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Enots-Wolley序列:词典学上最早的不同正数的无限序列{a(n)},当n>2时,a(n。
+10 123
1, 2, 6, 15, 35, 14, 12, 33, 55, 10, 18, 21, 77, 22, 20, 45, 39, 26, 28, 63, 51, 34, 38, 57, 69, 46, 40, 65, 91, 42, 30, 85, 119, 56, 24, 75, 95, 76, 36, 87, 145, 50, 44, 99, 93, 62, 52, 117, 105, 70, 58, 261, 111, 74, 68, 153, 123, 82, 80, 115, 161, 84, 60, 155, 217, 98, 48, 129, 215, 100
评论
设k的核Ker(k)表示除以k的素数集。因此Ker(36}={2,3},Ker(1)={}。然后在Ker(k)}p中生成{p=A000265号(k) ,用ker(k)表示。
定理1:对于n>2,a(n)是尚未在序列中的最小数m,使得
(i) Ker(m)与Ker(a(n-1))相交是非空的,
(ii)Ker(m)与Ker(a(n-2))相交为空,且
(iii)集合Ker(m)\Ker(a(n-1))是非空的。
(如果没有条件(iii),每个素数除m也可以除a(n-1),这样就不可能找到a(n+1)。)
证明理念:m总是存在的,并且是唯一的;a(n)不可能有较小的选择;取a(n)=m不会导致矛盾。所以a(n)必须是m。
定理2:对于n>2,Ker(a(n))至少包含两个素数。(定理中的立即数,因为a(n)必须包含a(n-1)中的素数和a(n-1)中不包含的素数)
因此,序列中没有出现奇数素数p或偶数或偶数素数幂q^k,k>1。显然,这个序列不是正整数的置换。
定理3。对于任何M,都有一个n_0,使得n>n_0意味着a(n)>M。
定理4。对于任何质数p,某项都可以被p整除。
证明。混凝土度取p=17。如果17不能除任何项,那么19也不能除(因为19第一次出现时,我们可以使用17)。
所以所有术语都是2,3,5,7,11,13的乘积。走很长的路,使用定理2,考虑两个巨大的连续项a*B,C*D,其中Ker(B)=Ker(C)和Ker(a)相交Ker(D)为空。C或D必须包含一个巨大的素数幂q^k,2<=q<=13。如果它在C中,则将其替换为q,并将D乘以17。如果它在D中,则替换为17。不管怎样,我们得到了一个较小的C*D法律候选人,是17的倍数。量化宽松政策
定理5。有无限多的偶数项。
证明。假设素数p第一次作为a(n)的因子出现。那么我们有a(n-1)=x*q^i,a(n)=q*p,其中q<p是素数,i>=1。如果q=2,则a(n)是偶数。所以我们可以假设q是奇数。如果x是奇数,那么a(n+1)=2*p。如果x是偶数,那么显然a(n-1)是偶数。对于每个质数p,a(n-1)、a(n)或a(n+1)中的一个是偶数。量化宽松政策-N.J.A.斯隆2020年8月28日
定理6:对于任何素数p,无穷多项都可以被p整除-N.J.A.斯隆2020年9月9日。(我想我已经有了一个证明,对于任何奇数质数p,都有一个等于2p的项,但这个论证中有一个缺口-N.J.A.斯隆2020年9月23日)
猜想1:序列中的每个数都至少有两个不同的素因子。换句话说,除了1和2之外,这个序列是A000961号.
[很可能,用于证明黄石置换论文中定理1的论点可以修改以证明猜想。]
这些条件允许我们从a(1)=1,a(2)=2开始,这不会导致矛盾,因此这是前两项。
在1,2之后,下一项不能是4或5,但a(3)=6有效。
对于a(4),我们可以排除3、4、5、7、8、9、11、13(素数的幂),10、12和14与a(2)有一个共同因子。因此a(4)=15。
前100000项的图形(见链接)与黄石排列相似,但这里的点位于更多的线上。
序列在n=1、2、10、90、106、150、162、246、394、398、406、410。。。(参见A338050型). -斯科特·R·香农2020年8月13日
奇偶项的初始模式:(奇、偶、偶、奇),重复,是误导性的,因为它不会持续存在。(请参见A337644飞机有关这一点的更多信息。)
当奇数素数p首先除以Enots-Wolley序列(当前序列)的项时,该项a(n)等于q*p,其中q<p也是素数。我们说p是由q引入的。看起来q几乎总是2(p形式的对应值A337648飞机),当q=3时,正好有34个实例(参见A337649飞机)q>3只发生一次,当q=5和p=7时,a(5)=35。
我们猜想,即使p是由一些素数q>2引入的,2*p也会出现在后面。
这两个序列之间的差异是由于这样一个事实造成的,即虽然通常情况下,如果p和q是p<q的奇数素数,那么2p先于2q,但对于以下素数则不是这样:(7,5),(31,29),和(109,113,107),它们是按所示顺序出现的。我们推测这是唯一的例外。
结合上述观察,我们推测,对于n>=755(此时我们已经看到了所有素数<=367),每个素数p都由2*p引入,并且术语2*p以其自然顺序出现。
(结束)
链接
David L.Applegate、Hans Havermann、Bob Selcoe、Vladimir Shevelev、N.J.A.Sloane和Reinhard Zumkeller,黄石公园排列,arXiv预印本arXiv:1501.01669[math.NT],2015。《整数序列杂志》,第18卷(2015年),第15.6.7条
