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第二类斯特林数S（n，3）。
（原名M4167 N1734）
+0
73
0, 0, 0, 1, 6, 25, 90, 301, 966, 3025, 9330, 28501, 86526, 261625, 788970, 2375101, 7141686, 21457825, 64439010, 193448101, 580606446, 1742343625, 5228079450, 15686335501, 47063200806, 141197991025, 423610750290, 1270865805301
评论
将n个带标签的球放入k=3个无法区分的盒子中的方法数-托马斯·维德2004年11月30日
让[m]表示前m个正整数。那么a（n）是函数f从[n]到[n+1]的个数，对于所有x满足（i）f（x）>x，对于3个元素满足（ii）f（x）=n+1，对于[n]的其余n-3个元素，满足（iii）f（f（x））=n+1。例如，a（4）＝6，因为从{1,2,3,4}到{1,2,3,4,5}正好有6个函数，使得f（x）＞x，f（x）＝5用于3个元素，f（f（x））＝5用于其余元素。函数为f1={（1,5），（2,5），，（3,4），（4,5）}，f2={（4，5）}-丹尼斯·沃尔什2007年2月20日
猜想。设S（1）={1}，对于n>1，设S（n）是S（n-1）中每个元素x的包含x、2x和3x的最小集。那么a（n+2）是S（n）中元素的和。（很容易证明S（n）中的元素数是由A001952号.）请参见A122554号对于以这种方式定义的序列-约翰·莱曼2007年11月21日；修正（由于偏移变化，a（n）为a（n+2））弗雷德·丹尼尔·克莱恩2014年10月2日
设P（A）是n元素集A的幂集。则A（n+1）=P（A）的元素对{x，y}的数量，其中x和y不相交，x不是y的子集，y不是x的子集。Wieder称这些为“不相交严格2-组合”-罗斯·拉海耶2008年1月11日；已由更正罗斯·拉海耶2008年10月29日
同样，设P（A）是n元集A的幂集。然后A（n+2）=P（A，或2）x和y相交，其中x是y的适当子集，或y是x的适当子集-罗斯·拉海耶2008年1月11日
3*a（n+1）=p（n+1。。。，n.（名词）-迈克尔·索莫斯2012年4月29日
设m等于n-1个不同素数的乘积。那么a（n）等于通过将m的除数除以另一除数而产生的不同分数>=1。例如，对于m=2*3*5=30，我们有以下6个分数：6/5、3/2、5/3、5/2、10/3、15/2。
在这里，求分数等于将n-1个球（不同的素数）分布到两个没有空箱子的箱子（分子和分母），而第二类斯特林数可以找到空箱子。（n）的另一个定义是a（n）=Sum_{i=2..n-1}Stirling2（i，2）*二项式（n-1，i）。
对于n>0，a（n）=（d（m^2）+1）/2-d（m），其中m等于n-1个不同素数的乘积。例如，a（5）：m=2*3*5*7=210（四个不同素数的乘积），因此a（五）=（d（210^2）+1）/2-d（210）=41-16=25。（结束）
6*a（n）是长度为n的三元字符串的数目，其中包含定义它们的3个符号中的至少一个。例如，对于n＝4，字符串是0012的12个排列、0112的12个排列和0122的12个排列-恩里克·纳瓦雷特2021年8月23日
La Haye第一条评论的一种更简单的形式是：A（n+1）是我们可以形成[n]的两个非空子集的不相交并的方法的数量（参见下面的示例）。囊性纤维变性。A001047号对于联合体包含n的要求-恩里克·纳瓦雷特2021年8月24日
作为尼科马科斯三角形行的部分和以及3和2的幂差(A001047号)，每个迭代对应于Sierpinski三角形（3^n）的两个图形变体，与Nicomachus三角形互相关，见链接中的插图。Sierpinski半六边形(A001047号)堆栈并符合2^n-1三角形数字的足迹。3^n Sierpinski三角形减去其2^n底行，也与Nicomachus三角形相关，根据每个Sierpinsk三角形子行-约翰·埃利亚斯2021年10月4日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第835页。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第223页。
M.R.Nester（1999）。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。澳大利亚布里斯班昆士兰大学。[参见A056391号第2章的pdf文件]
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
配方奶粉
G.f.:x^3/（（1-x）*（1-2*x）x（1-3*x））。
例如：（exp（x）-1）^3）/3！。
循环次数：a（n+3）=6*a（n+2）-11*a（n+1）+6*a（n），a（3）=1，a（4）=6，a（5）=25-托马斯·维德2004年11月30日
偏移量为0时，这是9*3^n/2-4*2^n+1/2，即3*3^n-2*2^n的部分和=A001047号（n+1）-保罗·巴里2003年6月26日
a（n）=（1+3^（n-1）-2^n）/2，n>0-丹尼斯·沃尔什2007年2月20日
对于n>=3，a（n）=3*a（n-1）+2^（n-2）-1-杰弗里·克雷策2009年3月3日
当n>3时，a（n）=5*a（n-1）-6*a（n-2）+1-文森佐·利班迪2010年11月25日
a（n）=det（|s（i+3，j+2）|，1<=i，j<=n-3），其中s（n，k）是第一类斯特林数-米尔恰·梅卡2013年4月6日
G.f.：x^3+12*x^4/（G（0）-12*x），其中G（k）=x+1+9*（3*x+1）*3^k-8*（2*x+1）*2^k-x*（9*3^k+1-8*2^k）*（81*3^k+1-32*2^k）/G（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2014年2月1日
对于n>0，a（n+2）=（1-2^（2+n）+3^（1+n））/2-弗雷德·丹尼尔·克莱恩2014年10月2日
对于n>0，a（n）=（1/2）*和{k=1..n-1}和{i=1..n-1}C（n-k-1，i）*C（n-1，k）-韦斯利·伊万·赫特2017年9月22日
a（n）=Sum_{k=0..n-3}2^（k-1）*（3^（n-2-k）-1）-J.M.贝戈2018年2月5日
例子
a（4）=6。让我们表示Z[i]第i个标记元素=“ball”。然后，对于n=4，有六种不同的方法用标记的元素填充集合=“框”：
集合（集合（Z[3]，Z[4]），集合（Z[1]），集合）、设置（Z[4]）、设置。
G.f.=x ^3+6*x ^4+25*x ^5+90*x ^6+301*x ^7+966*x*8+3025*x ^9+。。。
例如，对于n=3，a（4）=6，因为不相交并集为：{1} 单位{2}, {1} U型{3}, {1} U型{2,3}, {2} U型{3}, {2} U型{1,3}和｛1，2｝U{3}. -恩里克·纳瓦雷特2021年8月24日
数学
箍筋S2[范围[0，30]，3](*哈维·P·戴尔2011年12月29日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=3^（n-1）/2-2^（n-1）+1/2}；
（鼠尾草）[stirling_number2（i，3）代表（0..40）中的i]#零入侵拉霍斯2008年6月26日
（GAP）列表（[0..400]，n->箍筋2（n，3））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年2月4日
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