product_{j=0..n-1}(x-9*j),n>=1,e(0,x):=1是指数卷积多项式(参见A039692号用于定义和Knuth参考)。
对于非负整数n,m和复数a,b(b<>0),米特里诺维奇(1961)引入了数字R_n^m(a,b),使用了稍微不同的符号。米特里诺维奇和米特里诺奇(1962)对其进行了进一步检查。本文件和其他相关文件中列出了特殊情况。
这些数字的特殊情况与诺伦德(1924)引入的数字有关。
这些数字是通过g.f.Product_{r=0..n-1}(x-(a+b*r))=Sum_{m=0..n}r_n^m(a,b)*x^m定义的,对于n>=0。因此,对于n>=m>=1,R_n^m(a,b)=R_{n-1}^{m-1}(a,b)-(a+b*(n-1))*R_{n-1}^m(a,b),其中R_1^0(a,b)=a,R_1^1(a,b)=1,并且对于n<m,R_n^m(a,b)=0
在a=0和b=1的条件下,我们得到了第一类Stirling数S1(n,m)=R_n^m(a=0,b=1)=A048994美元满足乘积{r=0}^{n-1}(x-r)=Sum_{m=0..n}S1(n,m)*x^m,其中S1(n,n)=1表示n>=0,S1(n,0)=0表示n>=1,S1A008275号与数组相同A048994美元但没有零行和零列。)
对于n>=m>=0,我们有R_n^m(a,b)=Sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k*a^k*b^(n-m-k)*二项式(m+k,k)*S1(n,m+k)。
对于当前数组,T(n,m)=R_n^m(a=0,b=9),但没有零行或零列。(结束)
链接
D.S.Mitrinovic和R.S.Mitrinovic,斯特林波利尼昂苏尔《塞尔维亚共和国数学社会与物理学家公报》,第10卷(1958年),第43-49页。
D.S.Mitrinovic和R.S.Mitrinovic,斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。,第77号(1962年),1-77。
D.S.Mitrinovic和R.S.Mitrinovic,斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。,第77号(1962年),1-77[jstor稳定版]。
尼尔斯·诺伦德,不同的技术1924年,柏林施普林格。
配方奶粉
T(n,m)=T(n-1,m-1)-9*(n-1)*T(n-1,m),n>=m>=1;T(n,m):=0,n<m;T(n,0):当n>=1时=0;T(0,0)=1。
有符号三角形第m列的E.g.f.:(log(1+9*x)/9)^m/m!。
双变量例如f.-o.g.f.:和{n,m>=1}T(n,m)*x^n*y^m/n!=exp(y/9)*log(1+9*x))-1=(1+9*x)^(y/9)-1。(结束)
例子
三角形T(n,m)(行n>=1,列m=1..n)开始于:
1;
-9, 1;
162, -27, 1;
-4374, 891, -54, 1;
157464, -36450, 2835, -90, 1;
-7085880, 1797714, -164025, 6885, -135, 1;
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