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Conway-Guy序列：a（n+1）=2a（n）-a（n-楼层（1/2+平方英尺（2n）））。
（原名M1075）
+10
22
0, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 84, 161, 309, 594, 1164, 2284, 4484, 8807, 17305, 34301, 68008, 134852, 267420, 530356, 1051905, 2095003, 4172701, 8311101, 16554194, 32973536, 65679652, 130828948, 261127540, 521203175, 1040311347, 2076449993, 4144588885, 8272623576
评论
Conway和Guy猜想k个数的集合{s_i=a（k）-a（k-i）:1<=i<=k}具有其所有子集具有不同和的性质-参见Guy的书。这些k集是A096858号[Bohman.-I.Halupczok（integerSequences（AT）karimmi.de），2006年2月20日，显然已经证明了这个猜想]
参考文献
J.H.Conway和R.K.Guy，《鄂尔多斯问题的解决方案》，《大学数学》。20（1969年），第307页。
盖伊，《数论中尚未解决的问题》，C8。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
M.Wald，问题1192，不等和，J.Rec.Math。，15（第2期，1983-1984），第148-149页。
链接
R.K.盖伊，子集具有不同和的整数集《组合学理论与实践》第141-154页。编辑A.Rosa、G.Sabidussi和J.Turgeon。离散数学年鉴，12。北荷兰1982年。
R.K.盖伊，子集具有不同和的整数集《组合学理论与实践》第141-154页。编辑A.Rosa、G.Sabidussi和J.Turgeon。离散数学年鉴，12。北荷兰1982年。（带注释的扫描副本）
G.Kreweras，苏尔奎尔克问题与投票池的关系【加权投票的一些问题】，数学。科学。Humaines第84号（1983年），第45-63页。
数学
a[n_]：=a[n]=2*a[n-1]-a[n-楼层[Sqrt[2]*Sqrt[n-1]+1/2]-1]；a[0]=0；a[1]=1；表[a[n]，{n，0，33}](*Jean-François Alcover公司2013年5月15日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=如果（n<=1，n==1，2*a（n-1）-a（n-1-（平方（8*n-15）+1））
（PARI）A=[]；/*这是上面带记忆的程序*/
a（n）=如果（n<3，返回（n））；如果（n>#A，A=concat（A，向量（n-#A）），如果（A[n]，返回（A[n）））；A[n]=2*A（n-1）-A（n-1-（平方（8*n-15）+1）\ 2）\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年9月9日
（哈斯克尔）
a005318 n=a005318_list！！n个
a005318_list=0:1:zipWith（-）
（映射（*2）$tail a005318_list）（映射a005318 a083920_list
（Python）
从sympy导入广场，楼层
定义a（n）：如果n<2，则返回n，否则返回2*a（n-1）-a（n-floor（sqrt（2）*sqrt[n-1）+1/2）-1）#印地瑞尼Ghosh2017年6月3日
扩展
更多来自Larry Reeves（larryr（AT）acm.org）的条款，2000年9月21日
a（n）是可以从{1,2，…，n}中选择的最大整数数c，因此所有2^c子集都有不同的和。
+10
4
1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8
评论
在基数为c的集合的子集的基数的计数2^c中，包含了空集（总和为0）；2^c是Pascal三角形中第c行的行和。
链接
T.霍瓦诺娃，重量拼图序列，SeqFan邮件列表2010年8月24日
例子
数字n和显示最大基数c=a（n）的{1..n}子集示例：
1, {1}
2, {1, 2}
3, {1, 2}
4, {1, 2, 4}
5, {1, 2, 4}
6, {1, 2, 4}
7, {3, 5, 6, 7}
8, {1, 2, 4, 8}
9, {1, 2, 4, 8}
10, {1, 2, 4, 8}
11, {1, 2, 4, 8}
12, {1, 2, 4, 8}
13, {3, 6, 11, 12, 13}
14, {1, 6, 10, 12, 14}
15, {1, 6, 10, 12, 14}
16, {1, 2, 4, 8, 16}
17, {1, 2, 4, 8, 16}
18, {1, 2, 4, 8, 16}
MAPLE公司
#L的任何子集都是由其总重量唯一决定的吗？
iswts:=进程（L）
局部wtset，s，c，subL，thiswt；
#权重总和必须是唯一的，这样就足以记住集合
wtset：={}；
#对L生成的所有权重子集进行循环
对于从1到nops（L）do的s
c：=组合[选择]（L，s）；
对于c do中的subL
#计算该子集中的权重和
thiswt:=添加（i，i=subL）；
#如果这个权重总和已经出现：不是候选人
如果wtset中有这个wt，那么
返回false；
其他的
wtset：=wtset联合{thiswt}；
结束条件：；
结束do：
结束do：
#所有不同的子集权重都不同：成功
返回true；
结束进程：
#主序列：给定克数1到n，确定子集L
#这样，该子集的每个子集具有不同的和。
重量：=程序（n）
局部s、c、L；
#从n（最大尺寸优先）到1选择尺寸，
#因此，根据拼图的要求，首先检测最大值。
s从n到1乘以-1 do
#s个不同g的子集的所有组合
c:=组合[选择]（[seq（i，i=1..n）]，s）；
对于c do中的L
#检查这些是否符合要求，如果符合，打印
#然后返回
如果iswts（L），则
打印（n，L）；
返回nops（L）；
结束条件：；
结束do：
结束do：
打印（n，“-”）；
结束进程：
#最大n的权重循环
从1到n do
重量（n）；
n个正整数集合中的最小最大整数，其非空子集都具有不同的算术平均值。
+10
三
1, 2, 4, 7, 16, 32, 75, 169, 396
评论
如果一组整数的任何两个不同的非空子集具有不同的算术平均值，则将其称为“不同平均值”。例如，集合{1,2,5}的平均值不同，因为1！=2 != 5 != (1+2)/2 != (1+5)/2 != (2+5)/2 != (1+2+5)/3.
