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1, -4, 2, -2, -31, -288, -2939, -33944, -438614, -6266312, -98050303, -1667563622, -30631857759, -604518210964, -12758658946466, -286833669370926, -6844757550430019, -172833310268551740, -4604828067485736507, -129123684195177403168, -3801830662346341617586
配方奶粉
a（k）~-k！/（对数（2））^（k+1）。
对于n>0，a（n）=Sum_{k=1..n}A261254型（k） *箍筋2（n-1，k-1）。
例子
A261239型（n） /（-3*n！）~1-4/n+2/n^2-2/n^3-31/n^4-288/n^5-2939/n^6-。。。
数学
压扁[{1，表[Sum[CoefficientList[Assument[Element[x，Reals]，级数[E^（4/x）*x^4/ExpIntegralEi[1/x]^4，{x，0，25}]，x][[k+1]*StirlingS2[n-1，k-1]，{k，1，n}]，{n，1，25}]}]
1, -4, 2, -4, -21, -136, -996, -8152, -73811, -733244, -7938186, -93126716, -1178054657, -15998857056, -232339375664, -3594982133808, -59070662442383, -1027605845674036, -18873206761567638, -365015243426704372, -7416392564276075453, -157957992952546414328
配方奶粉
a（n）~-4*n！*（1-5/n+5/n^2-30/n^4-286/n^5-2960/n^6-34890/n^7-459705/n^8-6678641/n^9-105999991/n^10）。
对于n>0，a（n）=Sum_{k=1..n}A261253型（k） *箍筋1（n-1，k-1）。
数学
系数列表[假设[Element[x，Reals]，Series[E^（4/x）*x^4/ExpIntegralEi[1/x]^4，{x，0，25}]]，x]
[1..n]的连接排列数（对于0<j<n，不固定[1..j]的排列数）。也称为不可分解置换或不可约置换。
（原名M2948）
+10
112
1, 1, 1, 3, 13, 71, 461, 3447, 29093, 273343, 2829325, 31998903, 392743957, 5201061455, 73943424413, 1123596277863, 18176728317413, 311951144828863, 5661698774848621, 108355864447215063, 2181096921557783605, 46066653228356851631, 1018705098450570562877
评论
还有Aguiar和Sottile介绍的没有全局下降的排列数[推论6.3、6.4和备注6.5]。
还研究了Malvenuto-Reutenauer-Hopf置换代数的本原元空间的齐次分量的维数。由于Poirier和Reutenauer【定理2.1】，这一结果在Aguiar和Sottile【推论6.3】的工作中以及在Duchamp、Hivert和Thibon【第3.3节】的工作中以这种形式陈述。
与秩为2的自由群中索引n-1的子群数有关（即任何2-生成元群中索引n-1的最大子群数）。参见斯坦利的枚举组合数学第二卷中的问题5.13（b）。
对于每一个n，a（n+1）也是区间0..无穷大上概率密度函数rho（x）=exp（x）/（Ei（1，-x）*（Ei，1-x）+2*I*Pi）的n阶矩，Ei是指数积分函数-格鲁·罗兰2009年1月16日
此外（显然），a（n+1）是在任何属的表面上具有n个省道的根超映射的数量（参见Walsh 2012）-N.J.A.斯隆2012年8月1日
还有从每个内部顶点到该顶点的后代的带有箭头的移动节点（循环根树）的数量-布拉德·琼斯2014年9月12日
到符号为止，A型分片交集阶的Möbius数，见Reading参考文献中的定理1.3-F.查波顿2015年4月29日
此外，a（n）是大小为n的完全非二义树的不同叶矩阵的数目-丹尼尔·陈2022年10月23日
参考文献
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链接
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配方奶粉
G.f.：2-1/求和{k>=0}k*x ^k。
同时a（n）=n！-求和{k=1..n-1}k*a（n-k）[鲍文，1976年]。
还有发散级数展开对数Sum_{n>=0}n！中的系数*x^n=Sum_{n>=1}a（n+1）*x^n/n【Bowen，1976年】。
a（n）=（-1）^（n-1）*det{|1！2！…n！|1 1！…（n-1”）！|0 1 1！……（n-2）！|…|0…01 1！|}。
L.g.f.：求和{n>=1}a（n）*x^n/n=log（求和{n>=0}n！*x^n）-保罗·D·汉娜2007年9月19日
G.f.：1+x/（1-x/（1-2*x/（1-2*x/-保罗·巴里，2008年10月7日
a（n）=M^（n-1）中的左上项，M=三角形A128175号作为无穷平方生产矩阵（删除第一个“1”）；如下：
1, 1, 0, 0, 0, 0, ...
