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形式为3k-1的素数p，使得存在同余（x+1）^p-x^p==1（mod p^2）的非平凡解（x而不是0或-1模p）。
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59, 83, 179, 227, 419, 443, 701, 857, 887, 911, 929, 971, 977, 1091, 1109, 1193, 1217, 1223, 1259, 1283, 1289, 1439, 1487, 1493, 1613, 1637, 1811, 1847, 1901, 1997, 2003, 2087, 2243, 2423, 2477, 2579, 2591, 2729, 2777, 2969, 3089, 3137, 3191, 3203, 3251
评论
注意，对于形式为3k+1的素数，非平凡解总是存在的-宋嘉宁2019年4月20日
证明：对于素数p>3，写f_p（x）=（（x+1）^p-x^p-1）/p；f_p（x）是Z[x]中的一个多项式。我们有f_p（w）=f_p。由于x^2+x+1是一个本原多项式（具有互质系数），因此根据多项式的高斯引理，f_p（x）除以Z[x]中的x^2+x+1。因此，如果某些x的p==1（mod 3）和p|（x^2+x+1），则p^2|（（x+1）^p-x^p-1）。
对于素数p>2，方程x^p+y^p=z^p在（z_p）*上有非平凡解（p-adic整数不能被p整除）当且仅当同余（x+1）^p-x^p==1（mod p^2）存在非平凡解。（结束）
黄体脂酮素
（PARI）isA068209（n）=if（isprime（n）&&n%3==2，对于（a=1，n-2，if（Mod（a+1，n^2）^n-Mod（a，n^1）^n==1，return（1）））；返回（0）\\宋嘉宁2022年11月8日
素数p==1（mod 3），使得存在1<=x<=p-2，使得（x+1）^p-x^p==1（mod p^2），并且p不除x^2+x+1。
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1
79, 193, 337, 421, 457, 547, 601, 619, 691, 757, 787, 907, 1039, 1093, 1231, 1237, 1303, 1489, 1531, 1657, 1993, 2089, 2113, 2251, 2311, 2377, 2389, 2437, 2539, 2647, 2659, 2713, 2731, 2749, 3001, 3037, 3109, 3229, 3319, 3331, 3511, 4003, 4177, 4243, 4273, 4339, 4447
评论
如果p==1（mod 3）并且p除以x^2+x+1，那么p^2除以（x+1）^p-x^p-1；看见A068209号作为证据。
猜想：这个序列在模3等于1的素数中的密度与A068209号在素数中等于2模3的素数-宋嘉宁2022年11月8日
例子
对于p=79，（x+1）^p-x^p==1（mod p^2）的非平凡解是x==11，23，32，36，42，46，55，67（mod 79）。等价类x==11，32，36，42，46，67（mod 79）满足x^2+x+1！=0（mod 79），所以79是一个术语。
黄体脂酮素
（PARI）是A358315（n）=if（isprime（n）&&n%3==1，对于（a=1，n-2，if（Mod（a+1，n^2）^n-Mod（a，n^ 2）^n==1&&znorder（Mod，a，n））=3，返回（1））；返回（0）
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