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a^2+b^2+2*c^2+2*d^2=n的整数解的数目。
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1, 4, 8, 16, 24, 24, 32, 32, 24, 52, 48, 48, 96, 56, 64, 96, 24, 72, 104, 80, 144, 128, 96, 96, 96, 124, 112, 160, 192, 120, 192, 128, 24, 192, 144, 192, 312, 152, 160, 224, 144, 168, 256, 176, 288, 312, 192, 192, 96, 228, 248, 288, 336, 216, 320, 288, 192, 320, 240, 240
参考文献
B.C.Berndt，Ramanujan笔记本第五部分，Springer-Verlag，见第373页第31条。
Jesse Ira Deutsch，Bumby的技术和Liouville在二次型上的结果，《整数8》（2008），第2期，A2，20页MR2438287（2009g:11047）。
N.J.Fine，《基本超几何级数与应用》，美国。数学。Soc.，1988年；第78页，等式（32.29）。
S.Ramanujan，《论文集》，第20章，剑桥大学出版社，1927年（剑桥大学出版社学报，19（1917），11-21）。
链接
Jesse Ira Deutsch，四元二次型表示公式的四元数证明《J·数论》113（2005），第1期，149-174。MR2141762（2006b:11033）。
配方奶粉
周期8序列的欧拉变换[4，-2，4，-8，4，-2,4，-4，…]-迈克尔·索莫斯2004年9月17日
与a（n）=4*b（n），b（2）=2，b（2^e）=6相乘，如果e>1，b（p^e）=（p^（e+1）-1）/（p-1），如果p>2-迈克尔·索莫斯2004年9月17日
（eta（q^2）*eta（q^4））^6/（eta（q）*eta（q^8））^4以q的幂展开。
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（8 t））=8（t/i）^2 f（t），其中q=exp（2 Pi it）-迈克尔·索莫斯2011年7月5日
通用公式：（θ_3（q）*θ_3（q^2））^2。
G.f.：产品{k>0}（（1-x^（2k））。
通用公式：1+Sum_{k>0}8*x^（4*k）/（1+x^-迈克尔·索莫斯2005年10月22日
例子
1+4*q+8*q^2+16*q^3+24*q^4+24*q^5+32*q^6+32*q ^7+24*q ^8+。。。
数学
a[n_]：=系列系数[（椭圆Theta[3，0，q]椭圆Theta[3]，0，q ^2]）^2，{q，0，n}](*迈克尔·索莫斯2011年7月5日*）
f[p_，e_]：=（p^（e+1）-1）/（p-1）；f[2，1]=2；f[2，e_]：=6；a[0]=1；a[1]=4；a[n_]：=4*倍@@f@@FactorInteger[n]；数组[a，100，0](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年8月22日*）
黄体脂酮素
（PARI）｛a（n）=局部（t）；如果（n<1，n>=0，t=2^估值（n，2）；4*西格玛（n/t）*如果（t>2，6，t））｝\\迈克尔·索莫斯2004年9月17日
（PARI）{a（n）=局部（a=x*O（x^n））\\迈克尔·索莫斯2004年9月17日
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，2*qfrep（[1,0,0,0；0,1,0，0；0,0,1,2，0；0，0,0，2]，n）[n]）}\\迈克尔·索莫斯2005年10月29日
（PARI）A097057号（n） =如果（n，sigma（n>>n=估价（n，2））*如果（n>1，24，4<<n），1）\\M.F.哈斯勒2018年5月7日
扩展
添加了关键字mult和minor edits byM.F.哈斯勒2018年5月7日
a^2+b^2+2*c^2+8*d^2=n的整数解的数目。
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1, 4, 6, 8, 12, 8, 8, 16, 8, 20, 36, 24, 48, 40, 16, 48, 24, 40, 78, 40, 72, 64, 24, 48, 32, 60, 84, 80, 96, 40, 48, 64, 24, 96, 108, 96, 156, 72, 40, 112, 48, 104, 192, 88, 144, 168, 48, 96, 96, 100, 186, 144, 168, 136, 80, 144, 64, 160, 180, 120, 288, 104, 64, 208
配方奶粉
通用公式：θ_3（q）^2*θ_3（q^2）*θ_3（q^8）。
交叉参考
囊性纤维变性。A097057号,A320124型,A320125型,A320126型,A320127型,A320128型,A320131型,A320132型,A320133型,A320134型,A320135型,A320136型.