为了使集合具有不同的平均值，很明显，它的所有元素都必须不同。此外，如果一个集合具有不同的平均值，并且将常数k添加到所有项中，则生成的集合也将具有不同的均值。因此，为了研究此类集合，可以方便地选择任意的第一个元素，例如1。因此，该序列的项定义为：使集合1=a_1<a_2<a_3<…<an的平均值不同。
集合{1,2,4，…，2^，。。。，64，因为（4+8+16+64）/4=（1+2+16+32+64）/5=23。除了使用蛮力之外，可以很容易地发现，用二进制表示法写的数字23：10111有四个一，因此4倍的数字显然也有四个，而5倍的数字=1110011有五个一，这些是子集。
推测：唯一<2^（n-1）的项是a（4）=7。
可以证明，对于n>1，a（n）<4^（n-1）：
假设我们已经有了一组满足这个性质的n-1数字。如果添加元素a_n，则可以形成2^n个可能集，因此少于2^n*2^n/2=4^n/2对集。如果a_n的某个值给出了两个此类子集的相同平均值，则任何其他值都将产生不同的平均值。很容易看出，只需要考虑一半的配对；因此，至少有一个an<4^（n-1）的值可以为所有子集对产生不同的平均值。
如果排除了更多的集合对，即既包含a_n又具有相同数量元素的集合（因为假定集合a_1，…，a_（n-1）已经满足该属性），或者具有更多元素的集合的平均值低于另一个集合，a_n从两者中排除（a_n最终将大于所有其他a_i；如果不是，将找到的an与ai中的一个互换，并再次“运行”推理），4^（n-1）界限可能会略有改善。请注意，集对的后一个属性是可传递的，在这个意义上，如果任何这样的对满足该属性，则通过将a_n添加到两个集而形成的对也满足该属性。
什么是lim_sup a（n）^（1/n）？上面的上限证明它小于等于4。
猜想：lim a（n）/2^n=无穷大。（请注意，这弱于lim_inf a（n）^（1/n）>2。）
lima（n）^（1/n）存在吗？
A259545型提供N的值，以便所有k>=N都可以是不同平均N个元素集合中的最大元素。
一组具有n个元素的不同平均值具有A001405号（n） 大小楼层（n/2）的~2^n*sqrt（2/（Pi*n））子集必须具有不同的总和，因此最大的总和至少为A001405号（n） ，因此最大的元素至少是A001405号（n） *2/n。这表明lim-inf a（n）^（1/n）>=2-罗伯特·伊斯雷尔2015年8月2日
a（10）<=1303，如示例{1，43，151，235，421，981，1093，1161，1266，1303}所示-罗伯特·伊斯雷尔2016年1月20日
a（10）<=1252，如示例{1、76、181、211、293、727、1126、1196、1216、1252}所示-罗伯特·伊斯雷尔2016年1月25日
链接
哈维尔·穆吉卡，媒体。c（c）一个查找A（n）的程序。媒体10.c。与前一个程序相同，只是设置用于检查10个元素不同平均值集的特定值。
例子
集合{1，2，5，7}（或交替{1，3，6，7}）中1到4个元素的15个平均值都不同，因此a（4）<=7。不存在所有成员都小于7的4个正整数集，因此实际上a（4）=7。
序列中目前提供最后一项的集合，即396=a（9），是{1、13、21、51、151、327、336、342、396}（或者，按对称性，{1、55、61、70、246、346、376、384、396{）。
词汇学上的第一个正整数序列，使得所有不相交的K项等价集对于1<=K<=4具有不同的和。
+10
2
1, 2, 3, 5, 8, 14, 25, 45, 85, 162, 310, 595, 1107, 2052, 3515, 5925, 9798, 16169, 23295, 34303, 53259, 72215, 112624, 153552, 198523, 283570, 370114, 497383, 700022, 840817, 1145415, 1398434, 1717972, 2279969, 2819186, 3436864, 4299205, 5239007, 6335442, 7650495, 9219214
数学
a={}；k=1；做[While[（t=1；While[t<=4&&DuplicateFreeQ[Total/@Subsets[Join[a，{k}]，{t}]]，t++]；t）<=4，k++]；附加到[a，k]；打印@k, 30] (*乔尔戈斯·卡洛杰罗普洛斯2021年12月2日*）
