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｛1，…，n｝与f（1）＜f（n）的置换数f，使得Sum_｛k＝1..n-1}1/（f（k）*f（k+1））＝1。
+10
三
0, 0, 0, 0, 0, 3, 1, 7, 13, 83, 84, 540, 480, 5488, 48922
评论
猜想1:a（n）>0表示所有n>5。换句话说，对于每个n=6,7，。。。对称群S_n中某些置换f的和{k=1..n-1}1/（f（k）*f（k+1））=1。
猜想2：对于任意大于6的整数，存在一个与循环置换（1,2，…，n）不同的无向循环置换g，使得1/（g（1）*g（2））+1/（g（2，*g（3））+…+1/（g（n-1）*g（n））+1/（g（n）*g（1））=1。
我们已经验证了n到11的两个猜想。对于n=7的猜想2，我们可以取（g（1），。。。，g（7）=（3,2,1,6,5,4,7），因为1/（3*2）+1/（2*1）+1/。
例子
a（7）=1，对于{1，…，7}的置换（2,1,3,7,4,5,6），我们有1/（2*1）+1/（1*3）+1/。
数学
V[n_]：=V[n]=排列[表[i，{i，1，n}]]；
Do[r=0；Do[If[Part[V[n]，k][[1]]>=部分[V[n]，k][[n]]||总和[1/（部分[V[n]，k][[i]]*部分[V]，k][[i+1]]），{i，1，n-1}]=1、转到[aa]]；r=r+1；标签[aa]，{k，1，n！}]；打印[n，“”，r]，{n，1，11}]
{1，…，n}与f（1）<f（n）和和{k=1..n-1}1/（f（k）^2-f（k+1）^2）=0的置换f的数目。
+10
2
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 4, 4, 55, 78, 552, 3484, 12720
评论
猜想：对于所有n>7，a（n）>0。换句话说，对于每个n=8,9，。。。对称群S_n中某些置换f的和{k=1..n-1}1/（f（k）^2-f（k+1）^2）=0。
例子
a（8）=1，对于{1，…，8}的置换（4,5,2,7,3,1,6,8），我们有1/（4^2-5^2）+1/（5^2-2^2）+1/（2^2-7^2）+1/（7^2-3^2）*1/（3^2-1^2）+1/（1^2-6^2）/1/（6^2-8^2）=0。
a（12）>0，因为对于{1，…，12}的置换（1,3,7,5,4,8,6,2,10,11,9,12），我们有1/（1^2-3^2）+1/（3^2-7^2）+1//（9^2-12^2）=0。
a（13）>0，因为对于{1，…，13}的置换（1,6,2,9,11,5,3,7,13,8,4,10,12），我们有1/（1^2-6^2）+1/（6^2-2^2）+1/1/（4^2-10^2）+1/（10^2-12^2）=0。
数学
V[n]：=V[n]=置换[表[i，{i，1，n}]]；
Do[r=0；Do[If[Part[V[n]，k][[1]]>=部分[V[n]，k][[n]]||总和[1/（部分[V[n]，k][i]]^2-部分[V]，k][i+1]]^2），{i，1，n-1}]=0，转到[aa]]；r=r+1；标签[aa]，{k，1，n！}]；打印[n，“”，r]，{n，1，11}]
黄体脂酮素
（PARI）a（n）={my（s=0）；forperm（n，f，if（f[1]<f[n]&&sum（k=1，#f-1，1/（f[k]^2-f[k+1]^2））==0，s++）；s｝\\安德鲁·霍罗伊德2018年11月27日
{1，…，素数（n）-1}的置换f的个数，其中f（素数（n）-1）=素数（n+1），f（素数（n）-2）=素数（n-2），使得1/（f（1）*f（2））+1/（f（2”*f（3））+…+1/（f（素数（n）-2）*f（质数（n。
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1
0, 1, 1, 323, 21615, 301654585
评论
猜想：对于所有n>2，a（n）>0。换言之，对于任意素数p>3，存在{1，…，p-1}的置换f，其中f（p-1）=p-1，f（p-2）=p-2，使得1/（f（1）*f（2））+1/（f（2”*f（3））+…+1/（f（p-2）*f（p-1））+1/（f（p-1）*f（1））==0（模p^2）。
正如沃尔斯滕霍姆证明的那样，对于任何素数p>3，我们都有1/1^2+1/2^2+…+1/（p-1）^2==0（mod p）。
对于任意整数n>2，明确为1/（1*2）+1/（2*3）+…+1/（（n-1）*n）+1/（n*1）=1。
例子
a（3）=1，和1/（2*1）+1/（1*3）+1/1（3*4）+1/（4*2）=5^2/24==0（模5^2）。
a（4）=1和1/（2*3）+1/（3*4）+1/（4*1）+1/（1*5）+1/（5*6）+1/（6*2）=7^2/60==0（mod 7^2）。
a（5）>0，和1/（1*2）+1/（2*4）+1/“4*6”+1/（6*3）+1/。
a（6）>0，和1/（1*2）+1/（2*3）+1/1（3*7）+1/（7*4）+1/1/（4*9）+1/（9*5）+1/。
数学
（*计算A（5）的程序：*）