a^2+b^2+2*c^2+9*d^2=n的整数解的数目。
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1, 4, 6, 8, 12, 8, 8, 16, 6, 14, 32, 20, 40, 48, 16, 32, 44, 28, 54, 72, 40, 64, 72, 16, 40, 52, 56, 92, 96, 56, 32, 80, 38, 48, 104, 64, 102, 144, 52, 32, 112, 44, 128, 168, 68, 136, 128, 96, 104, 132, 62, 144, 176, 104, 172, 96, 112, 112, 192, 116, 96, 240, 96, 176
配方奶粉
通用公式：θ_3（q）^2*θ_3（q^2）*θ_3（q^9）。
交叉参考
囊性纤维变性。A097057号,A320124型,A320125型,2012年3月6日,A320127型,A320128型,A320130型,A320132型,A320133型,A320134型,A320135型,A320136型.
a^2+b^2+2*c^2+10*d^2=n的整数解的数目。
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9
1, 4, 6, 8, 12, 8, 8, 16, 6, 12, 26, 16, 36, 40, 24, 32, 28, 48, 42, 48, 72, 32, 72, 64, 8, 60, 48, 64, 108, 56, 48, 64, 54, 64, 64, 72, 84, 104, 120, 32, 26, 88, 72, 120, 144, 88, 88, 144, 84, 92, 126, 64, 216, 152, 80, 160, 24, 128, 180, 144, 156, 104, 192, 128, 92
配方奶粉
通用公式：θ_3（q）^2*θ_3（q^2）*θ_2（q^10）。
交叉参考
囊性纤维变性。A097057号,A320124型,A320125型,A320126型,A320127型,A320128型,A320130型,A320131型,A320133型,A320134型,A320135型,A320136型.
a^2+b^2+2*c^2+12*d^2=n的整数解的数目。
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9
1, 4, 6, 8, 12, 8, 8, 16, 6, 12, 24, 8, 26, 32, 12, 32, 36, 32, 46, 56, 36, 40, 72, 32, 56, 76, 24, 64, 72, 40, 60, 80, 54, 64, 96, 48, 52, 96, 72, 80, 120, 32, 48, 104, 36, 104, 96, 64, 98, 124, 90, 64, 144, 72, 144, 160, 60, 136, 120, 104, 144, 160, 60, 112, 180
配方奶粉
通用公式：θ_3（q）^2*θ_3（q^2）*θ_2（q^12）。
交叉参考
囊性纤维变性。A097057号,A320124型,A320125型,A320126型,2012年3月7日,A320128型,A320130型,2013年3月1日,A320132型,A320133型,A320135型,A320136型.
a^2+b^2+2*c^2+13*d^2的整数解的数目=n。
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9
1, 4, 6, 8, 12, 8, 8, 16, 6, 12, 24, 8, 24, 26, 8, 28, 28, 40, 46, 40, 56, 28, 48, 64, 24, 76, 72, 32, 80, 32, 32, 92, 54, 80, 80, 64, 68, 56, 80, 64, 88, 112, 64, 40, 88, 52, 64, 128, 56, 108, 110, 64, 106, 80, 76, 160, 104, 96, 168, 56, 124, 112, 120, 124, 92, 208, 96
配方奶粉
通用公式：θ_3（q）^2*θ_3（q^2）*θ_2（q^13）。
交叉参考
囊性纤维变性。A097057号,A320124型,A320125型,A320126型,A320127型,A320128型,A320130型,A320131型,A320132型,A320133型,A320134型,A320136型.