增加序列，使a（1）=1，a（n）是最小整数，使序列a（1，。。。，a（n）具有唯一的元素和。
+10
2
1, 2, 4, 5, 8, 10, 14, 21, 25, 26, 28, 31, 36, 38, 55, 56, 66, 68, 88, 91, 92, 94, 102, 125, 127, 136, 140, 158, 162, 164, 180, 182, 201, 217, 220, 226, 228, 240, 241, 259, 261, 275, 314, 331, 337, 342, 356, 366, 380, 391, 408, 432, 441, 444, 456, 469, 478, 548, 560, 565, 574, 577, 580, 586, 628, 639, 696, 701, 707, 730, 731, 732, 733, 752, 759, 773, 849, 877, 890, 922
例子
a（3）的最小候选值是3，但序列（1,2,3）有两个和相等的段，即（1,2）和（3）。下一个候选者是4，序列（1、2、4）的每个片段都有一个唯一的和，因此a（3）=4。
a（n）是最小的正整数，因此可以从集合{1，2，…，a（n）}中选择递增序列（s（1），s（2）。。。，s（n）），其中每个段都有唯一的元素和。
+10
1
1, 2, 4, 5, 7, 10, 12, 13, 15, 18, 21, 24, 25, 29, 30, 33, 36, 38, 41, 47, 50, 52
例子
a（6）=10，因为在{1,2，…，10}上存在一个具有唯一段和的6元递增序列，即（1,2,4,5,8,10），10是具有该性质的最小正整数。分段中的总和为：1、2、4、5、8、10（对于单元素分段）；2元件段为3、6、9、13、18；7、11、17、23用于3元件段；12、19、27用于4元件段；5元件段为20、29；全套30个。
a（13）=25，相应的13元子序列为（1,2,11,15,16,17,18,19,20,21,22,24,25）。
黄体脂酮素
（PARI）a（n，m=2*n）=my（k=1，s=向量（n，i，[]），t，u=m，v=向量（n））；当（k>1|v[1]<u-n，t=0；v[k]++；如果（k==n，如果（v[n]<u，如果（！#集合相交（向量（n，i，t=t+v[n+1-i]），s[n]），u=v[n]，k-），如果（v[k]<u+k-n，s[k+1]=集合并（向量（k，i，t=t+v[k+1-i]，s[k]））；如果（#s[k+1]==k*（k+1）/2，v[k+1]=v[k]；k++），k--））；如果（u<m，u，a（n，m+4））\\王金源2023年7月10日
扩展
a（14）-a（22）来自王金源2023年7月10日
a（n）是最小的正整数，因此可以从集合{1，2，…，a（n）}中选择序列（s（1），s（2）。。。，s（n）），其中每个段都有唯一的和。
+10
1
1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 17, 18
评论
段是连续元素的子序列。
推测：存在C，使得对于每个足够大的n，a（n）<C*n。
例子
a（6）=7，因为集合{1,2，…，7}上存在一个具有唯一段和的6元序列：（2,1,7,6,5,4）和7是具有这种性质的最小正整数。段中的总和为：1元素段的2、1、7、6、5、4；3、8、13、11、9，用于2-元件段；10、14、18、15用于3元件段；16、19、22，用于4元件段；5元件段为21、23；全套25个。
a（13）=18，并且示例性对应的13元素序列是（1、6、15、8、11、9、16、17、18、13、14、10、2）。
黄体脂酮素
（PARI）a（n，m=n+6）=my（k=1，s=向量（n，i，[]），t，u=m，v=向量（n））；while（k，t=0；v[k]++；if（k==n，if（v[n]<u，if）（！#setintersect（vector（n，i，t=t+v[n+1-i]），s[n]），u=vecmax（v），k-），if；如果（#s[k+1]==k*（k+1）/2，v[k+1]=0；k++），k--））；如果（u<m，u，a（n，m+3））\\王金源2023年7月11日
扩展
a（10）-a（13）来自王金源2023年7月11日
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