斯科特·R·香农,1133万术语图表根据F.Stevenson的数据,用表示最小素因子(lpf)的颜色绘制。lpf为2的术语以白色显示,lpf为3、5、7、11、13、17、19的术语以从红色到紫色的七种彩虹颜色之一显示,lpf>=23的术语以灰色显示。
斯科特·R·香农,lpf=2的项图这张图以及下面的类似图表使用了F.Stevenson的1133万个术语的数据。y轴比例与上述多色图像相同。绿线是y=x。
N.J.A.斯隆,1133万术语图表,基于F.Stevenson的表格。红线是y=x。很难相信,但红线上方的点和下方的点一样多(见下一张图)。在11333576点中,46%(5280697点)位于红线以下,全部持平。所有奇点都位于红线上方。
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带有(数字理论);
N: =10^4:#得到a(1)到a(N),其中a(N+1)是第一项>N
B: =矢量(N,数据类型=整数[4]):
对于从1到2的n,执行A[n]:=n:od:
对于n,从3 do
对于k从3到N do
如果B[k]=0且igcd(k,A[n-1])>1且igcd
如果nops(因子集(k)减去因子集(A[n-1])>0,则
A[n]:=k;
B[k]:=1;
断裂;
fi;
fi(菲涅耳)
日期:
如果k>N,则断裂;fi;
日期:
数学
M=1000;
A[1]=1;A[2]=2;
清除[B];B[_]=0;
对于[n=3,真,n++,
对于[k=3,k<=M,k++,
如果[B[k]==0&&GCD[k,A[n-1]]>1&&GCD[k,A[n-2]]==1,如果[Length[FactorInteger[k][[All,1]]~Complement~FactorIntiger[A[n-1]][[All,1]]>0,A[n]=k;B[k]=1;中断[]]];如果[k>M,则中断[]]];
黄体脂酮素
(Python)
从数学导入gcd
来自sympy导入因子
从itertools导入计数,islice
def agen():#术语生成器
a、 见,minan=[1,2],{1,2},3
a的收益
对于计数(3)中的n:
an,fset=minan,集(因子(a[-1]))
为True时:
如果an不在seen中且gcd(an,a[-1])>1且gcd
如果设置(factorint(an))-fset>set():
打破
an+=1
a.附加(a);见。添加(an);产生一个
而minan在seen中:minan+=1
打印(列表(islice(agen(),70))#迈克尔·布拉尼基2022年1月22日
扩展
补充斯科特·R·香农他的名字“Enots Wolley”(黄石公园向后)是为了给这个序列下定义,因为这已经在几次会谈中提到过了-N.J.A.斯隆2020年10月11日
3263, 7183, 11671, 16291, 16601, 20741, 23257, 28639, 37667, 33163, 38819, 43849, 51469, 52789, 48701, 50275, 63323, 65117, 67903, 67223, 79751, 72193, 71265, 79183, 80743, 74741, 106483, 90571, 94159, 104467, 108043, 135821, 109771, 112561, 119149, 149387, 116377, 137951
例子
前10项的因子分解为:
1, (13)*(251)
2, (11)*(653)
3, (11)*(1061)
4, (11)*(1481)
5, (13)*(1277)
6, (7)*(2963)
7, (13)*(1789)
8, (13)*(2203)
9, (7)*(5381)
10, (13)*(2551)
术语555至575的因式分解为:
555, (11)*(118681)
556, (7)*(213833)
557, (7)*(213887)
558, (11)*(118901)
559, (3)*(5)*(83059)
560, (11)*(120619)
561, (13)*(98867)
562, (11)*(121021)
563, (13)*(99391)
564, (7)*(218873)
565, (11)*(121621)
566, (13)*(99571)
567, (13)*(99989)
568, (11)*(122299)
569, (13)*(122503)
570, (11)*(122533)
571, (11)*(122579)
572, (13)*(100537)
573, (7)*(221537)
574, (11)*(123427)
575, (31)*(38393)
1, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 29, 33, 41, 52, 88, 100, 140, 148, 160, 168, 189, 193, 196, 200, 216, 296, 341, 368, 372, 444, 452, 741, 780, 841, 857, 869, 949, 1028, 1105, 1116, 1128, 1176, 1332, 1396, 1644, 1736, 1860, 2036, 2061, 2945, 3161, 3225, 3261, 3454, 4106, 5678, 5718, 5762, 5806, 6214, 6838, 7474
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