2, 2, 1, 0, 0, 0, ...
4, 4, 3, 1, 0, 0, ...
8, 8, 7, 4, 1, 0, ...
16, 16, 15, 11, 5, 1, ...
…（结束）
O.g.f.满足：A（x）=x-x*A（x-保罗·D·汉娜2011年7月30日
设A（x）为g.f。；然后
A（x）=1/Q（0），其中Q（k）=x+1+x*k-（k+2）*x/Q（k+1）。
A（x）=（1-1/U（0））/x，当U（k）=1+x*（2*k+1）/（1-2*x*（k+1）或（2*x*（k+1）+1/U（k+1。（结束）
连续分数：
G.f.:1-G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x*（2*k+2）/（x*（2*k+2）-1+x*（2*k+2）/G（k+1））。
G.f.：（x/2）*G（0），其中G（k）=1+1/（1-x*（k+1）/（x*（k+1/2）+1/G（k+1）））。
G.f.：x*G（0），其中G（k）=1-x*（k+1）/（x-1/G（k+1））。
G.f.：1-1/G（0），其中G（k）=1-x*（k+1）/（x*（k+1）-1/（1-x*（k+1）/。
G.f.：x*W（0），其中W（k）=1-x*（k+1）/。
（结束）
a（n）=A233824型（n-1）如果n>0。（证明集b（n）=A233824型（n） ，因此b（n）=n*n！-求和{k=1..n-1}k*b（n-k）。要得到n>=0时的a（n+1）=b（n），请在n上进行归纳，使用（n+1）！=n个！+n！，并将总和中的k替换为k+1。）-乔纳森·桑多2013年12月19日
a（n）~n！*（1-2/n-1/n^2-5/n^3-32/n^4-253/n^5-2381/n^6-25912/n^7-319339/n^8-4388949/n^9-66495386/n^10），系数见A260503型. -瓦茨拉夫·科特索维奇2015年7月27日
镀锌：1+x/（1+x-2*x/（1+2*x-3*x/。囊性纤维变性。A000698号.
G.f.：1/（1-x/（1+x-x/（1-2*x/（1-2*x/）（1-3*x/。（结束）
例子
G.f.=1+x+x^2+3*x^3+13*x^4+71*x^5+461*x^6+3447*x^7+29093*x^8+。。。
如果在1..n-1中存在一个i，使得范围1..i中的所有j和范围i+1..n中的所有k都是p（j）<p（k），那么[n]中的置换p（其中n>=0）是可约的。（注意，范围a..b包括a和b。）如果存在这样的i，我们说i在i处分割置换。
示例：
*（）不可约，因为没有将（）分割的索引i。（=>a（0）=1）
*（1）是不可约的，因为没有分裂（1）的索引i。（=>a（1）=1）
*由于索引1将（1，2）拆分为p（1）<p（2），所以（1，2中）是可约的。
*（2，1）是不可约的，因为在唯一的势分裂点i=1处，我们有p（1）>p（2）。（=>a（2）=1）
*对于n=3，我们有（1，2，3），（1，3，2），和（2，1，3）是可约的，（2，3，1），（3，1，2）和（3，2，1）是不可约的。（结束）
MAPLE公司
反转（[seq（n！，n=1..20）]）；
级数（2-1/超几何（[1,1]，[]，x），x=0，50）#马克·范·霍伊2013年4月18日
数学
系数列表[假设[Element[x，Reals]，Series[2-E^（1/x）*x/ExpIntegralEi[1/x]，{x，0，20}]]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年3月7日*）
a[n]：=如果[n<2，1，a[n]=（n-2）a[n-1]+和[a[k]a[n-k]，{k，n-1}]]；(*迈克尔·索莫斯2015年2月23日*）
表[级数系数[1+x/（1+ContinuedFractionK[-楼层[（k+2）/2]*x，1，{k，1，n}]），{x，0，n}]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年9月29日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=my（a）；如果（n<1，1，a=向量（n）；a[1]=1；对于（k=2，n，a[k]=（k-2）*a[k-1]+和（j=1，k-1，a[j]*a[k]）；a[n]）}/*迈克尔·索莫斯2011年7月24日*/
（PARI）{如果（n<1，1，a（n）=局部（a=x）；对于（i=1，n，a=x-x*a+a^2+x^2*a'+x*O（x^n））；波尔科夫（a，n））}/*保罗·D·汉娜2011年7月30日*/
（鼠尾草）
R、 C=[1]，[1]+[0]*（长度-1）
对于范围（1，len）中的n：
对于范围（n，0，-1）中的k：