a^2+b^2+2*c^2+14*d^2=n的整数解的数目。
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9
1, 4, 6, 8, 12, 8, 8, 16, 6, 12, 24, 8, 24, 24, 2, 24, 24, 32, 54, 40, 40, 48, 36, 40, 56, 44, 72, 80, 48, 40, 24, 64, 66, 80, 96, 48, 84, 72, 40, 72, 72, 80, 144, 56, 24, 104, 12, 96, 120, 68, 102, 96, 120, 56, 80, 80, 98, 120, 132, 120, 72, 120, 64, 152, 84, 72, 240, 120
配方奶粉
通用公式：θ_3（q）^2*θ_3（q^2）*θ_3（q^14）。
交叉参考
囊性纤维变性。A097057号,A320124型,2012年3月5日,A320126型,A320127型,A320128型,A320130型,A320131型,A320132型,A320133型,A320134型,A320135型.
x^2+2*y^2+5*z^2+5*w^2=n的解的个数。
+10
6
1, 2, 2, 4, 2, 4, 12, 8, 18, 14, 4, 28, 12, 24, 32, 0, 34, 20, 14, 28, 4, 32, 44, 40, 28, 10, 40, 56, 64, 72, 8, 48, 66, 24, 68, 8, 46, 88, 60, 32, 4, 52, 64, 116, 76, 12, 64, 72, 60, 82, 26, 72, 104, 104, 88, 8, 112, 56, 136, 140, 8, 136, 96, 72, 98, 16, 72, 132
评论
Ramanujan（1917）声称，a<=b<=c<=d正好有55种可能的选择，使得a*x^2+b*y^2+c*z^2+d*w^2代表所有自然数，但L.E.Dickson（1927）指出，Ramanujan忽略了（1，2，5，5）不代表15这一事实。因此，只有54种形式。这个序列与形式（1、2、5、5）有关。如已证明的，当n=15时，a（n）=0。
除此之外，还有许多（a，b，c，d），例如a*x^2+b*y^2+c*z^2+d*w^2表示除有限多个自然数之外的所有自然数。例如，x^2+y^2+5*z^2+5*w^2表示除3以外的所有自然数（参见。A236929号); x^2+y^2+z^2+d*w^2（d==2（mod 4）或d=9、17、25、36、68、100等）表示除4^i*（8*j+7）和<d以外的所有自然数；x^2+2*y^2+6*z^2+d*w^2（d==2（mod 4）或d=11,19等）表示除4^i*（8*j+5）和<d以外的所有自然数。
参考文献
J.H.Conway，通用二次型和十五定理，《当代数学》272（1999），23-26。
配方奶粉
G.f.：theta_3（q）*theta_3（q^2）*theta _3（q^5）^2，其中theta_3-（）是雅可比θ函数。
例子
a（5）=4，因为0^2+2*0^2+5*0^2+5*1^2=0^2+2*0^2+5*0^2%+5*（-1）^2=0^2+0*0^2\5*1^2+5*0^2=0 ^2+2*0^2%5*（-1）^2+5x0^2=5，这是x^2+2*y^2+5*z^2+5*.w^2=5的唯一四个解。
MAPLE公司
JT:=（k，n）->雅各比塔塔3（0，x^k）^n：
A319822列表：=proc（len）系列（JT（1，1）*JT（2，1）*JT（5，2），x，len+1）；
seq（系数（%，x，j），j=0..len）结束：A319822List（67）#彼得·卢什尼2018年10月1日
黄体脂酮素
（PARI）A004018号（n） =如果（n，4*sumdiv（n，d，kronecker（-4，d）），1）；
A033715号（n） =如果（n，2*sumdiv（n，d，kronecker（-2，d）），1）；
（PARI）N=99；q='q+O（'q^N）；
gf=（eta（q^2）*eta（q ^4））^3*eta；
（鼠尾草）
Q=对角线二次型（ZZ，[1，2，5，5]）
Q.theta_series（68）.list（）#彼得·卢什尼2018年10月1日
交叉参考
54种可能的选择：
k|a，b，c，d|解决方案数量
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