VV[i_]：=部件[排列[{1，2，3，4，5，6，7，8}]，i]；
rMod[m_，n_]：=Mod[Numerator[m]*PowerMod[Denominator[m]，-1，n]，n，-n/2]；
n=0；做[If[rMod[Sum[1/（VV[i][[k]]VV[i][[k+1]]），{k，1，7}]+1/（VV[i][[8]]*9）+1/（9*10）+1/（10*VV[i][1]）），11^2]==0，n=n+1]，{i，1，8！}]；打印[n]
a[n_]：=块[{p=素数@n，inv}，inv=模逆[#，p^2]和/@范围[p-1]；长度@Select[Join[#，Take[inv，-2]]和/@Permutations[Take[inv，p-3]]，Mod[#[[1]]#[-1]]+Total[Times@@@Partition[#，2，1]]，p^2]==0&]]；a/@范围[2,6](*乔瓦尼·雷斯塔2021年7月15日*）
f（n）=n且f（n-1）>f（1）的{1，…，n}置换f的个数，使得f（1*f（2）+…+f（n-1）*f（n）+f（n。
+10
1
0, 0, 0, 2, 17, 16, 209, 3192
例子
a（6）=2，和2*4+4*1+1*3+3*5+5*6+6*2=3*5+5*1+1*2+2*4+4*6+6x3=2*6^2。
a（7）>0，其中1*3+3*4+4*5+5*6+6*2+2*7+7*1=2*7^2。
a（8）>0，其中1*5+5*3+3*6+6*4+4*7+7*2+2*8+8*1=2*8^2。
a（9）>0，其中1*2+2*3+3*5+5*4+4*6+6*8+8*7+7*9+9*1=3*9^2。
a（10）>0，其中1*2+2*3+3*6+6*8+8*4+4*9+9*7+7*5+5*10+10*1=3*10^2。
a（11）>0，其中1*3+3*4+4*5+5*8+8*6+6*9+9*7+7*10+10*2+2*11+11=3*11^2。
数学
（*计算A（7）的程序：*）
VV[i_]：=VV[i]=部件[排列[{1，2，3，4，5，6}]，i]；
n=0；Do[If[VV[i][[1]]<VV[i][[6]]&&Mod[Sum[VV]i][[k]]*VV[ii][k+1]]，{k，1，5}]+VV[iii][[6]]*7+7*VV[1][[1]，7^2]==0，n=n+1]，{i，1，6！}]；打印[n]
f（1）=2和f（2）=1的{1，…，n}的置换数f，使得f（k）*f（k+1）（0<k<n）是不同的，和{k=1..n-1}1/（f（k。
+10
1
0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 11, 7, 61, 388, 2933, 2741
例子
a（6）=1与置换（f（1），。。。，f（6））=（2,1,3,4,5,6）满足要求。注意，2*1=2、1*3=3、3*4=12、4*5=6和5*6=30是两两不同的，1/2+1/3+1/12+1/20+1/30=1。
a（9）=1与置换（f（1），。。。，f（9））=（2,1,3,8,7,6,5,9,4）满足要求。注意，2*1=2、1*3=3、3*8=24、8*7=56、7*6=42、6*5=30、5*9=45和9*4=36是两两不同的，1/2+1/3+1/24+1/56+1/42+1/30+1/45+1/36=1。
a（11）=1与置换（f（1），。。。，f（11））=（2,1,4,3,5,11,6,7,8,9,10）符合要求。注意，2*1=2、1*4=4、4*3=12、3*5=15、5*11=55、11*6=66、6*7=42、7*8=56、8*9=72和9*10=90是两两不同的，1/2+1/4+1/12+1/15+1/55+1/66+1/42+1/56+1/56+1/72+1/72+1/90=1。
a（12）>0，因为对于置换（f（1），。。。，f（12））=（2,1,4,5,3,6,8,10,11,12,7,9）11个数2*1=2，1*4=4，4*5=20，5*3=15，3*6=18，6*8=48，8*10=80，10*11=110，11*12=132，12*7=84和7*9=63是两两不同的，1/2+1/4+1/20+1/15+1/18+1/48+1/80+1/110+1/132+1/84+1/63=1。注意，对于满足要求的{1，…，12}的所有其他排列f，f（3）=4，f（4）=3，f（5）在5，6，8之间。
数学
（*一个求{1，…，10}的f（1）=2，f（2）=1的所有置换f的程序，使得f（k）*f（k+1）（k=1..9）是两两不同的，和{k=1..9}1/（f（k
V[i_]：=V[i]=部分[排列[{3，4，5，6，7，8，9，10}]，i]
m=0；Do[U={2}；Do[U=附加[U，V[i][[j]]*如果[j==1，1，V[i][[j-1]]]，{j，1，8}]；
如果[Length[Union[U]]==9&&Sum[1/U[[j]]，{j，1，9}]==1，m=m+1；打印[m，“，V[i]，“，U]]；标签[aa]，｛i，1，8！｝]
扩展
a（13）-a（15）来自王金源2022年8月9日
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