C[k]=C[k-1]*k
C[0]=-总和（范围（1，n+1）中k的C[k]）
R.append（-C[0]）
返回R
扩展
Marcelo Aguiar（maguiar（AT）math.tamu.edu）的补充评论，2002年3月28日
添加了a（0）=0（一些公式现在可能需要调整）-N.J.A.斯隆2012年9月12日
1, -2, -1, -5, -32, -253, -2381, -25912, -319339, -4388949, -66495386, -1100521327, -19751191053, -382062458174, -7924762051957, -175478462117633, -4132047373455024, -103115456926017761, -2718766185148876961, -75529218928863243200, -2205316818199975235447
配方奶粉
a（k）~-k！/（2*（对数（2））^（k+1））。
例子
A003319号（n） /n！~1-2/n-1/n^2-5/n^3-32/n^4-253/n^5-2381/n^6-。。。
数学
压扁[{1，表[Sum[假设[Element[x，Reals]，Series系数[E^（2/x）*x^2/ExpIntegralEi[1/x]^2，{x，0，k}]*StirlingS2[n-1，k-1]，{k，1，n}]，{n，1，20}]}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年8月3日*）
1, -2, -1, -4, -19, -110, -745, -5752, -49775, -476994, -5016069, -57462828, -712732987, -9521244982, -136356161873, -2084860795232, -33907076207495, -584602069590058, -10652917092110429, -204604743619641620, -4131502481607654739, -87507494737954740126
链接
L.Comtet，求和的逆系数！第^n页、Comptes Rend。阿卡德。科学。巴黎，A 275（1972），569-572。
L.Comtet，系列反转，加拿大皇家科学院。巴黎科学院，t.275（1972年9月25日），569-572。（带注释的扫描副本）
配方奶粉
G.f.：（1/总和（k！x^k））^2。
a（n）~-2*n！*（1-3/n-4/n^3-33/n^4-283/n^5-2785/n^6-31291/n^7-395360/n^8-5544754/n^9-85427259/n^10），系数见2014年2月.
对于n>0，a（n）=Sum_{k=1..n}A260503型（k） *斯特林1（n-1，k-1）。
（结束）
数学
系数列表[级数[1/和[k！*x^k，{k，0，20}]^2，{x，0，20}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年8月3日*）
系数列表[假设[Element[x，Reals]，Series[E^（2/x）*x^2/ExpIntegralEi[1/x]^2，{x，0，25}]]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年8月3日*）
1, -3, 0, -4, -33, -283, -2785, -31291, -395360, -5544754, -85427259, -1433955817, -26046643595, -509070113635, -10653941722236, -237754202827284, -5636787946661521, -141514316248243499, -3751121064314067653, -104704135027419849139, -3070176356776990397500
配方奶粉
a（k）~-3*k！/（4*（对数（2））^（k+1））。
对于n>0，a（n）=Sum_｛k=1..n｝A261239型（k） *箍筋2（n-1，k-1）。
例子
A259472型（n） /（-2*n！）~1-3/n-4/n^3-33/n^4-283/n^5-2785/n^6-。。。
数学
压扁[{1，表[Sum[CoefficientList[Assument[Element[x，Reals]，级数[E^（3/x）*x^3/ExpIntegralEi[1/x]^3，{x，0，25}]，x][[k+1]*StirlingS2[n-1，k-1]，{k，1，n}]，{n，1，20}]}]
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